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Ecuaciones diferenciales


Si y es una función de x, y no es un número entero positivo, entonces una relación de igualdad (no reducida a una identidad) que involucra x, y, y ', y ", ..., y(n) se llama un ecuación diferencial de orden n.

La ecuación diferencial es una ecuación que presenta derivadas o diferenciales de una función desconocida (lo desconocido de la ecuación).

Clasificación

  • Ecuación diferencial ordinaria (EDO): implica derivados de una única función de variable independiente.
  • Ecuación diferencial parcial (EDP): involucra derivadas parciales de una función de más de una variable independiente.

Orden: es el orden de la derivada de orden superior de la función desconocida que aparece en la ecuación.

Ejemplos

y '= 2x

tener orden 1 y grado 1
y "+ x2(y ')3 - 40 años = 0 tener orden 2 y grado 3

y "'+ x2y3 = x.tanx

tener orden 3 y grado 3

Resolución

La solución de una ecuación diferencial es una función que no contiene derivadas ni diferenciales y satisface la ecuación dada (es decir, la función que, sustituida en la ecuación dada, la transforma en una identidad).

Ej: Ecuación diferencial ordinaria: = 3x2 - 4x + 1

dy = (3x2 - 4x + 1) dx

dy = 3 x2dx - 4 xdx + dx + C

y = x3 - 2x2 + x + C (solución general)

Uno solución particular puede obtenerse del general a través, por ejemplo, de la condición y (-1) = 3

(condición inicial)

3 = -1 - 2 - 1 + C C = 7 y = x3 - 2x2 + x + 7 (solución privada)

Nota: En cualquier caso, la prueba se puede hacer derivando la solución y volviendo así a la ecuación dada.

Las soluciones se dividen en:

Solución general - presenta n constantes independientes entre sí (n = orden ODE). Estas constantes, según corresponda, pueden escribirse C, 2C, C2lnC

Solución particular - Obtenido del general en condiciones dadas (llamadas condiciones iniciales o condiciones límite).

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Video: Ecuaciones diferenciales. Introducción (Agosto 2020).