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Estructuras de números finitos II


Anticipemos una de las posibles críticas que se pueden hacer a la propuesta de nuestro artículo anterior. Desde nuestro punto de vista, esta es la única crítica relevante que admite la propuesta. Pero, de hecho, tal crítica es posible solo porque nuestra intención era presentar una idea de una manera muy simple y directa. Hoy daremos los detalles que faltan y creemos que después de eso será muy difícil para cualquiera (a quien le gusten las matemáticas y no quiere que los niños sean mediocres) rechazar el camino de los sistemas de números finitos.
La forma en que motivamos los sistemas de números finitos permite la siguiente crítica: "primavera + 1 = verano" no es una ecuación válida porque es una suma de cantidades no homogéneas ...! Por supuesto, estamos hablando intuitivamente y no nos preocupa el rigor con la palabra "cantidad". Pero el hecho es que es extraño pensar en la "suma de una temporada con un número puro". Entonces hacemos lo siguiente: Arreglamos la temporada de primavera en nuestro pensamiento y se lo señalamos a P. Luego, solo pensaremos en las estaciones que seguirán después de que hayan pasado algunos períodos. Por ejemplo, P + 1 = V, donde indicamos solo la siguiente temporada de primavera después de un período de tres meses. Esto significa que nuestros hijos jugarán para descubrir qué sucede cuando repetimos este razonamiento. Encontrarán una tabla muy interesante: P + 1 = V, P + 1 + 1 = O (otoño), P + 1 + 1 + 1 = I, P + 1 + 1 + 1 + 1 = P. Con un poco de ayuda del maestro (para eso está el maestro) los niños "descubrirán" que la imaginación "1 + 1 + 1 + 1" produce lo mismo que la imaginación "no hace nada", o si necesita la ayuda del maestro " 1 + 1 + 1 + 1 = 0 ". Descubrirán que pueden jugar con los símbolos "=", "+", "0" y "1". Ya no existe el problema de "relacionar cantidades no homogéneas". Este es un gran descubrimiento, no solo para niños, digamos 11, sino para cualquiera que tenga curiosidad por las matemáticas. El maestro puede enfatizar el hermoso hecho de que solo se usaron cuatro símbolos en este sistema de números: "0, 1, +, =". Y hay una gran oportunidad para que el maestro guíe a los niños a través de una experiencia muy útil con la idea de la simplificación tan fundamental en las matemáticas. El simple experimento "1 + 1", "1 + 1 + 1", conduce inmediatamente a un nuevo problema: la necesidad de simplificación y economía en el uso de símbolos y operaciones.
Uno de los principales problemas para los principiantes en matemáticas es el problema de acostumbrarse al uso de símbolos para las ideas. Cada número necesita un símbolo diferente. Una de las razones por las cuales el sistema infinito de números naturales es extremadamente complejo para los niños es que necesita símbolos infinitos para representar los números. El niño tiene que resolver, entre otros, el problema de cómo podría producir estos símbolos infinitos necesarios para la representación de los naturales. Esto no es fácil y la humanidad no lo ha resuelto completamente antes del año 1000 dC: es el famoso sistema posicional indoárabe cuyo descubrimiento se puede comparar con la creación de la computadora digital. El sistema posicional indoárabe y la computadora digital permitieron profundas revoluciones en el conocimiento humano simplemente porque hicieron disponibles los resultados de cálculos complicados. El lector puede tener una idea muy simple de esto al tratar de calcular 13 x 29 usando números romanos.
En el caso del sistema posicional, la idea más simple que puede asociarse con él es la idea de simplificar la representación de los números. Es decir, cómo podemos simplificar, por ejemplo, la representación "1 + 1". Nadie tendrá la paciencia para escribir "1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1" todo el tiempo y todavía tendrá que calcular sumas y multiplicaciones con estas expresiones. Este es, nos aventuramos a decir, el problema principal del maestro de matemáticas de la escuela primaria: lograr que los niños incorporen símbolos y los usen en la representación de números. Pero hay una dificultad adicional: todo esto debe hacerse de manera económica y simple, de lo contrario hará que los cálculos y el progreso en el estudio de las matemáticas sean inviables. Al simplificar la expresión 1 + 1 = 2, 1 + 1 + 1 = 3, ayudaremos al niño a resolver el problema fundamental de la representación numérica que, en el caso de los números naturales, requerirá la ingeniosa solución indoárabe de sistema posicional. Esto le permite al niño experimentar todos los fundamentos de un sistema numérico de una manera simple y jugar libremente con posibles generalizaciones.
Tenga en cuenta al lector que el sistema "1 + 1 = 2, 1 + 1 + 1 = 3, 1 + 1 + 1 + 1 = 0" tiene solo seis símbolos (0, 1, 2, 3, +, =), puede estar completamente motivado por el sistema de estaciones, y proporciona dos tablas matemáticamente muy interesantes con las que los niños pueden jugar hasta que se cansan, y cuando se cansan de ellas, pueden buscar los siguientes sistemas cíclicos de 5, 6, 7, etc. estados. Es importante que el maestro presente la tabla de multiplicar porque la multiplicación es parte de la solución del problema de simplificación: 1 + 1 = 2.1, 1 + 1 + 1 = 3.1. Pero esto trae de inmediato un nuevo problema y un descubrimiento importante: ¿no podrían los nuevos símbolos 2 y 3 también "agregarse" y "multiplicarse"? Es muy importante que este "juego con un sistema finito" tenga un final bien entendido: el ciclo de las estaciones se representó numéricamente, se resolvió el problema de la representación numérica de un sistema cíclico con pocos estados posibles, se resolvió el problema. Se ha abierto el problema de la simplificación y la economía de los símbolos y las operaciones, y se ha abierto un camino muy natural de continuación para el pensamiento, es decir, el camino de la representación de todos los ciclos finitos posibles. El maestro debe asegurarse de que las dos tablas a continuación estén completamente incorporadas en la experiencia de cada niño, asegurándose de que puedan interpretar y explicar cómo se logró cada entrada en la tabla. Solo vemos una manera para que el maestro se asegure de que los niños hayan incorporado esta experiencia: al verificar lo que podrán jugar con el ciclo de cinco estados.
El resultado neto de todo esto es uno: los niños se darán cuenta de que los símbolos pueden estar relacionados con la "gran libertad". Esta es la gran lección de las matemáticas, es decir, no tenemos que "recoger las cosas con las manos para razonar sobre sus propiedades". Podemos razonar a través de representaciones simbólicas, pero hay varios problemas naturales que deben resolverse antes de que estas representaciones puedan realizarse con éxito. Los niños ya tienen que enfrentar estos problemas cuando comienzan su experimento con números. Y nada más natural que comenzar con los sistemas numéricos más simples, los sistemas finitos.
El maestro de matemáticas bien informado sabe que esta estrategia de enseñanza de matemáticas tiene otra ganancia extraordinaria: los niños pueden comenzar naturalmente con la medición de simetrías, una noción fundamental de la ciencia contemporánea. Las formas más simples de simetría son los ciclos finitos. Los sistemas de números finitos no son más que medidas de las simetrías más simples. No estamos en contra de la experimentación de niños con números naturales, pero debemos tener en cuenta que este sistema representa un ciclo infinito y, por lo tanto, las dificultades a superar no son triviales, lo que pone de relieve el problema de generar símbolos infinitos. ¿Por qué no permitir a los niños la experiencia previa de la representación en ciclos finitos?

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