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Symmetry, Anti-Symmetry, and Symmetry Breaking IV


Preguntamos: ¿qué otras interpretaciones de los fenómenos físicos son posibles con los vectores planos y sus operaciones?

Recordemos la importante fórmula de calcular el trabajo elemental que la fuerza z realiza en un cuerpo a lo largo del desplazamiento w, dado por:

z·w = |z|.|w| cos el = aa + bB,

donde el es el más pequeño de los dos ángulos entre z = (el, b) y w = (Un, B) Llamamos a este cálculo "producto escalar de z por w”.

Hemos encontrado que hay otra multiplicación permisible para vectores planos complejos de importancia física importante: es el llamado producto vectorial conocido también por nuestro lector cuya longitud es el área del paralelogramo de lados |zEl | y |wEl | dado por |z ´ w | = |z|.|w| sen eldonde z ´ w. Es interesante recordar que z ´ w También es un vector, pero un vector en el espacio fuera del plano de vectores complejos. Esta invención no es arbitraria, tiene una importante motivación física. Este producto fue inventado como un vector perpendicular a la z y w, teniendo como sentido el dado por la regla de la mano derecha, o la regla del sacacorchos, y como longitud el área del paralelogramo generado por z y w.

¿Pero cómo calcularlo? Aprovechemos la oportunidad para señalar que los físicos han dado una interpretación generalizada del producto vectorial de dos vectores en el espacio y no solo en el plano complejo. Dos vectores z = (el, b, c) y w = (Un, B, C) en el espacio producen un par, o una amplia variedad de otras interpretaciones físicas. Sorprendentemente, la operación matemática que proporciona el producto es una y se realiza mediante un procedimiento de combinación de las coordenadas de los dos vectores. Para las matemáticas, esta combinación tiene una motivación en la belleza de la simetría.

Para comprender la génesis del producto vectorial, recordamos que los físicos necesitan tener un producto que se comporte de la siguiente manera cuando se aplica a vectores básicos unitarios. yo, j y k, que generan los tres ejes espaciales, respectivamente, axis xeje y y eje z:

yo ´ j = k, j ´ yo = - k, j ´ k = yo, k ´ j = - yo, yo ´ k = - yo, k ´ yo = j

(Regla de la mano derecha o regla de sacacorchos)

yo ´ yo = 0, j ´ j = 0, k ´ k = 0.

Estas especificaciones satisfacen las necesidades de cálculo, por ejemplo, de torque. Sin embargo, para el matemático, una necesidad es satisfacer la curiosidad para ver qué sucede si la multiplicación es distributiva en relación con la suma. Luego, uniendo los deseos de físicos y matemáticos, obtenemos el producto vectorial. Entonces, para obtener el producto vectorial de z = (el, b, c) y w = (Un, B, C) proceda matemáticamente de la siguiente manera:

z ´ w =

(eli + bj + ck) ´ (Uni + Bj + Ck) = elyo ´ Uni + elyo ´Bj + elyo ´ Ck + bj ´ Uni + bj ´ Bj + bj ´ Ck + ck ´ Uni + ck ´ Bj + ck ´ Ck = aa yo´i + ab yo´j + BC yo´k + BA j´i + bB j´j + aC j´ k + ca k´i + cb k´j + cc k´k = ab yo´j + BA j´i + BC yo´k + ca k´i + aC j´k + cb k´j = ab yo´j BA yo´j + BC yo´k cA yo´k + aC j´k cB j´k = (ab BA) yo´j + (BC cA) yo´k + (aC cB) j´k = (ab BA) k + (BC cA) (─ j) + (aC cB) i = (aC cB) yo ─ (BC cA) j + (ab BA) k.

Veamos la combinación "antisimétrica" ​​de las coordenadas. En el coeficiente de yo los coeficientes de j es de k combinado antisimétricamente en la forma aC cB. Del mismo modo, los otros dos coeficientes se obtienen por la misma filosofía antisimétrica. Hay un signo menos al obtener el coeficiente de j Eso parece un poco misterioso. La razón de esta señal es la necesidad de satisfacer el deseo de los físicos y el deseo de los matemáticos, como ya hemos señalado, pero parecía muy extraño hasta el momento en que los matemáticos descubrieron que existe naturalmente en dimensiones superiores.

Lo que sucedió fue que al investigar los determinantes de las matrices de orden mayor que dos, se observó que es posible desarrollar una teoría naturalmente simétrica que, en la dimensión tres, aparece de esta manera, con este signo menos en esta posición. La simetría de la teoría determinante reside precisamente en la combinación antisimétrica. aC cB, BC cA y ab BA de las coordenadas de los dos vectores. El término ─ (BC cA) se explica naturalmente por la estructura de la teoría de los determinantes en dimensiones mayores que dos.

En balance, preguntamos cómo se puede explicar que los deseos de los físicos no entren en conflicto con los deseos de los matemáticos. Por el contrario, la unión de los dos tipos de deseos parece tener una fuerza poderosa para desentrañar el comportamiento de la naturaleza. ¿Hasta dónde puede llegar el Homo sapiens sapiens a través de este matrimonio?

Para tratar de entender esta historia un poco más, echemos un vistazo más de cerca al significado geométrico, ya que no podemos hacer experimentos físicos aquí en el producto vectorial. Los físicos querían eso yo ´ j = kpero me di cuenta de que el vector del producto k tiene la longitud del área del rectángulo formada por yo y j. Sorprendentemente, este patrón es generalizado, es decir, el producto vectorial z ´ w = (aC cB) yo ─ (BC cA) j + (ab BA) k es un vector cuya longitud es el área del paralelogramo formado por z y w en el espacio. Este es un hecho notable: un área que mide una figura bidimensional reaparece en la tercera dimensión midiendo una longitud. Es como si la Naturaleza se estuviera reproduciendo en nuevas dimensiones con las mismas medidas que usó en las dimensiones inferiores. En otras palabras, el vector del producto z ´ w mide el área formada por sus factores z y w. Además, el producto está orientado, es decir, es un vector que apunta a una dirección bien definida elegida entre dos posibles a través de una regla de rotación. Si calculamos w ´ z la rotación es opuesta a ser ahora "de w a z"Y obtenemos w ´ z = (cB aC) yo ─ (cABC) j + (BAab) k. Entonces vemos que w ´ z = ─ (z ´ w) donde decimos que el producto vectorial es anti-conmutativo.

El area |z ´ w | = |z|.|w| sen el = |(aC cB) yo ─ (BC cA) j + (ab BA) kEl | del paralelogramo formado por z y w Tiene importantes interpretaciones físicas. Concluimos que mientras el producto escala z . w = |z|.|w| cos el = aa + bB + cC de dos vectores z = (el, b, c) y w = (Un, B, C) mide un tipo de energía (por ejemplo, el trabajo realizado por una fuerza), el producto vectorial también mide otro tipo de energía, por ejemplo, par, energía que produce una rotación. Por lo tanto, un vector puede representar un fenómeno natural y las operaciones entre vectores continúan representando fenómenos naturales.

Es inevitable, entonces, preguntarse: ¿qué otras operaciones entre vectores representan los fenómenos de la naturaleza?

¿Qué álgebras vectoriales pueden desentrañar el comportamiento de la naturaleza?

¿Hasta dónde puede llegar el Homo sapiens sapiens en esta investigación de la naturaleza?

En la siguiente columna veremos cómo los ingenieros aprovecharon la multiplicación habitual de números imaginarios.

zw = |z| yyoque |w| yyof = |z| |w| yyo(que + f) = (el + byo) (Un + Byo) = (aa - bB) + (ab + BA) yo

cuando se estudian circuitos eléctricos.

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Video: Quantum Theory, Lecture 14: Time Reversal. Anti-Unitary Operators. Lattice Symmetry. Band Structure. (Agosto 2020).