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ECUACIONES DE DIOFANTINA IV - EL PRINCIPIO DE BUEN ORDEN


Pierre de Fermat estableció una forma de inducción llamada "Método de Descenso Infinito". Este método se usa cuando queremos demostrar que ciertas ecuaciones de diofantina no tienen solución. Pierre de Fermat demostró el caso no = 4 del último teorema de Fermat (UTF). En el método de descenso infinito asumimos la existencia de una solución entera y positiva y de ella mostramos que podemos obtener otra solución de entero y valor positivo menor que la anterior. Procediendo de esta manera, construimos una secuencia decreciente infinita de valores positivos. Sin embargo, el Principio del buen orden establece que cada conjunto no vacío de números naturales tiene un elemento más pequeño y, por lo tanto, llegamos a una contradicción. Esta contradicción se deriva de la suposición de que el problema tiene una solución completamente positiva y, por lo tanto, mediante el método de reducción al absurdo, concluimos que el problema original no tiene solución.

Usando el método de descenso infinito observamos que No tiene una solución entera que no sea trivial, (x, y, z), donde x.y.z ≠ 0 y z> 0.

Supongamos que los enteros positivos x = x0, y = y0, z = z0 son una solución de con x0 y y0 primos entre ellos. Tenga en cuenta que implica que , o sea, Es una terna pitagórica. Por otro lado, la fig. 10 y FIG.11 son primos entre sí porque si hubiera un primo p que dividiera y entonces p dividiría x0 y y0, contrario al hecho de que x0 y y0 son primos el uno del otro. Por lo tanto Es una terna pitagórica primitiva. A partir de este Terna pitagórico primitivo, construimos un nuevo Terna pitagórico primitivo () tal que > . De nuevo, desde la Terna pitagórica temprana () construimos otra terna pitagórica primitiva () tal que > > . Este proceso puede repetirse indefinidamente produciendo una secuencia decreciente infinita de enteros positivos. > > . Por el principio del buen orden, se produce una contradicción. Por lo tanto, nos vemos obligados a concluir que no permite la solución en el conjunto de enteros y números positivos.

Como corolario inmediato obtenemos que la ecuación no permite la solución en el conjunto de enteros y números positivos. De hecho, si () fueron una solución positiva completa de la ecuación entonces () sería una solución completa y positiva de la ecuación contrario a los argumentos anteriores. Entonces, el último teorema de Fermat (UTF) para el caso no = 4 es cierto.

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