Artículos

1.1: Principios aditivos y multiplicativos - Matemáticas


¡Investigar!

  1. Un restaurante ofrece 8 aperitivos y 14 platos principales. ¿Cuántas opciones tiene si:
    1. ¿Comerás un plato, ya sea un aperitivo o un entrante?
    2. ¿Tiene más hambre y quiere comer tanto un aperitivo como un plato principal?
  2. Piense en los métodos que utilizó para resolver la pregunta 1. Escriba las reglas para estos métodos.
  3. ¿Funcionan tus reglas? Una baraja estándar de naipes tiene 26 cartas rojas y 12 figuras.
    1. ¿De cuántas formas se puede seleccionar una carta que sea roja o con figura?
    2. ¿De cuántas formas se puede seleccionar una carta que sea roja y con figura?
    3. ¿De cuántas formas puede seleccionar dos cartas para que la primera sea roja y la segunda sea una figura?

Considere este problema de conteo bastante simple: en Red Dogs and Donuts, hay 14 variedades de donas y 16 tipos de perros calientes. Si quieres una dona o un perro, ¿cuántas opciones tienes? Esto no es demasiado difícil, solo agregue 14 y 16. ¿Siempre funcionará? ¿Qué es importante aquí?


Principios de análisis matemático, cortes de Dedekind, inverso multiplicativo

En la parte superior de la página 20 del libro de Rudin, Principios del análisis matemático, escribe: Las pruebas (de los axiomas de multiplicación) son muy similares a las que se dan en detalle en el Paso 4 (prueba de los axiomas de suma). que los omitimos ''. Traté de probarlos pero me quedé atrapado en la prueba de begin alpha cdot < alpha> ^ <-1> = 1 ^ * end donde $ alpha $ es corte positivo y $ < alpha> ^ <-1> = mathbb_ <-> bigcup left <0 right > bigcup left : 0 & ltt & ltr text r in mathbb: frac <1> notin alpha right > $ es el candidato para el inverso multiplicativo de $ alpha $. Ya he probado que $ < alpha> ^ <-1> $ es un corte y $ alpha cdot < alpha> ^ <-1> le 1 ^ * $.

Mi pregunta es cómo probamos la dirección opuesta de manera similar a la prueba que Rudin da para $ alpha + (- alpha) le 0 ^ * $. Una prueba completamente diferente a esa se puede encontrar aquí: Dedekind cortó el inverso multiplicativo

Esto es lo que he probado hasta ahora:

Sea $ p en 1 ^ * $. Si $ p le 0 $ entonces obviamente $ p in alpha cdot alpha ^ <-1> $.

Suponga & ltp & lt1 $ y $ q = q (p) in mathbb_ <+> $. Por la propiedad de Arquímedes de los números racionales begin existe n en mathbb: nq in alpha text (n + 1) q notin alpha end Debemos encontrar un $ u in alpha ^ <-1> $ como que $ p = (nq) cdot u $ o equivalente, $ u = frac

$

Para $ u in alpha ^ <-1> $ debemos tener eso & ltu & ltr $ y $ frac <1> notin alpha $ para unos $ r $ racionales. La única opción razonable para $ r $ sería $ frac <1> <(n + 1) q> $. Pero entonces, beginu & ltr Leftrightarrow frac

& lt frac <1> <(n + 1) q> Flecha izquierda p & lt fracfinal lo cual puede no ser cierto para algunos valores de $ n $ (como $). ¿Dónde podemos derivar una restricción para estos valores de $ n $?


Introducción y principales resultados

Sea (B = ) in mathbb, t_ <1> in mathbb_ <+> > ) sea un movimiento browniano estándar, (W _ < gamma> = (t_ <2>) in mathbb, t_ <2> in mathbb_ <+> > ) ser un movimiento browniano integrado fraccional con parámetro de índice ( gamma & gt-1/2 ), (B_= <>(t_ <3>) in mathbb, t_ <3> in mathbb_ <+> > ) ser un movimiento browniano fraccional con el parámetro de Hurst (H in (0,1) ), (S _ < alpha> = (t_ <4>) in mathbb, t_ <4> in mathbb_ <+> > ) ser un proceso estable con índice ( alpha in (0,2] ), y son independientes entre sí. Definir los procesos aditivos de la mezcla

y los procesos multiplicativos de la mezcla

Observación 1.1

En particular, (W_ <0> (t) = B_ <1/2> (t) = S_ <2> (t) ) es el movimiento browniano estándar. Obviamente, el proceso ( mathbb^ <1, 1, 1, 1> _ <0,1 / 2,2> ( mathrm) ) son los movimientos brownianos aditivos. Para más detalles sobre los movimientos brownianos aditivos, el lector puede consultar las monografías [1] y [2].

El objeto de estudio en este artículo serán las pequeñas desviaciones para ( mathbb^, a_ <2>, a_ <3>, a_ <4>> _ < gamma, H, alpha> ( mathrm) ) y ( mathbb_ < gamma, H, alpha> ( mathrm) ) que se definen formalmente como sigue:

$ begin log mathbb

Bigl ( sup _ < mathrm in [0,1] ^ <4>> vert cdot vert leq varepsilon Bigr) = - phi ( varepsilon) quad mbox varepsilon rightarrow 0. end$

Nuestra referencia estándar es la monografía [3]. Hay varios artículos relacionados con las pequeñas desviaciones de varios procesos estocásticos. Para más detalles, consulte las monografías [3, 4]. Si se define correctamente, la pequeña desviación en algunas publicaciones se llama probabilidad de bola pequeña (ver, por ejemplo, [5, 6]). Hay varias motivaciones para el estudio de algunos procesos aditivos, y recientemente se ha investigado activamente desde diferentes puntos de vista, ver Khoshnevisan, Xiao y Zhong [2, 7] para una discusión detallada y la bibliografía para trabajos posteriores en esta área. . En primer lugar, los procesos aditivos juegan un papel importante en el estudio de otros procesos multiparamétricos más interesantes, ya que localmente se asemejan a los procesos multiparamétricos, como la hoja browniana, la hoja browniana fraccionada y la hoja estable, y también porque son más susceptibles de análisis. Por ejemplo, localmente y con el tiempo adecuadamente reescalado, la hoja browniana se parece mucho a un movimiento browniano aditivo (ver, por ejemplo, [8, 9]). También surgen en la teoría de la intersección y la auto-intersección en los tiempos locales de los procesos brownianos (ver, por ejemplo, [10, 11]).

Ahora, damos brevemente las estimaciones de pequeñas desviaciones para los procesos aditivos de mezcla ( mathbb^, a_ <2>, a_ <3>, a_ <4>> _ < gamma, H, alpha> ( mathrm) ) y los procesos multiplicativos de mezcla ( mathbb_( mathrm) ). Los principales resultados son los siguientes.


Usamos solo los axiomas de campo habituales para los números reales. Primero probamos un resultado intermedio.

Reste times 0 $ de cada lado para obtener = 0 times 0 $. Ahora estamos listos para la matanza final.

$ = 1 times 1 + 1 times (-1) + (- 1) times 1 + (- 1) times (-1) $

Agregue $ 1 $ a cada lado para obtener $ 1 = (- 1) times (-1) $.

La ley de los signos $ rm : (-x) (- y) = xy : $ normalmente no se asume como un axioma. Más bien, se deriva como un consecuencia de axiomas de anillo más fundamentales $ $ [esp. la Ley distributiva $ rm , x (y + z) = xy + xz , $], leyes que abstraen la estructura algebraica común compartida por sistemas numéricos familiares. A continuación se muestran algunas formas de probar la ley de los signos (observe que los términos sobre / subrayados $ = 0) $

De hecho, los anteriores son casos especiales de una prueba análoga de unicidad de los inversos aditivos.

Tenga en cuenta que las pruebas solo usan leyes de anillo (más notablemente el Ley distributiva), por lo que la ley de los signos es válida en todos los anillos. La ley distributiva es la base de todo teorema del anillo que no es degenerado, es decir, implica ambas cosas adición y multiplicación, ya que es la única ley del anillo que conecta las estructuras aditiva y multiplicativa que, combinadas, forman la estructura del anillo. Sin la ley distributiva, un anillo sería mucho menos interesante algebraicamente, reduciéndose a un conjunto con estructura aditiva y multiplicativa, pero sin ninguna relación hipotética entre los dos. Por tanto, en cierto sentido, la ley distributiva es la piedra clave de la estructura del anillo.

En cualquier anillo, se mantiene, donde $ 1 $ denota el elemento unitario ($ 1x = x = x1 $ para todo $ x $) y $ -x $ denota el inverso aditivo ($ x + (- x) = 0 $ para todo $ x $).

$ x = 1 cdot x = (1 + 0) cdot x = 1 cdot x + 0 cdot x = x + 0 cdot x $. Luego, usando el grupo aditivo, se deduce que cdot x = 0 $ para todos los $ x $.

Ahora use la distributividad para $ 0 = (1 + (- 1)) (- 1). $

Supongamos que nos dan los números naturales $ mathbb= <0,1,2, ldots > $ con los axiomas de Peano. En otras palabras, sabemos lo que significa "sumar" y "multiplicar" dos números cualesquiera en $ mathbb$, podemos decir si un número natural es más grande que otro, y si $ x & gty $, sabemos lo que significa $ xy $ --- es decir, $ xy $ es el número natural (esto es importante) que cuando se suma a $ y $ te da $ x $.

Para obtener los números enteros, necesitamos definir qué son los números negativos. Podemos hacer esto representando cada número entero (que por el momento es una palabra indefinida) por pares de números naturales: considere dos pares cualesquiera $ (x, y) $ y $ (x ', y') $ de números naturales. Nos gustaría que estos tipos "representen el mismo número entero" si $ x-y = x'-y '$. Pero, ¿y si $ x & lty $? ¡Entonces no sabemos qué significa $ x-y $ even! Entonces, tenemos que hacer algunos malabarismos. Decimos que $ (x, y) $ y $ (x ', y') $ ambos "representan el mismo número entero" si $ x + y '= x' + y $. Finalmente nosotros definir el conjunto de enteros $ mathbb$ es el conjunto de todos estos pares, donde dos pares se consideran iguales si ambos "representan el mismo número entero". Por ejemplo, definimos $ -1 $ como el par $ (0,1) $ (que es lo mismo que los pares $ (2,3) $ y $ (7921,7920) $).

Para ver cómo definir la multiplicación de enteros, usamos FOIL: Con nuestros enteros habituales, tenemos $ (a-b) (c-d) = - ad-bc + ac + bd $, así que simplemente definir este es el caso con nuestros nuevos enteros: es decir, $ (a, b) (c, d) $ se define como $ (ac + bd, ad + bc) $. En particular, esto significa que $ (- 1) (- 1) = (0,1) (0,1) = (0 cdot 0 + 1 cdot 1, 0 cdot 1 + 1 cdot 0) = ( 1,0) = 1 $.

Usando reglas de álgebra (distributividad) que se aplican a enteros positivos tenemos que: $ [(- 1) times (-1)] + [(- 1) times 1] = (- 1) times (-1 + 1) = (- 1) times 0 $.

Además, $ (- 1) times 0 = (- 1) times (0 + 0) = (- 1) times 0 + (-1) times 0 $ y así, restando $ (- 1) times 0 $ en ambos lados, obtenemos = (- 1) times 0 $.

Para concluir: al querer preservar las reglas del álgebra válidas para números positivos y negativos también, nos vemos llevados a encontrar que $ [(- 1) times (-1)] + [(- 1) times 1] = 0 $ y por lo tanto que $ (- 1) times (-1) = - [(- 1) times 1] = - (- (1)) = 1 $.

Y solo para que conste, claridad y cordura: nada, sin excepción, en matemáticas simplemente se asume. Siempre hay una razón.

Ofrezco lo siguiente simplemente porque parece diferente de lo que todos los demás han publicado:

Según la ley distributiva, $ (x + 1) (x - 1) = x ^ 2 - 1 $. Establezca $ x = -1 $ y observe que el lado izquierdo es cero, por lo que el lado derecho es cero, entonces $ x ^ 2 = 1 $.

Es discutible si las suposiciones que utilizo allí son más o menos obvias que la conclusión. Si desea ser más convincente, probablemente debería decidirse por una definición de los números enteros: hay varios, y el que elija afecta si lo que citó es un teorema o simplemente una definición.

Para inventar los números enteros, probablemente primero desee inventar los números naturales 1. Si está interesado, busque los axiomas de Peano; de lo contrario, asuma que existen.

1 Estrictamente hablando, ¡esto no es necesario! Podría, por ejemplo, estudiar grupos abelianos, en los que los números enteros tienen un significado especial como el grupo cíclico sin relaciones, o anillos conmutativos, donde los números enteros son, en cierto sentido, el ejemplo prototípico que se relaciona con los demás. Pero esas son formas más complicadas de hacer las cosas en general.

Una vez que tienes $ mathbb N $, me parece que la "mejor" definición en el sentido de "más obviamente correcta" es aquella que conecta los números enteros con las soluciones de las ecuaciones $ a + x = b $: observamos que podemos resolver esta ecuación para $ x $ en $ mathbb N $ siempre que $ a & lt b $, pero a veces queremos fingir que tenemos una solución incluso cuando $ b & lt a $, porque podemos usar tal cosa para derivar verdadero resultados (¡y demuestre que son ciertos!) sobre números enteros positivos.

Inicialmente, entonces, inventamos "enteros" como pares de números naturales $ (a, b) $ que pretendemos significar la "solución" a $ a + x = b $ (la idea es que $ (a, b) $ representa $ b - a $, pero aún no hemos definido la resta).

Sin embargo, observamos rápidamente que, por definición de suma en los números naturales, $ (1 + a) + x = 1 + b $, de hecho, la mayoría de estos pares son iguales: si $ (a, b) $ resuelve $ a + x = b $, también lo hace $ (n + a, n + b) $. Entonces, los enteros "verdaderos" son los pares $ (a, b) $ sujeto a considerando el par $ (a, b) $ igual que el par $ (c, d) $ si podemos probar que toda solución de $ a + x = b $ también sería una solución de $ c + x = d $ . El nombre apropiado para esto es cociente Por una relación de equivalencia, si está interesado en leer más sobre ellos.

Observe que estos nuevos enteros tienen un subconjunto que se comporta como los números naturales: el número natural $ n $ es la solución de + n = n $, por lo que se comporta como el par $ (0, n) $ (que es lo mismo que el par $ (1, n + 1) $, que es lo mismo que.).

Ahora, solo hay una forma de definir la suma en estos nuevos pares que tiene sentido: $ (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) $. La multiplicación es $ (a, b) times (c, d) = (ad + bc, ac + bd) $. $ (- 1) $ es cualquier par de la forma $ (n + 1, n) $. Conecte las cosas relevantes y obtendrá su resultado.


Modelos de regresión no lineal

Milan Meloun, Jiří Militký, en Análisis estadístico de datos, 2011

8.2 Modelos de errores de medición

Suponga que los datos experimentales <XI T , yI>, I = 1, …, norte, y se conocen el modelo de regresión. La variable de respuesta y es la variable medida y sujeta a varios tipos de errores. Los errores comunes incluyen errores de medición εMETRO, errores de formulación del modelo εT, errores de ajuste de la variable controlable independiente X, εX y los errores aleatorios del experimento εnorte. El error total, ε de la variable dependiente y es la suma de los errores individuales. Se supone que el error total de medición, para todos los valores de yI., yo = 1, …, norte, tiene un valor medio igual a cero, es decir miI) = 0. Cuando miI) = constante, falta el término de intersección en el modelo y cuando miI) constante, el modelo se propone falsamente. El modelo de regresión general se puede expresar en la forma

donde la funcion ZI depende del tipo de errores y de la forma de la función de regresión.

Cuando los datos representan los resultados de la medición experimental, el modelo aditivo de errores de medición generalmente se asume

En muchos experimentos, existen algunas restricciones sobre la variable medida yI., yo = 1,…, norte. Por ejemplo, yI puede tomar solo valores positivos, con varianza no constante, σ 2 (yI), pero con un error relativo constante, σ 2 (y)/y. Tales condiciones son válidas en el modelo multiplicativo de errores de medición

En la práctica química, el modelo combinado de errores de medición

también se utiliza. Los errores vI. y εI, en la ecuación. (8.13) se supone que son independientes.

Figura 8.2. Tres modelos de errores de medición: (a) el modelo aditivo, (b) el modelo multiplicativo y (c) el modelo combinado.

En un laboratorio químico, la medición generalmente se realiza en un solo sistema experimental. Por ejemplo, en la investigación de los equilibrios de los productos de reacción, el voltaje de la celda del electrodo de vidrio (o absorbancia) se controla durante una titulación después de cada adición de un volumen de titulante. Pueden aparecer errores acumulativos en un procedimiento experimental de este tipo. Las mediciones instrumentales a menudo están sujetas a un error relativo constante.

De modo que la varianza de la variable medida y es proporcional al cuadrado del valor de la función F(X, β),

La error total εI luego se expresa por

dónde vI representa el Error de medición y tuj es el error de proceso. Errores de proceso vI son causadas por fluctuaciones en las condiciones experimentales como temperatura, presión, pureza de los reactivos, etc., y son acumulativas. El error total εI expresado por Eq. (8.14) es, por tanto, aditivo.

Para encontrar un criterio adecuado para la regresión y hacer un análisis estadístico, la distribución de las cantidades aleatorias yI. debe ser determinado. Esta distribución está estrechamente relacionada con la distribución de errores εI dado por la función de densidad de probabilidad pagε(ε). Esta función depende de parámetros de distribución como la varianza σ 2, etc.

En problemas quimiométricos, se supone que la distribución del error es unimodal y simétrica, con el máximo en mi(ε) = 0. A menudo se asume, pero falsamente, que los errores de medición εI son mutuamente independientes. La función de densidad de probabilidad puntual pagε(ε) viene dado por el producto de la marginal densidades pagε(εI)

Varias distribuciones, incluidas las normales, rectangulares, de Laplace y trapezoidales, pueden expresarse mediante la función de densidad de probabilidad.

dónde Qnorte es la constante de normalización y α es un parámetro proporcional a la varianza. Si pag = 1, la distribución resultante es Laplace. Cuándo p = 2, la distribución es normal y cuando pag∞, rectangular. La desventaja de describir la distribución pagε(εI) por Eq. (8.16) es que para pag & lt 2, en la vecindad de origen, la distribución no es cuadrática localmente. Por lo tanto, se utilizan funciones de densidad de probabilidad alternativas, como la distribución de Student generalizada [4],

En algunos casos, los errores no son independientes sino que se caracterizan por una matriz de covarianza de errores. Cε. Cuando los errores εI provienen de una distribución simétrica y unimodal con la media E (ε) = 0, la función de densidad de probabilidad se elige de una clase de distribuciones elípticas

dónde Qnorte es el coeficiente de normalización, B es la matriz de covarianza de errores Cε y h(•) es una función positiva definida en el intervalo [0, ∞] con momentos finitos hasta (norte + 1). La distribución más utilizada es la distribución normal multivariante, N (0, Cε), que para h(X) = exp (−0,5X 2) da la función de densidad de probabilidad

También es posible utilizar la distribución multivariada de Laplace, Student u otras distribuciones [4],

La forma de la matriz de covarianza de errores. Cε depende del tipo de dependencia del error. Un ejemplo simple es el caso de la heterocedasticidad, cuando los errores son mutuamente independientes pero tienen una varianza no constante. mi(ε1 2 ) = σI 2. La matriz Cε es entonces diagonal con los elementos σI 2 en una diagonal y la función de densidad de probabilidad (8.17) se transforma en la ecuación. (8.15). Para otros tipos de autocorrelación, la matriz Cε no es diagonal y su fuera de diagonal elementos Cij corresponden a la covarianza entre εI y εj, Cij = EI, εj).

Problema 8.6 Matriz de covarianza de errores para una combinación de errores de medición y errores de proceso

Derivar la matriz de covarianza de errores para un caso cuando los errores εI resultado de errores de medición vI y procesar errores tuI según Eq. (8.14). Haga las siguientes suposiciones:

los errores del proceso tuj y errores de medida vI son mutuamente independientes, mi(tuj vI) = 0

Solución: La ecuación (8.14) se reescribe como

dónde wj. es el error total al cambiar de (yo - 1) el estado al Ith estado. Este error tiene media cero mi(wI) = 0 pero varianza no constante, τI 2 = σ 2 + σ0 2 F 2 (XI, β). De la ecuación. (8.19a), los errores individuales εI. puede estar escrito en la forma

dónde A es la matriz triangular inferior de unos, en y debajo de la diagonal principal

La matriz de covarianza de errores Cε es dado por

dónde mi(w w T) = V es la matriz de covarianza de errores w.

Con las suposiciones dadas, los errores wI son independientes para que V es la matriz diagonal con elementos en la diagonal Vii = τI 2. Sustitución en Eq. (8,20) resulta en

con el elemento general de esta matriz de covarianza C ij = ∑ j = 1 k τ j 2 donde k - = min (I, j).

Conclusión: El conocimiento de la composición del error es importante en la construcción de matrices de covarianza.

Si conocemos la función de densidad de probabilidad puntual de los errores de medición (ε) o las densidades marginales (εI) podemos determinar la densidad de probabilidad pag(y) o pag(yI) a partir de la expresión de la densidad de probabilidad para una función de una variable aleatoria.

En el caso de errores aleatorios independientes ε

dónde ZI - 1 (.) Denota la inversa de la función Z (.). Para el modelo aditivo de medidas [Eq. (8.11)] se puede escribir la siguiente función ZI − 1 (.) = yIF(XI, β) con la derivada ∂ Z i - 1. ∂ y yo = 1. Sustitución en Eq. (8.22) da

Por tanto, se puede concluir que el modelo aditivo no provoca deformaciones en la distribución de las magnitudes medidas con respecto a la distribución del error. En el caso del modelo multiplicativo de medidas [Eq. (8.12)], la ecuación obtenida es ZI - 1 (.) = Ln yI - en F(XI, β) con la derivada ∂ Z i - 1. ∂ y i = 1 y i donde solo valores positivos de la variable medida y están permitidos. Sustitución en Eq. (8.22) da

La densidad de probabilidad obtenida no se corresponde con la densidad de probabilidad de los errores pagε (.).

Problema 8.7 Distribución de la variable y para errores combinados ε

Determinar la distribución del vector de variables medidas. y, para un caso de errores combinados (8.14) suponiendo que los errores ε tienen distribución normal multivariante norte(0, Cε) y el modelo aditivo de medidas es válido.

Solución: Según Eq. (8.23), la función de densidad de probabilidad pagt(ε) se define para una matriz de covarianza general de errores Cε en la ecuación. (8,18). Es necesario evaluar det (Cε) y Cε - 1 para Cε definido por Eq. (8.21). Si Cε = AVA T, entonces su inverso es

De la ecuación. (8.20), la matriz A −1 es

La matriz bidiagonal A −1 es una matriz con una diagonal y una banda inferior a la diagonal. Dado que la matriz V es diagonal, la matriz V −1 también es diagonal con elementos τI - 2 en diagonal. Sustituyendo en la ecuación. (8.25) conduce a

Esta matriz es una matriz tridiagonal. Su det determinante (Cε) se calcula a partir de la Ec. (8,21)

Conclusión: La función de densidad de probabilidad conjunta de un vector y es, de acuerdo con las Ecs. (8.18) y (8.23), dados por la expresión

donde el vector F contiene los elementos F(XI, β), I = 1, …, norte. La variable y también tiene una distribución normal multivariante con la misma matriz de errores de covarianza que Cε.

De una encuesta de modelos de error, se sigue de condiciones experimentales y suposiciones sobre varios tipos de errores, que la distribución de la variable medida y puede ser derivado. En las mediciones realizadas en un laboratorio químico, la mayoría de los errores observados tienen la distribución normal y siguen el modelo aditivo de errores. Cualquier diferencia se caracteriza por la matriz de covarianza. Cε, que puede contener solo elementos diagonales o, además, elementos fuera de la diagonal.


Capítulo 1

Elija la sección del capítulo en el menú, arriba, o haga clic a continuación:

Introducción al Capítulo 1 Sistemas de numeración y bases alternativas

Segundo. 1.1 Introducción a los sistemas de numeración aditiva, multiplicativa y de valor posicional Números chinos y egipcios El ábaco Árabe hindú Disipando los mitos matemáticos Contando niños

Segundo. 1.2 El sistema numérico maya, valor posicional en base 20 y 10

Proyecto 1 Cree su propio sistema numérico

Secta. 1.3 Suma y resta en el sistema de numeración egipcio combinando términos semejantes en álgebra Suma y resta de bloques de base diez como suma de sumas parciales “comerciales”

Segundo. 1.4 Bloques en otras bases Conversión entre base diez y otros juegos de conteo de bases

Segundo. 1.5 El sistema numérico babilónico profundiza nuestra comprensión del valor posicional

Segundo. 1.6 Sumar y restar en bases Entender sumar y restar en base diez

Segundo. 1.7 Métodos alternativos de resta Combinar "términos semejantes" en álgebra El método de Gauss de sumar los números del 1 al 100 Sumar a diez hechos Matemáticas mentales


1.1: Principios aditivos y multiplicativos - Matemáticas

Pronto analizaremos campos, aunque no profundizaremos demasiado en el tema. El estudio de campos puede fácilmente tomar un curso de un año completo. Para el propósito de este curso, solo necesitamos conocer alguna terminología asociada con campos y algunos ejemplos de campos.

Antes de ver las propiedades de un campo, es útil ignorar la resta y la división. En otras palabras, restringimos nuestra atención a la suma y la multiplicación. Para compensar la pérdida, utilizamos las nociones de aditivo inverso y multiplicación inversa. Conocer estas nociones es crucial para comprender cómo podemos tener campos que involucran objetos que no son números.

Hablando libremente, un inverso aditivo de un elemento de campo (a ) es un elemento (b ) tal que (a + b = b + a = 0 ). Resulta que solo existe un inverso aditivo para cada elemento. Por ejemplo, sobre los números racionales, el inverso aditivo de ( frac <2> <5> ) es (- frac <2> <5> ) y el inverso aditivo de (- 5 ) es (5 ).

Para un elemento de campo (a ) no igual a 0, un inverso multiplicativo de (a ) es un elemento (b ) tal que (a cdot b = b cdot a = 1 ). Resulta que solo existe un inverso multiplicativo para cada elemento. Por ejemplo, sobre los números racionales, el inverso multiplicativo de ( frac <2> <5> ) es ( frac <5> <2> ) y el inverso multiplicativo de (- 1 ) es (-1 ).

Quizás ahora vea por qué no hay necesidad de restar o dividir. Podemos reescribir (a - b ) como (a ) más el inverso aditivo de (b ), normalmente denotado por (- b ), y podemos reescribir (a / b ) como (a ) multiplicado por el inverso multiplicativo de (b ), normalmente denotado por (b ^ <-1> ).

Al modelar Lights Out, usamos solo 0 y 1 con reglas aritméticas alteradas: la multiplicación de números es como de costumbre, pero la suma es casi la adición habitual con la excepción de que (1 + 1 = 0. ) Nos referimos al conjunto ( <0,1 > ) con la regla aritmética alterada como (GF (2). ) Note que sobre (GF (2) ), el inverso aditivo de 1 es 1 porque (1 + 1 = 0 ) y el inverso multiplicativo de 1 es 1.

Un ejemplo interesante

Demostramos que el inverso multiplicativo de (3- sqrt <7> ) se puede escribir en la forma (a + b sqrt <7> ) donde (a, b in mathbb).

El requisito de que el inverso multiplicativo se escriba en la forma (a + b sqrt <7> ) donde (a, b in mathbb) hace que nuestra tarea sea más desafiante. La razón es que como (3- sqrt <7> ) es un número real, su inverso multiplicativo es simplemente ( frac <1> <3- sqrt <7>> ). Sin embargo, ( frac <1> <3- sqrt <7>> ) no está en la forma requerida.

Afortunadamente, podemos emplear la técnica de racionalizar el denominador de la siguiente manera: begin frac <1> <3- sqrt <7>> & = & frac <1> <3- sqrt <7>> cdot frac <3+ sqrt <7>> <3+ sqrt < 7 >> & = & frac <3+ sqrt <7>> <3 ^ 2- sqrt <7> ^ 2> & = & frac <3+ sqrt <7>> <9 -7> & = & frac <3+ sqrt <7>> <2> & = & frac <3> <2>+frac<1> <2> sqrt <7> final Tenga en cuenta que ( frac <3> <2>+frac<1> <2> sqrt <7> ) tiene la forma deseada.

Observación. Usando la misma técnica, de hecho se puede mostrar de manera más general que para todo (x, y in mathbb) y primos (p ), si (x + y sqrt

neq 0 ), entonces su inverso multiplicativo se puede escribir como (a + b sqrt

) para algunos (a, b in mathbb).


Contenido

La palabra uno se puede utilizar como sustantivo, adjetivo y pronombre. [3]

Viene de la palabra inglesa un, [3] que proviene de la raíz protogermánica * ainaz. [3] La raíz protogermánica * ainaz proviene de la raíz protoindoeuropea * oi-no-. [3]

Compare la raíz protogermánica * ainaz al frisón viejo un, Gótico ains, Danés en, Holandés een, Alemán eins y nórdico antiguo einn.

Compare la raíz protoindoeuropea * oi-no- (que significa "uno, soltero" [3]) al griego oinos (que significa "as" en los dados [3]), latín unus (uno [3]), persa antiguo aivam, Antiguo eslavo eclesiástico -inu y ino-, Lituano Viena, Irlandés antiguo oin y bretón Naciones Unidas (uno [3]).

Uno, a veces denominado unidad, [4] [1] es el primer número natural distinto de cero. Por tanto, es el número entero después de cero.

Cualquier número multiplicado por uno sigue siendo ese número, ya que uno es la identidad para la multiplicación. Como resultado, 1 es su propio factorial, su propio cuadrado y raíz cuadrada, su propio cubo y raíz cúbica, etc. Uno es también el resultado del producto vacío, ya que cualquier número multiplicado por uno es él mismo. También es el único número natural que no es ni compuesto ni primo con respecto a la división, sino que se considera una unidad (significado de la teoría del anillo).

El glifo que se usa hoy en día en el mundo occidental para representar el número 1, una línea vertical, a menudo con un serif en la parte superior y a veces una línea horizontal corta en la parte inferior, tiene sus raíces en la escritura brahmica de la antigua India, donde estaba una línea vertical simple. Se transmitió a Europa a través del árabe durante la Edad Media.

En algunos países, el serif en la parte superior a veces se extiende en un trazo largo hacia arriba, a veces tan largo como la línea vertical, lo que puede generar confusión con el glifo de siete en otros países. Mientras que el dígito 1 se escribe con un trazo largo hacia arriba, el dígito 7 tiene un trazo horizontal a través de la línea vertical.

Si bien la forma del carácter del dígito 1 tiene un ascendente en la mayoría de los tipos de letra modernos, en los tipos de letra con figuras de texto, el glifo suele tener una altura x, como, por ejemplo, en.

Muchas máquinas de escribir antiguas no tienen un símbolo separado para 1y usa la letra minúscula l en lugar de. Es posible encontrar casos cuando las mayúsculas J se utiliza, aunque puede ser con fines decorativos.

Definiciones

  • en aritmética (álgebra) y cálculo, el número natural que sigue al 0 y el elemento de identidad multiplicativo de los enteros, números reales y números complejos
  • más generalmente, en álgebra, el identidad multiplicativa (también llamado unidad), generalmente de un grupo o un anillo.

Las formalizaciones de los números naturales tienen sus propias representaciones de 1. En los axiomas de Peano, 1 es el sucesor de 0. En Principia Mathematica, se define como el conjunto de todos los singletons (conjuntos con un elemento), y en la asignación cardinal de Von Neumann de números naturales, se define como el conjunto <0>.

En un grupo multiplicativo o monoide, el elemento de identidad a veces se denota 1, pero mi [2] (del alemán Einheit, "unidad") también es tradicional. Sin embargo, 1 es especialmente común para la identidad multiplicativa de un anillo, es decir, cuando también están presentes una suma y un 0. Cuando tal anillo tiene la característica norte no igual a 0, el elemento llamado 1 tiene la propiedad de que norte1 = 1norte = 0 (donde este 0 es la identidad aditiva del anillo). Los ejemplos importantes son los campos finitos.

Por definición, 1 es la magnitud, el valor absoluto o la norma de un número complejo unitario, un vector unitario y una matriz unitaria (más comúnmente llamada matriz identidad). Tenga en cuenta que el término matriz unitaria a veces se usa para significar algo bastante diferente.

Por definición, 1 es la probabilidad de que un evento ocurra de manera absoluta o casi segura.

En la teoría de categorías, 1 se usa a veces para denotar el objeto terminal de una categoría.

En teoría de números, 1 es el valor de la constante de Legendre, que fue introducida en 1808 por Adrien-Marie Legendre al expresar el comportamiento asintótico de la función de conteo de primos. Originalmente se conjeturó que la constante de Legendre era aproximadamente 1.08366, pero se demostró que era exactamente igual a 1 en 1899.

Propiedades

A menudo se hace referencia al recuento como "base 1", ya que solo se necesita una marca, el recuento en sí. Esto se conoce más formalmente como un sistema de numeración unario. A diferencia de la base 2 o la base 10, esta no es una notación posicional.

Dado que la función exponencial de base 1 (1 X ) siempre es igual a 1, su inverso no existe (que se llamaría el logaritmo base 1 si existiera).

Hay dos formas de escribir el número real 1 como decimal recurrente: como 1.000. y como 0,999. . 1 es el primer número figurado de cada tipo, como número triangular, número pentagonal y número hexagonal centrado, por nombrar solo algunos.

En muchos problemas matemáticos y de ingeniería, los valores numéricos suelen normalizado para caer dentro del intervalo unitario de 0 a 1, donde 1 generalmente representa el valor máximo posible en el rango de parámetros. Del mismo modo, los vectores a menudo se normalizan en vectores unitarios (es decir, vectores de magnitud uno), porque a menudo tienen propiedades más deseables. Las funciones, también, a menudo se normalizan con la condición de que tengan uno integral, valor máximo uno o integral cuadrado uno, según la aplicación.

Debido a la identidad multiplicativa, si F(X) es una función multiplicativa, entonces F(1) debe ser igual a 1.

También es el primer y segundo número en la secuencia de Fibonacci (0 es el cero) y es el primer número en muchas otras secuencias matemáticas.

La definición de un campo requiere que 1 no sea igual a 0. Por lo tanto, no hay campos de característica 1. Sin embargo, el álgebra abstracta puede considerar el campo con un elemento, que no es un singleton y no es un conjunto en absoluto.

1 es el dígito inicial más común en muchos conjuntos de datos, una consecuencia de la ley de Benford.

1 es el único número Tamagawa conocido para un grupo algebraico simplemente conectado sobre un campo numérico.

La función generadora que tiene todos los coeficientes 1 está dada por

Esta serie de potencias converge y tiene un valor finito si y solo si | x | & lt 1 < displaystyle | x | & lt1>.

Primordialidad

1 es por convención ni un número primo ni un número compuesto, sino una unidad (significado de la teoría del anillo) como -1 y, en los enteros gaussianos, I yI.

The fundamental theorem of arithmetic guarantees unique factorization over the integers only up to units. For example, 4 = 2 2 , but if units are included, is also equal to, say, (−1) 6 × 1 23 × 2 2 , among infinitely many similar "factorizations".

1 appears to meet the naïve definition of a prime number, being evenly divisible only by 1 and itself (also 1). As such, some mathematicians considered it a prime number as late as the middle of the 20th century, but mathematical consensus has generally and since then universally been to exclude it for a variety of reasons (such as complicating the fundamental theorem of arithmetic and other theorems related to prime numbers).

1 is the only positive integer divisible by exactly one positive integer, whereas prime numbers are divisible by exactly two positive integers, composite numbers are divisible by more than two positive integers, and zero is divisible by all positive integers.

Table of basic calculations

Multiplication 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 50 100 1000
1 × X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 50 100 1000
Division 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 ÷ X 1 0.5 0. 3 0.25 0.2 0.1 6 0. 142857 0.125 0. 1 0.1 0. 09 0.08 3 0. 076923 0.0 714285 0.0 6
X ÷ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Exponentiation 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 X 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
X 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
  • The resin identification code used in recycling to identify polyethylene terephthalate. [5]
  • The ITU country code for the North American Numbering Plan area, which includes the United States, Canada, and parts of the Caribbean.
  • A binary code is a sequence of 1 and 0 that is used in computers for representing any kind of data.
  • In many physical devices, 1 represents the value for "on", which means that electricity is flowing. [6][7]
  • The numerical value of true in many programming languages.
  • 1 is the ASCII code of "Start of Header".
    are also known as quantities of dimension one.
  • 1 is the atomic number of hydrogen.
  • +1 is the electric charge of positrons and protons.
  • Group 1 of the periodic table consists of the alkali metals.
  • Period 1 of the periodic table consists of just two elements, hydrogen and helium.
  • The dwarf planet Ceres has the minor-planet designation 1 Ceres because it was the first asteroid to be discovered.
  • The Roman numeral I often stands for the first-discovered satellite of a planet or minor planet (such as Neptune I, a.k.a. Triton). For some earlier discoveries, the Roman numerals originally reflected the increasing distance from the primary instead.

In the philosophy of Plotinus (and that of other neoplatonists), The One is the ultimate reality and source of all existence. [8] Philo of Alexandria (20 BC – AD 50) regarded the number one as God's number, and the basis for all numbers ("De Allegoriis Legum," ii.12 [i.66]).

The Neopythagorean philosopher Nicomachus of Gerasa affirmed that one is not a number, but the source of number. He also believed the number two is the embodiement of the origin of otherness. His number theory was recovered by Boethius in his Latin translation of the Nichomachus' treatise Introduction to Arithmetic. [9]


Solving for a Variable on One Side Using Multiplication, Addition, and Subtraction

Not all problems only have one thing happening at a time, we often have multiplication and addition. We still add the additive inverse to both sides and multiply both sides by the multiplicative inverse, but which comes first? The following video will show this process:

Remember, when solving for a variable, we use the Order of Operations (PEDMAS), but we go backward instead. In your practice problems, you&rsquore just dealing with Multiplication and Addition/Subtraction, so first you&rsquoll add the additive inverse, then you multiply by the multiplicative inverse.

Additional Resources

Solve for the variable:

  1. (5< ext> + 2 = 12)
  2. (-2< ext> + 1 = 5)
  3. (2< ext> + 9 = -5)
  4. (8< ext><->7 = 17)
  5. (-3< ext> + 14 = -7)
  6. (-5< ext><->29 = 41)
  7. (10< ext><->6 = 24)

Solutions

Where there are several operations within an equation, it is helpful to identify the operations and the order we should do them in.

In this example, there is addition and multiplication.

When solving for a variable, we do the order of operations backward.

The order of operations is as follows:

  1. Parentheses
  2. Exponents
  3. Multiplication & division
  4. Addition and subtraction

Step 1: Going backward we start by undoing the addition and subtraction:

In the equation (5< ext> + 2 = 12) we need to remove the addition of the (+2) from the left-hand side. We do this by adding the additive inverse to both sides. The additive inverse of (+2) is (-2).

The (+2) and (-2) add to zero, so we are left with (5< ext>) on the left side.

The (12) and (-2) add to (10) on the right side.

Step 2: Undo any multiplication or division

The (5) is currently being multiplied to the (< ext>). We need to remove this to get (< ext>) all by itself. We do this by multiplying both sides of the equation by the multiplicative inverse of (5).

The multiplicative inverse of (5) is (frac<1><5>).

Since (frac<1> <5> imes 5 = 1), we are left with (1< ext>). Anything multiplied by (1) is still itself, so (1< ext> = < ext>).

In the previous image, multiplication is written in several different ways.

  • A number and a variable right next to each other without any other operations between them means they are being multiplied together. Ex: (5< ext>)
  • Parentheses are used to show multiplication between the numbers inside the parentheses and the numbers outside the parentheses.
  • A dot is used between the fractions showing they are being multiplied together.
  • The (*) symbol is used within the fraction to show multiplication between the numbers in the fraction.

We now have (< ext>) all by itself on one side of the equal sign. The next step is to simplify the other side of the equal sign.

(left ( 10 ight )left ( frac<1> <5> ight )) is the same as (frac<10><5>=2).

In this example problem, there are two operations going on: multiplication and the addition of a negative number.

We need to unravel our equation in order to get the variable (< ext>) all by itself on one side of the equal sign. We do this by doing the order of operations backward.

Step 1: Do the inverse of any addition or subtraction

In this example, (-7) is being added to (8< ext>).

In order to remove the (-7), we add the additive inverse to both sides.

The additive inverse of (-7) is (+7)

Step 2: Now the only operation on (< ext>) is the multiplication of (8). We isolate (< ext>) by multiplying both sides of the equation by the multiplicative inverse of (8).

Therefore, the multiplicative inverse of (8) is (frac<1><8>).

On the left-hand side of the equal sign:

On the right-hand side of the equal sign:

(left ( frac<1> <8> ight )24 = left ( frac<1> <8> ight )left ( frac<24> <1> ight ) = left ( frac<24> <8> ight ) = 3)


Math 321 Class Notes

An expression involving logical variables that is true for all values is called a .

Definition 2.1.2 .

An expression involving logical variables that is false for all values is called a .

Statements that are not tautologies or contradictions are called .

Definition 2.1.3 .

We say two propositions (p) and (q) are if (p leftrightarrow q) is a tautology. We denote this by (p equiv q ext<.>)

Example 2.1.4 .

Prove the following are equivalent using a truth table.

  1. (displaystyle ( eg p o (q wedge eg q) ) equiv p)
  2. (displaystyle p vee (p wedge q) equiv p )
  3. (displaystyle p vee (q wedge r) equiv (p vee q) wedge (p vee r))
  4. (displaystyle eg(p o q) equiv p wedge eg q)
  5. (displaystyle p o q equiv eg p vee q)
Note 2.1.5 .

We use (p o q equiv eg p vee q) often enough that this has a name. We'll call it

Here's the solution for (( eg p o (q wedge eg q)) equiv p ext<:>) Table 2.1.6 . Showing (( eg p o (q wedge eg q) )leftrightarrow p) is a tautology
(p) (q) ( eg p) (q wedge eg q) ( eg p o (q wedge eg q)) (( eg p o (q wedge eg q)) leftrightarrow p)
T T F F T T
T F F F T T
F T T F F T
F F T F F T
Note 2.1.7 .

The following is a collection of very useful tautologies. Do you need to memorize them? Absolutely!

Table 2.1.8 . Logical Equivalences

Commutative Laws
(p lor qequiv qlor p) (p land qequiv q land p)
Associative Laws
((p lor q) lor r equiv p lor (q lor r)) ((p land q) land requiv p land (q land r))
Distributive Laws
(p land (q lor r) equiv (p land q ) lor (p land r)) (p lor (q land r) equiv (p lor q) land (p lor r))
Identity Laws
(p lor Fequiv p) (p land T equiv p)
Negation Laws
(pland eg pequiv F) (plor eg pequiv T)
Idempotent Laws
(p lor p equiv p) (pland p equiv p)
Domination Laws
(p land F equiv F) (p lor T equiv T)
Absorption Laws
(p land (plor q)equiv p) (p lor (p land q) equiv p)
DeMorgan's Laws
( eg (p lor q) equiv ( eg p) land ( eg q)) ( eg (p land q) equiv ( eg p) lor ( eg q))
Double Negation Law
( eg ( eg p)equiv p)
Implication
(p o q equiv eg p lor q)

Example 2.1.9 .

Use existing logical equivalences from Table 2.1.8 to show the following are equivalent.

  1. (displaystyle p wedge q equiv eg(p o eg q))
  2. (displaystyle (p o r) vee (q o r) equiv (p wedge q) o r)
  3. (displaystyle q o p equiv eg p o eg q)
  4. (displaystyle ( eg p o (q wedge eg q) ) equiv p)
Note 2.1.10 .

This is your first experience with logical proof! It won't be your last. Much of this class is about learning to understand and argue rigorously.

Exercises 2.1.1 Exercises

Determine whether the following two statements are logically equivalent: ( eg(p o q)) and (p wedge eg q ext<.>) Explain how you know you are correct.

Make a truth table for each and compare. The statements are logically equivalent.

Are the statements (p o (qvee r)) and ((p o q) vee (p o r)) logically equivalent?

Let's start with the left-hand side and work towards the right to find out.

which was what we wanted to show.

Use a truth table to show that ((p o q) land (p o r)) and (p o (q land r)) are logically equivalent.

Here's an alternative solution using previous equivalences (not a truth table):

Simplify the following statements (so that negation only appears right before variables).

  1. ( eg(p o eg q) ext<.>)
  2. (( eg p vee eg q) o eg ( eg q wedge r) ext<.>)
  3. ( eg((p o eg q) vee eg (r wedge eg r)) ext<.>)
  1. (p wedge q ext<.>)
  2. (( eg p vee eg r) o (q vee eg r)) or, replacing the implication with a disjunction first: ((p wedge q) vee (q vee eg r) ext<.>)

((p wedge q) wedge (r wedge eg r) ext<.>) This is necessarily false, so it is also equivalent to (p wedge eg p ext<.>)

Either Sam is not a man and Chris is not a woman, or Chris is a woman.

Use De Morgan's Laws, and any other logical equivalence facts you know to simplify the following statements. Show all your steps. Your final statements should have negations only appear directly next to the sentence variables or predicates ((p ext<,>) (q ext<,>) etc.), and no double negations. It would be a good idea to use only conjunctions, disjunctions, and negations.


Forecasting: Principles and Practice (3rd ed)

In the rest of this chapter, we study the statistical models that underlie the exponential smoothing methods we have considered so far. The exponential smoothing methods presented in Table 8.6 are algorithms which generate point forecasts. The statistical models in this section generate the same point forecasts, but can also generate prediction (or forecast) intervals. A statistical model is a stochastic (or random) data generating process that can produce an entire forecast distribution. We will also describe how to use the model selection criteria introduced in Chapter 7 to choose the model in an objective manner.

Each model consists of a measurement equation that describes the observed data, and some state equations that describe how the unobserved components or states (level, trend, seasonal) change over time. Hence, these are referred to as state space models.

For each method there exist two models: one with additive errors and one with multiplicative errors. The point forecasts produced by the models are identical if they use the same smoothing parameter values. They will, however, generate different prediction intervals.

To distinguish between a model with additive errors and one with multiplicative errors (and also to distinguish the models from the methods), we add a third letter to the classification of Table 8.5. We label each state space model as ETS( (cdot,cdot,cdot) ) for (Error, Trend, Seasonal). This label can also be thought of as ExponenTial Smoothing. Using the same notation as in Table 8.5, the possibilities for each component are: Error (=<) A,M (>) , Trend (=<) N,A,A (_d>) and Seasonal (=<) N,A,M (>) .

ETS(A,N,N): simple exponential smoothing with additive errors

Recall the component form of simple exponential smoothing: [egin ext && hat_ & = ell_ ext && ell_ & = alpha y_ + (1 - alpha)ell_. end] If we re-arrange the smoothing equation for the level, we get the “error correction” form, [egin ell_ %&= alpha y_+ell_-alphaell_ &= ell_+alpha( y_-ell_) &= ell_+alpha e_, end] where (e_=y_-ell_=y_-hat_) is the residual at time (t) .

The training data errors lead to the adjustment of the estimated level throughout the smoothing process for (t=1,dots,T) . For example, if the error at time (t) is negative, then (y_t < hat_) and so the level at time (t-1) has been over-estimated. The new level (ell_t) is then the previous level (ell_) adjusted downwards. The closer (alpha) is to one, the “rougher” the estimate of the level (large adjustments take place). The smaller the (alpha) , the “smoother” the level (small adjustments take place).

We can also write (y_t = ell_ + e_t) , so that each observation can be represented by the previous level plus an error. To make this into an innovations state space model, all we need to do is specify the probability distribution for (e_t) . For a model with additive errors, we assume that residuals (the one-step training errors) (e_t) are normally distributed white noise with mean 0 and variance (sigma^2) . A short-hand notation for this is (e_t = varepsilon_tsim ext(0,sigma^2)) NID stands for “normally and independently distributed.”

Then the equations of the model can be written as [egin y_t &= ell_ + varepsilon_t ag<8.3> ell_t&=ell_+alpha varepsilon_t. ag <8.4>end] We refer to (8.3) as the measurement (or observation) equation and (8.4) as the state (or transition) equation. These two equations, together with the statistical distribution of the errors, form a fully specified statistical model. Specifically, these constitute an innovations state space model underlying simple exponential smoothing.

The term “innovations” comes from the fact that all equations use the same random error process, (varepsilon_t) . For the same reason, this formulation is also referred to as a “single source of error” model. There are alternative multiple source of error formulations which we do not present here.

The measurement equation shows the relationship between the observations and the unobserved states. In this case, observation (y_t) is a linear function of the level (ell_) , the predictable part of (y_t) , and the error (varepsilon_t) , the unpredictable part of (y_t) . For other innovations state space models, this relationship may be nonlinear.

The state equation shows the evolution of the state through time. The influence of the smoothing parameter (alpha) is the same as for the methods discussed earlier. For example, (alpha) governs the amount of change in successive levels: high values of (alpha) allow rapid changes in the level low values of (alpha) lead to smooth changes. If (alpha=0) , the level of the series does not change over time if (alpha=1) , the model reduces to a random walk model, (y_t=y_+varepsilon_t) . (See Section 9.1 for a discussion of this model.)

ETS(M,N,N): simple exponential smoothing with multiplicative errors

In a similar fashion, we can specify models with multiplicative errors by writing the one-step-ahead training errors as relative errors [ varepsilon_t = frac<>_>_> ] where (varepsilon_t sim ext(0,sigma^2)) . Substituting (hat_=ell_) gives (y_t = ell_+ell_varepsilon_t) and (e_t = y_t - hat_ = ell_varepsilon_t) .

Then we can write the multiplicative form of the state space model as [egin y_t&=ell_(1+varepsilon_t) ell_t&=ell_(1+alpha varepsilon_t). end]

ETS(A,A,N): Holt’s linear method with additive errors

For this model, we assume that the one-step-ahead training errors are given by (varepsilon_t=y_t-ell_-b_ sim ext(0,sigma^2)) . Substituting this into the error correction equations for Holt’s linear method we obtain [egin y_t&=ell_+b_+varepsilon_t ell_t&=ell_+b_+alpha varepsilon_t b_t&=b_+eta varepsilon_t, end] where for simplicity we have set (eta=alpha eta^*) .

ETS(M,A,N): Holt’s linear method with multiplicative errors

Specifying one-step-ahead training errors as relative errors such that [ varepsilon_t=frac<>+b_)><(ell_+b_)> ] and following an approach similar to that used above, the innovations state space model underlying Holt’s linear method with multiplicative errors is specified as [egin y_t&=(ell_+b_)(1+varepsilon_t) ell_t&=(ell_+b_)(1+alpha varepsilon_t) b_t&=b_+eta(ell_+b_) varepsilon_t, end]

where again (eta=alpha eta^*) and (varepsilon_t sim ext(0,sigma^2)) .

Other ETS models

In a similar fashion, we can write an innovations state space model for each of the exponential smoothing methods of Table 8.6. Table 8.7 presents the equations for all of the models in the ETS framework.


Ver el vídeo: Principio Aditivo y Multiplicativo. (Octubre 2021).