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10.1: Descripción general - Matemáticas


La matriz exponencial es un medio poderoso para representar la solución de nn ecuaciones diferenciales lineales de coeficiente constante. El problema de valor inicial para tal sistema puede escribirse

[x ′ (t) = Ax (t) nonumber ]

[x (0) = x_ {0} nonumber ]

donde (A ) es la matriz de coeficientes n-por-n. Por analogía con el caso de 1 por 1, podríamos esperar

[x (t) = e ^ {At} u nonumber ]

sostener. Nuestras expectativas se cumplen si definimos correctamente (e ^ {At} ). ¿Ves por qué simplemente exponenciar cada elemento de (At ) no es suficiente?

Hay al menos 4 enfoques distintos (pero por supuesto equivalentes) para definir correctamente (e ^ {At} ). Los dos primeros son análogos naturales del caso de una sola variable, mientras que los dos últimos hacen uso de una maquinaria de álgebra matricial más pesada.

  1. La matriz exponencial como límite de poderes
  2. La matriz exponencial como suma de potencias
  3. La matriz exponencial a través de la transformada de Laplace
  4. La matriz exponencial a través de valores propios y vectores propios

Visite cada uno de estos módulos para ver la definición y algunos ejemplos.

Para una aplicación concreta de estos métodos a un sistema dinámico real, visite el módulo Mass-Spring-Damper.

Independientemente del enfoque, se puede demostrar que la matriz exponencial obedece a las 3 hermosas propiedades

  1. ( frac {d} {dt} (e ^ {At}) = Ae ^ {At} = e ^ {At} A )
  2. (e ^ {A (t_ {1} + t_ {2})} = e ^ {At_ {1}} e ^ {At_ {2}} )
  3. (e ^ {At} ) no es singular y ((e ^ {At}) ^ {- 1} = e ^ {- (At)} )

Confirmemos cada uno de estos en el conjunto de ejemplos utilizados en los submódulos.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Si

[A = begin {pmatrix} {1} & {0} {0} & {2} end {pmatrix} nonumber ]

luego

[e ^ {At} = begin {pmatrix} {e ^ t} & {0} {0} & {e ^ {2t}} end {pmatrix} nonumber ]

  1. ( frac {d} {dt} (e ^ {At}) = begin {pmatrix} {e ^ t} & {0} {0} & {e ^ {2t}} end {pmatrix} = begin {pmatrix} {1} & {0} {0} & {2} end {pmatrix} begin {pmatrix} {e ^ t} & {0} {0} & {e ^ {2t}} end {pmatrix} )
  2. ( begin {pmatrix} {e ^ {t_ {1} + t_ {2}}} & {0} {0} & {e ^ {2t_ {1} + 2t_ {2}}} end { pmatrix} = begin {pmatrix} {e ^ {t_ {1}} e ^ {t_ {2}}} & {0} {0} & {e ^ {2t_ {1}} e ^ {2t_ { 2}}} end {pmatrix} = begin {pmatrix} {e ^ {t_ {1}}} & {0} {0} & {e ^ {2t_ {1}}} end {pmatrix} begin {pmatrix} {e ^ {t_ {2}}} & {0} {0} & {e ^ {2t_ {2}}} end {pmatrix} )
  3. ((e ^ {At}) ^ {- 1} = begin {pmatrix} {e ^ {- t}} & {0} {0} & {e ^ {- (2t)}} end {pmatrix} = e ^ {- (At)} )

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Si

[A = begin {pmatrix} {0} & {1} {-1} & {0} end {pmatrix} nonumber ]

luego

[e ^ {At} = begin {pmatrix} { cos (t)} & { sin (t)} {- sin (t)} & { cos (t)} end {pmatrix } sin número]

  1. ( frac {d} {dt} (e ^ {At}) = begin {pmatrix} {- sin (t)} & { cos (t)} {- cos (t)} & {- sin (t)} end {pmatrix} ) y (Ae ^ {At} = begin {pmatrix} {- sin (t)} & { cos (t)} {- cos (t)} & {- sin (t)} end {pmatrix} )
  2. Reconocerá esta declaración como una identidad de activación básica ( begin {pmatrix} { cos (t_ {1} + t_ {2})} & { sin (t_ {1} + t_ {2})} {- sin (t_ {1} + t_ {2})} & { cos (t_ {1} + t_ {2})} end {pmatrix} = begin {pmatrix} { cos (t_ {1 })} & { sin (t_ {1})} {- sin (t_ {1})} & { cos (t_ {1})} end {pmatrix} begin {pmatrix} { cos (t_ {2})} & { sin (t_ {2})} {- sin (t_ {2})} & { cos (t_ {2})} end {pmatrix} )
  3. ((e ^ {At}) ^ {- 1} = begin {pmatrix} { cos (t)} & {- sin (t)} { sin (t)} & { cos ( t)} end {pmatrix} = begin {pmatrix} { cos (-t)} & {- sin (-t)} { sin (-t)} & { cos (-t) } end {pmatrix} = e ^ {- (En)} )

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Si

[A = begin {pmatrix} {0} & {1} {0} & {0} end {pmatrix} nonumber ]

luego

[e ^ {At} = begin {pmatrix} {1} & {t} {0} & {1} end {pmatrix} nonumber ]

  1. ( frac {d} {dt} (e ^ {At}) = begin {pmatrix} {0} & {1} {0} & {0} end {pmatrix} = Ae ^ {At} )
  2. ( begin {pmatrix} {1} & {t_ {1} + t_ {2}} {0} & {1} end {pmatrix} = begin {pmatrix} {1} & {t_ {1 }} {0} & {1} end {pmatrix} begin {pmatrix} {1} & {t_ {2}} {0} & {1} end {pmatrix} )
  3. ( begin {pmatrix} {1} & {t} {0} & {1} end {pmatrix} ^ {- 1} = begin {pmatrix} {1} & {- t} { 0} & {1} end {pmatrix} = e ^ {- At} )

Por qué funciona la auto atención de múltiples cabezas: matemáticas, intuiciones y conocimientos ocultos 10 + 1

Este artículo está dirigido a personas curiosas que quieran comprender realmente por qué y cómo funciona la auto-atención. Antes de implementar, o simplemente explicar un nuevo artículo elegante con transformadores, pensé que sería interesante presentar varias perspectivas sobre el mecanismo de atención.

Después de estudiar este tema durante un par de meses encontré muchas intuiciones ocultas que pueden dar sentido al basado en contenido mecanismo de atención.

¿Por qué me tomo el tiempo para analizar más a fondo la auto-atención?

En primer lugar, porque no pude encontrar respuestas sencillas a mi pregunta obvia de por qué funciona la auto-atención de múltiples cabezas. En segundo lugar, porque muchos de los principales investigadores, como hadamaru de Google Brain, lo consideran la fórmula más importante después de 2018:

Curiosamente, hay dos tipos de cálculos paralelos ocultos dentro de la auto-atención:

por lotes incrustando vectores en la matriz de consulta

introduciendo la atención de múltiples cabezas.

Analizaremos ambos. Más importante aún, intentaré ofrecer diferentes perspectivas en cuanto a por qué ¡La autoatención de varios cabezales funciona!

Visite mis artículos introductorios sobre atención y transformadores para obtener una descripción general de alto nivel o nuestra biblioteca de código abierto para implementaciones.

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Cada unidad ofrecerá dos componentes para ayudar a que las unidades de matemáticas sean significativas y atractivas para todo el grupo, grupos pequeños o lecciones individuales. Este plan de estudios le da al maestro flexibilidad y libertad para reorganizar las unidades para adaptarse a las necesidades de sus estudiantes. Dado que hay tantas páginas de práctica y centros en cada unidad, el maestro puede usar muchas de las páginas y centros como una revisión en espiral a medida que avanza el año. Las actividades más desafiantes serían las más adecuadas para este tipo de enfoque.

Los estándares de nivel de grado para cada página de práctica y centro están claramente indicados en la Hoja de estándares de matemáticas de jardín de infantes. Por lo tanto, no tiene que adivinar qué estándar se está cubriendo. Es un alivio SABER con certeza que TODAS se están cubriendo las normas. Este tipo de recurso facilita que el maestro o el educador en el hogar complementen su plan de estudios de matemáticas actual o implementen estas unidades como un nuevo plan de estudios.

A continuación, puede ver cómo se corresponde cada página con los estándares de nivel de grado para kindergarten. Una vez que haya cubierto las páginas específicas de un estándar con las páginas de práctica NO PREP, ahora puede consultar la página de estándares para los centros. En contraste con un plan de lección escrito palabra por palabra, este plan de estudios de matemáticas permite flexibilidad, dando al maestro control del alcance y la secuencia.


Referencias

Bardelle, C. y di Martino, P. (2012). E-learning en la transición secundaria-terciaria en matemáticas: ¿con qué propósito? ZDM — Revista internacional de educación matemática, 44(6), este tema.

Borba, M. C. (2005). Humanos-con-medios: Transformando la comunicación en el aula. En A. Chronaki & amp I. M. Christiansen (Eds.), Perspectivas desafiantes sobre la comunicación en el aula de matemáticas. Estados Unidos: Information Age Publishing Inc.

Borba, M. C. (2009). Posibles escenarios para el uso de Internet en el aula de matemáticas. ZDM — Revista internacional de educación matemática, 41, 453–465.

Borba, M. C. (2012). Humanos con medios y educación continua para profesores de matemáticas en entornos online. ZDM — Revista internacional de educación matemática, 44(6), este tema.

Borba, M. C. y Gadanidis, G. (2008). Comunidades virtuales y redes de profesores de matemáticas en ejercicio: el papel de la tecnología en la colaboración. En K. Krainer y T. Wood (Eds.), Participantes en la formación de profesores de matemáticas (págs. 181-206). Rotterdam: Sentido.

Borba, M. C., Clarkson, P. y Gadanidis, G. (en prensa). Aprender con el uso de Internet. En M. A. (Ken) Clements et al. (Eds.), Tercer manual internacional de educación matemática. Manuales internacionales de educación de Springer (Vol. 27). Nueva York: Springer.

Borba, M. C., Malheiros, A. P. S. y Zulatto, R. B. A. (2010). Educación a distancia en línea. Rotterdam: Sense Publishers.

Borba, M. C. y Villarreal, M. E. (2005). Humanos-con-medios y la reorganización del pensamiento matemático: tecnologías de la información y la comunicación, modelado, visualización y experimentación. Nueva York: Springer Science.

Clark, D., Sampson, V., Weinberger, A. y Erkens, G. (2007). Marcos analíticos para evaluar la argumentación dialógica en entornos de aprendizaje en línea. Revisión de psicología educativa, 19, 343–374.

Clay, E., Silverman, J. y Fisher, D. J. (2012). Comprender la colaboración asincrónica en línea en la formación de profesores de matemáticas. ZDM — Revista internacional de educación matemática, 44(6), este tema.

Engelbrecht, J. y Harding, A. (2005). Enseñanza de matemáticas de pregrado en Internet. Estudios Educativos en Matemáticas, 58(2), 235–252.

Fernández, C., Llinares, S. y Valls, J. (2012). Aprender a notar el pensamiento matemático de los estudiantes a través de discusiones en línea. ZDM — Revista internacional de educación matemática, 44(6), este tema.

Fernández, C., Llinares, S. y Valls, J. (2013). Los profesores de primaria notan el pensamiento matemático de los estudiantes en la resolución de problemas. El entusiasta de las matemáticas, 10(1 y amp2), 37–63. (en prensa)

Gadanidis, G. y Geiger, V. (2010). Una perspectiva social sobre el aprendizaje matemático mejorado por la tecnología: de la colaboración al desempeño. ZDM — Revista internacional de educación matemática, 42(1), 91–104.

Goos, M. y Bennison, A. (2008). Desarrollar una identidad comunitaria como profesores principiantes de matemáticas: surgimiento de una comunidad de práctica en línea. Journal of Mathematics Teacher Education, 11(1), 41–60.

Goos, M. y Geiger, V. (2012). Conectando perspectivas sociales sobre la formación de profesores de matemáticas en entornos en línea. ZDM — Revista internacional de educación matemática, 44(6), este tema.

Gracias, T. A. S. (2003). A Natrureza da Reorganização do Pensamento em um Curso a Distância sobre “Tendências em Educação Matemática” [La naturaleza de la reorganización del pensamiento en un curso a distancia sobre "tendencias en la educación matemática"]. Tesis de Doctorado, Universidad Estatal de Sao Paulo en Rio Claro, UNESP, Brasil.

Gueudet, G., Sacristán, A. I., Soury-Lavergne, S. y Trouche, L. (2012). Rutas en línea en la formación de profesores de matemáticas: nuevos recursos y nuevas habilidades para los formadores de profesores. ZDM — Revista internacional de educación matemática, 44(6), este tema.

Hoyos, V. (2012). Educación en línea para profesores de secundaria en servicio e incorporación de tecnología matemática en el aula. ZDM — Revista internacional de educación matemática, 44(6), este tema.

Kynigos, C. y Kalogeria, E. (2012). Traspaso de fronteras a través de la formación de profesores de matemáticas en línea en servicio: el caso de escenarios y micromundos a medias. ZDM — Revista internacional de educación matemática, 44(6), este tema.

Li, Y. y amp Qi, Ch. (2011). Colaboración en el estudio en línea para mejorar la experiencia de los maestros en el diseño instruccional en matemáticas. ZDM — Revista internacional de educación matemática, 43(6–7), 833–845.

Llinares, S. y Olivero, F. (2008). Comunidades virtuales de futuros profesores de matemáticas: tecnologías, interacciones y nuevas formas de discurso. En K. Krainer y T. Wood (Eds.), Participantes en la formación de profesores de matemáticas (págs. 155-180). Rotterdam: Sentido.

Llinares, S. y Valls, J. (2009). La construcción del conocimiento de los futuros maestros de primaria sobre la enseñanza de las matemáticas: estudios de casos de interacción y videos en línea. Ciencia instruccional, 37, 247–271.

Maltempi, M. V. y Malheiros, A. P. S. (2010). Educación matemática a distancia en línea en Brasil: investigación, práctica y política. ZDM — Revista internacional de educación matemática, 42(3–4), 291–303.

Penalva, M. C., Rey, C. y Llinares, S. (2011). Identidad y aprendizaje de estudiantes de psicopedagogía. Análisis en un contexto b-learning en didáctica de la matemática. Análisis en un entorno b-learning de educación matemática. Revista Española de Pedagogía, 248 (enero – abril), 101–118.

Roig, A. I., Llinares, S. y Penalva, M. C. (2011). Estructuras argumentativas de estudiantes para profesores de matemáticas en un entorno en línea. Educación Matemática, 23(3), 39–65.

Rosa, M. y Lerman, S. (2011). Investigando la educación matemática en línea: abriendo un espacio para las identidades virtuales de los estudiantes. Estudios Educativos en Matemáticas, 78(1), 69–90.

Santos, S. C. (2006). A Produção Matemática em uma ambiente virtual de aprendizagem: O caso da geometria euclidiana especial [Producción matemática en un entorno virtual de aprendizaje: el caso de la geometría espacial euclidiana]. Tesis de Maestría, Universidad Estatal de Sao Paulo, Rio Claro, SP, Brasil.

Schellens, T. y Valcke, M. (2004). Fomento de la construcción de conocimiento en estudiantes universitarios a través de grupos de discusión asincrónicos. Computadoras y educación de amplificador, 46, 349–370.

Stahl, G. (2009). Estudiar equipos de matemáticas virtuales. Nueva York, NY: Springer Press.

Toulmin, S. E. (2003). Los usos del argumento. Londres: Cambridge University Press.

Veerman, A. L., Andriesen, J. E. B. y Kanselaar, G. (2000). Aprendizaje de la discusión electrónica sincrónica. Computadoras y educación de amplificador, 34, 269–290.

Wenger, E. (1998). Comunidades de Practica. Aprendizaje, significado e identidad. Nueva York: Cambridge University Press.


Contenido

El procedimiento para resolver ecuaciones lineales simultáneas ahora llamado eliminación gaussiana aparece en el capítulo ocho del antiguo texto matemático chino: Matrices rectangulares de Los nueve capítulos sobre el arte matemático. Su uso se ilustra en dieciocho problemas, con dos a cinco ecuaciones. [4]

Los sistemas de ecuaciones lineales surgieron en Europa con la introducción en 1637 por René Descartes de las coordenadas en geometría. De hecho, en esta nueva geometría, ahora llamada geometría cartesiana, las líneas y los planos se representan mediante ecuaciones lineales, y calcular sus intersecciones equivale a resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Los primeros métodos sistemáticos para resolver sistemas lineales usaban determinantes, considerados por primera vez por Leibniz en 1693. En 1750, Gabriel Cramer los usó para dar soluciones explícitas de sistemas lineales, ahora llamada regla de Cramer. Más tarde, Gauss describió con más detalle el método de eliminación, que inicialmente fue catalogado como un avance en geodesia. [5]

En 1844, Hermann Grassmann publicó su "Teoría de la extensión", que incluía nuevos temas fundamentales de lo que hoy se llama álgebra lineal. En 1848, James Joseph Sylvester introdujo el término matriz, que es latín para matriz.

El álgebra lineal creció con las ideas anotadas en el plano complejo. Por ejemplo, dos números w y z en C < displaystyle mathbb > tener una diferencia wzy los segmentos de línea w z ¯ < displaystyle < overline >> y 0 (w - z) ¯ < displaystyle < overline <0 (w-z) >>> tienen la misma longitud y dirección. Los segmentos son equipollentes. El sistema de cuatro dimensiones H < displaystyle mathbb > de cuaterniones se inició en 1843. El término vector fue introducido como v = X yo + y j + z k representa un punto en el espacio. La diferencia del cuaternión pagq también produce un segmento equipollente ap q ¯. < Displaystyle < overline >.> Otros sistemas numéricos hipercomplejos también usaban la idea de un espacio lineal con una base.

Arthur Cayley introdujo la multiplicación de matrices y la matriz inversa en 1856, haciendo posible el grupo lineal general. El mecanismo de representación de grupos se hizo disponible para describir números complejos e hipercomplejos. Fundamentalmente, Cayley usó una sola letra para denotar una matriz, tratando así una matriz como un objeto agregado. También se dio cuenta de la conexión entre matrices y determinantes, y escribió "Habría muchas cosas que decir sobre esta teoría de matrices que, me parece, debería preceder a la teoría de determinantes". [5]

Benjamin Peirce publicó su Álgebra asociativa lineal (1872), y su hijo Charles Sanders Peirce ampliaron el trabajo más tarde. [6]

El telégrafo requería un sistema explicativo, y la publicación de 1873 de Tratado sobre electricidad y magnetismo instituyó una teoría de campo de fuerzas y requirió geometría diferencial para la expresión. El álgebra lineal es geometría diferencial plana y sirve en espacios tangentes a las variedades. Las simetrías electromagnéticas del espacio-tiempo se expresan mediante las transformaciones de Lorentz, y gran parte de la historia del álgebra lineal es la historia de las transformaciones de Lorentz.

La primera definición moderna y más precisa de un espacio vectorial fue introducida por Peano en 1888 [5] hacia 1900, había surgido una teoría de transformaciones lineales de espacios vectoriales de dimensión finita. El álgebra lineal tomó su forma moderna en la primera mitad del siglo XX, cuando muchas ideas y métodos de siglos anteriores se generalizaron como álgebra abstracta. El desarrollo de las computadoras condujo a una mayor investigación en algoritmos eficientes para la eliminación de Gauss y la descomposición de matrices, y el álgebra lineal se convirtió en una herramienta esencial para el modelado y las simulaciones. [5]

Hasta el siglo XIX, el álgebra lineal se introdujo a través de sistemas de ecuaciones lineales y matrices. En las matemáticas modernas, la presentación a través de espacios vectoriales generalmente se prefiere, ya que es más sintético, más general (no limitado al caso de dimensión finita) y conceptualmente más simple, aunque más abstracto.

Un espacio vectorial sobre un campo. F (a menudo el campo de los números reales) es un conjunto V equipado con dos operaciones binarias que satisfacen los siguientes axiomas. Elementos de V son llamados vectores, y elementos de F son llamados escalares. La primera operación, Suma de vectores, toma dos vectores cualesquiera v y w y genera un tercer vector v + w . La segunda operación, multiplicación escalar, toma cualquier escalar a y cualquier vector v y genera un nuevo vector av . Los axiomas que deben satisfacer la suma y la multiplicación escalar son los siguientes. (En la lista a continuación, tu, v y w son elementos arbitrarios de V , y a y B son escalares arbitrarios en el campo F .) [7]

Axioma Significación
Asociatividad de la adición tu + (v + w) = (tu + v) + w
Conmutatividad de la suma tu + v = v + tu
Elemento de identidad de la suma Existe un elemento 0 en V , llamó al vector cero (o simplemente cero), tal que v + 0 = v para todos v en V .
Elementos inversos de suma Para cada v en V , existe un elemento -v en V , llamó al aditivo inverso de v , tal que v + (−v) = 0
Distributividad de la multiplicación escalar con respecto a la suma de vectores a(tu + v) = atu + av
Distributividad de la multiplicación escalar con respecto a la suma de campos (a + B)v = av + Bv
Compatibilidad de la multiplicación escalar con la multiplicación de campos a(Bv) = (ab)v [a]
Elemento de identidad de la multiplicación escalar 1v = v , donde 1 denota la identidad multiplicativa de F.

Los primeros cuatro axiomas significan que V es un grupo abeliano en adición.

Un elemento de un espacio vectorial específico puede tener diversa naturaleza, por ejemplo, podría ser una secuencia, una función, un polinomio o una matriz. El álgebra lineal se ocupa de las propiedades de dichos objetos que son comunes a todos los espacios vectoriales.

Mapas lineales Editar

Mapas lineales son mapeos entre espacios vectoriales que preservan la estructura del espacio vectorial. Dados dos espacios vectoriales V y W sobre un campo F, un mapa lineal (también llamado, en algunos contextos, transformación lineal o mapeo lineal) es un mapa

que sea compatible con la suma y la multiplicación escalar, es decir

para cualquier vector tu,v en V y escalar a en F.

Esto implica que para cualquier vector tu, v en V y escalares a, B en F, uno tiene

Cuándo V = W son el mismo espacio vectorial, un mapa lineal T: V → V < displaystyle T: V to V> también se conoce como operador lineal en V.

Un mapa lineal biyectivo entre dos espacios vectoriales (es decir, cada vector del segundo espacio está asociado exactamente con uno en el primero) es un isomorfismo. Debido a que un isomorfismo conserva la estructura lineal, dos espacios vectoriales isomorfos son "esencialmente iguales" desde el punto de vista del álgebra lineal, en el sentido de que no pueden distinguirse mediante el uso de propiedades del espacio vectorial. Una pregunta esencial en álgebra lineal es probar si un mapa lineal es un isomorfismo o no y, si no es un isomorfismo, encontrar su rango (o imagen) y el conjunto de elementos que se asignan al vector cero, llamado núcleo. del mapa. Todas estas cuestiones se pueden resolver utilizando la eliminación gaussiana o alguna variante de este algoritmo.

Subespacios, tramo y base Editar

El estudio de aquellos subconjuntos de espacios vectoriales que son en sí mismos espacios vectoriales bajo las operaciones inducidas es fundamental, al igual que para muchas estructuras matemáticas. Estos subconjuntos se denominan subespacios lineales. Más precisamente, un subespacio lineal de un espacio vectorial V sobre un campo F es un subconjunto W de V tal que tu + v y atu están en W, para cada tu , v en W, y cada a en F. (Estas condiciones son suficientes para implicar que W es un espacio vectorial).

Por ejemplo, dado un mapa lineal T: V → W < displaystyle T: V to W>, la imagen T(V) de V, y la imagen inversa T −1 (0) de 0 (llamado núcleo o espacio nulo), son subespacios lineales de W y V, respectivamente.

Otra forma importante de formar un subespacio es considerar combinaciones lineales de un conjunto S de vectores: el conjunto de todas las sumas

dónde v1, v2, . vk están en S, y a1, a2, . ak están en forma F un subespacio lineal llamado el lapso de S. El lapso de S también es la intersección de todos los subespacios lineales que contienen S. En otras palabras, es el subespacio lineal (el más pequeño para la relación de inclusión) que contiene S.

Un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno está en el intervalo de los demás. De manera equivalente, un conjunto S de vectores es linealmente independiente si la única forma de expresar el vector cero como una combinación lineal de elementos de S es tomar cero para cada coeficiente a i. < Displaystyle a_.>

Un conjunto de vectores que abarca un espacio vectorial se denomina conjunto de expansión o conjunto generador. Si un conjunto de expansión S es linealmente dependiente (que no es linealmente independiente), entonces algún elemento w de S está en el intervalo de los otros elementos de S, y el intervalo permanecería igual si se eliminara w de S. Uno puede continuar eliminando elementos de S hasta obtener un conjunto de expansión linealmente independiente. Un conjunto linealmente independiente que abarca un espacio vectorial V se llama base de V . La importancia de las bases radica en el hecho de que hay juntos grupos electrógenos mínimos y grupos independientes máximos. Más precisamente, si S es un conjunto linealmente independiente y T es un conjunto de expansión tal que S ⊆ T, < displaystyle S subseteq T,> entonces existe una base B tal que S ⊆ B ⊆ T.

Dos bases cualesquiera de un espacio vectorial V tienen la misma cardinalidad, que se llama la dimensión de V este es el teorema de la dimensión para espacios vectoriales. Además, dos espacios vectoriales sobre el mismo campo F son isomorfos si y solo si tienen la misma dimensión. [8]

Si alguna base de V (y por lo tanto cada base) tiene un número finito de elementos, V es un espacio vectorial de dimensión finita. Si U es un subespacio de V , luego atenuar U ≤ tenue V . En el caso donde V es de dimensión finita, la igualdad de las dimensiones implica U = V .

Si U1 y U2 son subespacios de V, luego

Las matrices permiten la manipulación explícita de espacios vectoriales de dimensión finita y mapas lineales. Por tanto, su teoría es una parte esencial del álgebra lineal.

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo F , y (v1, v2, . vmetro) ser una base de V (así m es la dimensión de V ). Por definición de base, el mapa

Este isomorfismo permite representar un vector por su imagen inversa bajo este isomorfismo, es decir por el vector de coordenadas (a 1,…, a m) < displaystyle (a_ <1>, ldots, a_)> o por la matriz de columnas

por j = 1, . norte , entonces f está representada por la matriz

con m filas yn columnas.

La multiplicación de matrices se define de tal manera que el producto de dos matrices es la matriz de la composición de los mapas lineales correspondientes, y el producto de una matriz y una matriz de columnas es la matriz de columnas que representa el resultado de aplicar el mapa lineal representado a el vector representado. De ello se deduce que la teoría de los espacios vectoriales de dimensión finita y la teoría de las matrices son dos lenguajes diferentes para expresar exactamente los mismos conceptos.

Dos matrices que codifican la misma transformación lineal en diferentes bases se denominan similares. Se puede demostrar que dos matrices son similares si y solo si una puede transformar una en la otra mediante operaciones elementales de fila y columna. Para una matriz que representa un mapa lineal de W a V, las operaciones de fila corresponden al cambio de bases en V y las operaciones de columna corresponden al cambio de bases en W. Cada matriz es similar a una matriz de identidad posiblemente bordeada por cero filas y cero columnas. En términos de espacios vectoriales, esto significa que, para cualquier mapa lineal de W a V, hay bases tales que una parte de la base de W se mapea biyectivamente en una parte de la base de V, y que los elementos de base restantes de W, si hay alguno, se asigna a cero. La eliminación gaussiana es el algoritmo básico para encontrar estas operaciones elementales y probar estos resultados.

Los sistemas de ecuaciones lineales forman una parte fundamental del álgebra lineal. Históricamente, el álgebra lineal y la teoría de matrices se han desarrollado para resolver tales sistemas. En la presentación moderna del álgebra lineal a través de espacios vectoriales y matrices, muchos problemas pueden interpretarse en términos de sistemas lineales.


Una descripción general de las matemáticas egipcias

La civilización alcanzó un alto nivel en Egipto en un período temprano. El país era muy adecuado para la gente, con una tierra fértil gracias al río Nilo pero con un clima agradable. También era un país que se defendía fácilmente teniendo pocos vecinos naturales para atacarlo porque los desiertos circundantes proporcionaban una barrera natural a las fuerzas invasoras. Como consecuencia, Egipto disfrutó de largos períodos de paz cuando la sociedad avanzó rápidamente.

Hacia el 3000 a. C., dos naciones anteriores se habían unido para formar una sola nación egipcia bajo un solo gobernante. La agricultura se ha desarrollado haciendo un uso intensivo de los períodos regulares húmedos y secos del año. El Nilo se inundó durante la temporada de lluvias, proporcionando una tierra fértil que los complejos sistemas de riego hicieron fértil para los cultivos en crecimiento. Saber cuándo estaba por llegar la temporada de lluvias era vital y el estudio de la astronomía se desarrolló para proporcionar información sobre el calendario. La gran área cubierta por la nación egipcia requería una administración compleja, un sistema de impuestos y los ejércitos tenían que ser apoyados. A medida que la sociedad se volvía más compleja, era necesario mantener registros y realizar cálculos a medida que la gente intercambiaba sus bienes. Surgió la necesidad de contar, luego se necesitaron escritura y números para registrar las transacciones.

Para el 3000 a. C., los egipcios ya habían desarrollado su escritura jeroglífica (consulte nuestro artículo Números egipcios para obtener más detalles). Esto marca el comienzo del período del Reino Antiguo durante el cual se construyeron las pirámides. Por ejemplo, la Gran Pirámide de Giza se construyó alrededor del 2650 a. C. y es una notable hazaña de ingeniería. Esto proporciona la indicación más clara de que la sociedad de ese período había alcanzado un alto nivel de logros.

Los jeroglíficos para escribir y contar dieron paso a una escritura hierática tanto para la escritura como para los números. Los detalles de los números en sí se dan en nuestro artículo Números egipcios. Aquí nos interesan los métodos aritméticos que idearon para trabajar con estos números.

Los sistemas numéricos egipcios no eran adecuados para los cálculos aritméticos. Todavía hoy estamos familiarizados con los números romanos, por lo que es fácil entender que, aunque la suma de números romanos es bastante satisfactoria, la multiplicación y la división son esencialmente imposibles. El sistema egipcio tenía inconvenientes similares al de los números romanos. Sin embargo, los egipcios eran muy prácticos en su enfoque de las matemáticas y su comercio requería que pudieran operar en fracciones. El comercio también requería que la multiplicación y la división fueran posibles, por lo que idearon métodos notables para superar las deficiencias en los sistemas numéricos con los que tenían que trabajar. Básicamente, tuvieron que idear métodos de multiplicación y división que solo implicaban la suma.

Los primeros números jeroglíficos se pueden encontrar en templos, monumentos de piedra y jarrones. Proporcionan poco conocimiento sobre los cálculos matemáticos que podrían haberse hecho con los sistemas numéricos. Mientras estos jeroglíficos se grababan en piedra, no había necesidad de desarrollar símbolos que pudieran escribirse más rápidamente. Sin embargo, una vez que los egipcios empezaron a utilizar hojas aplanadas de caña de papiro seca como "papel" y la punta de una caña como "bolígrafo", hubo motivos para desarrollar medios de escritura más rápidos. Esto impulsó el desarrollo de la escritura y los números hieráticos.

Debe haber habido una gran cantidad de papiros, muchos de ellos relacionados con las matemáticas de una forma u otra, pero lamentablemente, dado que el material es bastante frágil, casi todos han perecido. Es notable que alguno haya sobrevivido, y que lo haya hecho es una consecuencia de las condiciones climáticas secas de Egipto. Sobreviven dos importantes documentos matemáticos.

Puede ver un ejemplo de las matemáticas egipcias escritas en el papiro de Rhind y en otro papiro, el papiro de Moscú, con una traducción a la escritura hierática. Es de estos dos documentos de donde proviene la mayor parte de nuestro conocimiento de las matemáticas egipcias y la mayor parte de la información matemática en este artículo se toma de estos dos documentos antiguos.



Aquí está el Papiro detrás


El papiro de Rhind lleva el nombre del egiptólogo escocés A Henry Rhind, que lo compró en Luxor en 1858. El papiro, un rollo de unos 6 metros de largo y 1 3 large frac <1> <3> normalsize 3 1 de un metro de ancho, fue escrito alrededor del 1650 a. C. por el escriba Ahmes, quien afirma que está copiando un documento que tiene 200 años más. Por tanto, el papiro original en el que se basa el papiro de Rhind data de aproximadamente 1850 a. C.



Aquí está el Papiro de Moscú


El papiro de Moscú también data de esta época. Ahora es más común llamar al papiro Rhind en honor a Ahmes en lugar de Rhind, ya que parece mucho más justo nombrarlo en honor al escriba que en honor al hombre que lo compró relativamente recientemente. Sin embargo, no es posible lo mismo para el papiro de Moscú, ya que, lamentablemente, el escriba que escribió este documento no ha registrado su nombre. A menudo se le llama papiro de Golenischev por el hombre que lo compró. El papiro de Moscú se encuentra ahora en el Museo de Bellas Artes de Moscú, mientras que el papiro Rhind se encuentra en el Museo Británico de Londres.

El papiro de Rhind contiene ochenta y siete problemas, mientras que el papiro de Moscú contiene veinticinco. Los problemas son en su mayoría prácticos, pero algunos se plantean para enseñar la manipulación del sistema numérico en sí sin una aplicación práctica en mente. Por ejemplo, los primeros seis problemas del papiro de Rhind preguntan cómo dividir nnn panes entre 10 hombres donde n = 1 n = 1 n = 1 para el problema 1, n = 2 n = 2 n = 2 para el problema 2, n = 6 n = 6 n = 6 para el problema 3, n = 7 n = 7 n = 7 para el problema 4, n = 8 n = 8 n = 8 para el problema 5 y n = 9 n = 9 n = 9 para el problema 6. Claramente, las fracciones están involucradas aquí y, de hecho, 81 de los 87 problemas dados involucran operar con fracciones. Rising, en [37], discute estos problemas de la justa división de los panes que fueron particularmente importantes en el desarrollo de las matemáticas egipcias.

Algunos problemas piden la solución de una ecuación. Por ejemplo, problema 26: una cantidad agregada a una cuarta parte de esa cantidad se convierte en 15. Cual es la cantidad? Otros problemas involucran series geométricas como el problema 64: divida 10 hekats de cebada entre 10 hombres para que cada uno obtenga 1 8 large frac <1> <8> normalsize 8 1 de un hekat más que el anterior. Algunos problemas involucran geometría. Por ejemplo, problema 50: un campo redondo tiene un diámetro de 9 khet. Cual es su area? El papiro de Moscú también contiene problemas geométricos.

A diferencia de los griegos que pensaban de manera abstracta sobre las ideas matemáticas, los egipcios solo se preocupaban por la aritmética práctica. Most historians believe that the Egyptians did not think of numbers as abstract quantities but always thought of a specific collection of 8 objects when 8 was mentioned. To overcome the deficiencies of their system of numerals the Egyptians devised cunning ways round the fact that their numbers were poorly suited for multiplication as is shown in the Rhind papyrus.

We examine in detail the mathematics contained in the Egyptian papyri in a separate article Mathematics in Egyptian Papyri. In this article we next examine some claims regarding mathematical constants used in the construction of the pyramids, in particular the Great Pyramid at Giza which, as we noted above, was built around 2650 BC.

Joseph [ 8 ] and many other authors gives some of the measurements of the Great Pyramid which make some people believe that it was built with certain mathematical constants in mind. The angle between the base and one of the faces is 51 ° 50 ' 35 ". The secant of this angle is 1 . 61806 which is remarkably close to the golden ratio 1 . 618034 . Not that anyone believes that the Egyptians knew of the secant function, but it is of course just the ratio of the height of the sloping face to half the length of the side of the square base. On the other hand the cotangent of the slope angle of 51 ° 50 ' 35 " is very close to π 4 largefrac<4> ormalsize 4 π ​ . Again of course nobody believes that the Egyptians had invented the cotangent, but again it is the ratio of the sides which it is believed was made to fit this number. Now the observant reader will have realised that there must be some sort of relationship between the golden ratio and π for these two claims to both be at least numerically accurate. In fact there is a numerical coincidence: the square root of the golden ratio times π is close to 4 , in fact this product is 3 . 996168 .

Finally we examine some details of the ancient Egyptian calendar. As we mentioned above, it was important for the Egyptians to know when the Nile would flood and so this required calendar calculations. The beginning of the year was chosen as the heliacal rising of Sirius, the brightest star in the sky. The heliacal rising is the first appearance of the star after the period when it is too close to the sun to be seen. For Sirius this occurs in July and this was taken to be the start of the year. The Nile flooded shortly after this so it was a natural beginning for the year. The heliacal rising of Sirius would tell people to prepare for the floods. The year was computed to be 365 days long and this was certainly known by 2776 BC and this value was used for a civil calendar for recording dates. Later a more accurate value of 365 1 4 365largefrac<1><4> ormalsize 3 6 5 4 1 ​ days was worked out for the length of the year but the civil calendar was never changed to take this into account. In fact two calendars ran in parallel, the one which was used for practical purposes of sowing of crops, harvesting crops etc. being based on the lunar month. Eventually the civil year was divided into 12 months, with a 5 day extra period at the end of the year. The Egyptian calendar, although changed much over time, was the basis for the Julian and Gregorian calendars.


Bayesian nonparametric density regression for ordinal responses

Maria DeYoreo , Athanasios Kottas , in Flexible Bayesian Regression Modelling , 2020

3.3.1 Modelling approach

Suppose that k ordinal categorical variables are recorded for each of norte individuals, along with pag continuous covariates, so that for individual I we observe a response vector y i = ( y i 1 , … , y i k ) and a covariate vector x i = ( x i 1 , … , x i p ) , with y i j ∈ < 1 , … , C j >and C j > 2 . Introduce latent continuous random variables z i = ( z i 1 , … , z i k ) , i = 1 , … , n , such that y i j = l if and only if γ j , l − 1 < z i j ⩽ γ j , l , for j = 1 , … , k and l = 1 , … , C j . For reasons previously mentioned, we focus on building a model for the joint density f ( z , x ) , which is a continuous density of dimension k + p , which implies a model for the conditional response distribution f ( y | x ) .

To model f ( z , x ) in a flexible way, we use a DP mixture of multivariate normals model, mixing on the mean vector and covariance matrix. We assume ( z i , x i ) | G ∼ i i d ∫ N ( z i , x i | μ , Σ ) d G ( μ , Σ ) , and we place a DP prior on the random mixing distribution GRAMO. The hierarchical model is formulated by introducing a latent mixing parameter θ i = ( μ i , Σ i ) for each data vector, i.e.

where G | α , ψ ∼ DP ( α , G 0 ( ⋅ | ψ ) ) , with base (centering) distribution G 0 ( μ , Σ | ψ ) = N ( μ | m , V ) IW ( Σ | ν , S ) . The parameter ν is fixed, and the model is completed with hyperpriors on ψ = ( m , V , S ) , and a prior on α, i.e.

where W ( a S , B S ) denotes a Wishart distribution with mean a S B S , and IW ( a V , B V ) denotes an inverse-Wishart distribution with mean ( a V − ( k + p ) − 1 ) − 1 B V .

The discreteness of the DP prior for GRAMO results in ties among the θ i , so that in practice fewer than norte distinct values for the < θ i >are effective in the hierarchical model. The data are therefore clustered into a typically small number of groups relative to norte, with the number of clusters, n ⁎ , controlled by parameter α, where larger values favour more clusters.

Based on the DP constructive definition discussed in Section 3.2.1 , the prior model for f ( z , x ) has an almost sure representation as a countable mixture of multivariate normals, and the proposed model can therefore be viewed as a nonparametric extension of the multivariate probit model with random covariates. This implies a countable mixture of normal distributions (with covariate-dependent weights) for f ( z | x , G ) , from which the latent z may be integrated out to reveal the induced model for the ordinal regression relationships. In general, for a multivariate response Y = ( Y 1 , … , Y k ) with an associated covariate vector X, the probability that Y takes on the values l = ( l 1 , … , l k ) , where l j ∈ < 1 , … , C j >, for j = 1 , … , k , can be expressed as

with covariate-dependent weights w r ( x ) ∝ p r N ( x | μ r x , Σ r x x ) , mean vectors m r ( x ) = μ r z + Σ r z x ( Σ r x x ) − 1 ( x − μ r x ) and covariance matrices S r = Σ r z z − Σ r z x ( Σ r x x ) − 1 Σ r x z . Here, ( μ r , Σ r ) are the atoms in the DP prior constructive definition, where μ r is partitioned into μ r z and μ r x according to random vectors Z y X, and ( Σ r z z , Σ r x x , Σ r z x , Σ r x z ) are the components of the corresponding partition of covariance matrix Σ r .

To illustrate, consider a bivariate response Y = ( Y 1 , Y 2 ) , with covariates X. The probability assigned to the event ( Y 1 = l 1 ) ∩ ( Y 2 = l 2 ) is obtained using (3.3) , which involves evaluating bivariate normal distribution functions. However, one may be interested in the marginal relationships between individual components of Y and the covariates. We may obtain the probability that Y 1 and Y 2 take on some combination of values as a function of X, but also marginally how the first varies as a function of X. The marginal inference, Pr ( Y 1 = l 1 | x , G ) , is given by the expression

where m r ( x ) and s r are the conditional mean and variance for z 1 conditional on X implied by the joint distribution N ( z , x | μ r , Σ r ) . Expression (3.4) provides also the form of the ordinal regression curves in the case of a single response.

Hence, the implied regression relationships have a mixture structure with component-specific kernels which take the form of parametric probit regressions and weights which are covariate-dependent. This structure enables inference for nonlinear response curves, by favouring a set of parametric models with varying probabilities depending on the location in the covariate space. The limitations of parametric probit models – including relative covariate effects which are constant in terms of the covariate and the ordinal level, monotonicity and the single crossing property of the response curves – are thereby overcome.

We noted in Section 3.1 that computational difficulties sometimes arise in fitting parametric ordinal probit models. The reason for this is that to obtain an identifiable model, restrictions must be imposed on the covariance matrix Σ of the multivariate normal distribution for Z. One way to handle this is to restrict the covariance matrix to be a correlation matrix, which complicates Bayesian inference since there does not exist a conjugate prior for correlation matrices. Posterior simulation is further complicated by estimation of the cut-off points which are typically highly correlated with the latent responses.

In the Bayesian nonparametric model proposed, it can be shown that the mixture kernel covariance matrix can be left unstructured, and cut-offs can be fixed to arbitrary increasing values. [13] show that all parameters of the normal mixture kernel are identifiable provided each ordinal response comprises more than two classifications. This methodology focuses on multivariate ordinal responses with C j > 2 , for all j. However, if one or more responses is binary, then the full covariance matrix of the normal mixture kernel for ( Z , X ) is not identifiable. [13] also demonstrate that, with fixed cut-offs, the model can approximate arbitrarily well any set of probabilities on the ordinal outcomes. This large support property of normal DP mixture models for ordinal responses was suggested earlier by [31] , who provided an informal argument that the normal DP mixture model for multivariate ordinal responses (without covariates) can approximate arbitrarily well any probability distribution for a contingency table. The basis for this argument is that, in the limit, one mixture component can be placed within each set of cut-offs corresponding to a specific ordinal vector, with the mixture weights assigned accordingly to each cell. This feature represents a significant advantage over parametric ordinal regression models in terms of computation.


Exponents

Descripción general

Exponentiation is often thought of as repeated multiplication. For example, the expression (b^x) is equivalent to the following when (x) is an integer:

We say here that (b) is the base and that (x) is the exponent.

What happens if (x) is zero, or (x) is negative? In those cases, the exponent is defined to behave as follows:

(Note that neither the base nor the exponent needs to be integers. However, explaining how exponentiation works in these cases is beyond the scope of this document and isn't too relevant to this course.)

One example where exponents appear in code is if we had a loop that starts by performing operation then performs double that amount with each iteration. If we keep doubling the amount of work done, the code would be doing (2^n) operations on the (n^ ext) iteration.

Useful exponent identities

Power of a power

(displaystyle (b^2)^4 = (b cdot b) cdot (b cdot b) cdot (b cdot b) cdot (b cdot b) = b^8 )

Multiplying exponents

(displaystyle (b^2)cdot(b^3) = (b cdot b) cdot (b cdot b cdot b) = b^5 )

Dividing exponents

Taking the power of two multiplied terms

(displaystyle (a cdot b)^x = (a^x) cdot (b^x) )

(displaystyle (a cdot b)^2 = (a cdot b) cdot (a cdot b) = (a cdot a) cdot (b cdot b) = a^2 cdot b^2 )


10.1: Overview - Mathematics

MATH 110 - Techniques of Calculus I

Penn State University
Fall Semester 2008

Office Hours: TTH: 4:00-5:30
and By Appointment

403 McAllister Building
(814) 865-3329
[email protected]

Office Hours: WF: 10:00-11:00, TTh: 2:00-4:00
and By Appointment

Textbook: Applied Calculus for the Managerial, Life, and Social Sciences, 7th Edition, by S.T. Tan (Brooks/Cole, 2007)

Note: Hardcopies, electronic copies, and electronic copies of individual chapters of the textbook and supporting materials are available for purchase at reduced cost by visiting the www.ichapters.com website.

Note: Brooks/Cole also maintains a companion website for the text.

Course Description (from the Penn State University Blue Book )
TECHNIQUES OF CALCULUS I ( 4) Functions, graphs, derivatives, integrals, techniques of differentiation and integration, exponentials, improper integrals, applications. Students may take only one course for credit from MATH 110, 140, 140A, and 140B. Prerequisite: MATH 022 or satisfactory performance on the mathematics proficiency examination

Course Coverage
The goal for the course is to cover Chapters 2-6 from the text. Note that Chapter 1 is considered review material for the students. Each student should confirm that they understand the material in Chapter 1 during the first week of the course.

Exams
Two evening examinations (midterms) will be given. The dates and times of these exams will be as follows:

Examination 1: Monday, October 6, 2008, 6:30 - 7:45 pm
Examination 2: Thursday, November 6, 2008, 6:30 - 7:45 pm

Information on the locations of these exams will be distributed at a future date. In addition, the math department schedules a conflict exam for each of the midterms from 5:05 - 6:20 on the same night as the regularly scheduled exam and a makeup exam scheduled on an evening different from the regularly scheduled exam night. Sign-up sheets for the conflict exam or the makeup exam will be available from your lecturers approximately one week before the exam. A valid conflict/makeup reason is required to sign up for either of these exams.

NOTA: If you miss an exam without an official excuse (such as illness or official university business), then you may be allowed to take a makeup exam, but with an automatic 25% deduction from the grade. To avoid this deduction, you must notify your lecturer, with your official excuse, before the date and time of the exam. This notification may be performed in person, via e-mail, or by telephone.

Final Exam
The final examination in the course will be comprehensive. It will be given during the university's final examination week, December 15-19, 2008. Do not make plans to leave the university before the end of this week. Travel plans do not constitute an official university excuse for missing an examination or for obtaining a conflict or makeup examination. Hence, the above note regarding a 25% deduction will be enforced in the event that a student's travel plans conflict with the university's designated final examination period for this course.

In-Class Quizzes
Several short quizzes will be given throughout the course of the semester during the recitation hour. The quiz questions will be similar to the assigned homework problems and the reading done in preparation for class, which is a good motivation for you to complete the suggested homework problems noted below. The purpose of the quizzes is to encourage you to keep up with your preparation (and reward you for doing so). Each quiz will consist of problems based on the materials presented during the previous week's lectures. During the first week, your first quiz score will be based on the Readiness Test to be taken through Angel. Since the purpose of the Readiness Test is to test the basic algebraic skills required to be successful in Math 110, it is critical that everyone take the test during the first week of classes. Students who score poorly on this test should work the Chapter 1 self-assessment exercises also included on Angel and, if still finding difficulty with the preparatory materials, strongly consider taking Math 22 before proceeding with Calculus. Minimally, all students should review the basic algebraic concepts covered by the test questions during the first week of the semester in preparation for the related Calculus materials.

Any student who takes the Readiness Test will have a 10 recorded for the first quiz score. A student who does not take the Readiness Test will have a 0 score assigned.

Thirteen quizzes are planned for the semester (approximately one per week and the Readiness Test). A student's quiz grade will be determined by summing each student's highest ten quiz scores and dropping the remaining ones. Each quiz will be worth 10 points.

A list of suggested homework problems appears at the end of this syllabus. These homework problems will no be turned in for a grade. The purpose of doing the homework is to better understand the material discussed in the lectures and to prepare oneself for quizzes and exams. Since much of this material builds upon previous material, you are encouraged to do all of the suggested homework and keep up with the suggested homework, even though it will not be handed in.

Academic Integrity
Academic integrity is the pursuit of scholarly activity in an open, honest and responsible manner. Academic integrity is a basic guiding principle for all academic activity at The Pennsylvania State University, and all members of the University community are expected to act in accordance with this principle. Consistent with this expectation, the University's Code of Conduct states that all students should act with personal integrity, respect other students' dignity, rights and property, and help create and maintain an environment in which all can succeed through the fruits of their efforts.

Academic integrity includes a commitment not to engage in or tolerate acts of falsification, misrepresentation or deception. Such acts of dishonesty violate the fundamental ethical principles of the University community and compromise the worth of work completed by others.

Based on the University's Faculty Senate Policy 49-20 , a range of academic sanctions may be taken against a student who engages in academic dishonesty. Please see the Eberly College of Science Academic Integrity homepage for additional information and procedures.

Grading : your course grade will be determined by your exam scores and your quiz scores.
Total possible points follow:


Bucknell Mathematics Department Blog

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October 16th, 2020

“Not Linear? Not a Problem!” at 12:30 PM on 10/22 via Zoom

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October 1st, 2020

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February 24th, 2020

“Curing Cancer: Mathematicians Want a Piece of That!” at noon on Thursday 2/27 in Olin 268

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February 7th, 2020

“Factoring Rook Polynomials” at noon on Thursday 2/13 in Olin 268

Student Colloquium Talk by Professor Kenny Barrese, Bucknell University Abstract: Rook theory is a branch of mathematics which considers how many ways you can put rooks on a board so that no two are attacking each other. Here a “rook” is the usual chess piece, but the “board” that we are placing on probably is not an eight by eight square. One way to consider the numbers you obtain is as coefficients of a polynomial, the rook polynomial. It is a key result in rook theory that, if you define the rook polynomial correctly, it always factors completely! In fact, [&hellip]

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January 23rd, 2020

“A Basic Overview of the Actuarial Profession” at noon on Thursday 1/30 in Olin 268

Student Colloquium Talk by Gloria Asare, AXA Insurance, Toronto, Canada Abstract: Come learn what it takes to become fully certified and work as an actuary. Our presenter Gloria Asare, ACAS, MAAA will touch on various topics of interest related to the actuarial field. These include: how to become an actuary the different types of actuaries that exist the types of mathematical problems actuaries solve what one’s journey to being an actuary could look like and diversity in the actuarial profession. Anyone interested in the actuarial profession (even if you don’t know what it is) is welcome! A mathematical background is [&hellip]

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November 20th, 2019

“From the Bridges of Königsberg to Data Analysis” at noon on Thursday 11/21 in Olin 268

Student Colloquium talk by Professor Chris Johnson, Bucknell University Abstract: The Prussian city of Königsberg once contained four land masses connected by a series of bridges, and citizens of the city would sometimes ponder the following simple puzzle: is it possible to walk through the city crossing each bridge exactly once? In analyzing this question, Leonhard Euler noted that the most important feature was how the bridges connected the land masses to one another. Understanding “connectedness” is one part of a branch of mathematics called topology, and in this talk I will give an overview of a few particular topological [&hellip]

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November 4th, 2019

“What Did You Do Last Summer?” at noon on Thursday 11/7 in Olin 268

The Mathematics Department Student Colloquium Series will present talks by Bucknell Students this Thursday, November 7 at 12:00 PM in Olin 268. Moderator will be Hannah Bokma 󈧘 where students will discuss “What Did You do Last Summer?” Speakers: Hannah Bokma 󈧘 – teaching intern, Breakthrough HoustonElise Covert 󈧘 – data analytics, American Institute for ResearchMady Lawrence 󈧙 – data analytics, Highmark HealthPhil Thompson 󈧘 – financial sales and business development intern, IHS Market Abstract: There are many exciting summer opportunities for students in the mathematical sciences! These range from internships in financial companies to research experiences at other universities [&hellip]

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October 24th, 2019

“Archimedes’ Cattle Problem” at noon on Thursday 10/24 in Olin 268

Student Colloquium talk by Professor Krishnan (Ravi) Shankar, University of Oklahoma Title: Archimedes’ Cattle Problem Abstract: Back in antiquity Archimedes devised a mathematical problem in the form of 22 elegiac couplets and delivered them to Eratosthenes of Cyrene (as a challenge of sorts). The problem is in three parts of increasing difficulty and the solution is rather astonishing, both for its complexity and for the problem’s ability to anticipate mathematics that didn’t come about for 2000 years (Pell’s equation). We will explore the problem and its solution (which was only completely solved in 1889 by Amthor) and ask ourselves the [&hellip]

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September 30th, 2019

Mathematics Alumni Career Panel at noon on Thursday 10/3 in Olin 268

Hear advice and perspectives from Bucknell alumni who will examine career paths that utilize the mathematics degree while discussing their work and available opportunities. The conversation will include a question and answer period and an opportunity to meet (and network with!) the alumni panelists. Pizza and calzones will be provided. This event is sponsored by the Mathematics Department and the Center for Career Advancement. Panelists: Allison Gibson ‘13, Consultant, Boston Consulting Group MBA Graduate 2019, Kellogg School of Management, Northwestern University Rachel Guen ‘19, Associate Analyst, Moody’s Investors Service Zach Moon, ASA ‘16, Actuarial Advisor, Cigna Jin On ’12, Manager, [&hellip]

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