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13.1: Funciones con valores vectoriales y curvas espaciales


Nuestro estudio de funciones con valores vectoriales combina ideas de nuestro examen anterior del cálculo de una sola variable con nuestra descripción de vectores en tres dimensiones del capítulo anterior. En esta sección, ampliamos conceptos de capítulos anteriores y también examinamos nuevas ideas sobre curvas en el espacio tridimensional. Estas definiciones y teoremas apoyan la presentación de material en el resto de este capítulo y también en los capítulos restantes del texto.

Definición de una función con valores vectoriales

Nuestro primer paso para estudiar el cálculo de funciones con valores vectoriales es definir qué es exactamente una función con valores vectoriales. Luego podemos mirar gráficos de funciones con valores vectoriales y ver cómo definen curvas en dos y tres dimensiones.

Definición: funciones con valores vectoriales

Una función con valores vectoriales es una función de la forma

[ vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} quad text {o} quad vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} + h (t) , hat { mathbf { k}}, ]

donde las funciones componentes (f ), (g ) y (h ), son funciones de valor real del parámetro (t ).

Las funciones con valores vectoriales también se pueden escribir en la forma

[ vecs r (t) = ⟨f (t), , g (t)⟩ ; ; text {o} ; ; vecs r (t) = ⟨f (t), , g (t), , h (t)⟩. ]

En ambos casos, la primera forma de la función define una función de valor vectorial bidimensional en el plano; la segunda forma describe una función tridimensional con valores vectoriales en el espacio.

A menudo usamos (t ) como parámetro porque (t ) puede representar el tiempo.

El parámetro (t ) puede estar entre dos números reales: (a≤t≤b ), o su valor puede abarcar todo el conjunto de números reales.

Cada una de las funciones componentes que componen una función con valores vectoriales puede tener restricciones de dominio que imponen restricciones sobre el valor de (t ).

El dominio de una función con valores vectoriales ( vecs r ) es la intersección de los dominios de sus funciones componentes, es decir, es el conjunto de todos los valores de (t ) para los que se define la función con valores vectoriales .

Ejemplo ( PageIndex {1} ): encontrar el dominio de una función con valores vectoriales

Indique el dominio de la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = sqrt {2-t} , hat { mathbf {i}} + ln (t + 3) , hat { mathbf {j}} + e ^ t , hat { mathbf {k}} ).

Solución

Primero consideramos el dominio natural de cada función componente. Tenga en cuenta que enumeramos los dominios en ambos notación de constructor de conjuntos y notación de intervalos.

Función: Dominio:
( begin {matriz} {ll} sqrt {2-t} & & big {, t , | , t le 2 big } quad text {o} quad (- infty, 2 grande]
ln (t + 3) & & big {, t , | , t gt -3 big } quad text {o} quad (-3, infty)
e ^ t & & (- infty, infty) end {matriz} )

El dominio de ( vecs r ) es la intersección de estos dominios, por lo que debe contener todos los valores de (t ) que funcionan en los tres, pero ningún valor de (t ) que no funciona en ningún una de estas funciones.

Por lo tanto, el dominio de ( vecs r ) es: ( text {D} _ { vecs r}: big {, t , | , -3 lt t le 2 big } ) o ((-3, 2 grande] ).

Tenga en cuenta que solo se necesita dar una forma del dominio de ( vecs r ). El primero, ( big {, t , | , -3 lt t le 2 big } ), está en notación de constructor de conjuntos, mientras que el segundo, ((-3, 2 big] ), está en notación de intervalos.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): evaluación de funciones con valores vectoriales y determinación de dominios

Para cada una de las siguientes funciones con valores vectoriales, evalúe ( vecs r (0) ), ( vecs r ( frac { pi} {2}) ) y ( vecs r ( frac {2 pi} {3}) ). ¿Alguna de estas funciones tiene restricciones de dominio?

  1. ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} )
  2. ( vecs r (t) = 3 tan t , hat { mathbf {i}} + 4 sec t , hat { mathbf {j}} + 5t , hat { mathbf { k}} )

Solución

  1. Para calcular cada uno de los valores de la función, sustituya el valor apropiado de (t ) en la función:

    begin {align *} vecs r (0) ; & = 4 cos (0) hat { mathbf {i}} + 3 sin (0) hat { mathbf {j}} [4pt] & = 4 hat { mathbf {i}} +0 hat { mathbf {j}} = 4 hat { mathbf {i}} [4pt] vecs r left ( frac { pi} {2} right) ; & = 4 cos left ( frac {π} {2} right) hat { mathbf {i}} + 3 sin left ( frac {π} {2} right) hat { mathbf {j}} [4pt] & = 0 hat { mathbf {i}} + 3 hat { mathbf {j}} = 3 hat { mathbf {j}} [4pt] vecs r left ( frac {2 pi} {3} right) ; & = 4 cos left ( frac {2π} {3} right) hat { mathbf {i}} + 3 sin left ( frac {2π} {3} right) hat { mathbf {j}} [4pt] & = 4 left (- tfrac {1} {2} right) hat { mathbf {i}} + 3 left ( tfrac { sqrt {3} } {2} right) hat { mathbf {j}} = - 2 hat { mathbf {i}} + tfrac {3 sqrt {3}} {2} hat { mathbf {j} } end {alinear *}

    Para determinar si esta función tiene restricciones de dominio, considere las funciones del componente por separado. La función del primer componente es (f (t) = 4 cos t ) y la función del segundo componente es (g (t) = 3 sin t ). Ninguna de estas funciones tiene una restricción de dominio, por lo que el dominio de ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf { j}} ) son todos números reales.
  2. Para calcular cada uno de los valores de la función, sustituya el valor apropiado de t en la función: [ begin {align *} vecs r (0) ; & = 3 tan (0) hat { mathbf {i}} + 4 sec (0) hat { mathbf {j}} + 5 (0) hat { mathbf {k}} [ 4pt] & = 0 hat { mathbf {i}} + 4j + 0 hat { mathbf {k}} = 4 hat { mathbf {j}} [4pt] vecs r left ( frac { pi} {2} derecha) ; & = 3 tan left ( frac { pi} {2} right) hat { mathbf {i}} + 4 sec left ( frac { pi} {2} right) hat { mathbf {j}} + 5 left ( frac { pi} {2} right) hat { mathbf {k}}, , text {que no existe} [4pt] vecs r left ( frac {2 pi} {3} right) ; & = 3 tan left ( frac {2 pi} {3} right) hat { mathbf {i}} + 4 sec left ( frac {2 pi} {3} right) hat { mathbf {j}} + 5 left ( frac {2 pi} {3} right) hat { mathbf {k}} [4pt] & = 3 (- sqrt {3 }) hat { mathbf {i}} + 4 (−2) hat { mathbf {j}} + frac {10π} {3} hat { mathbf {k}} [4pt] & = (- 3 sqrt {3}) hat { mathbf {i}} - 8 hat { mathbf {j}} + frac {10π} {3} hat { mathbf {k}} end {align *} ] Para determinar si esta función tiene restricciones de dominio, considere las funciones del componente por separado. La función del primer componente es (f (t) = 3 tan t ), la función del segundo componente es (g (t) = 4 sec t ) y la función del tercer componente es (h (t) = 5t ). Las dos primeras funciones no están definidas para múltiplos impares de ( frac { pi} {2} ), por lo que la función no está definida para múltiplos impares de ( frac { pi} {2} ). Por lo tanto, [ text {D} _ { vecs r} = Big {t , | , t ≠ frac {(2n + 1) pi} {2} Big }, nonumber ] donde (n ) es cualquier número entero.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Para la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t) , hat { mathbf {i}} + (4t + 1) , hat { mathbf {j}} ), evalúa ( vecs r (0), , vecs r (1) ) y ( vecs r (−4) ). ¿Esta función tiene restricciones de dominio?

Insinuación

Sustituye los valores apropiados de (t ) en la función.

Respuesta:

( vecs r (0) = hat { mathbf {j}}, , vecs r (1) = - 2 hat { mathbf {i}} + 5 hat { mathbf {j}} , , vecs r (−4) = 28 hat { mathbf {i}} - 15 hat { mathbf {j}} )

El dominio de ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t) hat { mathbf {i}} + (4t + 1) hat { mathbf {j}} ) son todos números reales.

El ejemplo ( PageIndex {1} ) ilustra un concepto importante. El dominio de una función con valores vectoriales consta de números reales. El dominio puede ser todos los números reales o un subconjunto de los números reales. El rango de una función con valores vectoriales consta de vectores. Cada número real en el dominio de una función con valores vectoriales se asigna a un vector bidimensional o tridimensional.

Graficar funciones con valores vectoriales

Recuerde que un vector plano consta de dos cantidades: dirección y magnitud. Dado cualquier punto del plano (el punto inicial), si nos movemos en una dirección determinada durante una distancia determinada, llegamos a un segundo punto. Esto representa el punto terminal del vector. Calculamos los componentes del vector restando las coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto terminal.

Se considera que un vector está en posición estándar si el punto inicial se encuentra en el origen. Al graficar una función con valores vectoriales, normalmente graficamos los vectores en el dominio de la función en la posición estándar, porque hacerlo garantiza la unicidad del gráfico. Esta convención se aplica también a los gráficos de funciones tridimensionales con valores vectoriales. La gráfica de una función con valores vectoriales de la forma

[ vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} nonumber ]

consiste en el conjunto de todos los puntos ((f (t), , g (t)) ), y la ruta que traza se llama curva plana. La gráfica de una función con valores vectoriales de la forma

[ vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} + h (t) , hat { mathbf {k}} nonumber ]

consta del conjunto de todos los puntos ((f (t), , g (t), , h (t)) ), y la ruta que traza se llama curva espacial. Cualquier representación de una curva plana o curva espacial que utilice una función con valores vectoriales se denomina parametrización vectorial de la curva.

Cada curva plana y curva espacial tiene un orientación, indicado por flechas dibujadas en la curva, que muestra la dirección del movimiento a lo largo de la curva a medida que aumenta el valor del parámetro (t ).

Ejemplo ( PageIndex {3} ): Graficar una función con valores vectoriales

Cree una gráfica de cada una de las siguientes funciones con valores vectoriales:

  1. La curva plana representada por ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} ), ( 0≤t≤2 pi )
  2. La curva plana representada por ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) , hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) , hat { mathbf { j}} ), (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} )
  3. La curva espacial representada por ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 4 sin t , hat { mathbf {j}} + t , sombrero { mathbf {k}} ), (0≤t≤4 pi )

Solución

1. Como con cualquier gráfico, comenzamos con una tabla de valores. Luego graficamos cada uno de los vectores en la segunda columna de la tabla en posición estándar y conectamos los puntos terminales de cada vector para formar una curva (Figura ( PageIndex {1} )). Esta curva resulta ser una elipse centrada en el origen.

Tabla ( PageIndex {1} ): Tabla de valores para ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} ), (0≤t≤2 Pi)
(t ) ( vecs r (t) ) (t ) ( vecs r (t) )
(0) (4 hat { mathbf {i}} )(Pi) (- 4 hat { mathbf {i}} )
( dfrac { pi} {4} ) (2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} ) ( dfrac {5 pi} {4} ) (- 2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} )
( dfrac { pi} {2} ) ( mathrm {3 hat { mathbf {j}}} ) ( dfrac {3 pi} {2} ) ( mathrm {-3 hat { mathbf {j}}} )
( dfrac {3 pi} {4} ) (-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} ) ( dfrac {7 pi} {4} ) (2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}} )
(2 pi ) (4 hat { mathbf {i}} )

2. La tabla de valores para ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) , hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) , hat { mathbf {j}} ), (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} ) es el siguiente:

Tabla de valores para ( vecs r (t) = 4 cos (t ^ 3) , hat { mathbf {i}} + 3 sin (t ^ 3) , hat { mathbf {j}} ) , (0≤t≤ sqrt [3] {2 pi} )
(t ) ( vecs r (t) ) (t ) ( vecs r (t) )
(0) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} ) ( Displaystyle sqrt [3] { pi} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {i}}} )
( Displaystyle sqrt [3] { dfrac { pi} {4}} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} ) ( Displaystyle sqrt [3] { dfrac {5 pi} {4}} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} )
( Displaystyle sqrt [3] { dfrac { pi} {2}} ) ( mathrm {3 hat { mathbf {j}}} ) ( Displaystyle sqrt [3] { dfrac {3 pi} {2}} ) ( mathrm {-3 hat { mathbf {j}}} )
( Displaystyle sqrt [3] { dfrac {3 pi} {4}} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} ) ( Displaystyle sqrt [3] { dfrac {7 pi} {4}} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - frac {3 sqrt {2}} {2} hat { mathbf {j}}} )
( Displaystyle sqrt [3] {2 pi} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} )

El gráfico de esta curva también es una elipse centrada en el origen.

3. Seguimos el mismo procedimiento para una función vectorial tridimensional.

Tabla de valores para ( mathrm {r (t) = 4 cos t hat { mathbf {i}} + 4 sin t hat { mathbf {j}} + t hat { mathbf {k }}} ), ( mathrm {0≤t≤4 pi} )
(t ) ( vecs r (t) ) (t ) ( vecs r (t) )
( mathrm {0} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {i}}} ) ( mathrm { pi} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {i}}} + pi hat { mathbf {k}} )
( dfrac { pi} {4} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac { pi} {4} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {5 pi} {4} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {5 pi} {4} hat { mathbf {k}}} )
( dfrac { pi} {2} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {j}} + frac { pi} {2} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {3 pi} {2} ) ( mathrm {-4 hat { mathbf {j}} + frac {3 pi} {2} hat { mathbf {k}}} )
( dfrac {3 pi} {4} ) ( mathrm {-2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} + 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {3 pi} {4} hat { mathbf {k}}} ) ( dfrac {7 pi} {4} ) ( mathrm {2 sqrt {2} hat { mathbf {i}} - 2 sqrt {2} hat { mathbf {j}} + frac {7 pi} {4} hat { mathbf {k}}} )
( mathrm {2 pi} ) ( mathrm {4 hat { mathbf {j}} + 2 pi hat { mathbf {k}}} )

Luego, los valores se repiten, excepto por el hecho de que el coeficiente de ( hat { mathbf {k}} ) siempre aumenta ( ( PageIndex {3} )). Esta curva se llama hélice. Observe que si se elimina el componente ( hat { mathbf {k}} ), entonces la función se convierte en ( vecs r (t) = 4 cos t hat { mathbf {i}} + 4 sin t hat { mathbf {j}} ), que es un círculo de radio 4 centrado en el origen.

Puede notar que las gráficas en las partes a. y B. Son identicos. Esto sucede porque la función que describe la curva b es lo que se denomina una reparametrización de la función que describe la curva a. De hecho, cualquier curva tiene un número infinito de reparametrizaciones; por ejemplo, podemos reemplazar (t ) con (2t ) en cualquiera de las tres curvas anteriores sin cambiar la forma de la curva. El intervalo sobre el que se define (t ) puede cambiar, pero eso es todo. Volveremos a esta idea más adelante en este capítulo cuando estudiemos la parametrización de la longitud del arco. Como se mencionó, el nombre de la forma de la curva del gráfico en ( PageIndex {3} ) es un hélice. La curva se asemeja a un resorte, con una sección transversal circular mirando hacia abajo a lo largo del eje (z ) -. También es posible que una hélice sea elíptica en sección transversal. Por ejemplo, la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} + t , hat { mathbf {k}} ) describe una hélice elíptica. La proyección de esta hélice en el plano (xy ) - es una elipse. Por último, las flechas en el gráfico de esta hélice indican la orientación de la curva a medida que (t ) progresa desde (0 ) a (4π ).

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Cree una gráfica de la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = t , hat { mathbf {i}} + t ^ 3 , hat { mathbf {j}} ).

Insinuación

Empiece por hacer una tabla de valores, luego grafique los puntos indicados por los vectores para cada valor de (t ).

Respuesta

En este punto, puede notar una similitud entre las funciones con valores vectoriales y las curvas parametrizadas. De hecho, dada una función con valores vectoriales ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + g (t) , hat { mathbf {j}} ) podemos definir (x = f (t) ) y (y = g (t) ).El gráfico de la función parametrizada estaría de acuerdo con el gráfico de la función con valores vectoriales, excepto que el gráfico de la función con valores vectoriales se trazaría mediante vectores en lugar de ser solo una colección de puntos. Dado que podemos parametrizar una curva definida por una función (y = f (x) ), también es posible representar una curva plana arbitraria mediante una función de valor vectorial.

Encontrar una función con valores vectoriales para trazar la gráfica de una función (y = f (x) )

Como puede ver en los ejemplos anteriores, una función con valores vectoriales traza una curva en el plano o en el espacio. ¿Qué pasa si deseamos escribir una función con valores vectoriales que traza la gráfica de una curva particular en el plano (xy )?

¿Qué gráfico de la función traza la función con valores vectoriales en el ejercicio ( PageIndex {2} ) anterior: ( vecs r (t) = t , hat { mathbf {i}} + t ^ 3 , hat { mathbf {j}} )? Se parece a la gráfica de (y = x ^ 3 ), ¿no es así?

Recordando lo que se acaba de decir sobre los componentes de la función con valores vectoriales correspondientes a las ecuaciones paraméticas de una curva parametrizada, vemos que aquí tenemos:

[ begin {align *} x & = t y & = t ^ 3 end {align *} nonumber ]

Como (x = t ), podemos reemplazar (t ) en la ecuación (y = t ^ 3 ) con (x ), lo que nos da la función: (y = x ^ 3 ) .

Así que acertamos en nuestra suposición.

¿Cómo podríamos escribir una función con valores vectoriales para trazar la gráfica de una función, (y = f (x) )?

Bueno, hay dos orientaciones a considerar: de izquierda a derecha y De derecha a izquierda.

Seguimiento de una función de izquierda a derecha:

Para trazar la gráfica de (y = f (x) ) de izquierda a derecha, usa: ( vecs r (t) = t , hat { mathbf {i}} + f (t ) , hat { mathbf {j}} )

Tenga en cuenta que lo importante aquí es que el componente (x ) sea una función creciente. Cualquier función creciente funcionará. Podríamos usar (x = t ^ 3 ), por ejemplo. Pero entonces tendríamos que recordar reemplazar (x ) en la función (f (x) ) con esta expresión (t ^ 3 ), lo que nos da (y = f (t ^ 3) ) . Esto significa que la función (y = f (x) ) también podría parametrizarse de izquierda a derecha mediante la función con valores vectoriales: ( vecs r (t) = t ^ 3 , hat { mathbf {i}} + f (t ^ 3) , hat { mathbf {j}} )

Seguimiento de una función de derecha a izquierda:

Para trazar la gráfica de (y = f (x) ) de derecha a izquierda, usa: ( vecs r (t) = -t , hat { mathbf {i}} + f ( -t) , hat { mathbf {j}} )

Una vez más, observe que podríamos usar cualquier función decreciente de (t ) para el componente (x ) y obtener una función con valores vectoriales que traza la gráfica de (y = f (x) ) de derecha a -izquierda. Usar (x = -t ) es solo la función decreciente más simple que podemos elegir.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Encontrar una función con valores vectoriales para trazar la gráfica de (y = f (x) )

Determine una función con valores vectoriales que trazará la gráfica de (y = cos x ) de izquierda a derecha, y otra para trazarla de derecha a izquierda.

Solución

De izquierda a derecha: ( vecs r (t) = t , hat { mathbf {i}} + cos t , hat { mathbf {j}} )

De derecha a izquierda: ( vecs r (t) = -t , hat { mathbf {i}} + cos (-t) , hat { mathbf {j}} )

Encontrar una función con valores vectoriales para trazar la gráfica de una ecuación en (x ) y (y ) y viceversa

¿Qué pasa si deseamos encontrar una función con valores vectoriales para trazar la gráfica de un círculo, una elipse o una hipérbola, dada su ecuación implícita?

Bueno, tenga en cuenta que en el ejemplo ( PageIndex {3} ), la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} ) trazó la gráfica de la elipse ( frac {x ^ 2} {16} + frac {y ^ 2} {9} = 1 ).

En esta función con valores vectoriales vemos que: [x = 4 cos t quad text {y} quad y = 3 sin t ]

Lo que necesitamos ahora es una forma de convertir esto en una ecuación implícita que involucre (x ) y (y ). Para lograr esto, recuerde la identidad pitagórica, [ cos ^ 2 t + sin ^ 2 t = 1 ].

Ahora todo lo que tenemos que hacer es resolver las ecuaciones anteriores para ( cos t ) y ( sin t ) y podemos sustituir esta identidad para obtener una ecuación en (x ) y (y ) .

Entonces: [ cos t = frac {x} {4} quad text {y} quad sin t = frac {y} {3} ]

Sustituir en la identidad nos da: [ left ( frac {x} {4} right) ^ 2 + left ( frac {y} {3} right) ^ 2 = 1 ]

Simplificar esta ecuación implícita nos da la ecuación implícita de la elipse en el Ejemplo ( PageIndex {3} ) que escribimos arriba:

[ frac {x ^ 2} {16} + frac {y ^ 2} {9} = 1 ]

Para ir al otro lado y encontrar una función con valores vectoriales que traza una elipse, ¡simplemente debemos tomar estos pasos en la dirección opuesta!

Ejemplo ( PageIndex {5} ): escribir una función con valores vectoriales para un círculo, elipse o hipérbola determinados

Escriba una función con valores vectoriales que traza cada una de las siguientes curvas implícitas:

una. La elipse: ( frac {x ^ 2} {16} + frac {y ^ 2} {9} = 1 )

B. El círculo: (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 )

C. La hipérbola: ( frac {x ^ 2} {25} - frac {y ^ 2} {16} = 1 )

Solución

una. Usemos el proceso que se muestra arriba a la inversa. Primero, reescribamos la ecuación implícita para que muestre una suma de cantidades al cuadrado igual a uno.

[ left ( frac {x} {4} right) ^ 2 + left ( frac {y} {3} right) ^ 2 = 1 nonumber ]

Ahora necesitamos la identidad que usamos anteriormente, ( cos ^ 2 t + sin ^ 2 t = 1 ).

Al igualar las partes que están siendo cuadradas (tenga en cuenta que en realidad tenemos una opción aquí sobre cuál hacer ( cos t ) y cuál hacer ( sin t )), obtenemos:

[ frac {x} {4} = cos t quad text {y} quad frac {y} {3} = sin t nonumber ]

Ahora solo necesitamos resolver para (x ) y (y ).

[x = 4 cos t quad text {y} quad y = 3 sin t nonumber ]

Ahora podemos escribir una función con valores vectoriales que traza esta elipse: ( vecs r (t) = 4 cos t , hat { mathbf {i}} + 3 sin t , hat { mathbf {j}} )

Tenga en cuenta que también podríamos haber escrito ( vecs r (t) = 4 sin t , hat { mathbf {i}} + 3 cos t , hat { mathbf {j}} ), ya que podríamos haber elegido cambiar ( sin t ) y ( cos t ) arriba. Trazará la misma elipse, pero con la orientación opuesta.

B. Trazar un círculo es bastante sencillo, no necesita realmente el proceso que mostramos anteriormente, aunque puede ser útil al principio. Recuerde que todos los vectores en el círculo unitario se pueden representar en la forma: ( vecs v = cos theta , hat { mathbf {i}} + sin theta , hat { mathbf { j}} ).

Entonces, la función con valores vectoriales, ( vecs r (t) = cos t , hat { mathbf {i}} + sin t , hat { mathbf {j}} ), rastreará fuera del círculo unitario con ecuación, (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ).

Para obtener un círculo de radio (2 ) centrado en el origen (que es la gráfica de (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 )), solo necesitamos multiplicar esta función de valor vectorial por un escalar factor de (2 ).

Por lo tanto, una función con valores vectoriales que trazará este círculo es: ( vecs r (t) = 2 cos t , hat { mathbf {i}} + 2 sin t , hat { mathbf {j}} ).

Note nuevamente que otra posibilidad es: ( vecs r (t) = 2 sin t , hat { mathbf {i}} + 2 cos t , hat { mathbf {j}} ). Trazará el mismo círculo, pero con la orientación opuesta.

Para usar la técnica anterior, comience dividiendo cada término en la ecuación por el cuadrado del radio, aquí 4, poniendo así la ecuación del círculo en "forma de elipse". El resto de los pasos siguen el patrón que se muestra en la parte a.

C. Para trazar una hipérbola de la forma ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} - frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) o ( frac {y ^ 2} { a ^ 2} - frac {x ^ 2} {b ^ 2} = 1 ), necesitamos ubicar una identidad trigonométrica que muestre la diferencia de dos cuadrados es igual a 1. Si aún no ha memorizado dicha identidad, podemos obtener uno de la identidad pitagórica utilizada anteriormente. Es decir,

[ cos ^ 2 t + sin ^ 2 t = 1 nonumber ]

Dividiendo cada término entre ( cos ^ 2 t )

[ frac { cos ^ 2 t} { cos ^ 2 t} + frac { sin ^ 2 t} { cos ^ 2 t} = frac {1} { cos ^ 2 t} nonumber ]

rendimientos

[1+ tan ^ 2 t = sec ^ 2 t nonumber ]

Reescribir esta ecuación nos da la identidad que necesitamos:

[ sec ^ 2 t - tan ^ 2 t = 1 nonumber ]

Ahora, la ecuación de esta hipérbola es:

[ frac {x ^ 2} {25} - frac {y ^ 2} {16} = 1 nonumber ]

Reescribiendo el lado izquierdo para mostrar las cantidades al cuadrado:

[ left ( frac {x} {5} right) ^ 2 - left ( frac {y} {4} right) ^ 2 = 1 nonumber ]

Entonces podemos igualar los términos correspondientes de las expresiones al cuadrado:

[ frac {x} {5} = sec t quad text {y} quad frac {y} {4} = tan t nonumber ]

Resolviendo para (x ) y (y ), tenemos:

[x = 5 sec t quad text {y} quad y = 4 tan t nonumber ]

Entonces, una función con valores vectoriales que trazará la hipérbola [ frac {x ^ 2} {25} - frac {y ^ 2} {16} = 1 ] es [ vecs r (t) = 5 sec t , hat { mathbf {i}} + 4 tan t , hat { mathbf {j}}. sin número]

Parametrización de una ruta por partes

Hay ocasiones en las que es necesario parametrizar un recorrido formado por piezas de diferentes curvas. Esta ruta por partes puede estar abierta o formar el límite de una región cerrada como lo hace el ejemplo que se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ). Además de determinar una función de valor vectorial para trazar cada pieza por separado, con la orientación indicada, también necesitamos determinar un rango adecuado de valores para el parámetro (t ).

Tenga en cuenta que hay muchas formas de parametrizar cualquier pieza, por lo que hay muchas formas correctas de parametrizar una ruta de esta manera.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): Parametrizar una ruta por partes

Determine una parametrización por partes de la ruta que se muestra en la Figura ( PageIndex {4} ), comenzando con (t = 0 ) y continuando por cada parte.

Solución

Nuestra primera tarea es identificar las tres piezas en este camino por partes.

Observe cómo los etiquetamos secuencialmente como ( vecs r_1 ), ( vecs r_2 ) y ( vecs r_3 ). Ahora necesitamos identificar la función para cada uno y escribir la función correspondiente con valores vectoriales con la orientación correcta (de izquierda a derecha o de derecha a izquierda).

Determinando ( vecs r_1 ): La ecuación de la función lineal en esta pieza es (y = x ).

Dado que está orientado de izquierda a derecha entre (t = 1 ) y (t = 4 ), podemos escribir:

[ vecs r_ {1a} (t) = t , hat { mathbf {i}} + t , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad 1 le t le 4 nonumber ]

Si deseamos comenzar esta pieza en (t = 0 ), solo necesitamos desplazar el valor de (t ) una unidad a la izquierda. Una forma de hacer esto es escribir ( vecs r_ {1a} ) en términos de (t_1 ) en lugar de (t ) para que la traducción sea más fácil de ver.

Por lo tanto, tenemos ( vecs r_ {1a} (t_1) = t_1 , hat { mathbf {i}} + t_1 , hat { mathbf {j}} ) para (1 le t_1 le 4 ).

Figura ( PageIndex {4} ): Un camino cerrado a trozos

Restando (1 ) de cada parte de este rango de valores de parámetro, tenemos: (0 le t_1 - 1 le 3 ).

Ahora dejamos (t = t_1 - 1 ). Resolviendo para (t_1 ), obtenemos: (t_1 = t + 1 ).

Reemplazar (t_1 ) con la expresión (t + 1 ) efectivamente desplazará el rango de valores de los parámetros una unidad hacia la izquierda.

Entonces, comenzando con (t = 0 ), tenemos: [ vecs r_1 (t) = (t + 1) , hat { mathbf {i}} + (t + 1) , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad 0 le t le 3 nonumber ]

Verifique dos veces que esta función con valores vectoriales trazará este segmento en la dirección correcta antes de pasar a (r_2 ).

Determinando ( vecs r_2 ): Esta pieza tiene una etiqueta que muestra la función cuyo gráfico sigue. Si estuviera orientado de izquierda a derecha, tendríamos:

[ text {De izquierda a derecha:} quad vecs r_ {2a} (t) = t , hat { mathbf {i}} + left (2 sqrt { frac {4-t } {3}} + 4 right) , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad 1 le t le 4 nonumber ]

Pero como necesitamos que esté orientado de derecha a izquierda, necesitamos reemplazar (t ) con (- t ) en la función y necesitamos dividir la desigualdad del rango por -1 para obtener el correspondiente distancia. Así obtenemos:

[ vecs r_ {2b} (t) = -t , hat { mathbf {i}} + left (2 sqrt { frac {4 - (- t)} {3}} + 4 derecha) , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad -4 le t le -1 nonumber ]

¡Comprueba que funciona!

Ahora deseamos que esta pieza comience en (t = 3 ) justo después de que termine la primera. De nuevo, hagamos esto más fácil de ver escribiendo (r_ {2b} ) en términos en (t_2 ).

[ vecs r_ {2b} (t_2) = -t_2 , hat { mathbf {i}} + left (2 sqrt { frac {4 - (- t_2)} {3}} + 4 derecha) , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad -4 le t_2 le -1 nonumber ]

Para forzar que (r_2 ) comience con (t = 3 ) en lugar de (t = -4 ), necesitamos sumar (7 ) a cada parte de la desigualdad. Esto produce: (3 le t_2 + 7 le 6 ).

Sea (t = t_2 + 7 ). Luego, despejando (- t_2 ) (ya que esto es lo que necesitamos reemplazar en (r_ {2b} )), tenemos: (t_2 = 7-t ).

Reemplazando (- t_2 ) con ( left (7-t right) ) en ( vecs r_ {2b} ), obtenemos:

[ vecs r_ {2} (t) = (7-t) , hat { mathbf {i}} + left (2 sqrt { frac {4- (7-t)} {3} } +4 right) , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad 3 le t le 6 nonumber ]

Esto se puede combinar con nuestro resultado anterior para (r_1 ) para escribir una función con valores vectoriales definida por partes que traza las dos primeras piezas, comenzando en (t = 0 ):

[ vecs r (t) = begin {cases}
(t + 1) , hat { mathbf {i}} + (t + 1) , hat { mathbf {j}}, & 0 le t le 3
(7-t) , hat { mathbf {i}} + left (2 sqrt { frac {t - 3} {3}} + 4 right) , hat { mathbf {j} }, & 3 lt t le 6
end {casos} nonumber ]

Tenga en cuenta que se realizó una pequeña modificación en el segundo rango para que cuando (t = 3 ), no haya confusión sobre qué pieza evaluar.

Determinando ( vecs r_3 ): Para determinar esta última pieza necesitamos pensar un poco diferente. Esto se debe a que es un segmento vertical, que no se puede representar con una función de la forma (y = f (x) ). Tenga en cuenta que podría representarse mediante una función de la forma (x = f (y) ). Dejando (y = t ), podemos escribir (x = f (t) ) y escribiendo una parametrización en valores (y ) crecientes (de abajo hacia arriba), obtendríamos: ( vecs r (t) = f (t) , hat { mathbf {i}} + t , hat { mathbf {j}} ).

La ecuación de esta línea es (x = 1 ). Así, si deseamos parametrizar este segmento con orientación hacia arriba (valores crecientes de (y )), tenemos:

[ vecs r_ {3a} (t) = 1 , hat { mathbf {i}} + t , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad 1 le t le 6 nonumber ]

Pero como deseamos usar una orientación hacia abajo (valores decrecientes de (y )), necesitamos usar una función decreciente de (t ) para (y ). Como antes, el caso más simple es usar (y = -t ). Luego, en el caso general, trazaríamos una función (x = f (y) ) en una orientación hacia abajo con ( vecs r (t) = f (-t) , hat { mathbf { i}} - t , hat { mathbf {j}} ).

En el caso de (r_3 ), esto nos da:

[ vecs r_ {3b} (t) = 1 , hat { mathbf {i}} - t , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad -6 le t le -1 nonumber ]

Tenga en cuenta que desde (x = 1, , f (-t) = 1 ), es decir, no cambió el primer componente ya que era constante y no una función variable del parámetro (t ).

También tenga en cuenta que como negamos (t ), también tuvimos que negar el rango, dividiéndolo entre (- 1 ).

Como arriba, para facilitar la traducción, reemplazaremos (t ) con (t_3 ), dándonos:

[ vecs r_ {3b} (t) = 1 , hat { mathbf {i}} - t_3 , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad -6 le t_3 le -1 nonumber ]

Ahora, deseamos que esta pieza final comience en (t = 6 ) donde termina la segunda pieza que formamos arriba. Vemos que necesitamos agregar (12 ) al rango del parámetro (t ) para lograr esto, lo que nos da un nuevo rango de (6 le t_3 + 12 le 11 ).

Sea (t = t_3 + 12 ). Luego, despejando (- t_3 ) (ya que esto es lo que necesitamos reemplazar en (r_ {3b} )), tenemos: (t_3 = 12-t ).

Reemplazando (- t_3 ) con ( left (12-t right) ) en ( vecs r_ {3b} ), obtenemos:

[ vecs r_ {3} (t) = 1 , hat { mathbf {i}} + (12 - t) , hat { mathbf {j}} quad text {para} quad 6 le t_3 le 11 nonumber ]

Compruebe que todavía traza este segmento vertical de arriba a abajo.

Ahora podemos establecer la respuesta final como una única función con valores vectoriales definida por partes que traza toda esta ruta, comenzando cuando (t = 0 ).

[ vecs r (t) = begin {cases}
(t + 1) , hat { mathbf {i}} + (t + 1) , hat { mathbf {j}}, & 0 le t le 3
(7-t) , hat { mathbf {i}} + left (2 sqrt { frac {t - 3} {3}} + 4 right) , hat { mathbf {j} }, & 3 lt t le 6
1 , hat { mathbf {i}} + (12 - t) , hat { mathbf {j}} & 6 lt t_3 le 11
end {casos} nonumber ]

¡Asegúrese de verificar que esta única función con valor vectorial rastrea toda la ruta!

Límites y continuidad de una función con valores vectoriales

Ahora echamos un vistazo al límite de una función con valores vectoriales. Es importante comprender esto para estudiar el cálculo de funciones con valores vectoriales.

Definición: límite de una función con valores vectoriales

Una función con valores vectoriales ( vecs r ) se acerca al límite ( vecs L ) cuando (t ) se acerca a (a ), escrito

[ lim limits_ {t to a} vecs r (t) = vecs L, ]

previsto

[ lim limits_ {t to a} big | vecs r (t) - vecs L big | = 0. ]

En el siguiente ejemplo, mostramos cómo calcular el límite de una función con valores vectoriales.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Evaluación del límite de una función con valores vectoriales

Para cada una de las siguientes funciones con valores vectoriales, calcule ( lim limits_ {t to 3} vecs r (t) ) para

  1. ( vecs r (t) = (t ^ 2−3t + 4) hat { mathbf {i}} + (4t + 3) hat { mathbf {j}} )
  2. ( vecs r (t) = frac {2t − 4} {t + 1} hat { mathbf {i}} + frac {t} {t ^ 2 + 1} hat { mathbf {j }} + (4t − 3) hat { mathbf {k}} )

Solución

  1. Utilice la ecuación ref {Th1} y sustituya el valor (t = 3 ) en las dos expresiones componentes:

[ begin {align *} lim limits_ {t to 3} vecs r (t) ; & = lim limits_ {t to 3} left [(t ^ 2−3t + 4) hat { mathbf {i}} + (4t + 3) hat { mathbf {j}} right ] [5pt] & = left [ lim limits_ {t to 3} (t ^ 2−3t + 4) right] hat { mathbf {i}} + left [ lim limits_ {t to 3} (4t + 3) right] hat { mathbf {j}} [5pt] & = 4 hat { mathbf {i}} + 15 hat { mathbf {j} } end {align *} ]

  1. Utilice la Ecuación ref {Th2} y sustituya el valor (t = 3 ) en las tres expresiones componentes:

[ begin {align *} lim limits_ {t to 3} vecs r (t) ; & = lim limits_ {t to 3} left ( dfrac {2t − 4} {t + 1} hat { mathbf {i}} + dfrac {t} {t ^ 2 + 1} hat { mathbf {j}} + (4t − 3) hat { mathbf {k}} right) [5pt] & = left [ lim limits_ {t to 3} left ( dfrac {2t − 4} {t + 1} right) right] hat { mathbf {i}} + left [ lim limits_ {t to 3} left ( dfrac {t} {t ^ 2 + 1} right) right] hat { mathbf {j}} + left [ lim limits_ {t to 3} (4t − 3) right] hat { mathbf {k} } [5pt] & = tfrac {1} {2} hat { mathbf {i}} + tfrac {3} {10} hat { mathbf {j}} + 9 hat { mathbf {k}} end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Calcule ( lim limits_ {t to 2} vecs r (t) ) para la función ( vecs r (t) = sqrt {t ^ 2 + 3t - 1} , hat { mathbf {i}} - (4t-3) , hat { mathbf {j}} - sin frac {(t + 1) pi} {2} , hat { mathbf {k}} )

Insinuación

Utilice la ecuación ref {Th2} del teorema anterior.

Respuesta

[ lim limits_ {t to 2} vecs r (t) = 3 hat { mathbf {i}} - 5 hat { mathbf {j}} + hat { mathbf {k}} ]

Ahora que sabemos cómo calcular el límite de una función con valores vectoriales, podemos definir continuidad en un punto para tal función.

Definiciones

Sea (f ), (g ), y (h ) ser funciones de (t ). Entonces, la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) es continuo en el punto (t = a ) si se cumplen las siguientes tres condiciones:

  1. ( vecs r (a) ) existe
  2. ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) ) existe
  3. ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) = vecs r (a) )

De manera similar, la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ) es continuo en el punto (t = a ) si se cumplen las siguientes tres condiciones:

  1. ( vecs r (a) ) existe
  2. ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) ) existe
  3. ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) = vecs r (a) )

Resumen

  • Una función con valores vectoriales es una función de la forma ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) o ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ), donde el componente funciona (f ), (g ), y (h ) son funciones de valor real del parámetro (t ).
  • La gráfica de una función con valores vectoriales de la forma ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) es llamado a curva plana. La gráfica de una función con valores vectoriales de la forma ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h ( t) hat { mathbf {k}} ) se llama curva espacial.
  • Es posible representar una curva plana arbitraria mediante una función de valor vectorial.
  • Para calcular el límite de una función con valores vectoriales, calcule los límites de las funciones componentes por separado.

Ecuaciones clave

  • Función de valor vectorial
    ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) o ( vecs r (t) = f ( t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ), o ( vecs r (t ) = ⟨F (t), g (t)⟩ ) o ( vecs r (t) = ⟨f (t), g (t), h (t)⟩ )

  • Límite de una función con valores vectoriales
    ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) = [ lim limits_ {t to a} f (t)] hat { mathbf {i}} + [ lim limits_ {t to a} g (t)] hat { mathbf {j}} ) o ( lim limits_ {t to a} vecs r (t) = [ lim limits_ {t to a} f (t)] hat { mathbf {i}} + [ lim limits_ {t to a} g (t)] hat { mathbf {j}} + [ lim limits_ { t to a} h (t)] hat { mathbf {k}} )

Glosario

funciones de componentes
las funciones componentes de la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) son ( f (t) ) y (g (t) ), y las funciones componentes de la función con valores vectoriales ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ) are (f (t) ), (g (t) ) y (h (t) )
hélice
una curva tridimensional en forma de espiral
límite de una función con valores vectoriales
una función con valores vectoriales ( vecs r (t) ) tiene un límite ( vecs L ) cuando (t ) se acerca a (a ) si ( lim limits {t to a} izquierda | vecs r (t) - vecs L derecha | = 0 )
curva plana
el conjunto de pares ordenados ((f (t), g (t)) ) junto con sus ecuaciones paramétricas definitorias (x = f (t) ) y (y = g (t) )
reparametrización
una parametrización alternativa de una función determinada con valores vectoriales
curva espacial
el conjunto de triples ordenados ((f (t), g (t), h (t)) ) junto con sus ecuaciones paramétricas definitorias (x = f (t) ), (y = g (t) ) y (z = h (t) )
parametrización vectorial
cualquier representación de un plano o curva espacial usando una función con valores vectoriales
función de valor vectorial
una función de la forma ( vecs r (t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} ) o ( vecs r ( t) = f (t) hat { mathbf {i}} + g (t) hat { mathbf {j}} + h (t) hat { mathbf {k}} ), donde el componente funciones (f ), (g ), y (h ) son funciones de valor real del parámetro (t ).

Colaboradores

  • Gilbert Strang (MIT) y Edwin “Jed” Herman (Harvey Mudd) con muchos autores contribuyentes. Este contenido de OpenStax tiene una licencia CC-BY-SA-NC 4.0. Descárguelo gratis en http://cnx.org.

  • Editado por Paul Seeburger (Monroe Community College)
  • Paul Seeburger creó Ejemplo ( PageIndex {1} ), Ejercicio ( PageIndex {1} ) y las subsecciones tituladas: Encontrar una función con valores vectoriales para trazar la gráfica de una función (y = f ( x) ), encontrar una función con valores vectoriales para trazar la gráfica de una ecuación en (x ) y (y ) y viceversa, y parametrizar una ruta por partes.

Matemáticas 210: Cálculo III

Math 210 es la tercera y última parte de nuestra secuencia de cálculo estándar de tres semestres. La característica distintiva de esta parte del curso es su enfoque en el análisis multidimensional, a diferencia del análisis unidimensional que los estudiantes aprendieron en Matemáticas 180 (Cálculo I) y Matemáticas 181 (Cálculo II).

Math 210 se enfoca en conceptos importantes como el de un vector, un campo vectorial, una función de varias variables, derivada parcial, una integral de línea e integrales de múltiples variables. Las ideas del cálculo vectorial se aplican a numerosas áreas del conocimiento humano como la ingeniería, la física, las matemáticas puras, la biología y muchas otras.

Crédito otorgado

Materiales del curso

Libro de texto

Cálculo, trascendentales tempranos, por W. Briggs y L. Cochran, 3ª edición, y un código de acceso MyLabMath.

El curso pasará por los capítulos 13-17.

Se puede comprar un código MyLabMath en línea o en la librería de la UIC, con o sin el libro de texto. MyLabMath contiene una versión electrónica del libro.
Los códigos MyLabMath no vencidos se pueden reutilizar para Math 210. Para comprar el código MyLabMath por primera vez, hay dos opciones: un acceso que es válido por un semestre, ISBN 9780135329221, o un código de acceso que es válido para varios semestres , ISBN 9780135329276.

Debe tener en cuenta que solo estos ISBN funcionarán con su curso MyLabMath. Es muy probable que los libros con acceso a MyMathLab obtenidos de Amazon u otras fuentes no funcionen.


13.1: Funciones con valores vectoriales y curvas espaciales

En esta lección, aprenderá acerca de los puntos extremos absolutos y locales e identificará los puntos extremos del conjunto de puntos críticos y puntos finales.

Los problemas de optimización son una de las aplicaciones más importantes del cálculo diferencial porque a menudo queremos saber cuándo la salida de una función está en su máximo o mínimo. En tales problemas, puede haber un valor de salida mayor o menor en todo el intervalo de entrada de interés o dentro de una vecindad local de un valor de entrada. Tanto los valores máximos y mínimos absolutos como locales son de interés en muchos contextos.

Valores extremos absolutos de una función

Cuando un valor de salida de una función es un máximo o un mínimo en todo el dominio de la función, el valor se llama el máximo absoluto o el mínimo absoluto, Como es definido debajo.

Dejar F ser una función con dominio D y deja C ser una constante fija en D. Entonces el valor de salida F(C) es el

Valores extremos absolutos: un ejemplo

El dominio de F(X) = X 2 son todos los números reales y el rango son todos los números reales no negativos. El gráfico de la figura siguiente sugiere que la función no tiene un valor máximo absoluto y tiene un mínimo absoluto de 0, que ocurre en X = 0.

Los valores extremos absolutos en un dominio restringido

Si el dominio de F(X) = X 2 está restringido a [-2, 3], el rango correspondiente es [0, 9]. Como se muestra a continuación, el gráfico del intervalo [-2, 3] sugiere que F tiene un máximo absoluto de 9 en X = 3 y un mínimo absoluto de 0 en X = 0.

Los dos ejemplos anteriores muestran que la existencia de máximos y mínimos absolutos depende del dominio de la función.

Teorema del valor extremo

El siguiente teorema 1 se denomina teorema del valor extremo. Describe una condición que asegura que una función tenga tanto un mínimo absoluto como un máximo absoluto. El teorema es importante porque puede guiar nuestras investigaciones cuando buscamos absoluto valores extremos de una función.

Teorema 1 Si F es continuo en un intervalo cerrado [a, B], luego F tiene un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en el intervalo.

Este teorema dice que una función continua que se define en un cerrado El intervalo debe tener un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto. No aborda cómo encontrar los valores extremos.

Valores extremos locales de una función

Uno de los resultados más útiles del cálculo es que los valores extremos absolutos de una función deben provenir de una lista de local valores extremos, y esos valores se encuentran fácilmente usando la primera derivada de la función.

Los valores extremos locales, como se definen a continuación, son los puntos máximo y mínimo (si los hay) cuando el dominio está restringido a una pequeña vecindad de valores de entrada.

Dejar C ser un punto interior del dominio de la función F. Entonces la función F tiene un

  1. máximo local a C si y solo si F(X) F(C) para todos X en algún intervalo abierto que contiene C.
  2. mínimo local a C si y solo si F(C) F(X) para todos X en algún intervalo abierto que contiene C.

Puntos finales como extremos locales

La definición de extremos locales dada anteriormente restringe el valor de entrada a un punto interior del dominio. La definición se puede ampliar para incluir puntos finales de intervalos.

Una función F tiene un máximo local o un mínimo local en un punto final c de su dominio si la desigualdad apropiada es válida para todos X en algún intervalo semiabierto contenido en el dominio y que tiene C como su único punto final.

De las definiciones se desprende claramente que para los dominios que constan de uno o más intervalos, cualquier punto extremo absoluto debe ser también un punto extremo local. Entonces, los extremos absolutos se pueden encontrar investigando todos los extremos locales.

Candidatos para puntos locales de valor extremo

El teorema 2 a continuación, que también se llama Teorema de Fermat, identifica candidatos para puntos de valores extremos locales.

Teorema 2 Si una función tiene un valor máximo local o un valor mínimo local en un punto interior C de su dominio y si f ' existe en C, luego f ' (C) = 0.

Encontrar valores extremos de una función

El teorema 2 dice que si una función tiene una primera derivada en un punto interior donde hay un extremo local, entonces la derivada debe ser igual a cero en ese punto. No dice que todo punto donde la primera derivada sea igual a cero deba ser un extremo local. Debido al teorema 2, solo se deben considerar algunos puntos al encontrar los valores extremos de una función. Esos puntos consisten en puntos de dominio interior donde f ' (X) = 0, puntos de dominio interior donde f ' no existe, y los puntos finales del dominio, que no están cubiertos por el teorema.

A punto crítico es un punto interior en el dominio de una función en el que f ' (X) = 0 o f ' no existe. Así que los únicos candidatos posibles para el X-Coordinado de un punto extremo son los puntos críticos y los puntos finales.

Encontrar los valores extremos usando técnicas de cálculo

Encuentre los valores extremos locales y absolutos de F(X) = X 2 en el intervalo cerrado [-2, 3] usando cálculo. El teorema 1 se aplica aquí, por lo que sabemos con certeza que esta función debe tener extremos absolutos en este dominio.

Comparando los valores de salida cuando X = -2, X = 0 y X = 3, se pueden determinar los extremos absolutos.

Revise la gráfica de la función en el dominio restringido. El gráfico apoya los resultados anteriores.

13.1.1 Encuentre los valores extremos de F(X) = X 2 en [-4, 2] usando técnicas de cálculo y luego respalde sus respuestas dibujando el gráfico. Haga clic aquí para obtener la respuesta.

Las técnicas de cálculo producen resultados que pueden estar respaldados por gráficos, y los gráficos pueden orientar en el descubrimiento de valores extremos, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Valores extremos de F(X) = X 2/3 en [-2, 4]

Encuentra los valores extremos de F(X) = X 2/3 en el dominio restringido [-2, 4] viendo el gráfico y luego usando técnicas de cálculo.

La función parece tener un mínimo absoluto cerca X = 0 y dos máximos locales, que se producen en los puntos finales del dominio restringido. El máximo absoluto ocurre en el extremo derecho del dominio restringido.

Ahora determine los puntos extremos usando técnicas de cálculo.

La derivada,, no es igual a 0 en ninguna parte de [-2, 4], por lo que ningún punto crítico proviene de esa condición, pero f ' no existe en X = 0, lo que implica que X = 0 es un punto crítico. Por tanto, el único punto crítico de F ocurre en X = 0.

Utilice la función Value de la pantalla Graph para calcular los valores de F en el punto crítico y en los extremos del dominio restringido [-2, 4].

  • De la gráfica de F presione [CALC] y seleccione 1: valor.
  • Evaluar F a X = -2, X = 0 y X = 4 ingresando -2, 0 y 4, respectivamente.

Los valores extremos se pueden resumir de la siguiente manera:

En los ejemplos anteriores, nos hemos ocupado de funciones continuas definidas en intervalos cerrados. En tal caso, el Teorema 1 garantiza que habrá tanto un máximo absoluto como un mínimo absoluto. En este ejemplo, el dominio no es un intervalo cerrado y el teorema 1 no se aplica. Los valores extremos de se pueden encontrar usando un procedimiento similar al anterior, pero se debe tener cuidado para asegurar que los extremos realmente existan.

Observe que el dominio de F es (-2, 2) porque el radicando debe ser no negativo y el denominador debe ser distinto de cero.

El gráfico sugiere que hay un mínimo absoluto de aproximadamente 0,5 en X = 0. También parece haber máximos locales de alrededor de 2,5 cuando X = -2 y X = 2. Sin embargo, F no está definido en X = -2 y X = 2, por lo que no pueden ser máximos locales.

Las técnicas de cálculo requieren que se identifiquen los puntos finales del dominio y los puntos críticos. El dominio de F es (-2, 2), un intervalo abierto, por lo que no hay puntos finales. Los puntos críticos se determinan utilizando la derivada, que se encuentra con la regla de la cadena.

La derivada es 0 en X = 0 y no está definido en X = -2 y X = 2. Debido a que -2 y 2 no están en el dominio de F, el único punto crítico es X = 0.

Como X se aleja de 0 en cualquier dirección, el denominador de F(X) se vuelve más pequeño y F(X) se hace más grande. Por lo tanto, F tiene un mínimo absoluto de 0,5 en X = 0.

No hay puntos máximos absolutos. Esto no viola el teorema del valor extremo porque la función no está definida en un intervalo cerrado. Dado que un máximo absoluto debe ocurrir en un punto crítico o un punto final, y X = 0 es el único punto de este tipo, no puede haber un máximo absoluto.

Valores críticos que no son extremos

Los puntos extremos de una función deben ocurrir en puntos críticos o puntos finales; sin embargo, no todos los puntos críticos o puntos finales son extremos. Los siguientes gráficos de y = X 3 e ilustrar puntos críticos en X = 0 que no son puntos extremos.

Observe que la derivada de y = X 3 es y ' = 3X 2 y la derivada de y = X 1/3 es.

La primera derivada de y = X 3 es cero cuando X = 0 y la primera derivada de y = X 1/3 no existe en X = 0. Aunque X = 0 es un punto crítico de ambas funciones, ninguna tiene un valor extremo allí.

Además de encontrar puntos críticos usando técnicas de cálculo, ver el gráfico de una función debería ayudar a identificar valores extremos.

En estos dos ejemplos, observe que la primera derivada es positiva en ambos lados de X = 0. En la lección 13.2 usaremos la Prueba de la primera derivada, donde el signo de la derivada a cada lado de un punto crítico se usa para determinar si el punto crítico es un máximo local, un mínimo local o ninguno.


13.1: Funciones con valores vectoriales y curvas espaciales

Sección 01: Producción

Funciones de producción

Ahora nos centraremos en lo que hay detrás de la curva de oferta. Las ganancias equivalen a los ingresos totales menos los costos totales. El ingreso total es igual al precio multiplicado por la cantidad y examinamos su relación en la sección de elasticidad. Esta sección se centra en la segunda parte de la ecuación, los costos. Para producir, debemos emplear recursos, es decir, tierra, trabajo, capital y espíritu empresarial. ¿Qué sucede con la producción a medida que se emplean más recursos?

Podemos demostrar el impacto de agregar más de un recurso variable, digamos trabajo, a una cantidad fija de capital y ver qué sucede con la producción. Para fines de demostración en economía, a menudo hacemos widgets, que es en realidad cualquier dispositivo fabricado hipotético. Nuestro widget se hará tomando un cuarto de hoja de papel, doblándolo por la mitad dos veces, luego engrapándolo y escribiendo la letra W en él. Si tiene una familia numerosa, puede hacer esto como una actividad de Noche de hogar; de lo contrario, puede seguir leyendo para ver los resultados. Los insumos son una pila de cuartos de hojas de papel, una grapadora, un bolígrafo y una hoja de cartulina de 2 'x 3' que representa su fábrica en la que debe llevarse a cabo toda la producción. Cada ronda es una cierta cantidad de tiempo, digamos 40 segundos. & # 13

¿Cuál será el nivel de producción de los widgets a medida que se agregue más mano de obra? Con cero trabajadores, no se produce nada. Con un trabajador, el trabajador debe doblar el papel, engraparlo y escribir la W. Al hacer todas estas tareas por sí mismo, nuestro primer trabajador puede producir tres widgets.

Producto Marginal

Producto total es simplemente la producción que producen todos los trabajadores empleados. Producto Marginal es la salida adicional que genera un trabajador adicional. Con un segundo trabajador, la producción aumenta en 5 y con el tercer trabajador aumenta en 6. Cuando se agregan estos trabajadores, el producto marginal aumenta. ¿Qué factores causarían esto? A medida que se agregan más trabajadores, pueden dividir las respectivas tareas y especializarse. Cuando el producto marginal aumenta, el producto total aumenta a una tasa creciente. Si una empresa va a producir, no querrá producir cuando el producto marginal esté aumentando, ya que al agregar un trabajador adicional, el costo por unidad de producción estaría disminuyendo.

En La riqueza de las naciones, Adam Smith escribió sobre las ventajas de la división del trabajo usando el ejemplo de un fabricante de alfileres. Señaló que una persona no educada en el negocio apenas podría ganar un alfiler al día y ciertamente no más de veinte. Pero el negocio de la fabricación de alfileres se divide en una serie de oficios peculiares y cada trabajador se especializa en ese oficio. “Un hombre saca el alambre, otro lo endereza, un tercero lo corta, un cuarto lo apunta, un quinto lo muele en la parte superior para recibir la cabeza para hacer que la cabeza requiera dos o tres operaciones distintas para ponerla, es un negocio peculiar, blanquear los alfileres es otro, incluso es un oficio en sí mismo ponerlos en el papel y el importante negocio de hacer un alfiler se divide, de esta manera, en unas dieciocho operaciones distintas, que, en algunas fábricas, son todas realizadas por manos distintas, aunque en otras el mismo hombre a veces realiza dos o tres de ellas ". Como resultado, estas diez personas pueden producir más de cuarenta y ocho mil alfileres en un día. & # 13

Rendimientos decrecientes

En algún momento, se establecen rendimientos marginales decrecientes y el producto marginal de otro trabajador disminuye. A medida que se agregan más trabajadores, el capital, es decir, el tamaño de la fábrica, la grapadora y el bolígrafo se vuelven más escasos. La ley de rendimientos marginales decrecientes establece que a medida que se agregan cantidades sucesivas del insumo variable, es decir, trabajo, a una cantidad fija de otros recursos, es decir, capital, en el proceso de producción, la contribución marginal del recurso variable adicional eventualmente disminuirá. A medida que el producto marginal comienza a caer pero permanece positivo, el producto total continúa aumentando pero a un ritmo decreciente. Siempre que el producto marginal de un trabajador sea mayor que el producto medio, calculado tomando el producto total dividido por el número de trabajadores, el producto promedio aumentará. Para los estudiantes, a menudo es más fácil de recordar cuando piensan en su promedio de calificaciones. Si su g.p.a. para este semestre, es decir, su g.p.a. marginal, es mayor que su g.p.a. acumulado, es decir, su g.p.a. promedio, luego su g.p.a. promedio se levantará. Pero si tu g.p.a. este semestre es más bajo que su g.p.a. acumulado, luego su g.p.a. acumulado caerá. Por tanto, el producto marginal siempre intersecará el producto medio con el producto medio máximo.

Incluso puede llegar un punto en el que agregar un trabajador adicional haga que las cosas estén tan abarrotadas que el producto total comience a caer. En este caso, el producto marginal es negativo. En nuestro ejemplo, agregar el noveno y el décimo trabajador arroja una producción menor que la que se produjo con solo ocho trabajadores. & # 13

Entonces, ¿cuántos trabajadores deberían emplearse? Sabemos que no nos detendríamos en la región donde el producto marginal está aumentando y no produciríamos en la región donde el producto marginal es negativo. Por lo tanto, produciremos donde el producto marginal sea decreciente pero positivo, pero sin considerar los costos y el precio al que se vende la producción, no podemos determinar cuántos trabajadores emplear.

Una función de producción muestra la producción o el producto total como una mayor parte del insumo variable, en nuestro caso se agrega trabajo. La función muestra las regiones de producto marginal creciente, producto marginal decreciente y producto marginal negativo.

Los equipos de construcción residencial suelen ser de tres a ocho personas, según el tipo de trabajo. Piense en los factores que causarían un aumento y una disminución de la productividad marginal en la construcción. Piense en otra industria y ¿cuál sería el número ideal de trabajadores?

Ecuaciones clave

Sección 02: Costos a corto plazo

Contabilidad vs Economía

Recuerde que los costos explícitos son gastos de bolsillo, como los pagos de alquiler y servicios públicos, y los costos implícitos reflejan los costos de oportunidad de no emplear el recurso en la siguiente mejor opción. Por lo tanto, el propietario del edificio no tiene que pagar el alquiler, pero al usar el edificio se renuncia a la oportunidad de alquilarlo a otra persona. & # 13

Beneficios contables están calculando restando los costos explícitos de los ingresos totales. Beneficios económicos ir un paso más allá y restar también los costes implícitos. Al incluir los costos implícitos, podemos determinar si los recursos generan al menos lo que se podría ganar si se emplearan en la siguiente mejor opción. A beneficio normal es el rendimiento mínimo para mantener un recurso en su uso actual. Si una empresa no obtiene beneficios económicos, ¿seguiría funcionando? Una empresa que está ganando una economía cero está obteniendo una ganancia normal y no hay ningún incentivo para mover los recursos a otro uso, ya que la cantidad que está ganando es igual a la rentabilidad que podría obtener en otra parte.

Utilizando la siguiente información, calcule los costos explícitos e implícitos, las ganancias contables y económicas. Luego explique qué pasará en esta industria y por qué.

Ingresos totales $ 600,000

Costo de materiales $ 200,000

Salarios a los empleados $ 250,000

Salario perdido $ 100,000

Alquiler e intereses perdidos $ 80,000

Los costos explícitos serían los gastos de bolsillo de materiales y salarios de los empleados: 200,000 + 250,000 = $ 450,000. Los costos implícitos son las oportunidades perdidas, en este caso el salario que el propietario está renunciando al trabajar en su negocio en lugar de trabajar en otro lugar y el alquiler y los intereses perdidos que podrían ganarse con el edificio y el dinero inmovilizado en la empresa: $ 100,000 + $ 80 000 = $ 180 000. La ganancia contable es de $ 150 000 calculada tomando los ingresos totales de $ 600 000 menos los costos explícitos de $ 450 000. Restar los $ 180 000 adicionales de costos implícitos deja una ganancia económica de $ 30 000 negativos. Aunque la dueña de la empresa obtiene una ganancia contable de $ 150,000, su ganancia económica es negativa, lo que significa que podría ganar más cerrando la empresa y empleando los recursos en su siguiente mejor alternativa. Por lo tanto, si esta pérdida continúa, anticipamos que el propietario saldría de este negocio.

Costos fijos y variables

A corto plazo, al menos uno de los insumos o recursos es fijo. Los costos fijos son aquellos que no cambian a medida que cambia el nivel de producción. Los costos variables son aquellos costos que cambian a medida que cambia la producción. Los costos fijos pueden ser bastante elevados. En la industria aérea, por ejemplo, los costos fijos oscilan entre el 40 y el 70 por ciento de los costos totales. Así, durante la semana del 11 de septiembre de 2001, cuando los vuelos comerciales fueron suspendidos, las aerolíneas aún incurrieron en costos sustanciales a pesar de que no estaban operando. Estos costos fijos incluían rubros como seguros, depreciación de equipos, impuestos e intereses de sus préstamos. Sin embargo, dado que no estaban operando, no se incurrió en costos variables como el combustible para aviones, las comidas a bordo y los salarios de los empleados por hora. & # 13

Dado que los costos fijos no cambian a medida que cambia la producción, la línea de costo fijo total es plana al nivel del costo fijo. Si no se produce ninguna producción, los costes variables son cero. A medida que aumenta la producción, los costos variables totales aumentan a una tasa decreciente, ya que el producto marginal por cada trabajador adicional aumenta. Con el producto marginal decreciente, el costo variable total aumenta a una tasa creciente. Los costos totales son la suma de los costos fijos totales y los costos variables totales, por lo que el costo total comienza en el nivel de los costos fijos y se desplaza hacia arriba por encima del costo variable total por el monto del costo fijo. & # 13

En nuestro ejemplo de widget, asumiremos que el costo fijo de la grapadora, el bolígrafo y la "fábrica" ​​es de $ 10 y el costo de cada trabajador contratado es de $ 5 por trabajador. Dado que los costos fijos son constantes, la empresa incurre en $ 10 independientemente del nivel de producción. La mano de obra es el único costo variable calculado por $ 5 por el número de trabajadores. Cuando analicemos los costos, nos referiremos a nuestra producción como cantidad denotada por una Q, en lugar de producto total, denotado por TP.

También podemos evaluar los costos mirando los costos marginales y los costos promedio. El costo marginal es el cambio en el costo total dividido por el cambio en la producción. Dado que los costos fijos no cambian con la producción, el costo marginal también se puede calcular dividiendo el cambio en el costo variable total por el cambio en la cantidad. Si la ecuación, TC = TFC y TVC se divide por la cantidad, obtenemos el promedio de cada artículo, es decir, el costo total promedio es igual a los costos fijos promedio más el costo variable promedio.

Usando nuestro ejemplo de widget, calculamos el MC, AFC, AVC y ATC. Tenga en cuenta que no calculamos los valores marginales o promedio con salida cero.

A menudo es más fácil ver relaciones importantes cuando graficamos los resultados para ATC, AVC, AFC y MC. Tenga en cuenta que nunca producimos donde el producto marginal es negativo, es decir, en nuestro ejemplo nunca emplearíamos al noveno y décimo trabajador. Así que graficaremos solo la producción de uno a ocho trabajadores. A menudo no graficamos los costos fijos promedio, porque el costo fijo promedio está representado por la distancia vertical entre ATC y AVC. Sin embargo, en este caso lo graficaremos para que pueda ver una característica importante: dado que los costos fijos no cambian con el nivel de producción, los costos fijos promedio se reducen a medida que se produce más cantidad, lo que hace que la distancia vertical entre ATC y AVC más pequeño a medida que aumenta la producción. Otra relación importante también se puede ver en estas cifras, y es que el costo marginal intersecta los costos promedio variable y promedio total en sus mínimos. Recuerde que se hizo una observación similar para el producto marginal y el producto promedio, solo que en ese caso, el producto marginal se cruzó con el producto promedio en su máximo.

1. Con una salida de 10, calcule (a) TC, (b) TFC y (c) TVC.

2. ¿Cuál sería la distancia vertical entre ATC y AVC a 20 unidades de salida?

Costo total = ATC * Q = $ 15 * 10 = $ 150

Costo variable total = AVC * Q = $ 8 * 10 = $ 80

La distancia vertical entre ATC y AVC es AFC, entonces TFC = AFC * Q = $ 7 * 10 = $ 70

Si el costo fijo total es de $ 70, entonces a 20 unidades de producción, la distancia vertical entre ATC y AVC, que es el AFC, sería de $ 3,50.

Relaciones

Existen algunas relaciones importantes entre las medidas de productividad (TP, AP y MP) y las medidas de costos. Estas relaciones resultan de cómo la productividad determina los costos. Considere, por ejemplo, cuando una empresa agrega un trabajador más que hace que la productividad mejore. ¡Esto significaría que la producción aumentará más para este trabajador que para los trabajadores anteriores! En el margen, ¿qué crees que pasará con el costo adicional con respecto a la producción? Claramente, el costo de esa producción adicional será menor porque la empresa obtiene más producción por trabajador. Este resultado proporciona una relación interesante entre el costo marginal y el producto marginal. Cuando el producto marginal está en un pico, entonces el costo marginal debe ser mínimo. Esto siempre será cierto y, como resultado, el costo marginal es la imagen especular del producto marginal. Cuando el producto marginal aumenta, el costo marginal de producir otra unidad de producción disminuye y cuando el producto marginal disminuye, el costo marginal aumenta. De manera similar, cuando el producto promedio aumenta, el promedio variable el costo está cayendo, y cuando el producto promedio está cayendo, el promedio variable el costo está aumentando (dado que el producto promedio corresponde al cambio de entrada variable, esta relación importante existe con el costo variable promedio y NO con el costo total promedio). Finalmente, cuando el producto total aumenta a una tasa creciente, el costo total aumenta a una tasa decreciente. Cuando el producto total aumenta a una tasa decreciente, el costo total aumenta a una tasa creciente.

1. Complete la siguiente hoja de trabajo. Use las ecuaciones a continuación para ayudarlo a completar la hoja de trabajo.

Respuestas a la hoja de trabajo de producción

Sección 03: Costos a largo plazo

Curvas de costos

El largo plazo es ese período de tiempo que permitiría que todos los insumos o recursos se conviertan en variable. A largo plazo, no hay costos fijos y una empresa puede decidir la cantidad de cada insumo. Piense en un negocio que recién comienza y podrían determinar el tamaño del edificio, la cantidad de equipo, el número de trabajadores, etc. ¿Cuál sería la cantidad ideal de cada entrada?

Hasta ahora, hemos estado considerando los costos a corto plazo, es decir, cuando al menos un factor es fijo. Ahora queremos considerar qué sucede con los costos cuando todos los insumos son variables, es decir, a largo plazo. Por lo general, el tamaño de la planta solo se puede cambiar a largo plazo, es decir, a menudo es la última entrada que se vuelve variable. A largo plazo, queremos seleccionar un tamaño de planta que nos proporcione los costos más bajos para nuestro nivel de producción. Por ejemplo, supongamos que podemos construir plantas de diferentes tamaños. Si la producción deseada es de solo 25 unidades, entonces una planta pequeña puede producir a un costo promedio más bajo ($ 40) que la planta de tamaño mediano ($ 50). Sin embargo, si nuestra producción deseada es de 40 unidades, entonces la planta de tamaño mediano puede producir a un costo promedio más bajo que la planta pequeña. Las empresas a menudo enfrentan el desafío de saber qué cantidad de insumos (es decir, tamaño del edificio y del equipo) comprar que les permita ser competitivos hoy dada su participación de mercado actual, pero aún así poder crecer y ser competitivos en el futuro como participación de mercado. se expande.

Suponiendo que todos los factores son variables, la curva de costo promedio a largo plazo muestra el costo promedio mínimo de producir cualquier nivel dado de producción. La curva de costo promedio a largo plazo se obtiene combinando las posibles curvas a corto plazo (es decir, se obtiene combinando todos los tamaños de planta posibles). Más particularmente, es una línea que es tangente a cada una de las curvas de costo promedio a corto plazo. Si el aumento de la producción reduce el costo unitario, la empresa está experimentando economías de escala (lo que significa que los tamaños de planta más grandes tienen costos totales promedio más bajos en sus respectivos puntos mínimos). Normalmente vemos esto cuando el tamaño de las plantas es pequeño.

Economías de escala

Esto se puede explicar por diversas razones. A medida que aumenta la capacidad de la planta, las empresas pueden especializar su trabajo y capital en mayor grado. Los trabajadores pueden especializarse extremadamente bien en realizar un número limitado de tareas. Otro factor que contribuye a las economías de escala es la extensión del diseño y los costos de puesta en marcha sobre una mayor cantidad de producción. Para muchos productos, los costos de diseño y desarrollo son significativos. Por ejemplo, en la industria del cine, el costo marginal de hacer una segunda copia de una película es casi cero y, a medida que se producen copias de la película, el costo promedio disminuye significativamente. Algunos cineastas filmarán la película y su secuela al mismo tiempo para reducir los costos unitarios. & # 13

A medida que se producen cantidades mayores, los insumos utilizados se pueden comprar en cantidades mayores y, a menudo, a un costo unitario menor. El costo unitario al pedir un vagón de ferrocarril o una semi carga de material es menor que al comprar los insumos en pequeñas cantidades. Además, al repartir el costo de realizar el pedido entre más unidades, se reduce el costo por unidad. & # 13

La estructura de costos de la industria determina la forma de su curva de costo promedio a largo plazo. Algunas industrias pueden alcanzar el costo unitario más bajo con una planta o escala de operación relativamente pequeña. Otras industrias exhiben un monopolio natural donde la curva de costo promedio a largo plazo continúa disminuyendo en todo el rango de demanda de un producto. En este tipo de industria, es difícil que otras empresas entren y compitan, ya que la empresa existente tiene un costo unitario más bajo. La escala mínima de eficiencia es el tamaño de la planta (o escala de operación) que una empresa debe alcanzar para obtener el costo promedio más bajo o agotar todas las economías de escala.

Deseconomías de escala

La región donde los costos promedio a largo plazo permanecen sin cambios a medida que aumenta el tamaño de la planta se conoce como rendimientos constantes a escala. Las deseconomías de escala ocurren cuando los costos promedio aumentan a medida que aumenta el tamaño de la planta. A medida que aumenta la producción, la cantidad de trámites burocráticos aumentará a medida que sea necesario contratar gerentes para administrar gerentes. La eficiencia se pierde a medida que el tamaño de la operación se vuelve demasiado grande. Si un fabricante de automóviles decide producir toda su producción en un solo lugar, piense en el tamaño de la operación. Mover insumos dentro y fuera de la planta aumentaría los costos significativamente. Del mismo modo, sería difícil encontrar la mano de obra necesaria en una sola ciudad. Al reconocer las deseconomías que podrían existir, los fabricantes de automóviles han optado por producir su producción en varias plantas diferentes repartidas por todo el mundo.

Considere otro ejemplo. Piense en lo que costaría fabricar su propio automóvil. ¿Cuántas horas de diseño se necesitarían? Mientras construye el vehículo, piense en las herramientas especializadas que necesitaría para hacer el motor, el marco, las ventanas, las bridas, etc. Incluso si construyó un automóvil para cada miembro de su familia o cada hogar en su ciudad, el el costo por vehículo sería enorme porque a esta escala de operación, el grado de especialización es limitado. Las empresas que fabrican automóviles producen miles o incluso millones, lo que les permite especializar su capital y mano de obra, lo que hace que el costo unitario sea significativamente menor.

Piense en este ejemplo adicional. ¿Por qué los cineastas como Disney o Pixar pueden vender sus películas que cuestan millones de dólares por $ 20 cada una, mientras que los videos de educación técnica que cuestan unos cientos de miles de producir se venderán por cientos de dólares?

Las películas populares venderán cientos de miles de copias, lo que permite a los cineastas especializar su fuerza de trabajo y equipos, ya que su escala de operaciones será significativamente mayor. Por otro lado, la producción de películas de educación técnica cuesta mucho menos, pero solo se venderán unos pocos cientos de copias. Dado que su escala de operación es pequeña, no pueden obtener los beneficios de las economías de escala que les permitirían un uso más eficiente de la mano de obra y el capital.

Economías de alcance

Si bien las economías de escala reducen el costo unitario a medida que se produce más del mismo producto, economías de alcance reduce el costo unitario a medida que aumenta la gama de productos producidos. Por ejemplo, si un restaurante que ofrece almuerzos y cenas comenzara a ofrecer desayunos, los costos fijos del equipo de cocina y el área de asientos podrían distribuirse entre un mayor número de comidas servidas, disminuyendo el costo total por comida. Asimismo, una gasolinera que ya debe tener un asistente de servicio y un edificio puede reducir el costo unitario al proporcionar artículos de la tienda de conveniencia, como bebidas y bocadillos. Dado que el costo de producción o suministro de estos productos es interdependiente, el suministro de ambos reduce el costo por unidad.


Soluciones para el Capítulo 13: Funciones con valores vectoriales y movimiento en el espacio

Soluciones para el Capítulo 13: Funciones con valores vectoriales y movimiento en el espacio

Libro de texto: Thomas & # 39 Calculus
Edición: 12
Autor: George B. Thomas Jr.
ISBN: 9780321587992

Thomas & # 39 Calculus fue escrito por y está asociado con el ISBN: 9780321587992. Esta extensa guía de supervivencia de libros de texto cubre los siguientes capítulos y sus soluciones. El Capítulo 13: Funciones con valores vectoriales y movimiento en el espacio incluye 32 soluciones completas paso a paso. Dado que se han resuelto 32 problemas del capítulo 13: Funciones con valores vectoriales y movimiento en el espacio, más de 21587 estudiantes han visto las soluciones completas paso a paso de este capítulo. Esta guía de supervivencia de libros de texto fue creada para el libro de texto: Thomas & # 39 Calculus, edición: 12.

Una pantalla gráfica rectangular de datos categóricos.

Una línea sobre la cual un gráfico es la imagen especular de sí mismo.

Una expresión de la forma logb x (consulte Función logarítmica)

Un modelo de crecimiento de la población: ƒ1x2 = c 1 + a # bx o ƒ1x2 = c1 + ae-kx, donde a, b, c y k son positivos con b & lt 1. c es el límite del crecimiento

La magnitud de PQ es la distancia entre P y Q

El número cero en una recta numérica, o el punto donde los ejes xey se cruzan en el sistema de coordenadas cartesianas, o el punto donde los ejes x, y y z se cruzan en el espacio tridimensional cartesiano.

Ver Secuencia de sumas parciales.

Una identidad trigonométrica que reduce la potencia a la que se elevan las funciones trigonométricas.

La colección de probabilidades de resultados en un espacio muestral asignado por una función de probabilidad.

Teorema En un triángulo rectángulo con lados ayby ​​hipotenusa c, c2 = a2 + b2

logb a R S b = logb R - logb S, R & gt 0, S & gt 0

La magnitud del vector velocidad, dada por la distancia / tiempo.

p = ƒ (x), donde x representa la producción y p representa el precio

La porción rectangular del plano de coordenadas especificado por las dimensiones [Xmin, Xmax] por [Ymin, Ymax].


Dibujar rectángulos

A diferencia de SVG, & ltcanvas & gt solo admite dos formas primitivas: rectángulos y caminos (listas de puntos conectados por líneas). Todas las demás formas deben crearse combinando uno o más trazados. Afortunadamente, tenemos una variedad de funciones de dibujo de ruta que hacen posible componer formas muy complejas.

Primero veamos el rectángulo. Hay tres funciones que dibujan rectángulos en el lienzo:

fillRect (x, y, width, height) Dibuja un rectángulo relleno. strokeRect (x, y, width, height) Dibuja un contorno rectangular. clearRect (x, y, width, height) Borra el área rectangular especificada, haciéndola completamente transparente.

Cada una de estas tres funciones toma los mismos parámetros. xey especifican la posición en el lienzo (relativa al origen) de la esquina superior izquierda del rectángulo. el ancho y el alto proporcionan el tamaño del rectángulo.

A continuación se muestra la función draw () de la página anterior, pero ahora está haciendo uso de estas tres funciones.

Ejemplo de forma rectangular

El resultado de este ejemplo se muestra a continuación.

Captura de pantallaMuestra en vivo

La función fillRect () dibuja un gran cuadrado negro de 100 píxeles a cada lado. La función clearRect () luego borra un cuadrado de 60x60 píxeles del centro, y luego se llama a strokeRect () para crear un contorno rectangular de 50x50 píxeles dentro del cuadrado despejado.

En las próximas páginas veremos dos métodos alternativos para clearRect (), y también veremos cómo cambiar el color y el estilo de trazo de las formas renderizadas.

A diferencia de las funciones de ruta que veremos en la siguiente sección, las tres funciones de rectángulo se dibujan inmediatamente en el lienzo.


Descripción usando energía

Podemos describir el movimiento de la masa usando energía, ya que la energía mecánica de la masa se conserva. En cualquier posición, (x ), la energía mecánica, (E ), de la masa tendrá un término de la energía potencial, (U ), asociada con la fuerza del resorte y la energía cinética, ( K ): [ begin E = U + K = frac <1> <2> kx ^ 2 + frac <1> <2> mv ^ 2 end] Podemos encontrar la energía mecánica, (E ), evaluando la energía en uno de los puntos de inflexión. En estos puntos, la energía cinética de la masa es cero, entonces (E = U (x = A) = 1 / 2kA ^ 2 ). Entonces podemos escribir la expresión de energía mecánica como:

Por tanto, siempre podemos conocer la rapidez, (v ), de la masa en cualquier posición, (x ), si conocemos la amplitud (A ):

Si duplica la amplitud del movimiento de una masa unida a un resorte, su velocidad máxima será:


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Recibió Enero de 2019 Revisado Febrero de 2020 Publicado Marzo 2021 Acceso temprano Junio ​​de 2020

Proyecto de fondo: Este trabajo fue apoyado por JSPS Grant-in-Aid for Early-Career Scientists, 18K13447

Consideramos un fenómeno de explosión para $ < partial_t ^ 2 u_ varepsilon> $ $ <- varepsilon ^ 2 partial_x ^ 2u_ varepsilon> $ $ <= F ( partial_t u_ varepsilon)>. $ La derivada de la solución $ partial_t u_ varepsilon $ explota en una curva $ t = T_ varepsilon (x) $ si imponemos algunas condiciones sobre los valores iniciales y el término no lineal $ F $. Llamamos $ T_ varepsilon $ curva de expansión para $ < partial_t ^ 2 u_ varepsilon> $ $ <- varepsilon ^ 2 partial_x ^ 2u_ varepsilon> $ $ <= F ( partial_t u_ varepsilon)> . $ De la misma manera, consideramos la curva de explosión $ t = tilde(x) $ por $ < partial_t ^ 2 u> $ $ = $ $ . $ El propósito de este artículo es mostrar que, para cada $ x $, $ T_ varepsilon (x) $ converge en $ tilde(x) $ como $ varepsilon rightarrow 0. $

Referencias:

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¿Qué es una imagen vectorial? por: Shayla

Si alguna vez ha realizado algún diseño gráfico, probablemente haya estado expuesto al término gráfico vectorial y haya tenido este tipo de preguntas. No se preocupe, esto es algo bueno. Vamos a & # 8217s comenzar con lo básico y aprender & # 8220 ¡qué es una imagen vectorial! & # 8221.

Gráficos de trama vs gráficos vectoriales

Gráficos de trama (archivos jpg / png / tiff)

La mayoría de las personas están familiarizadas con las imágenes .jpg, como las que obtendría de su cámara digital. Si alguna vez se acercó mucho o amplió una imagen .jpg demasiado grande, es posible que haya notado que la imagen se vuelve borrosa y los colores se convierten en pequeños cuadrados o puntos. Los pequeños puntos se denominan píxeles y este tipo de imagen se denomina gráfico de trama. Si alguna vez ha tenido que editar una foto digital, sabrá el tiempo que puede llevar cambiar lo más pequeño.

Izquierda: imagen completa. Derecha: imagen ampliada para mostrar píxeles cuadrados que la hacen rasterizada.

Gráfico vectorial (archivos ai / eps / svg)

Entonces, ¿qué tiene de diferente una imagen vectorial? Ves cientos de gráficos vectoriales al día y probablemente no te des cuenta. La mayoría de los logotipos son archivos vectoriales. Más específicamente, un gráfico vectorial es una obra de arte formada por puntos, líneas y curvas que se basan en ecuaciones matemáticas, en lugar de píxeles cuadrados de colores sólidos.

Esto significa que sin importar el tamaño o el zoom de la imagen, las líneas, curvas y puntos permanecen suaves. La obra de arte nunca tendrá líneas dentadas o borrosas.

Además, los colores se separan en su propia forma (en comparación con un grupo de pequeños cuadrados que forman un área de color), lo que hace que cambiar los colores dentro de estos gráficos sea tan fácil como hacer clic en un botón.

Por qué esto importa & # 8230

Después de aprender los conceptos básicos de un gráfico vectorial, debe saber por qué es importante.

# 1: Los gráficos vectoriales producen una marca de aspecto profesional. Son una gran parte de la mayoría de los materiales impresos o publicados. Los logotipos, por ejemplo, siempre deben tener un formato vectorial. Esas líneas y formas suaves producen materiales impresos de la mejor calidad, con un color sólido y uniforme y un texto nítido y claro. Puede usar su logotipo vectorial enorme en una valla publicitaria, pequeño para sus bolígrafos o para una camiseta serigrafiada. También es bueno tener iconos y obras de arte de aspecto más ilustrado en archivos vectoriales.

# 2: Los gráficos vectoriales le ahorrarán tiempo a su diseñador gráfico. Esto le ahorrará dinero y producirá resultados de mayor calidad.

# 3: Los archivos vectoriales no pierden calidad. Jpg y otros archivos basados ​​en píxeles perderán datos de archivo cada vez que se abran y guarden.

Para el usuario cotidiano, los gráficos vectoriales son algo que rara vez utilizará si no tiene el software para abrirlos (como los productos de Adobe y QuarkXPress). La mayoría de la gente se referirá a los gráficos vectoriales como un archivo .eps. También pueden usar una extensión .ai para archivos de Illustrator o .svg para aplicaciones de sitios web. Si bien es posible que nunca utilice personalmente estos archivos, o incluso tenga los programas para abrirlos, es muy importante NO eliminar sus archivos de imágenes vectoriales. Si alguna vez planea realizar un trabajo de diseño gráfico o desea que su logotipo se coloque en artículos promocionales, se le solicitarán archivos de gráficos vectoriales.

& # 8220¿Y si no tengo & # 8217t una versión vectorial de mi logo? & # 8221

Póngase en contacto con el diseñador original de su logotipo para averiguar si alguna vez se produjo una versión vectorial de su logotipo y solicite una copia del mismo. Si no hay una versión vectorial disponible, a menudo se pueden recrear a partir de un gráfico rasterizado, dependiendo de su complejidad y calidad. Es importante tener un kit de identidad de marca para su organización que contenga esta versión de su logotipo, entre muchas otras cosas.

& # 8220¿Siempre necesito un archivo vectorial si & # 8217 estoy haciendo un trabajo de diseño? & # 8221

No siempre. Hay formas de utilizar otros formatos de archivo, pero el tipo de trabajo que ha realizado determinará en última instancia si necesitará archivos vectoriales o no.

En última instancia, si está realizando un trabajo de diseño, asegúrese de hablar con su diseñador sobre los formatos de sus archivos, para que pueda recopilar los archivos apropiados o hacer que se creen si no están disponibles.

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