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3.6: Aplicaciones - Matemáticas


Debido a que hemos aumentado nuestra capacidad fundamental para simplificar expresiones algebraicas, ahora podemos abordar una serie de aplicaciones más avanzadas. Antes de comenzar, recordamos a los lectores los pasos necesarios que deben acompañar a las soluciones de las aplicaciones.

Requisitos para soluciones de problemas de palabras

  1. Configure un diccionario de variables. Debe informar a sus lectores qué representa cada variable en su problema. Esto se puede lograr de varias formas:
    1. Declaraciones como "Sea P el perímetro del rectángulo".
    2. Etiquetado de valores desconocidos con variables en una tabla.
    3. Etiquetar cantidades desconocidas en un boceto o diagrama.
  2. Configure una ecuación. Cada solución a un problema verbal debe incluir una ecuación cuidadosamente elaborada que describa con precisión las restricciones en el enunciado del problema.
  3. Resuelve la ecuación. Siempre debes resolver la ecuación establecida en el paso anterior.
  4. Responde la pregunta. Este paso se pasa por alto fácilmente. Por ejemplo, el problema puede pedir la edad de Jane, pero la solución de tu ecuación da la edad de la hermana de Jane, Liz. Asegúrese de responder la pregunta original que se hizo en el problema.
  5. Mirar atrás. Es importante tener en cuenta que este paso no implica que simplemente deba verificar su solución en su ecuación. Después de todo, es posible que su ecuación modele incorrectamente la situación del problema, por lo que podría tener una solución válida para una ecuación incorrecta. La pregunta importante es: "¿Tiene sentido su respuesta basándose en las palabras del enunciado original del problema?"

Enteros consecutivos

Los enteros son consecutivo, en el sentido de que uno sigue a otro. Por ejemplo, 5 y 6 son un par de números enteros consecutivos. La relación importante a notar es el hecho de que el segundo número entero de este par es uno más grande que su predecesor. Es decir, 6 = 5 + 1.

Definición: enteros consecutivos

Dejar k representan un número entero. El siguiente entero consecutivo es el entero k + 1.

Por tanto, si k es un número entero, entonces k + 1 es el siguiente número entero, k + 2 es el siguiente entero después de eso, y así sucesivamente.

Ejemplo 1

Los tres lados de un triángulo son números enteros consecutivos y el perímetro mide 72 pulgadas. Calcula la medida de cada lado del triángulo.

Solución

Seguimos los Requisitos para soluciones de problemas de palabras.

1. Configure un diccionario de variables. En este caso, un diagrama cuidadosamente etiquetado es la mejor manera de indicar lo que representa la variable desconocida.

En nuestro diagrama esquemático, hemos etiquetado los tres lados del triángulo con expresiones que representan los números enteros consecutivos k, k + 1 y k + 2.

2. Configure una ecuación. Para encontrar el perímetro P del triángulo, suma los tres lados.

[P = k + (k + 1) + (k + 2) nonumber ]

Sin embargo, se nos da el hecho de que el perímetro es de 72 pulgadas. Por lo tanto,

[72 = k + (k + 1) + (k + 2) nonumber ]

3. Resuelve la ecuación. A la derecha, reagrupa y combina términos semejantes.

[72 = 3k + 3 nonumber ]

Ahora, resuélvelo.

[ begin {align} 72-3 = 3k + 3 - 3 ~ & textcolor {red} { text {Resta 3 de ambos lados.}} 69 = 3k ~ & textcolor {red} { text {Simplifica.}} frac {69} {3} = frac {3k} {3} ~ & textcolor {red} { text {Divide ambos lados entre 3.}} 23 = k ~ & textcolor {rojo} { text {Simplificar.}} end {alineado} nonumber ]

4. Responde la pregunta. Solo hemos encontrado un lado, pero la pregunta pide la medida de los tres lados. Sin embargo, los dos lados restantes se pueden encontrar sustituyendo k por 23 en las expresiones k + 1 y k + 2.

k + 1 = 23 + 1 y k + 2 = 23 + 2

= 24 = 25

Por lo tanto, los tres lados miden 23, 24 y 25 pulgadas.

5. Mirar atrás. ¿Tiene sentido nuestra solución? Bueno, los tres lados son sin duda números enteros consecutivos, y su suma es 23 pulgadas + 24 pulgadas + 25 pulgadas = 72 pulgadas, que era el perímetro dado. Por tanto, nuestra solución es correcta.

Ejercicio

Los tres lados de un triángulo son números enteros consecutivos y el perímetro es de 57 centímetros. Calcula la medida de cada lado del triángulo.

Respuesta

18, 19 y 20 cm

Enteros impares consecutivos

El par de enteros 19 y 21 son un ejemplo de un par de enteros impares consecutivos. La relación importante a notar es el hecho de que el segundo número entero de este par es dos más grande que su predecesor. Es decir, 21 = 19 + 2.

Definición: enteros impares consecutivos

Sea k un número entero impar. El siguiente entero impar consecutivo es k + 2.

Por lo tanto, si k es un entero impar, entonces k + 2 es el siguiente entero impar, k + 4 es el siguiente entero impar después de ese, y así sucesivamente.

Ejemplo 2

La longitud y el ancho de un rectángulo son números enteros impares consecutivos y el perímetro es de 168 centímetros. Calcula la longitud y el ancho del rectángulo.

Solución

Seguimos los Requisitos para soluciones de problemas de palabras.

1. Configure un diccionario de variables. En este caso, un diagrama cuidadosamente etiquetado es la mejor manera de indicar lo que representa la variable desconocida.

En nuestro diagrama esquemático, si el ancho k es un entero impar, entonces la longitud k + 2 es el siguiente entero impar consecutivo.

2. Configurar una ecuación. Para encontrar el perímetro del rectángulo, suma los cuatro lados.

[P = k + (k + 2) + k + (k + 2) nonumber ]

Sin embargo, se nos da el hecho de que el perímetro es de 168 centímetros. Por lo tanto,

[168 = k + (k + 2) + k + (k + 2) nonumber ]

3. Resuelve la ecuación. A la derecha, reagrupa y combina términos semejantes.

[168 = 4k + 4 nonumber ]

Ahora, resuélvelo.

[ begin {align} 168 - 4 = 4k + 4 - 4 ~ & textcolor {red} { text {Resta 4 de ambos lados.}} 164 = 4k ~ & textcolor {red} { text {Simplificar.}} frac {164} {4} = frac {4k} {4} ~ & textcolor {red} { text {Divide ambos lados entre 4.}} 41 = k ~ & textcolor {rojo} { text {Simplificar.}} end {alineado} nonumber ]

4. Responde la pregunta. Solo hemos encontrado el ancho, pero la pregunta pide la medida tanto del ancho como del largo. Sin embargo, la longitud se puede encontrar sustituyendo k por 41 en la expresión k + 2.

k + 2 = 41 + 2

= 43

Por lo tanto, el ancho es de 41 centímetros y el largo es de 43 centímetros.

5. Mirar atrás. ¿Tiene sentido nuestra solución? Bueno, el ancho es de 41 cm y el largo es de 43 cm, ciertamente números enteros impares consecutivos. Además, el perímetro sería 41 cm + 43 cm + 41 cm + 43 cm = 168 cm, por lo que nuestra solución es correcta.

Ejercicio

La longitud y el ancho de un rectángulo son números enteros impares consecutivos y el perímetro es de 120 metros. Calcula la longitud y el ancho del rectángulo.

Respuesta

Ancho = 29 cm, largo = 31 cm

Mesas

En las aplicaciones restantes de esta sección, nos esforzaremos por mostrar cómo se pueden usar las tablas para resumir información, definir variables y construir ecuaciones para ayudar a resolver la aplicación.

Ejemplo 3

Hue hereda $ 10,000 y decide invertir en dos tipos diferentes de cuentas, una cuenta de ahorros que paga un interés del 2% y un certificado de depósito que paga un interés del 4%. Decide invertir $ 1,000 más en el certificado de depósito que en ahorros. Encuentra la cantidad invertida en cada cuenta.

Solución

Seguimos el Requisitos para soluciones de problemas de palabras.

1. Configure un diccionario de variables. Usaremos una tabla para resumir información y declarar variables. En la siguiente tabla, dejamos que S represente la cantidad que Hue invierte en la cuenta de ahorros. Usar una letra variable que “suene como” la cantidad que representa es una estrategia excelente. Por lo tanto, en este caso, dejar que S represente la cantidad invertida en ahorros es mucho mejor que dejar que x represente la cantidad invertida en ahorros.

Tipo de cuentaCantidad depositada
Cuenta de ahorros (2%)S
Certificado de depósito (4%)S + 1000
Totales10000

Porque S representa la inversión en ahorros, y nos dicen que la inversión en el certificado de depósito (CD) es $ 1,000 más que la inversión en ahorros, la inversión en el CD es por lo tanto S + 1000, como se indica en la tabla.

2. Configure una ecuación. La segunda columna de la tabla revela que la suma de las inversiones individuales en el CD y los ahorros asciende a $ 10,000. Por tanto, la ecuación que modela esta aplicación es

[(S + 1000) + S = 10000. nonumber ]

3. Resuelve la ecuación. A la izquierda, reagrupa y combina términos semejantes.

[2S + 1000 = 10000 nonumber ]

Ahora, resuélvelo.

[ begin {align} 2S + 1000 -1000 = 1000 - 1000 ~ & textcolor {red} { text {Resta 1000 de ambos lados.}} 2S = 9000 ~ & textcolor {red} { text {Simplifica.}} frac {2S} {2} = frac {9000} {2} ~ & textcolor {red} { text {Divide ambos lados entre 2.}} S = 4500 ~ & textcolor {rojo} { text {Simplificar.}} end {alineado} nonumber ]

4. Responde la pregunta. Solo hemos encontrado la inversión en ahorros, pero la pregunta también pregunta por la cantidad invertida en el CD. Sin embargo, la inversión en el CD se encuentra fácilmente sustituyendo S por 4500 en la expresión S + 1000.

S + 1000 = 4500 + 1000

= 5500.

Por lo tanto, la inversión en ahorros es de $ 4500 y la inversión en el CD es de $ 5500.

5. Mirar atrás. ¿Tiene sentido nuestra solución? Bueno, la cantidad invertida en el CD es de $ 5,500, que ciertamente es $ 1,000 más que los $ 4,500 invertidos en ahorros. En segundo lugar, las dos inversiones suman $ 5, 500 + $ 4, 500 = $ 10, 000, por lo que nuestra solución es correcta.

Ejercicio

Dylan invierte un total de $ 2,750 en dos cuentas, una cuenta de ahorros que paga un interés del 3% y un fondo mutuo que paga un interés del 5%. Invierte $ 250 menos en el fondo mutuo que en ahorros. Encuentra la cantidad invertida en cada cuenta.

Respuesta

$ 1,500 en ahorros, $ 1,250 en el fondo mutuo

Ejemplo 4

José abre su alcancía y descubre que tiene $ 3.25 (325 centavos), todo en monedas de cinco y diez centavos. Tiene 10 monedas de diez centavos más que monedas de cinco centavos. ¿Cuántas monedas de diez y cinco centavos tiene José?

Solución

Seguimos el Requisitos para soluciones de problemas de palabras.

1. En la siguiente tabla, hacemos que N represente el número de monedas de cinco centavos de la alcancía. Por lo tanto, en este caso, dejar que N represente el número de monedas de cinco centavos es mucho mejor que dejar que x represente el número de monedas de cinco centavos.

MonedasNumero de monedasValor (centavos)
Nickels (5 centavos cada uno)norte5norte
Dimes (10 centavos cada uno)norte + 1010(norte + 10)
Totales-325

Como hay 10 monedas de diez centavos más que monedas de cinco centavos, el número de monedas de diez centavos es N + 10, registrado en la segunda columna. En la tercera columna, N de cinco centavos, con un valor de 5 centavos cada uno, tienen un valor de 5N centavos. A continuación, N + 10 monedas de diez centavos, con un valor de 10 centavos cada una, tienen un valor de 10 (N + 10) centavos. La entrada final en la columna da el valor total de las monedas como 325 centavos.

2. La tercera columna de la tabla revela que la suma de los valores de las monedas es 325 centavos. Por tanto, la ecuación que modela esta aplicación es

[5N + 10 (N + 10) = 325, nonumber ]

que suma el valor de las monedas de cinco centavos y el valor de las monedas de diez centavos a un total de 325 centavos.

3. A la izquierda, use la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis.

[5N + 10N + 100 = 325 nonumber ]

Combina términos semejantes.

[15N + 100 = 325 nonumber ]

Ahora, resuélvelo.

[ begin {align} 15N + 100 - 100 = 325 - 100 ~ & textcolor {red} { text {Resta 100 de ambos lados.}} 15N = 225 ~ & textcolor {red} { text {Simplifica.}} frac {15N} {15} = frac {225} {15} ~ & textcolor {red} { text {Divide ambos lados entre 15.}} N = 15 ~ & textcolor {rojo} { text {Simplificar.}} end {alineado} nonumber ]

4. Responde la pregunta. Solo hemos encontrado la cantidad de monedas de cinco centavos, pero la pregunta también solicita la cantidad de monedas de diez centavos. Sin embargo, el número de monedas de diez centavos se encuentra fácilmente sustituyendo N por 15 en la expresión N + 10.

N + 10 = 15 + 10

= 25.

Por lo tanto, José tiene 15 monedas de cinco centavos y 25 monedas de diez centavos.

5. Mirar atrás. ¿Tiene sentido nuestra solución? Bueno, la cantidad de monedas de diez centavos es de 25, que sin duda es 10 más que 15 monedas de cinco centavos. Además, el valor monetario de 15 monedas de cinco centavos es de 75 centavos y el valor monetario de 25 monedas de diez centavos es de 250 centavos, un total de 325 centavos o $ 3.25, por lo que nuestra solución es correcta.

Ejercicio

David guarda su cambio en un cuenco hecho por su nieta. Hay $ 1.95 en cambio en el tazón, todo en monedas de diez y veinticinco centavos. Hay dos cuartos menos que diez centavos. ¿Cuántas monedas de diez y veinticinco centavos tiene en el cuenco?

Respuesta

7 dimes, 5 cuartos

Ejemplo 5

Una gran organización infantil compra entradas para el circo. La organización tiene una regla estricta de que cada cinco niños deben estar acompañados por un tutor adulto. Por lo tanto, la organización solicita cinco veces más entradas para niños que para adultos. Los boletos para niños cuestan tres dólares y los boletos para adultos, seis dólares. Si el costo total de las entradas es de $ 4,200, ¿cuántas entradas para niños y adultos se compraron?

Solución

Seguimos el Requisitos para soluciones de problemas de palabras.

1. Configurar un diccionario de variables. Usaremos una tabla para resumir información y declarar variables. En la siguiente tabla, dejamos que A represente la cantidad de boletos para adultos comprados. Por lo tanto, en este caso, dejar que A represente el número de boletos para adultos es mucho mejor que dejar que x represente el número de boletos para adultos.

Numero de TicketsCosto (dólares)
Adultos ($ 6 cada uno)A6A
Niños ($ 3 cada uno)5A3(5A)
Totales-4200

Debido a que se compran 5 veces más boletos para niños que boletos para adultos, el número de boletos para niños comprados es 5A, registrado en la segunda columna. En la tercera columna, las entradas para niños 5A a $ 3 cada una costarán 3 (5A) dólares, y las entradas para adultos a $ 6 cada una costarán 6A dólares. La entrada final en la columna da el costo total de todas las entradas como $ 4,200.

2. La tercera columna de la tabla revela que la suma de los costos de los boletos para niños y adultos es $ 4,200. Por tanto, la ecuación que modela esta aplicación es

[6A + 3 (5A) = 4200 nonumber ]

que suma el costo de los boletos para niños y adultos en $ 4.200.

3. A la izquierda, use la propiedad asociativa para eliminar los paréntesis.

[6A + 15A = 4200 nonumber ]

Combina términos semejantes.

[21A = 4200 nonumber ]

Ahora, resuélvelo.

[ begin {alineado} frac {21A} {21} = frac {4200} {21} ~ & textcolor {red} { text {Divide ambos lados entre 21.}} A = 200 ~ & textcolor {rojo} { text {Simplificar.}} end {alineado} nonumber ]

4. Solo hemos encontrado la cantidad de entradas para adultos, pero la pregunta también solicita la cantidad de entradas para niños. Sin embargo, el número de boletos para niños se encuentra fácilmente sustituyendo A por 200 en la expresión 5A.

5A = 5 (200)

= 1000.

Por lo tanto, se compraron 1000 boletos para niños y 200 boletos para adultos.

5. ¿Tiene sentido nuestra solución? Bueno, el número de entradas para niños compradas es de 1000, lo que sin duda es 5 veces más que las 200 entradas para adultos compradas. Además, el valor monetario de 1000 boletos para niños a $ 3 cada uno es $ 3000, y el valor monetario de 200 boletos para adultos a $ 6 cada uno es $ 1200, un costo total de $ 4200. Nuestra solución es correcta.

Ejercicio

Emily compra entradas para el cine IMAX para su familia. Un boleto de adulto cuesta $ 12 y un boleto de niño cuesta $ 4. Compra dos boletos para niños más que los boletos para adultos y el costo total es de $ 136. ¿Cuántas entradas para adultos y niños compró?

Respuesta

8 entradas para adultos y 10 para niños

Ejercicios

1. Los tres lados de un triángulo son números enteros impares consecutivos. Si el perímetro del triángulo es de 39 pulgadas, calcula las longitudes de los lados del triángulo.

2. Si el perímetro del triángulo mide 51 pulgadas, calcula las longitudes de los lados del triángulo.

3. El ancho y el largo de un rectángulo son números enteros consecutivos. Si el perímetro del rectángulo es de 142 pulgadas, calcula el ancho y el largo del rectángulo.

4. Si el perímetro del rectángulo mide 166 pulgadas, calcula el ancho y el largo del rectángulo.

5. Los tres lados de un triángulo son números enteros pares consecutivos. Si el perímetro del triángulo es de 240 pulgadas, calcula las longitudes de los lados del triángulo.

6. Si el perímetro del triángulo mide 30 pulgadas, calcula las longitudes de los lados del triángulo.

7. Si el perímetro del rectángulo mide 374 pulgadas, calcula el ancho y el largo del rectángulo.

8. Si el perímetro del rectángulo mide 318 pulgadas, calcula el ancho y el largo del rectángulo.

9. El ancho y el largo de un rectángulo son números enteros impares consecutivos. Si el perímetro del rectángulo es de 208 pulgadas, calcula el ancho y el largo del rectángulo.

10. Si el perímetro del rectángulo mide 152 pulgadas, calcula el ancho y el largo del rectángulo.

11. El ancho y el largo de un rectángulo son números enteros pares consecutivos. Si el perímetro del rectángulo es de 76 pulgadas, calcula el ancho y el largo del rectángulo.

12. Si el perímetro del rectángulo es de 300 pulgadas, calcula el ancho y el largo del rectángulo.

13. Si el perímetro del triángulo mide 144 pulgadas, calcula las longitudes de los lados del triángulo.

14. Si el perímetro del triángulo mide 198 pulgadas, calcula las longitudes de los lados del triángulo.

15. Los tres lados de un triángulo son números enteros consecutivos. Si el perímetro del triángulo mide 228 pulgadas, calcula las longitudes de los lados del triángulo.

16. Si el perímetro del triángulo mide 216 pulgadas, calcula las longitudes de los lados del triángulo.

17. Si el perímetro del rectángulo mide 92 pulgadas, calcula el ancho y el largo del rectángulo.

18. Si el perímetro del rectángulo mide 228 pulgadas, calcula el ancho y el largo del rectángulo.

19. Si el perímetro del triángulo mide 105 pulgadas, calcula las longitudes de los lados del triángulo.

20. Si el perímetro del triángulo mide 123 pulgadas, calcula las longitudes de los lados del triángulo.

21. Si el perímetro del rectángulo mide 288 pulgadas, calcula el ancho y el largo del rectángulo.

22. Si el perímetro del rectángulo mide 352 pulgadas, calcula el ancho y el largo del rectángulo.

23. Si el perímetro del triángulo mide 165 pulgadas, calcula las longitudes de los lados del triángulo.

24. Si el perímetro del triángulo mide 99 pulgadas, calcula las longitudes de los lados del triángulo.

25. Una gran organización infantil compra entradas para el circo. La organización tiene una regla estricta de que cada 8 niños deben ir acompañados de un tutor adulto. Por lo tanto, la organización solicita 8 veces más entradas para niños que para adultos. Los boletos para niños cuestan $ 7 y los boletos para adultos cuestan $ 19. Si el costo total de las entradas es de $ 975, ¿cuántas entradas para adultos se compraron?

26. La organización tiene una regla estricta de que cada 2 niños deben ir acompañados de un tutor adulto. Por lo tanto, la organización solicita el doble de entradas para niños que para adultos. Los boletos para niños cuestan $ 6 y los boletos para adultos cuestan $ 16. Si el costo total de las entradas es de $ 532, ¿cuántas entradas para adultos se compraron?

27. Judah abre una alcancía y encuentra $ 3.30 (330 centavos), todo en monedas de cinco y diez centavos. Hay 15 monedas de diez centavos más que monedas de cinco centavos. ¿Cuántas monedas de cinco centavos tiene Judá?

28. Texas abre una alcancía y encuentra $ 4,90 (490 centavos), todo en monedas de cinco y diez centavos. Hay 13 monedas de diez centavos más que monedas de cinco centavos. ¿Cuántas monedas de cinco centavos tiene Texas?

29. Steve abre una alcancía y encuentra $ 4.00 (400 centavos), todo en monedas de cinco y diez centavos. Hay 7 monedas de diez centavos más que monedas de cinco centavos. ¿Cuántas monedas de cinco centavos tiene Steve?

30. Liz abre una alcancía y encuentra $ 4.50 (450 centavos), todo en monedas de cinco y diez centavos. ¿Cuántas monedas de cinco centavos tiene Liz?

31. Jason hereda $ 20,300 y decide invertir en dos tipos diferentes de cuentas, una cuenta de ahorros que paga un interés del 2.5% y un certificado de depósito que paga un interés del 5%. Decide invertir $ 7.300 más en el certificado de depósito que en ahorros. Encuentre la cantidad invertida en la cuenta de ahorros.

32. Trinity hereda $ 24,300 y decide invertir en dos tipos diferentes de cuentas, una cuenta de ahorros que paga un interés del 2% y un certificado de depósito que paga un interés del 5,75%. Decide invertir $ 8.500 más en el certificado de depósito que en ahorros. Encuentre la cantidad invertida en la cuenta de ahorros.

33. Gina abre una alcancía y encuentra $ 4.50 (450 centavos), todo en monedas de cinco y diez centavos. ¿Cuántas monedas de cinco centavos tiene Gina?

34. Dylan abre una alcancía y encuentra $ 4.05 (405 centavos), todo en monedas de cinco y diez centavos. Hay 6 monedas de diez centavos más que monedas de cinco centavos. ¿Cuántas monedas de cinco centavos tiene Dylan?

35. Los boletos para niños cuestan $ 4 y los boletos para adultos cuestan $ 10. Si el costo total de las entradas es de $ 216, ¿cuántas entradas para adultos se compraron?

36. Los boletos para niños cuestan $ 7 y los boletos para adultos cuestan $ 11. Si el costo total de las entradas es de $ 375, ¿cuántas entradas para adultos se compraron?

37. Connie abre una alcancía y encuentra $ 3.70 (370 centavos), todo en cinco y diez centavos. ¿Cuántas monedas de cinco centavos tiene Connie?

38. Don abre una alcancía y encuentra $ 3,15 (315 centavos), todo en monedas de cinco y diez centavos. Hay 3 monedas de diez centavos más que monedas de cinco centavos. ¿Cuántas monedas de cinco centavos tiene Don?

39. Mary hereda $ 22,300 y decide invertir en dos tipos diferentes de cuentas, una cuenta de ahorros que paga el 2% de interés y un certificado de depósito que paga el 4% de interés. Decide invertir $ 7,300 más en el certificado de depósito que en ahorros. Encuentre la cantidad invertida en la cuenta de ahorros.

40. Amber hereda $ 26,000 y decide invertir en dos tipos diferentes de cuentas, una cuenta de ahorros que paga un interés del 2.25% y un certificado de depósito que paga un interés del 4.25%. Decide invertir $ 6.200 más en el certificado de depósito que en ahorros. Encuentre la cantidad invertida en la cuenta de ahorros.

41. Si el costo total de las entradas es $ 1024, ¿cuántas entradas para adultos se compraron?

42. La organización tiene una regla estricta de que cada 3 niños deben ir acompañados de un tutor adulto. Por lo tanto, la organización solicita 3 veces más entradas para niños que para adultos. Los boletos para niños cuestan $ 3 y los boletos para adultos cuestan $ 18. Si el costo total de las entradas es de $ 351, ¿cuántas entradas para adultos se compraron?

43. Alan hereda $ 25,600 y decide invertir en dos tipos diferentes de cuentas, una cuenta de ahorros que paga un 3,5% de interés y un certificado de depósito que paga un 6% de interés. Decide invertir $ 6.400 más en el certificado de depósito que en ahorros. Encuentre la cantidad invertida en la cuenta de ahorros.

44. Mercy hereda $ 27,100 y decide invertir en dos tipos diferentes de cuentas, una cuenta de ahorros que paga el 3% de interés y un certificado de depósito que paga el 4% de interés. Decide invertir $ 8.700 más en el certificado de depósito que en ahorros. Encuentre la cantidad invertida en la cuenta de ahorros.

45. Tony hereda $ 20,600 y decide invertir en dos tipos diferentes de cuentas, una cuenta de ahorros que paga el 2% de interés y un certificado de depósito que paga el 4% de interés. Decide invertir $ 9.200 más en el certificado de depósito que en ahorros. Encuentre la cantidad invertida en la cuenta de ahorros.

46. ​​Connie hereda $ 17,100 y decide invertir en dos tipos diferentes de cuentas, una cuenta de ahorros que paga un interés del 2% y un certificado de depósito que paga un interés del 5,5%. Decide invertir $ 6,100 más en el certificado de depósito que en ahorros. Encuentre la cantidad invertida en la cuenta de ahorros.

47. Los boletos para niños cuestan $ 2 y los boletos para adultos cuestan $ 14. Si el costo total de las entradas es de $ 234, ¿cuántas entradas para adultos se compraron?

48. Los boletos para niños cuestan $ 8 y los boletos para adultos cuestan $ 13. Si el costo total de las entradas es $ 1078, ¿cuántas entradas para adultos se compraron?

Respuestas

1. 11 pulg., 13 pulg., 15 pulg.

3. 35 pulg., 36 pulg.

5. 78 pulg., 80 pulg., 82 pulg.

7. 93 pulg., 94 pulg.

9. 51 pulg., 53 pulg.

11. 18 pulg., 20 pulg.

13. 46 pulg., 48 pulg., 50 pulg.

15. 75 pulg., 76 pulg., 77 pulg.

17. 22 pulg., 24 pulg.

19. 34 pulg., 35 pulg., 36 pulg.

21. 71 pulg., 73 pulg.

23. 53 pulg., 55 pulg., 57 pulg.

25. 13 entradas de adulto

27. 12 monedas de cinco centavos

29. 22 monedas de cinco centavos

31. $6, 500

33,20 monedas de cinco centavos

35. 12 entradas para niños

37. 20 monedas de cinco centavos

39. $7, 500

41. 16 entradas para niños

43. $9, 600

45. $5, 700

47. 13 entradas para niños


3.6: Aplicaciones - Matemáticas

Descripción | Junta Editorial | INSTRUCCIONES PARA AUTORES | Ejemplo | El premio & quotDimitrie Pompeiu & quot (NUEVO)

El periódico Matemáticas y sus aplicaciones forma parte de los Anales de la Academia de Científicos Rumanos (ARS), en los que se publican varias series. Aunque la Academia tiene más de setenta años, debido a las condiciones históricas después de la Segunda Guerra Mundial en Europa del Este, apenas comienza en 2006 cuando se publican los Anales. El editor en jefe de los Anales es el presidente de ARS, el profesor Dr. V.Candea, Alex Mandry y el académico A.E.Sandulescu es su adjunto para este dominio.

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Edición antigua

El análisis matemático se desarrolló formalmente en el siglo XVII durante la Revolución Científica, [3] pero muchas de sus ideas se remontan a matemáticos anteriores. Los primeros resultados del análisis estaban implícitamente presentes en los primeros días de la matemática griega antigua. Por ejemplo, una suma geométrica infinita está implícita en la paradoja de la dicotomía de Zenón. [4] Más tarde, matemáticos griegos como Eudoxo y Arquímedes hicieron un uso más explícito, pero informal, de los conceptos de límites y convergencia cuando utilizaron el método de agotamiento para calcular el área y el volumen de regiones y sólidos. [5] El uso explícito de infinitesimales aparece en Arquímedes ' El método de los teoremas mecánicos, obra redescubierta en el siglo XX. [6] En Asia, el matemático chino Liu Hui utilizó el método de agotamiento en el siglo III d. C. para encontrar el área de un círculo. [7] De la literatura jainista, parece que los hindúes estaban en posesión de las fórmulas para la suma de la aritmética y la geometría ya en el siglo IV a. C. [8] Ācārya Bhadrabāhu usa la suma de una suma de una serie geométrica en su Kalpasūtra en 433 a. C. [9] En las matemáticas indias, se ha encontrado que casos particulares de la aritmética ocurren implícitamente en la literatura védica ya en el año 2000 a. C.

Edición medieval

Zu Chongzhi estableció un método que luego se llamaría principio de Cavalieri para encontrar el volumen de una esfera en el siglo quinto. [10] El matemático indio Bhāskara II dio ejemplos de la derivada y usó lo que ahora se conoce como el teorema de Rolle en el siglo XII. [11]

En el siglo XIV, Madhava de Sangamagrama desarrolló expansiones de series infinitas, como la serie de potencias y la serie de Taylor, de funciones como seno, coseno, tangente y arcoangente. [12] Junto con su desarrollo de la serie de Taylor de las funciones trigonométricas, también estimó la magnitud de los términos de error creados al truncar estas series y dio una aproximación racional de una serie infinita. Sus seguidores en la Escuela de Astronomía y Matemáticas de Kerala expandieron aún más sus obras hasta el siglo XVI.

Edición moderna

Fundaciones Editar

Los fundamentos modernos del análisis matemático se establecieron en la Europa del siglo XVII. [3] Esto comenzó cuando Descartes y Fermat desarrollaron independientemente la geometría analítica, que es la precursora del cálculo moderno. El método de adecuación de Fermat le permitió determinar los máximos y mínimos de funciones y las tangentes de curvas. [13] La publicación de Descartes de La Géométrie en 1637, que introdujo el sistema de coordenadas cartesianas, se considera el establecimiento del análisis matemático. Unas décadas más tarde Newton y Leibniz desarrollaron independientemente el cálculo infinitesimal, que creció, con el estímulo del trabajo aplicado que continuó durante el siglo XVIII, en temas de análisis como el cálculo de variaciones, ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, análisis de Fourier. y funciones generadoras. Durante este período, se aplicaron técnicas de cálculo para aproximar problemas discretos por problemas continuos.

Modernización Editar

En el siglo XVIII, Euler introdujo la noción de función matemática. [14] El análisis real comenzó a emerger como un tema independiente cuando Bernard Bolzano introdujo la definición moderna de continuidad en 1816, [15] pero el trabajo de Bolzano no se hizo ampliamente conocido hasta la década de 1870. En 1821, Cauchy comenzó a colocar el cálculo sobre una base lógica firme al rechazar el principio de la generalidad del álgebra ampliamente utilizado en trabajos anteriores, particularmente por Euler. En cambio, Cauchy formuló el cálculo en términos de ideas geométricas e infinitesimales. Por lo tanto, su definición de continuidad requería un cambio infinitesimal en X para corresponder a un cambio infinitesimal en y. También introdujo el concepto de secuencia de Cauchy e inició la teoría formal del análisis complejo. Poisson, Liouville, Fourier y otros estudiaron ecuaciones diferenciales parciales y análisis armónico. Las contribuciones de estos matemáticos y otros, como Weierstrass, desarrollaron la definición (ε, δ) del enfoque límite, fundando así el campo moderno del análisis matemático.

A mediados del siglo XIX, Riemann presentó su teoría de la integración. El último tercio del siglo vio la aritmetización del análisis por parte de Weierstrass, quien pensó que el razonamiento geométrico era intrínsecamente engañoso, e introdujo la definición de límite "épsilon-delta". Entonces, los matemáticos comenzaron a preocuparse de que estaban asumiendo la existencia de un continuo de números reales sin pruebas. Luego, Dedekind construyó los números reales mediante cortes de Dedekind, en los que los números irracionales se definen formalmente, que sirven para llenar los "huecos" entre los números racionales, creando así un conjunto completo: el continuo de números reales, que ya había sido desarrollado por Simon Stevin. en términos de expansiones decimales. Alrededor de esa época, los intentos de refinar los teoremas de la integración de Riemann llevaron al estudio del "tamaño" del conjunto de discontinuidades de funciones reales.

Además, comenzaron a investigarse los "monstruos" (funciones continuas en ninguna parte, funciones continuas pero en ninguna parte diferenciables, curvas que llenan el espacio). En este contexto, Jordan desarrolló su teoría de la medida, Cantor desarrolló lo que ahora se llama teoría de conjuntos ingenua y Baire demostró el teorema de la categoría de Baire. A principios del siglo XX, el cálculo se formalizó utilizando una teoría de conjuntos axiomática. Lebesgue resolvió el problema de la medida e Hilbert introdujo los espacios de Hilbert para resolver ecuaciones integrales. La idea del espacio vectorial normado estaba en el aire y, en la década de 1920, Banach creó el análisis funcional.

Espacios métricos Editar

En matemáticas, un espacio métrico es un conjunto donde se define una noción de distancia (llamada métrica) entre elementos del conjunto.

Gran parte del análisis ocurre en algún espacio métrico, los más comúnmente utilizados son la línea real, el plano complejo, el espacio euclidiano, otros espacios vectoriales y los números enteros. Los ejemplos de análisis sin una métrica incluyen la teoría de la medida (que describe el tamaño en lugar de la distancia) y el análisis funcional (que estudia los espacios vectoriales topológicos que no necesitan tener ningún sentido de distancia).

Secuencias y límites Editar

A secuencia es una lista ordenada. Como un conjunto, contiene miembros (también llamados elementos, o condiciones). A diferencia de un conjunto, el orden importa y exactamente los mismos elementos pueden aparecer varias veces en diferentes posiciones de la secuencia. Más precisamente, una secuencia se puede definir como una función cuyo dominio es un conjunto contable totalmente ordenado, como los números naturales.

Una de las propiedades más importantes de una secuencia es convergencia. De manera informal, una secuencia converge si tiene un límite. Continuando de manera informal, una secuencia (simple-infinita) tiene un límite si se acerca a algún punto X, llamado el límite, como norte se vuelve muy grande. Es decir, para una secuencia abstracta (anorte) (con norte que va del 1 al infinito entendido) la distancia entre anorte y X se acerca a 0 como norte → ∞, denotado

Análisis real Editar

Análisis real (tradicionalmente, el teoría de funciones de una variable real) es una rama del análisis matemático que se ocupa de los números reales y las funciones de valor real de una variable real. [16] [17] En particular, se ocupa de las propiedades analíticas de las funciones y secuencias reales, incluida la convergencia y los límites de las secuencias de números reales, el cálculo de los números reales y la continuidad, suavidad y propiedades relacionadas de las funciones con valores reales. .

Análisis complejo Editar

Análisis complejo, tradicionalmente conocido como el teoría de funciones de una variable compleja, es la rama del análisis matemático que investiga funciones de números complejos. [18] Es útil en muchas ramas de las matemáticas, incluida la geometría algebraica, la teoría de números, las matemáticas aplicadas, así como en la física, incluida la hidrodinámica, la termodinámica, la ingeniería mecánica, la ingeniería eléctrica y, en particular, la teoría cuántica de campos.

El análisis complejo se ocupa particularmente de las funciones analíticas de variables complejas (o, más generalmente, funciones meromórficas). Debido a que las partes real e imaginaria separadas de cualquier función analítica deben satisfacer la ecuación de Laplace, el análisis complejo es ampliamente aplicable a problemas bidimensionales en física.

Análisis funcional Editar

Análisis funcional is a branch of mathematical analysis, the core of which is formed by the study of vector spaces endowed with some kind of limit-related structure (e.g. inner product, norm, topology, etc.) and the linear operators acting upon these spaces and respecting these structures in a suitable sense. [19] [20] The historical roots of functional analysis lie in the study of spaces of functions and the formulation of properties of transformations of functions such as the Fourier transform as transformations defining continuous, unitary etc. operators between function spaces. This point of view turned out to be particularly useful for the study of differential and integral equations.

Differential equations Edit

A ecuación diferencial is a mathematical equation for an unknown function of one or several variables that relates the values of the function itself and its derivatives of various orders. [21] [22] [23] Differential equations play a prominent role in engineering, physics, economics, biology, and other disciplines.

Differential equations arise in many areas of science and technology, specifically whenever a deterministic relation involving some continuously varying quantities (modeled by functions) and their rates of change in space or time (expressed as derivatives) is known or postulated. This is illustrated in classical mechanics, where the motion of a body is described by its position and velocity as the time value varies. Newton's laws allow one (given the position, velocity, acceleration and various forces acting on the body) to express these variables dynamically as a differential equation for the unknown position of the body as a function of time. In some cases, this differential equation (called an equation of motion) may be solved explicitly.

Measure theory Edit

A measure on a set is a systematic way to assign a number to each suitable subset of that set, intuitively interpreted as its size. [24] In this sense, a measure is a generalization of the concepts of length, area, and volume. A particularly important example is the Lebesgue measure on a Euclidean space, which assigns the conventional length, area, and volume of Euclidean geometry to suitable subsets of the n -dimensional Euclidean space R n ^> . For instance, the Lebesgue measure of the interval [ 0 , 1 ] in the real numbers is its length in the everyday sense of the word – specifically, 1.

Technically, a measure is a function that assigns a non-negative real number or +∞ to (certain) subsets of a set X . It must assign 0 to the empty set and be (countably) additive: the measure of a 'large' subset that can be decomposed into a finite (or countable) number of 'smaller' disjoint subsets, is the sum of the measures of the "smaller" subsets. In general, if one wants to associate a consistent size to cada subset of a given set while satisfying the other axioms of a measure, one only finds trivial examples like the counting measure. This problem was resolved by defining measure only on a sub-collection of all subsets the so-called measurable subsets, which are required to form a σ -algebra. This means that countable unions, countable intersections and complements of measurable subsets are measurable. Non-measurable sets in a Euclidean space, on which the Lebesgue measure cannot be defined consistently, are necessarily complicated in the sense of being badly mixed up with their complement. Indeed, their existence is a non-trivial consequence of the axiom of choice.

Numerical analysis Edit

Numerical analysis is the study of algorithms that use numerical approximation (as opposed to general symbolic manipulations) for the problems of mathematical analysis (as distinguished from discrete mathematics). [25]

Modern numerical analysis does not seek exact answers, because exact answers are often impossible to obtain in practice. Instead, much of numerical analysis is concerned with obtaining approximate solutions while maintaining reasonable bounds on errors.

Numerical analysis naturally finds applications in all fields of engineering and the physical sciences, but in the 21st century, the life sciences and even the arts have adopted elements of scientific computations. Ordinary differential equations appear in celestial mechanics (planets, stars and galaxies) numerical linear algebra is important for data analysis stochastic differential equations and Markov chains are essential in simulating living cells for medicine and biology.

Vector Analysis Edit

Tensor Analysis Edit

    deals with extremizing functionals, as opposed to ordinary calculus which deals with functions. deals with the representation of functions or signals as the superposition of basic waves. involves the use of geometrical methods in the study of partial differential equations and the application of the theory of partial differential equations to geometry. , the study of Clifford valued functions that are annihilated by Dirac or Dirac-like operators, termed in general as monogenic or Clifford analytic functions. , the study of analysis within the context of p-adic numbers, which differs in some interesting and surprising ways from its real and complex counterparts. , which investigates the hyperreal numbers and their functions and gives a rigorous treatment of infinitesimals and infinitely large numbers. , the study of which parts of analysis can be carried out in a computable manner. – analytical notions developed for stochastic processes. – applies ideas from analysis and topology to set-valued functions. , the study of convex sets and functions. – analysis in the context of an idempotent semiring, where the lack of an additive inverse is compensated somewhat by the idempotent rule A + A = A.
      – analysis of the idempotent semiring called the tropical semiring (or max-plus algebra/min-plus algebra).

    Techniques from analysis are also found in other areas such as:

    Physical sciences Edit

    The vast majority of classical mechanics, relativity, and quantum mechanics is based on applied analysis, and differential equations in particular. Examples of important differential equations include Newton's second law, the Schrödinger equation, and the Einstein field equations.

    Signal processing Edit

    When processing signals, such as audio, radio waves, light waves, seismic waves, and even images, Fourier analysis can isolate individual components of a compound waveform, concentrating them for easier detection or removal. A large family of signal processing techniques consist of Fourier-transforming a signal, manipulating the Fourier-transformed data in a simple way, and reversing the transformation. [26]

    Other areas of mathematics Edit

    Techniques from analysis are used in many areas of mathematics, including:


    Chapter 6 - Section 6.3 - Permutations and Combinations - Exercises - Page 414: 21

    the letters A, E, F, G and BCD. Therefore, the answer is $^5P_5= 5! = 120.$ b) We treat the string CFGA as single letter, thus we have then the possible letters B, D, E, CFGA. So, The problem is to count permutations of four items

    the letters B, D, E and CFGA. Therefore, the answer is $^4P_4= 4! = 24.$ c) We treat the string BA as single letter and GF as another string, thus we have then the possible letters BA, C, D, E, GF. So, The problem is to count permutations of five items

    the letters BA, C, D, E and GF. Therefore, the answer is $^5P_5= 5! = 120.$ d) We treat the string ABC as single letter and DE as another string, thus we have then the possible letters ABC, DE, F, G. So, The problem is to count permutations of four items

    the letters ABC, DE, F and G. Therefore, the answer is $^4P_4= 4! = 24.$ e) If both ABC and CDE are substrings, then ABCDE has to be a substring. So we are really just permuting three items: ABCDE, F, and G. Therefore the answer is $^3P_3= 3! = 6.$ f) There are no permutations with both of these substrings, since B cannot be followed by both A and E at the same time.

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    Applications and libraries/Mathematics

    There are several levels of handling real numbers and according libraries.

    Arbitrary precision
    • Numbers have fixed precision
    • Rounding errors accumulate
    • Sharing is easy, i.e. in sqrt pi + sin pi , pi is computed only once
    • Fast, because the routines can make use of the fast implementation of Integer operations
    Dynamic precision
    • You tell the precision and an expression shall be computed to, and the computer finds out, how precisely to compute the input values
    • Rounding errors do not accumulate
    • Sharing of temporary results is difficult, that is, in sqrt pi + sin pi , pi voluntad be computed twice, each time with the required precision.
    • Almost as fast as arbitrary precision computation
    Dynamic precision by lazy evaluation

    The real numbers are represented by an infinite datastructure, which allows you to increase precision successively by evaluating the data structure successively. All of the implementations below use some kind of digit stream as number representation. Sharing of results is simple. The implementations are either fast on simple expressions, because they use large blocks/bases, or they are fast on complex expressions, because they consume as little as possible input digits in order to emit the required output digits.

    • basis conversion
    • basic arithmetic: addition, subtraction, multiplication, division
    • algebraic arithmetic: square root, other roots (no general polynomial roots)
    • transcendental arithmetic: pi, exponential, logarithm, trigonometric and inverse trigonometric functions

    Type class hierarchies

    There are several approaches to improve the numeric type class hierarchy.

    Dylan Thurston and Henning Thielemann's Numeric Prelude Experimental revised framework for numeric type classes. Needs hiding of Prelude, overriding hidden functions like fromInteger and multi-parameter type classes. Probably restricted to GHC. Jerzy Karczmarczuk's approach Serge D. Mechveliani's Basic Algebra proposal Andrew Frank's approach The proposal: ftp://ftp.geoinfo.tuwien.ac.at/frank/numbersPrelude_v1.pdf Haskell Prime Ongoing efforts for the language revision

    Discrete mathematics

    Computer Algebra

    Estadísticas

    Plotting

    a simple, monadic interface.

    probability the module Numeric.Probability.Visualize contains a wrapper to R matplotlib-haskell Haskell bindings for Python's Matplotlib bokeh-hs Haskell bindings for Bokeh

    Numerical optimization

    This classification is somewhat arbitrary. Something more systematic like GAMS might be helpful.

    Bindings

    Pure haskell

    Miscellaneous libraries

    • Rational numbers with transcendental functions
    • Roots of polynomials
    • Eigensystems
    • Tensors
    • Dirac quantum mechanics
    • State vector evolution
    • Short study of fuzzy oscillator

    This page contains a list of libraries and tools in a certain category. For a comprehensive list of such pages, see Applications and libraries.


    Sec. 3.6

    In the previous section, we learned about two valid argument forms that can be made using the conditional (if… then):

    We also know that the arguments above can take on many forms. For example,

    is a valid argument because the correct order is being followed.

    A in the first premise, then the next statement and conclusion follow in that same order.

    But what if we have the argument

    This argument does not follow the correct order. But could it still be valid, for a different reason? In this section, we’ll look at a third argument type, to see if the above argument is valid. This third valid argument form is called the contrapositive.

    The Contrapositive

    The contrapositive is a statement equivalent to A → B, using “not.”

    A, is the correct equivalent to A → B?

    To see, try out the sentence, Si’s a cat, then it’s an animal. We’ll call this A→B.

    Which sentence means the same thing?

    B → A If it’s an animal, then it’s a cat.

    B If it’s not a cat, then it’s not an animal.

    A If it is not an animal, then it is not a cat.

    The first sentence, If it’s an animal, then it’s a cat, is not true (we can think of other animals, like dogs), so it can’t mean the same thing.

    The second sentence, If it’s not a cat, then it’s not an animal, is also not true (we can think of things that are not cats, like dogs, that are still animals), so it can’t mean the same thing.

    The last sentence, If it is not an animal, then it is not a cat, is true, and it is the equivalent statement.

    The contrapositive of A B is

    B

    A. The two statements are equivalent, which means that if A → B is true then

    A must also be true. The contrapositive reverses the direction, and negates each.

    Ejemplo 1 Lo sabemos if a number is a multiple of 4, then it’s a multiple of 2. Write the contrapositive and use an Euler Diagram to show that the contrapositive is also true.

    If it’s a multiple of 4, then it’s a multiple of 2 es lo mismo que Todas multiples of 4 are multiples of 2, shown in the diagram. For example, the number 8 is a multiple of 4. The number 8 must also be a multiple of 2.

    The contrapositive is if it’s not a multiple of 2 then it’s not a multiple of 4.

    To see that the contrapositive is true, look at X, which is not a multiple of 2. Since the multiples of 4 circle is inside multiples of 2, x also cannot be a multiple of 4.

    You can also think of a numerical example. Imagine that x = 7. The number 7 is not a multiple of 2, and cannot be a multiple of 4, either.

    Ejemplo 2 Write the following rule in symbols: If a number is divisible by 6, it must be divisible by 3, then write the contrapositive in symbols and words. What other versions of this statement might seem to be true, but are not?

    If a number is divisible by 6, it must be divisible by 3 can be written as 6 → 3.

    The contrapositive reverses the direction, and negates each:

    Thus, the correct equivalent statement is If a number is nodivisible by 3, it es no divisible by 6. This statement is true. For example, 20 is not divisible by 3, and not divisible by 6.

    Another possible version of this statement, If a number is nodivisible by 6, it es no divisible by 3, is not true. For example, the number 21 is not divisible by 6, but it es divisible by 3.

    It is also not true que If a number is divisible by 3, it must be divisible by 6. Again, we can use 21, which is divisible by 3, but not by 6.

    The contrapositive leads us to a third valid argument form.

    We now know that we can replace

    A with A → B, since they are equivalent statements, by the contrapositive.

    This gives us a new valid argument form:

    Valid by Contrapositive

    Ejemplo 3 Determine whether the following arguments are valid by the contrapositive. Write each argument in symbols and draw an Euler diagram to help you decide.

    The first argument is valid by contrapositive since the order is reversed and each part of the statement is negated.

    To use an Euler diagram, translate If it is a cat, then it’s an animal, to All cats are animales.

    Where we have the second line in the argument, It’s no an animal, think of placing an object, x, that is no an animal, in the right place.

    x, would go outside the animales circle. Since that makes it also outside the cats circle, the argument is valid.

    The second argument is no valid by contrapositive because even though each part of the statement is negated, the order is not reversed.

    In the Euler diagram for All multiples of 6 are multiples of 3, we see that a number that is not a multiple of 6 could be in two possible places. It might be a multiple of 3. Thus, the conclusion, not a multiple of 3, is not valid, since it is not 100% certain.

    Ejemplo 4 Use the contrapositive to rewrite the statement, If it’s a fish, then it’s not púrpura, then create a valid argument. Use both symbols and an Euler diagram to verify that your argument is valid.

    The statement can be written f →

    p as the contrapositive, turn the statement around, y negate each part.

    p) = p, similar to taking the negative of a negative number, which then becomes positive, for example, –( –3) = 3.

    So, to create a valid argument from this, we could use the same order as p →

    f. We could have p as the next premise, and

    Nuestra valid argument is now:

    We can also look at the Euler Diagram to see that this makes sense.

    If it’s a fish, then it’s not purple es lo mismo que no fish are purple.

    The next line in the argument, It’s púrpura, means we mark an x in the purple circle.

    The conclusion, Therefore, it’s not a fish must be correct, since if x is in the purple circle, it cannot be in the fish circle, since the two circles do not overlap.

    Ejemplo 5 Which of the following arguments are valid by contrapositive?

    Translate each argument into symbols first, to help you decide.

    The second and third arguments (b and c) are valid by contrapositive. The first is not valid, it is the incorrect application of the contrapositive, because although the two parts of the first premise have been negated, the order was not switched.

    Combining Argument Types

    We can combine various argument types to get multilayered logical arguments.

    Remember when we translate into symbols, instead of writing x, we write just N for natural number in one line, and just R for rational in the conclusion.

    This is a valid argument. We can tell it is valid by using transitivity.

    You can also tell from the diagram below. Since X is in N, and N is inside the R circle, x must also be in R.

    Using set theory symbols, X ∊ ℕ and ℕ ⊆ R, so X ∊ R.

    Ejemplo 7 Which of the following arguments, shown only with symbols, correctly combine transitivity and modus ponens (the correct order), or transitivity and the contrapositive? Which are invalid?

    Consejo: In each argument, look for a “chain” that links the last premise to the conclusion. For example, in argument 1, look for a chain that links a to the conclusion, r.

    Argument 1 has a chain that goes from p to r: p → q, q → r, so p → q → r. But there is no chain leading from a to r. We have a → b, but then nothing from b. So argument 1 is invalid, because transitivity is not correctly applied.

    In Argument 2, we are looking for a way to link x to the conclusion, m. We have the following: x →

    y → q, and q → m which gives us x →

    y → q → m. Thus, we have a chain leading from x to m. The argument can be rewritten as

    Por lo tanto, argumento 2 es valid, by a combination of transitivity and correct order.

    In Argument 3, we are looking for a way to link

    z to the conclusion, r. We don’t see any

    z in the argument, but we can use the contrapositive to turn m → z into

    m. We then link this to the next statement:

    m → r. The argument is valid.

    Argument 3 is valid, by a combination of transitivity and contrapositive.


    How Children Can Learn Mathematics From Daily Lives

    Mathematics has always been a difficult and scary subject for children. If we look back to our student days, we will recall that we found mathematics difficult to learn, boring and even of little use. Let’s see why!

    Research has shown that most of the children have the ability to learn and be proficient in it. If approached correctly, mathematical concepts and ideas can be made graspable even before starting with any formal primary schooling.
    How can operating with numbers be a fun activity and an entertaining experience and can be learnt from daily lives?
    Professor Robert H. Lewis writes, ‘Mathematics is not about answers, it’s about processes’. If we understand how Mathematics can be used in our day to day lives, we would be able to grasp it. We can apply mathematics to everyday applications for ease of understanding. Whether it is about organising competitions, number games or exciting puzzles, Mathematics is everywhere!

    Children as young as age one can enjoy learning numbers through fun educational games. Motivating, innovating and creating a fun and practical context for learning is one of the best ways to increase the interest of a student in a course. Applying these tactics to mathematics, which is considered by many as boring or difficult, allows the young ones to learn in a fun and dynamic manner, while developing skills and competencies that are a part of academic goals.

    There are many everyday situations that demand the knowledge of mathematics. Applying mathematics in the context of everyday activities helps students understand concepts that are otherwise difficult to assimilate and understand. Every day, students should be made to solve numerical problems, not necessarily academic in nature. The idea is to encourage the use of mathematical thinking without the students perceiving it as an academic activity. For example –

    • Buying daily items- Ask your child to look for a product with the lowest price to review the concepts of major and minor. You can even be specific here and tell them to purchase say two packets of biscuits for each member of the family. Here, the concept of multiplication can be made clear to him.
    • Money- Ask the children to read the amount on the bill, take out the total amount to be paid, calculate the change to be taken.
    • Kitchen- While preparing a recipe, children can help in the task of measuring or weighing ingredients. This can help them to review and understand fractions. A good idea is to allow children to cut slices of a pie, cake or pizza. This would help them comprehend things better without the fear of failure.
    • Playing- Children, though unconsciously, already apply their number skills in many games. Understanding the concept of mathematics is possible if learning is integrated in a fun and motivating environment. In many games, without even realizing, children are already training their brains to deal with numbers. Monopoly, snakes and ladders and a lot of other games that require the use of a dice are a perfect opportunity to review the concepts of addition, subtraction along with mental calculations. Other games like sudoku, magic tricks, tambola also contribute to learning mathematics in a fun way. Moreover, some puzzles, coupled with different ways to construct geometric figures, help students understand the practical applications of geometric concepts.

    Today, the use of new technologies is emerging as one of the most effective ways to motivate maths learning. On the web, we can find many games for children of all ages to play and learn mathematics in a technological environment. Games with calculators, mathematical puzzles and challenges are some activities that can be easily found on the web. These games serve the purpose of learning and are engaging and interesting for children.

    Brain games are another way to raise the motivation level of children by making them independent and confident of finding solutions to problems. Such games help in developing the ability to concentrate and to think critically. For example, a number chain game can be very helpful in sharpening the memory of a child. Such games are a good exercise for enhancing the overall personality of a child. The more the application of the brain, the more the child becomes active and smart to face difficult and complicated challenges. And this is what is exactly required for Mathematics!

    Yuvraj Krishan Sharma, is the co-founder of KOMPANIONS (a Gurugram based Ed-Tech-Sci start-up that works in the areas of AR, VR, MR and gamification in education) and is a spirited and creative person at heart. He has a flair for innovation and is always excited in the creation of ‘NEW’. Yuvraj is an education enthusiast and has spent a considerable amount of time inside classrooms with learners of varied intelligence. An accomplished facilitator and a persuasive speaker, Yuvraj has a way with children and young adults and keenly explores newer ways to develop future skills in the learners of today!


    Math Kids - Add, Subtract, Count, and Learn

    It's never too early to start your child's education. Preschoolers, kindergarteners, toddlers, and older kids are eager to learn their ABCs, counting, addition, subtraction, and more! The best way to encourage that is to share smart, well-made educational apps and games with them on a daily basis.

    Math Kids is a free learning game designed to teach young children numbers and mathematics. It features several mini-games that toddlers and pre-K kids will love to play, and the more they do the better their math skills will become! Math Kids will help preschoolers, kindergarteners, 1st graders to learn to identify numbers and start training with addition and subtraction puzzles. They'll have a great time completing games and earning stickers, and you‘ll have a great time watching them grow and learn.

    Math Kids features a number of puzzles that teach while your child plays, including:
    • Counting - Learn to count objects in this simple game of addition.
    • Compare - Children can build their counting and comparing skills to see which group of items is bigger or smaller.
    • Adding Puzzle - A fun mini-game where kids create math problems by dragging numbers on the screen.
    • Adding Fun - Count the objects and tap on the missing number.
    • Adding Quiz - Put your child's math and addition skills to the test.
    • Subtracting Puzzle - Fill in the missing symbols in the math problem.
    • Subtracting Fun - Count the items to solve the puzzle!
    • Subtracting Quiz - See how much your child has improved in their mathematics skills for subtraction.

    When kids can play while they're learning, they're much more likely to recall information. It also makes them want to learn more frequently, which will give them a huge boost when they start kindergarten.

    Math Kids also comes with a number of features that help adults monitor and manage their child's progress. Customize game modes to increase or decrease the difficulty, or check report cards to see scores for previous rounds.

    Math Kids is the perfect introduction to the basics of counting, addition, and subtraction. It will teach your toddler, kindergartener, 1st grader sorting, and logical skills along with early mathematics, giving them the perfect foundation for a lifetime of learning.

    Note to Parents:
    When creating Math Kids, we focused on building the best possible learning experience for children of all ages. We're parents ourselves, so we know exactly what makes a good educational game, as well as what doesn't. We released Kids Math as a completely free game with no in-app purchases or third party ads. Math Kids is full featured, frustration free, and ready to go. It’s exactly the kind of educational app we want for our children, and we think your family will enjoy it, too!


    Commons Math is a library of lightweight, self-contained mathematics and statistics components addressing the most common problems not available in the Java programming language or Commons Lang.

    1. Real-world application use cases determine development priority.
    2. This package emphasizes small, easily integrated components rather than large libraries with complex dependencies and configurations.
    3. All algorithms are fully documented and follow generally accepted best practices.
    4. In situations where multiple standard algorithms exist, a Strategy pattern is used to support multiple implementations.
    5. Limited dependencies. No external dependencies beyond Commons components and the core Java platform (at least Java 1.3 up to version 1.2 of the library, at least Java 5 starting with version 2.0 of the library).

    Exámenes

    Test I: Monday , October 1, 2012 Place & time: 180 Bevier, 7:00pm Click for the Test I prep. Click for the solutions (ODDS) (EVENS)

    Here are the solutions for Midterm 1.

    Test II: Thursday , November 1, 2012 Place & time: 101 Armory, 7:00pm
    Here are some sample midterm questions (these have been slightly simplified computationally from the first version).
    Here are the solutions to the actual midterm.

    Test III: Monday , December 3, 2012 Place & time: In Class.
    Here are some sample midterm questions which refer to the graphs in here.

    The comprehensive final exam will be given on Thursday , December 20 , 7:00-10:00 PM , in our classroom.


    Ver el vídeo: PRACTICA LO APRENDIDO 2º AÑO UNIDAD 3 (Octubre 2021).