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5.4: Clasificación de grupos finitos


Hemos visto que la teoría de grupos no puede distinguir entre grupos que son isomorfos. Entonces, una pregunta natural es si podemos hacer una lista de todos los grupos.

Podemos crear nuevos grupos a partir de grupos antiguos utilizando el producto directo. Por lo tanto, sería bueno centrarse en grupos que están no productos directos. En el caso conmutativo, esto resulta bastante sencillo: un grupo conmutativo (finito) es un producto directo de subgrupos si y solo si tiene un subgrupo adecuado.

Sin embargo, el caso no conmutativo es mucho más difícil. En realidad, hay algunas otras formas de crear nuevos grupos a partir de grupos antiguos; la más importante de estas otras formas es la producto semidirecto; no describiremos cómo crear productos semidirectos aquí, pero puede leer sobre ellos en otra parte. Es importante destacar que se puede "deshacer" un producto semidirecto utilizando un cociente, de la misma manera que se puede deshacer un producto directo. Para tener una idea de lo útil que es la construcción, el grupo simétrico (S_n ) es el producto semidirecto de (A_n ) y ( mathbb {Z} _2 ). Además, el grupo diedro (D_n ) es un producto semidirecto de ( mathbb {Z} _n ) y ( mathbb {Z} _2 ).

Una pregunta interesante, entonces, es '¿Qué grupos no tienen cocientes?' Hemos visto que podemos formar un grupo cociente siempre que haya un subgrupo normal.

Definición 5.3.0: Grupos simples

Un grupo es sencillo si no tiene subgrupos normales adecuados. (Un subgrupo adecuado es cualquier subgrupo de (G ) que no es igual a (G ) o ( {1 } ), que siempre son subgrupos normales).

Ahora clasificaremos todos los grupos finitos simples y discutiremos algo de la historia del caso no conmutativo.

El caso conmutativo

De hecho, podemos clasificar todos los grupos conmutativos finitos con bastante facilidad. Primero, recuerda que cada subgrupo de un grupo conmutativo es normal.

Proposición 5.3.1

Un grupo conmutativo finito es simple si y solo si tiene el orden primo (p ). En este caso, es isomorfo al grupo cíclico, ( mathbb {Z} _p ).

Prueba 5.3.2

Si un grupo conmutativo finito tiene un orden primo, entonces no tiene subgrupos propios, según el teorema de Lagrange. Entonces debe ser simple.

Para la otra dirección, asumimos que (G ) es un grupo simple conmutativo finito. (G ) debe ser cíclico, de lo contrario podríamos formar un subgrupo adecuado tomando las potencias de un generador. Entonces (G sim mathbb {Z} _n ) para algunos (n ). Pero si (n ) no es primo, podemos encontrar un subgrupo usando un divisor adecuado de (n ). Entonces (G sim mathbb {Z} _p ) para alguna prima (p ).

Teorema 5.3.3

Todo grupo conmutativo finito es un producto directo de grupos cíclicos de orden primario.

Prueba 5.3.4

Sea (A ) un grupo conmutativo con (n ) elementos. Tome cualquier elemento (x ) que no sea igual a la identidad en (A ); sabemos que hay un número entero mínimo (m ) para el cual (x ^ m = 1 ). Entonces (A ) tiene un subgrupo de orden (m ) generado por (x ), isomorfo a ( mathbb {Z} _m ). Como resultado, tenemos (A sim A_1 otimes mathbb {Z} _m ), donde (A_1 ) es el cociente (A / mathord mathbb {Z} _m ).

Podemos repetir ese procedimiento indefinidamente (tomando (x ) en (A_1 ) y escribiendo (A_1 ) como un producto, y así sucesivamente), hasta obtener una descomposición (A = mathbb {Z} _ {m_1} otimes mathbb {Z} _ {m_k} ), un producto de grupos cíclicos.

Entonces podemos usar el mismo truco para descomponer cada ( mathbb {Z} _m ) en un producto directo de grupos cíclicos de orden primo, completando la demostración.

Se puede extender este truco a algunos grupos infinitos: aquellos que tienen un número finito de generadores. (Tales grupos, como era de esperar, se denominan finamente generado.) Esto da lugar a la Teorema fundamental de los grupos conmutativos generados finitamente.

Suponga que (A ) es un grupo conmutativo generado finitamente con cardinalidad infinita. Muestre que (A sim mathbb {Z} otimes A '), donde (A' ) es un grupo conmutativo generado finitamente.

El caso no conmutativo

Uno de los principales proyectos de la investigación matemática del siglo XX fue clasificar todos los grupos finitos simples; el proyecto duró cincuenta años y se estima que la prueba de la clasificación abarcará 10.000 páginas escritas por más de 100 autores. Sin embargo, actualmente se está realizando un esfuerzo para simplificar la prueba.

La clasificación muestra que todos los grupos simples finitos son de uno de cuatro tipos:

  1. Grupos conmutativos de primer orden,
  2. Grupos alternos (A_n ) con (n geq 5 ),
  3. Grupos de tipo Mentira,
  4. Los 26 grupos esporádicos.

Ya hemos visto los dos primeros tipos de grupos simples. Resulta que "la mayoría" de los grupos simples finitos están en la tercera clase, grupos de tipo Lie, que están mucho más allá del alcance de estas notas para construir. Básicamente, sin embargo, los grupos de tipo Lie son ciertos grupos de matrices con entradas de un campo finito, que veremos en el próximo capítulo. ¡Los grupos 'esporádicos' son solo aquellos grupos que no encajan en ninguna de las otras tres clases!


Actualización de álgebra abstracta: repaso, amplificación, ejemplos

Aquí presentamos, con pocas pruebas, algunos teoremas de estructura que promueven el objetivo de clasificar grupos finitos. También incluimos algunos ejemplos. Comenzamos con un resultado importante cuya prueba se basa en acciones grupales.

Hemos definido un grupo (p ) - como cualquier grupo cuyo orden es una potencia de un primo (p. ) Supongamos que (G ) es un grupo finito de orden (n ) y (p ) es primo dividiendo (n. ) Escribe (n = p ^ k n_0 ) donde (p nmid n_0 text <,> ) entonces (k ) es el exponente más grande de modo que ( p ^ k mid n. ) Un (H ) de (G ) es simplemente cualquier subgrupo que sea un (p ) - grupo. A de (G ) es un subgrupo cuyo orden es la potencia más grande de (p ) dividiendo el orden del grupo, en este caso (p ^ k text <.> ) Estamos a punto de enunciar una resultado que muestra que tales subgrupos siempre existen.

Teorema 2.4.1. Teoremas de Sylow.

Sea (G ) un grupo de orden (n = p ^ k n_0 ) con (p ) un primo y (p nmid n_0 text <.> ) Entonces

  • Existen subgrupos de (G ) de todos los órdenes (p ^ ell ) con (1 le ell le k text <.> ) En particular, Sylow (p ) - existen subgrupos para todos los primos (p ) dividiendo (| G | text <.> ) Cada (p ) - subgrupo de (G ) está contenido en un Sylow (p ) - subgrupo de ( G text <.> )
  • Para un primo fijo (p text <,> ) si (P ) y (Q ) son dos Sylow (p ) - subgrupos de (G text <,> ) son conjugados , es decir, existe (g in G ) con (P = gQg ^ <-1> text <.> )
  • Sea (n_p ) igual al número de Sylow (p ) - subgrupos de (G text <.> ) Entonces (n_p equiv 1 pmod p ) y (n_p mid n_0 = | G | / p ^ k text <.> )>
Conceptos subyacentes.

Sea (p ) un primo que divide (| G | text <,> ) y sea (X ) el conjunto de todos los subgrupos (p ) de Sylow en (G. ) El primer teorema de Sylow dice que (X ) no está vacío. Tenga en cuenta que (G ) actúa sobre (X ) por conjugación: si (P in X text <,> ) entonces como (x mapsto gxg ^ <-1> ) es un (inner ) automorfismo, (gPg ^ <-1> ) es un subgrupo de (G ) que tiene el mismo orden que (P text <,> ) por lo que es nuevamente un elemento de (X. )

Ahora que tenemos una acción grupal, podemos hablar de órbitas y estabilizadores. Así que sea (P in X ) un subgrupo (p ) de Sylow. El segundo teorema de Sylow dice que se dice que la órbita (G cdot P = X text <> ) (G ) actúa sobre (X text <.> )

Pero ahora (n_p ) es el número de Sylow (p ) - subgrupos en (G text <,> ) pero ese es simplemente el tamaño de (X. ) Por lo tanto

donde la última igualdad proviene del teorema del estabilizador de órbita. Ahora siempre tenemos las inclusiones

En particular (n_p mid n_0 text <,> ) parte del tercer teorema de Sylow.

Los subgrupos normales de un grupo proporcionan información sobre su estructura. Un grupo (G ) cuyos únicos subgrupos normales son (G ) y () se denomina grupo y son fundamentales para el llamado programa Hölder. Para los grupos que no son simples, sus subgrupos normales a menudo conducen a su caracterización como producto de grupos más pequeños, que investigaremos en breve. Un corolario de los teoremas de Sylow proporciona una forma sencilla de determinar si un subgrupo (p ) - de Sylow es normal.

Corolario 2.4.2.

En la notación del teorema de Sylow, (n_p = 1 ) si y solo si el subgrupo (p ) - de Sylow es normal.

Prueba .

Suponga que (n_p = 1 ) y (P ) reciben Sylow (p ) - subgrupo. Para cualquier (g in G, ) (gPg ^ <-1> ) también es un subgrupo (p ) - de Sylow, y dado que solo hay uno, (P = gPg ^ <-1> ) para cualquier (g en G, ) entonces (P normal G. )

A la inversa, suponga que (P ) es un subgrupo (p ) - normal de Sylow, y sea (Q ) cualquier subgrupo (p ) - de Sylow. Según el segundo teorema de Sylow, (Q = gPg ^ <-1> ) para algunos (g in G. ) Pero como (P ) es normal, (Q = P text <,> ) por lo tanto (n_p = 1. )

Recuerde que dados dos grupos (G_1 ) y (G_2 text <,> ) podemos hacer su producto cartesiano, (G_1 times G_2 text <,> ) de pares ordenados en un grupo bajo componente- sabias operaciones. Lo que nos gustaría es caracterizar cuándo un grupo dado es isomorfo a un producto directo de grupos.

Proposición 2.4.3.

Sea (G ) un grupo y (H text <,> ) (K ) subgrupos. Suponer que

  • (H ) y (K ) son ambos subgrupos normales.
  • ( Displaystyle H cap K = )
  • ( Displaystyle G = HK (= KH) )

Entonces el mapa (H times K to HK = G ) dado por ((h, k) mapsto hk ) es un isomorfismo, y (G ) se llama el de los subgrupos (H ) y (K text <.> )

Prueba .

Sea ( varphi: H times K to G ) definido por ( varphi ((h, k)) = hk. ) El mapa ( varphi ) es sobreyectivo por el tercer supuesto, y es uno a uno según el segundo supuesto:

pero como (H cap K = text <,> ) ((h ') ^ <-1> h = k'k ^ <-1> = e text <,> ) así ((h, k) = (h', k '). )

Demostrar que ( varphi ) es un homomorfismo es que debemos tener un poco de cuidado.

para cualquier (h_i in H ) y (k_i in K. ) Mientras que en general (HK = KH ) sea un subgrupo de (G ) no implica que los elementos conmuten, pero cuando ambos Los subgrupos son normales (y tienen una intersección trivial) obtenemos algo de poder adicional:

pero usando la normalidad de cada subgrupo, vemos

los elementos se conmutan y nuestro mapa ( varphi ) es un homomorfismo.

Antes de dar un ejemplo, presentamos un resultado importante, pero simple, que puede verse como una versión del teorema del resto chino, aunque damos una prueba directa.

Proposición 2.4.4.

Deje (Z_n ) denotar un grupo cíclico de orden (n, ) entonces (Z_n cong Z / n Z text <.> )

Prueba .

Sea (d = gcd (m, n) text <,> ) y observe que ( ds frac = m frac = n frac) es un producto de números enteros. De ello se deduce que cada elemento de (Z_m times Z_n ) tiene exponente (mn / d text <.> ) Entonces, si (d & gt 1, ) no hay ningún elemento de orden (mn ) en (Z_m times Z_n text <,> ) por lo que el grupo no es cíclico.

A la inversa, suponga que (d = 1. ) Sea (x en Z_m ) tenga orden (m ) y (y in Z_n ) tenga orden (n, ) y ponga (z = (x, y) in Z_m times Z_n. ) Dado que

es fácil ver que (z ) tiene exponente (mn. ) Queremos mostrar que el orden de (z ) es (mn. )

Entonces, suponga que ( ell ) es cualquier exponente para (z. ) Entonces

Como (m ) es el orden de (x, ) sabemos que (m mid ell, ) y como (n ) es el orden de (y, ) sabemos que (n mid ell. ) Pero (d = gcd (m, n) = 1 ) lo que implica que (mn mid ell. ) Así ( ell = mn ) es el más pequeño exponente, de ahí el orden.

Entonces (Z_m times Z_n ) es cíclico de orden (mn text <,> ) entonces

ya que hay un grupo cíclico único de cualquier orden dado (hasta isomorfismo).

Ejemplo 2.4.5.

Sea (p lt q ) primos con (p nmid (q-1) text <.> ) Entonces cada grupo de orden (pq ) es cíclico.

Primero aplicamos los teoremas de Sylow a (G. ) Sean (H_p ) y (H_q ) (respectivamente) Sylow (p ) y (q ) - subgrupos de (G text < .> ) Debido a que tienen un orden primo, sabemos que (H_p cong Z_p ) y (H_q cong Z_q. ) Queremos saber que (G ) es el producto directo de (H_p ) y (H_q. ) El hecho de que tengan una intersección trivial es algo inmediato de Lagrange ya que tienen órdenes primos relativamente.

Dada su trivial intersección, la Proposición 2.1.3 nos dice que (| H_pH_q | = pq text <,> ) tan necesariamente (G = H_pH_q. ) Todo lo que queda es para mostrar que cada uno de los subgrupos de Sylow es normal.

La proposición 2.3.14 nos dice que dado que ([G: H_q] = p ) es el número primo más pequeño que divide el orden de (G text <,> ), debe ser normal, aunque damos una prueba independiente usando los teoremas de Sylow.

En la notación de los teoremas de Sylow, ambos subgrupos serán normales si f (n_p = n_q = 1. ) Por los teoremas de Sylow, sabemos que

Dado que (n_q mid p, ) (n_q = 1 ) o (p. ) Pero si (n_q = p, ) entonces (n_q = p equiv 1 pmod q ) que dice que (q mid (p-1). ) Pero (p lt q ) por suposición, entonces eso es imposible. Por lo tanto, (n_q = 1 ) implicando que (H_q ) es un subgrupo normal.

De manera similar, (n_p = 1 ) o (q. ) Si (n_p = q, ) entonces (n_p = q equiv 1 pmod p, ) lo que implica que (p mid (q- 1), ) contrario a la suposición.

Por lo tanto, ambos subgrupos son normales, tienen una intersección trivial y su producto es (G text <,> ) así que por la Proposición 2.4.3,

Observación 2.4.6.

La condición de que (p nmid (q-1) ) era absolutamente crítica en el ejemplo anterior. Considere grupos de orden (6 = 2 cdot 3 text <.> ) Dado que (2 mid (3-1) ) el argumento que proporcionamos no muestra que el subgrupo 2 de Sylow sea normal. De hecho, no tiene por qué serlo.

Si (G = S_3 text <,> ) el grupo simétrico, sabemos que el grupo de Sylow (H_3 ) es normal (generado por cualquiera de los 3 ciclos), sin embargo, hay 3 subgrupos de 2 de Sylow, cada uno generado por una transposición diferente, por lo que (n_2 = 3 text <,> ) y los subgrupos 2 de Sylow no son normales.

Además, está claro que (S_3 not cong H_2 times H_3 ) ya que el último es abeliano, mientras que (S_3 ) no lo es. Por supuesto, si el grupo hubiera sido (G = Z / 6 Z text <,> ) ambos subgrupos de Sylow serían normales y (G cong H_2 times H_3 text <.> )

Finalmente, esta no es una situación aislada. Después de todo, para cualquier primo impar (q text <,> ) (2 mid (q-1) text <,> ) por lo que cualquier grupo de orden (2q ) puede tener este problema. De hecho, sabemos que el problema surgirá, ya que hay grupos diedros (no abelianos de orden (2n )) para cada (n ge 3. )

Observación 2.4.7.

También vale la pena señalar que cuando un grupo (G ) tiene subgrupos (H, K ) con (G = HK text <,> ) (H cap K = ) y sólo uno de (H ) o (K ) es normal, todavía hay algo que se puede decir, a saber, que (G ) es un producto de (H ) y (K text <.> ) La estructura es más complicada ya que el mapa ( varphi: H times K to G ) dado por ((h, k) mapsto hk ) es no un homomorfismo.

Uno de los resultados notablemente bonitos de la teoría de grupos es la clasificación de grupos abelianos finitos. Si bien es relativamente fácil de expresar, la prueba es bastante larga. Encontrará pruebas directas en libros de texto centrados solo en grupos, o pruebas más generales que se aplican a módulos generados finitamente sobre PID de los cuales los grupos abelianos finitos son un caso especial.

Comenzamos con un resultado intermedio que usaremos para obtener el resultado completo.

Teorema 2.4.8.

Sea (G ) un grupo abeliano finito cuyo orden (n ) tiene factorización prima (n = p_1 ^ cdots p_r ^. ) Sea (H_) ser un Sylow (p_i ) - subgrupo de (G text <.> ) Entonces

Prueba .

La prueba es por inducción en (r. ) Primero observe que todos los subgrupos de (G ) son normales ya que (G ) es abeliano. Si (r = 1 ) no hay nada que probar, y el caso de (r = 2 ) es una aplicación directa de la Proposición 2.1.3 y la Proposición 2.4.3.

Ahora considere (r = 3 text <.> ) Por la Proposición 2.4.3, (H: = H_ <1> H_ <2> cong H_ <1> times H_ <2>. ) Además (H ) es normal ya que (G ) es abeliano y (H cap H_ <3> = ) de Lagrange. Nuevamente por la Proposición 2.1.3 y la Proposición 2.4.3, tenemos

Ahora suponga que (r ge 4 text <,> ) y como arriba hemos construido

Los mismos argumentos ahora muestran que (G = HH_r cong H times H_r ) que finaliza la demostración.

Habiendo reducido la estructura de un grupo abeliano finito a un producto directo de sus subgrupos (p ) - de Sylow, ahora caracterizamos todos los tipos de isomorfismos de un grupo (p ) - abeliano.

Teorema 2.4.9.

Sea (G ) un grupo abeliano finito de orden (p ^ n ) para algunos primos (p ) y (n ge 1 text <.> ) Entonces (G cong Z_<>> veces Z_<>> veces cdots veces Z_<>> ) con (a_1 ge a_2 ge cdots ge a_r ge 1 ) y ( sum_^ r a_i = n text <.> )

Además, si (H cong Z_<>> veces Z_<>> veces cdots veces Z_<>> ) con (b_1 ge b_2 ge cdots ge b_s ge 1 ) y ( sum_^ s b_i = n text <,> ) luego (G cong H ) iff (r = s ) y (a_i = b_i ) para todo (1 le i le r text <.> ) Los poderes, (p ^ text <,> ) se llaman de (G. )

Observación 2.4.10.

Los enteros (a_1 ge a_2 ge cdots ge a_r ge 1 ) con ( sum_^ r a_i = n ) se dice que forma una de (n text <.> )

Uno define el, (p (n) text <,> ) que cuenta el número de particiones del entero positivo (n text <.> ) Los primeros valores son fáciles de calcular:

Por otro lado, los valores más grandes pueden ser más desafiantes:

Hay muchos teoremas sobre la función de partición, incluidos los asintóticos:

como (n to infty ) donde ( kappa = pi sqrt <2/3> text <,> ) o funciones generadoras:

También hay fórmulas de recurrencia que producen los números exactos enumerados anteriormente.

Ejemplo 2.4.11.

Hasta el isomorfismo encuentre todos los grupos abelianos de orden (p ^ 5 text <,> ) es decir, encuentre un conjunto de representantes de todas las clases de isomorfismos de grupos abelianos de orden (p ^ 5 text <.> )

Comenzamos enumerando las particiones de 5:

entonces (p (5) = 7 text <,> ) entonces habrá 7 clases de isomorfismo. Los enteros en la partición corresponden a los divisores elementales (p ^ a ) en la descomposición.

Por tanto, (G ) es isomorfo precisamente a uno de los siguientes grupos abelianos:

Ahora nos gustaría combinar el Teorema 2.4.8 y el Teorema 2.4.9 en un teorema, que caracteriza a los grupos abelianos finitos por sus

Teorema 2.4.12.

Cada grupo abeliano finito es isomorfo a exactamente un grupo de la forma (Z_ veces Z_ veces cdots veces Z_) donde y (n_1 mid n_2 mid cdots mid n_r ge 2 text <.> ) Se sigue que (| G | = n_1n_2 cdots n_r. ) Los (n_i ) son llamado el de (G. )

(Idea principal).

Sabemos que cada grupo abeliano finito es un producto directo de sus subgrupos (p ) de Sylow, cada uno de los cuales tiene una descomposición en términos de divisores elementales. Para combinar estos productos usamos el teorema del resto chino para grupos que unen las mayores potencias de los divisores elementales para cada uno de los primos en el primer factor invariante, luego el segundo mayor en el segundo factor invariante, y así sucesivamente.

Un ejemplo de traducción entre los dos tipos debería aclarar las cosas.

Ejemplo 2.4.13.

Para pasar de la descomposición factorial invariante al producto de los subgrupos de Sylow:

Ahora vamos de Sylow / divisor elemental a la descomposición factorial invariante recolectando las mayores potencias de los divisores elementales, luego la segunda mayor y así sucesivamente.

Observación 2.4.14.

Si bien el método de Sylow / divisor elemental puede parecer más natural, y ciertamente es la forma más fácil de enumerar todas las clases de isomorfismos de un grupo abeliano de un orden dado, la descomposición de factores invariantes revela una estructura más profunda del grupo. Por ejemplo, aunque sabemos que si

con (n_1 mid n_2 mid cdots mid n_r ge 2 text <,> ) entonces el grupo tiene orden (n = n_1 cdots n_r ) y que cada elemento en el grupo tiene orden de división (n. ) La descomposición de factores invariantes nos dice más, es decir, que el orden más grande de un elemento en el grupo es (n_r. )

Hacemos un último ejemplo que enumera las clases de isomorfismo tanto en divisores elementales como en formas de factores invariantes.

Ejemplo 2.4.15.

Hasta el isomorfismo, clasifique todos los grupos abelianos de orden (6125 = 5 ^ 3 cdot 7 ^ 2 text <.> )

Primero descomponemos (G ) en un producto de sus subgrupos de Sylow: (G cong H_5 times H_7 ) con (| H_5 | = 5 ^ 3 ) y (| H_7 | = 7 ^ 2 text <.> ) A continuación, para cada subgrupo de Sylow necesitamos calcular sus posibles divisores elementales, y para hacerlo, necesitamos calcular las particiones de 2 y 3:

Esto se traduce en las siguientes posibilidades para la descomposición del divisor elemental de cada subgrupo de Sylow:

Finalmente, reunimos todos los datos que hemos calculado para llegar a todas las posibles clases de isomorfismo tanto en términos de divisores elementales como de factores invariantes.

Punto de control 2.4.16.

El grupo (G = Z_ <25> times Z_ <245> ) también es un grupo abeliano de orden 6125, pero no aparece en las listas dadas en el ejemplo anterior. ¿A qué grupos de la lista anterior es isomorfo?


Aplicación de la clasificación de grupos simples finitos: una guía de usuario y rsquos

La clasificación de grupos simples finitos (CFSG) es un proyecto importante que involucra el trabajo de cientos de investigadores. El trabajo se completó en gran parte hacia 1983, aunque la publicación final de la parte de & ldquoquasithin & rdquo se retrasó hasta 2004. Desde la década de 1980, CFSG ha tenido una gran influencia en el trabajo en la teoría de grupos finitos y en muchos campos adyacentes de las matemáticas. Este libro intenta sondear y muestrear varios de estos temas del área de investigación muy grande y cada vez más activa de las aplicaciones del CFSG.

El libro está basado en las conferencias del autor en la Escuela de Verano de Venecia de septiembre de 2015 sobre grupos finitos. Con alrededor de 50 ejercicios de conferencias originales, puede servir como un curso de posgrado de segundo año para estudiantes que han tenido álgebra de posgrado de primer año. Puede ser de particular interés para los estudiantes que buscan un tema de disertación en torno a la teoría de grupos. También puede ser útil como introducción y referencia básica, además, indica citas más completas de la literatura apropiada para los lectores que deseen ir a fuentes más detalladas.

Número de lectores

Estudiantes graduados e investigadores interesados ​​en la teoría de grupos y sus aplicaciones.


5.4: Clasificación de grupos finitos

Nacido el 31 de agosto de 1950, Abadan, Irán.

Casado y tengo tres hijos.

1978 Doctor. Matemáticas puras, Universidad de Birmingham, Inglaterra.

1975 M.Sc. Matemáticas puras, Universidad de Birmingham, Inglaterra.

1974 B.Sc. con distinción, Matemáticas puras, Universidad de Teherán.

2009-presente Profesor adjunto, Facultad de Ciencias de la Ingeniería, Universidad de Teherán.

2003 Vicedecano de Asuntos Administrativos y Financieros, Facultad de Ciencias, Universidad de Teherán.

1997-presente Profesor de Matemáticas, Departamento de Matemáticas, Universidad de Teherán.

1995-1998 Jefe de Grupo de Investigación en Teoría de Grupos, Instituto de Estudios en Física Teórica y Matemáticas (Instituto de Investigación en Ciencias Básicas).

1995-1999 Jefe del Departamento de Matemáticas e Informática de la Universidad de Teherán.

1989-1995 Jefe de Estudios de Posgrado, Departamento de Matemáticas e Informática, Universidad de Teherán.

1992-1997 Profesor asociado de Matemáticas, Departamento de Matemáticas, Universidad de Teherán.

1989-1992 Profesor asistente de Matemáticas, Departamento de Matemáticas, Universidad de Teherán.

1984-1989 Profesor asistente de Matemáticas, Departamento de Matemáticas, Universidad Ahwaz.

1983-1984 Profesor asistente de matemáticas, Instituto de Tecnología de Abadan.

1979-1980 Jefe del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Ahwaz.

1978-1981 Profesor asistente de Matemáticas, Departamento de Matemáticas, Universidad Ahwaz.

2015 Licencia sabática, Universidad de Carolina del Norte en Charlotte, EE. UU.

2012 Investigador destacado de la Universidad de Teherán.

2008 Investigador distinguido de la Universidad de Teherán.

2008 Autor del distinguido libro de la Tehran University Press, Álgebra en 3 volúmenes.

2005-2007 Profesor invitado, Universidad de Carolina del Norte en Charlotte, EE. UU.

2003 Profesor distinguido de la Universidad de Teherán.

2002-2008 Miembro asociado senior del Centro Internacional Abdus-Salam de Física Teórica (ICTP), Italia.

2001 Licencia sabática otorgada por la Universidad de Teherán, Universidad de Yale, EE. UU.

1997 Ganador del premio de investigación básica en el décimo festival internacional Kharazmi, Teherán, Irán.

1994 Licencia sabática otorgada por la Universidad de Teherán, Universidad de Yale, EE. UU.

1991-1997 Miembro asociado del Centro Internacional de Física Teórica, Trieste, Italia.

1990 Ganador del premio Abdus-salam de Matemáticas.

1974-1978 Beca otorgada por el Ministerio de Ciencia y Educación Superior de Irán.

1974 Estudiante superior en B.Sc. clase de 1974, Universidad de Teherán, Teherán, Irán.

1996 (1375) Presidente de Irán por recibir el premio Kharazmi en ciencias básicas.

1993 (1371) Ministro de Cultura y Educación Superior de Irán por la autoría del libro “Introducción a la teoría de grupos”.

1992 (1371) Rector de la Universidad de Teherán por el proyecto “T-designs con un grupo determinado de automorfismo”.

1990 (1369) Vicepresidente de Irán por recibir el premio Abdus-Salam.

1990 (1369) Jefe del Instituto de Estudios de Física y Matemáticas por recibir el premio Abdus-Salam.

2015-presente Tesorero de la Sociedad Matemática Iraní.

2011 Organizador y presidente del comité científico, 3ª Conferencia y Taller sobre Teoría de Grupos, Universidad de Teherán, del 9 al 10 de marzo.

2011 Miembro del Comité Científico, Conferencia Bienal Internacional de Teoría de Grupos, Univ. Tecknologi Malaysia. Johor Bahru, Johor, Malasia. 14-18 de febrero

2008 Organizador de la sesión especial AMS # 1035, SS # 08, San Diego, CA, del 6 al 9 de enero.

2003-2006 Miembro del consejo ejecutivo de la Sociedad Matemática Iraní.

1992-presente Revisor, Zentralblatt fur Mathematik.

1991-1995 Miembro del comité nacional de olimpiadas de matemáticas.

1990-1993 Responsable del concurso de estudiantes realizado por la Sociedad Matemática de Irán.

1988-1990 Miembro del consejo ejecutivo de la Sociedad Matemática Iraní.

1985-presente Revisor, American Mathematical Reviews.

1980-presente Árbitro de las principales revistas especializadas en matemáticas y química.

1980-presente Miembro del comité por más de 20 Ph.D. estudiante y 50 M.Sc. estudiantes.

2011-presente Miembro del consejo editorial de la “Revista Internacional de Teoría de Grupos”.

2011-presente Miembro del consejo editorial de “Transactions on Combinatorics”.

2008-presente Miembro del consejo editorial de "Mathematical Sciences", Quarterly Journal of the Azad Univarsity, Karaj Branch.

2008-presente Miembro del consejo editorial de la “Revista Italiana de Matemática Pura y Aplicada”.

2007-presente Miembro del consejo editorial de & # 8220Scientific Journals International & # 8221.

2002-2003 Miembro del consejo editorial de la "Revista de Ciencias de la Universidad de Teherán".

1997-1999 Miembro del consejo editorial de la "Revista de Ciencias de la Universidad de Teherán".

1996-1998 Miembro del consejo ejecutivo de la Sociedad Matemática Iraní.

1996-2000 Editor en jefe, "Boletín de la Sociedad Matemática de Irán".

1991-1996 Miembro del consejo editorial del "Boletín de la Sociedad Matemática de Irán".

1988-2000 Miembro del consejo editorial de & # 8220Farhang va Andisheh Riazy & # 8221, Sociedad Matemática de Irán.

1988-1990 Redactor jefe, "News Letter of the Iranian Mathematical Society".

1984-1989 Miembro del consejo editorial del & # 8220Science Journal & # 8221 de la Universidad de Ahwaz.

1983-presente Miembro de la Asociación Matemática de América.

1978-presente Miembro de la Sociedad Matemática de Irán.

1977-presente Miembro de la American Mathematical Society.

1976-presente Miembro de la London Mathematical Society.

Grupos Q, Productos de grupos, Grupos localmente finitos, Esquemas de asociación, Generación de grupos, Gráficos fuertemente regulares, Caracteres p-Steinberg, Química matemática, Índices topológicos de gráficos, Clases de simetría de tensores, Caracteres de cuasi permutación, Teoría de caracteres de finitos grupos, diseños en t con un grupo dado de automorfismo, caracterización de grupos finitos por su gráfico principal, caracterización de grupos finitos por el conjunto de sus órdenes de elementos, caracteres modulares y matrices de descomposición para grupos lineales, índices topológicos de gráficos, códigos binarios obtenidos de diseños , Grupo de automorfismo de grupos p, gráficos de Caley.

  1. Personajes del grupo GLnorte(2), 6 meses, 1363 (1984), Universidad de Ahwaz.
  2. Máximo 2 subgrupos locales de C1, 6 meses, 1363 (1984), Universidad Ahwaz.
  3. Sobre los números de descomposición de ciertos grupos lineales., 12 meses, 1366 (1987), Universidad de Ahwaz.
  4. diseños en t con un grupo dado de automorfismo, 18 meses, 1368 (1989), Universidad de Teherán.
  5. Caracteres irreductibles de SL5(3), 9 meses, 1370 (1991), Universidad de Teherán.
  6. Tabla de caracteres irreductibles del grupo de automorfismos de SL5(3), 12 meses, 1374 (1995), Universidad de Teherán.
  7. Grados de los caracteres irreductibles del grupo afín, 18 meses, 1374 (1995), Universidad de Teherán.
  8. Clases conjugadas y tabla de caracteres de cierto grupo., 18 meses, 1377 (1998), Universidad de Teherán.
  9. La tabla de caracteres del grupo GL2(q) cuando se extiende por un cierto grupo de órdenes dos, 6 meses, 1379 (2000), Universidad de Teherán.
  10. Estructura cuantitativa de los grupos finitos, 18 meses, 1379 (2000), Universidad de Teherán.
  11. Producto de grupos, 18 meses, Ministerio de Ciencia, Investigación y Tecnología, Irán.
  12. Factorización de grupos como producto de grupos lineales y simétricos, 12 meses, 1382 (2003), Universidad de Teherán.
  13. Caracterización de grupos lineales, 12 meses, 1383 (2004), Universidad de Teherán.
  14. Caracterización de grupos simples por elementos de pedido u órdenes de componentes, 12 meses, 1386 (2007), Universidad de Teherán.
  15. Reconocimiento del grupo lineal especial sobre GF (3), 12 meses, 1386 (2008), Universidad de Teherán.
  16. Calcular los índices topológicos del gráfico triangular, 10 meses, 1388 (2009), Universidad de Teherán.
  17. Caracterización de grupos Dp + 1(2) y Dp + 1(3) uso de componentes de pedido, 1388 (2009), Instituto de Investigación en Ciencias Fundamentales, Universidad de Tabriz, Tabriz.
  18. Poder de personajes irreductibles, 12 meses, 1388 (2009), Universidad de Teherán.
  19. Cálculo de los índices de Wiener e hiper-Wiener de gráficos químicos, 12 meses, 1388 (2009), Universidad de Teherán.
  20. Cálculo de los índices topológicos del gráfico triangular, 10 meses, 1388 (2009), Universidad de Teherán.
  21. Poderes de personajes irreductibles, 6 meses, 1389 (2010), Universidad de Teherán.
  22. Cálculo de los índices de Wiener e hiper-Wiener de gráficos químicos, 11 meses, 1390 (2010), Universidad de Teherán.
  23. Gráficos G y gráficos simétricos, 12 meses, 1395 (2017), ICRP, Teherán, Irán.

Algunos subgrupos máximos de Conway & # 8217s group Co1, XI Conferencia Anual de Matemáticas de Irán, 1980, Mashhad, Irán.


Clasificación de grupos simples finitos - Historia de la prueba - Cronología de la prueba

Muchos de los elementos de la lista siguiente se han tomado de Solomon (2001). La fecha dada suele ser la fecha de publicación de la prueba completa de un resultado, que a veces es varios años después de la prueba o el primer anuncio del resultado, por lo que algunos de los elementos aparecen en el orden "incorrecto".

Fecha de publicación
1832 Galois presenta subgrupos normales y encuentra los grupos simples Anorte (norte ≥ 5) y PSL2(Fpag) (pag ≥ 5)
1854 Cayley define grupos abstractos
1861 Mathieu describe los dos primeros grupos de Mathieu M11, M12, los primeros grupos simples esporádicos, y anuncia la existencia de M24.
1870 Jordan enumera algunos grupos simples: los lineales especiales alternos y proyectivos, y enfatiza la importancia de los grupos simples.
1872 Sylow prueba los teoremas de Sylow
1873 Mathieu presenta tres grupos Mathieu más M22, M23, M24.
1892 Otto Hölder demuestra que el orden de cualquier grupo simple finito no beliano debe ser un producto de al menos 4 números primos, y pide una clasificación de grupos simples finitos.
1893 Cole clasifica grupos simples de orden hasta 660
1896 Frobenius y Burnside comienzan el estudio de la teoría del carácter de grupos finitos.
1899 Burnside clasifica los grupos simples de tal manera que el centralizador de cada involución es un 2-grupo abeliano elemental no trivial.
1901 Frobenius demuestra que un grupo de Frobenius tiene un núcleo de Frobenius, por lo que en particular no es simple.
1901 Dickson define grupos clásicos sobre campos finitos arbitrarios y grupos excepcionales de tipo GRAMO2 sobre campos de características extrañas.
1901 Dickson presenta los excepcionales grupos finitos simples de tipo mi6.
1904 Burnside usa la teoría del carácter para demostrar el teorema de Burnside de que el orden de cualquier grupo simple finito no abeliano debe ser divisible por al menos 3 primos distintos.
1905 Dickson presenta grupos simples de tipo G2 sobre campos de incluso característica
1911 Burnside conjetura que todo grupo simple finito no abeliano tiene un orden uniforme
1928 Hall demuestra la existencia de subgrupos Hall de grupos solucionables
1933 Hall comienza su estudio de pag-grupos
1935 Brauer comienza el estudio de personajes modulares.
1936 Zassenhaus clasifica grupos de permutación finitos nítidamente 3 transitivos
1938 Fitting introduces the Fitting subgroup and proves Fitting's theorem that for solvable groups the Fitting subgroup contains its centralizer.
1942 Brauer describes the modular characters of a group divisible by a prime to the first power.
1954 Brauer classifies simple groups with GL2(Fq) as the centralizer of an involution.
1955 The Brauer–Fowler theorem implies that the number of finite simple groups with given centralizer of involution is finite, suggesting an attack on the classification using centralizers of involutions.
1955 Chevalley introduces the Chevalley groups, in particular introducing exceptional simple groups of types F4, mi7, y mi8.
1956 Hall–Higman theorem
1957 Suzuki shows that all finite simple CA groups of odd order are cyclic.
1958 The Brauer–Suzuki–Wall theorem characterizes the projective special linear groups of rank 1, and classifies the simple CA groups.
1959 Steinberg introduces the Steinberg groups, giving some new finite simple groups, of types 3D4 and 2mi6 (the latter were independently found at about the same time by Jacques Tits).
1959 The Brauer–Suzuki theorem about groups with generalized quaternion Sylow 2-subgroups shows in particular that none of them are simple.
1960 Thompson proves that a group with a fixed-point-free automorphism of prime order is nilpotent.
1960 Feit, Hall, and Thompson show that all finite simple CN groups of odd order are cyclic.
1960 Suzuki introduces the Suzuki groups, with types 2B2.
1961 Ree introduces the Ree groups, with types 2F4 and 2GRAMO2.
1963 Feit and Thompson prove the odd order theorem.
1964 Tits introduces BN pairs for groups of Lie type and finds the Tits group
1965 The Gorenstein–Walter theorem classifies groups with a dihedral Sylow 2-subgroup.
1966 Glauberman proves the Z* theorem
1966 Janko introduces the Janko group J1, the first new sporadic group for about a century.
1968 Glauberman proves the ZJ theorem
1968 Higman and Sims introduce the Higman–Sims group
1968 Conway introduces the Conway groups
1969 Walter's theorem classifies groups with abelian Sylow 2-subgroups
1969 Introduction of the Suzuki sporadic group, the Janko group J2, the Janko group J3, the McLaughlin group, and the Held group.
1969 Gorenstein introduces signalizer functors based on Thompson's ideas.
1970 Bender introduced the generalized Fitting subgroup
1970 The Alperin–Brauer–Gorenstein theorem classifies groups with quasi-dihedral or wreathed Sylow 2-subgroups, completing the classification of the simple groups of 2-rank at most 2
1971 Fischer introduces the three Fischer groups
1971 Thompson classifies quadratic pairs
1971 Bender classifies group with a strongly embedded subgroup
1972 Gorenstein proposes a 16-step program for classifying finite simple groups the final classification follows his outline quite closely.
1972 Lyons introduces the Lyons group
1973 Rudvalis introduces the Rudvalis group
1973 Fischer discovers the baby monster group (unpublished), which Fischer and Griess use to discover the monster group, which in turn leads Thompson to the Thompson sporadic group and Norton to the Harada–Norton group (also found in a different way by Harada).
1974 Thompson classifies N-groups, groups all of whose local subgroups are solvable.
1974 The Gorenstein–Harada theorem classifies the simple groups of sectional 2-rank at most 4, dividing the remaining finite simple groups into those of component type and those of characteristic 2 type.
1974 Tits shows that groups with BN pairs of rank at least 3 are groups of Lie type
1974 Aschbacher classifies the groups with a proper 2-generated core
1975 Gorenstein and Walter prove the L-balance theorem
1976 Glauberman proves the solvable signalizer functor theorem
1976 Aschbacher proves the component theorem, showing roughly that groups of odd type satisfying some conditions have a component in standard form. The groups with a component of standard form were classified in a large collection of papers by many authors.
1976 O'Nan introduces the O'Nan group
1976 Janko introduces the Janko group J4, the last sporadic group to be discovered
1977 Aschbacher characterizes the groups of Lie type of odd characteristic in his classical involution theorem. After this theorem, which in some sense deals with "most" of the simple groups, it was generally felt that the end of the classification was in sight.
1978 Timmesfeld proves the O2 extraspecial theorem, breaking the classification of groups of GF(2)-type into several smaller problems.
1978 Aschbacher classifies the thin finite groups, which are mostly rank 1 groups of Lie type over fields of even characteristic.
1981 Bombieri uses elimination theory to complete Thompson's work on the characterization of Ree groups, one of the hardest steps of the classification.
1982 McBride proves the signalizer functor theorem for all finite groups.
1982 Griess constructs the monster group by hand
1983 The Gilman–Griess theorem classifies groups groups of characteristic 2 type and rank at least 4 with standard components, one of the three cases of the trichotomy theorem.
1983 Aschbacher proves that no finite group satisfies the hypothesis of the uniqueness case, one of the three cases given by the trichotomy theorem for groups of characteristic 2 type.
1983 Gorenstein and Lyons prove the trichotomy theorem for groups of characteristic 2 type and rank at least 4, while Aschbacher does the case of rank 3. This divides these groups into 3 subcases: the uniqueness case, groups of GF(2) type, and groups with a standard component.
1983 Gorenstein announces the proof of the classification is complete, somewhat prematurely as the proof of the quasithin case was incomplete.
1994 Gorenstein, Lyons, and Solomon begin publication of the revised classification
2004 Aschbacher and Smith publish their work on quasithin groups (which are mostly groups of Lie type of rank at most 2 over fields of even characteristic), filling the last gap in the classification known at that time.
2008 Harada and Solomon fill a minor gap in the classification by describing groups with a standard component that is a cover of the Mathieu group M22, a case that was accidentally omitted from the proof of the classification due to an error in the calculation of the Schur multiplier of M22.

Famous quotes containing the word proof :

&ldquo If we view our children as stupid, naughty, disturbed, or guilty of their misdeeds, they will learn to behold themselves as foolish, faulty, or shameful specimens of humanity. They will regard us as judges from whom they wish to hide, and they will interpret everything we say as further proof of their unworthiness. If we view them as innocent, or at least merely ignorant, they will gain understanding from their experiences, and they will continue to regard us as wise partners. &rdquo
&mdashPolly Berrien Berends (20th century)


This problem is wide open. Just how wide will depend on your definition of "classification". For example, over algebraically closed fields of characteristic zero, this is equivalent to the problem of classifying finite groups up to isomorphism. We normally say that the problem of classifying finite groups up to isomorphism is a wide open problem that will never be solved, but you might be satisfied to stop once the equivalence is given.

Finite group schemes satisfy the same Jordan-Hölder property as finite groups, so you can reduce the problem to the 2-step Hölder program that we see in the finite group world:

  1. classifying finite simple group schemes
  2. the extension problem: If you have $G_1$ arbitrary and $G_3$ simple, classify the groups $G_2$ with $G_1 riangleleft G_2$ and $G_2/G_1 cong G_3$.

The first part is done in a weak sense, by a combination of Oort-Tate for order $p$ and the fact that non-abelian simple group schemes are étale. Rather, it is definitely done over algebraically closed fields, where it is basically the classification of finite simple groups, and then one has to classify homomorphisms from the absolute Galois group of $k$ to the automorphism group of a finite simple group (which will never be done for general $k$).

The extension problem is even more hopeless than in the finite group world. In characteristic $p$, you have to deal with the substantial additional complication of infinitesimal structure, and even in the étale case, the descent data seem to mix in some complicated way.


Theorem. Every finite simple group is isomorphic to one of the following groups:

  • A cyclic group with prime order
  • An alternating group of degree at least 5
  • A simple group of Lie type, including both
    • the classical Lie groups, namely the simple groups related to the projective special linear, unitary, symplectic, or orthogonal transformations over a finite field
    • the exceptional and twisted groups of Lie type (including the Tits group).

    The classification theorem has applications in many branches of mathematics, as questions about the structure of finite groups (and their action on other mathematical objects) can sometimes be reduced to questions about finite simple groups. Thanks to the classification theorem, such questions can sometimes be answered by checking each family of simple groups and each sporadic group.

    Daniel Gorenstein announced in 1983 that the finite simple groups had all been classified, but this was premature as he had been misinformed about the proof of the classification of quasithin groups. The completed proof of the classification was announced by Aschbacher (2004) after Aschbacher and Smith published a 1221 page proof for the missing quasithin case.


    Scrucca L., Fop M., Murphy T. B. and Raftery A. E. (2016) mclust 5: clustering, classification and density estimation using Gaussian finite mixture models, The R Journal, 8/1, pp. 289-317.

    Fraley C. and Raftery A. E. (2002) Model-based clustering, discriminant analysis and density estimation, Journal of the American Statistical Association, 97/458, pp. 611-631.

    Fraley C., Raftery A. E., Murphy T. B. and Scrucca L. (2012) mclust Version 4 for R: Normal Mixture Modeling for Model-Based Clustering, Classification, and Density Estimation. Technical Report No. 597, Department of Statistics, University of Washington.


    The Stacks project

    Let $k$ be a field. Consider two finite central simple algebras $A$ and $B$ over $k$. We say $A$ and $B$ are similar if there exist $n, m > 0$ such that $ ext(n imes n, A) cong ext(m imes m, B)$ as $k$-algebras.

    Similarity defines an equivalence relation on the set of isomorphism classes of finite central simple algebras over $k$.

    Every similarity class contains a unique (up to isomorphism) finite central skew field extension of $k$.

    If $A = ext(n imes n, K)$ and $B = ext(m imes m, K')$ for some finite central skew fields $K$, $K'$ over $k$ then $A$ and $B$ are similar if and only if $K cong K'$ as $k$-algebras.

    Proof. Note that by Wedderburn's theorem (Theorem 11.3.3) we can always write a finite central simple algebra as a matrix algebra over a finite central skew field. Hence it suffices to prove the third assertion. To see this it suffices to show that if $A = ext(n imes n, K) cong ext(m imes m, K') = B$ then $K cong K'$. To see this note that for a simple module $M$ of $A$ we have $ ext_ A(M) = K^$, see Lemma 11.4.6. Hence $A cong B$ implies $K^ cong (K')^$ and we win. $square$

    Given two finite central simple $k$-algebras $A$, $B$ the tensor product $A otimes _ k B$ is another, see Lemma 11.4.8. Moreover if $A$ is similar to $A'$, then $A otimes _ k B$ is similar to $A' otimes _ k B$ because tensor products and taking matrix algebras commute. Hence tensor product defines an operation on equivalence classes of finite central simple algebras which is clearly associative and commutative. Finally, Lemma 11.4.10 shows that $A otimes _ k A^$ is isomorphic to a matrix algebra, i.e., that $A otimes _ k A^$ is in the similarity class of $k$. Thus we obtain an abelian group.

    Definition 11.5.2 . Let $k$ be a field. La Brauer group of $k$ is the abelian group of similarity classes of finite central simple $k$-algebras defined above. Notation $ ext
    (k)$.

    For any map of fields $k o k'$ we obtain a group homomorphism

    see Lemma 11.4.9. In other words, $ ext
    (-)$ is a functor from the category of fields to the category of abelian groups. Observe that the Brauer group of a field is zero if and only if every finite central skew field extension $k subset K$ is trivial.

    Lemma 11.5.3 . The Brauer group of an algebraically closed field is zero.

    Proof. Let $k subset K$ be a finite central skew field extension. For any element $x in K$ the subring $k[x] subset K$ is a commutative finite integral $k$-sub algebra, hence a field, see Algebra, Lemma 10.36.19. Since $k$ is algebraically closed we conclude that $k[x] = k$. Since $x$ was arbitrary we conclude $k = K$. $square$

    Lemma 11.5.4 . Let $A$ be a finite central simple algebra over a field $k$. Then $[A : k]$ is a square.

    Proof. This is true because $A otimes _ k overline$ is a matrix algebra over $overline$ by Lemma 11.5.3. $square$


    Finite group theorems

    An optimal guide for the proof of the Sylow’s theorem is offered. You must be acquainted with these concepts:

    • group-action, with
    • orbit-of-an-element,
    • stabilizer,
    • bijection
    • action-class-count,
    • class-equation,
    • and conjugation-class-equation

    Now let be a prime integral number. Then two aplications of that machinery are:

    Lemma: if in any group then .

    The following sequence gonna take you to the mastery of a celebrated results on the theory of finite groups:

    1. Cauchy (abelian) Theorem:

    The proof is inductive: we are going to admit that the proposition is true abelian such that

    Let and . Then consider two cases: either or .

    2-[]: . . dónde . . such that . . . . dónde . . . . . .

    The proof is based on double induction that is, we are going to accept the validity of proposition for any group such that and on .

    [(n=1)]: Let where . Consider the two cases: either or .

    1-[]: since is abelian then such that . So, with .

    2-[]: since then such that . Then are coprime. . . . :

    [(n=2)]: Let be, where . Consider again the two cases: either or .

    1-[]: such that . , so with . With the natural epimorphism find . is also an epimorphism with . By the first fundamental homomorphisms theorem then .

    2-[]: this implies . Since then such that , so they are coprime. . . . :

    Now the induction on is clear

    Definition of a -Sylow subgroup

    3. Sylow II:

    4. Sylow III:

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    11 responses to &ldquofinite group theorems&rdquo

    uff… faltó una importante:
    pág. 19: en los dos últimos lemas debemos tener por hipótesis normalidad i.e. poner en lugar de

    ok Miguel todo está muy bien, incluso cometer errores :)
    saludos y ten excelente 2010… al rato corrijo lo…

    Bien, eso debía salir… solo resta una más
    pág. 20: en la demostración del teorema de simplicidad de en el caso 3 debe ser …

    el error sigue ahi…veamos esta vez que sale
    pág. 17 (Teorema) Al finalizar el primer párrafo de la demostración es en vez de
    pág. 18 (Lema): El segundo mapeo debe decir

    Hay un error en el mensaje enterior por alguna exraña razón se consumió un buena parte del mensaje aqui va el resto (espero que salga):
    pág. 17 (Teorema) Al finalizar el primer párrafo de la demostración es en vez de en el caso 3 debe ser …

    Con el fin de ayudar a mejorar las notas del curso de algebra moderna III (en el cual se discuten entre otras cosas los teoremas anteriores) aqui van una serie de observaciones a partir de una primer revisión:

    Pág. 3 (renglón 7): Redundancia el escribir
    Pág. 4 (segundo lema): Con el fin de enfatizar el hecho de que el conjunto de órbitas de la acción de un grupo sobre un conjunto determinan en este un “partición” se sugiere utilizar unión disjunta en la ecuación i.e.
    Pág. 4 (último renglón): Se hace referencia al “lema 1” sería bueno etiquetarlos quizá…
    Pág. 9 (teorema Sylow III) se hace referencia al ejercicio 5 del capítulo de acciones, sim embargo esta referencia es para el documento de solo grupos sería bueno agregarlo…
    pág. 10 (teorema Sylow III): desde la página 9 se comienza la demostración considerando , pero después en la página 10 se cambia la n por m en el resto de la misma…
    pág. 11(definición de kernel): se escribe donde hay que cambiar Tg por Tx …
    pág. 11 (renglón 18): Mezcla de mayúsculas en la frase: Pero “Si” …
    pág. 17 (Teorema) Al finalizar el primer párrafo de la demostración es en vez de en el caso 3 debe ser …
    pág. 20: en la demostración del teorema de simplicidad de en el caso 4 se hace referenia al “lema 4” pero los lemas no están etiquetados…

    Espero que esto le sirva de algo profe y disculpe por el “cochinero” que le he dejado pero es ke apenas comienzo con lenguaje latex, si usted tiene el poder de borrarlos sería bueno que lo hiciera… espero al rato exhibir ejercicios donde se apliquen los Sylow (aunque no se si vaya a salir bien este mensaje…:()


    Ver el vídeo: Grupos finitos. 05 Subgrupos. Parte 1 (Octubre 2021).