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6.2: Introducción al factoraje


Objetivos de aprendizaje

  • Usa el principio de productos cero para resolver ecuaciones.
  • Determinar para qué tipo de ecuaciones se puede usar el principio de productos cero.
  • Explica por qué algunas técnicas para resolver ecuaciones lineales no funcionan para resolver ecuaciones polinomiales.

Considere la ecuación de ganancias para un fabricante de teléfonos celulares:

(P = -0.09x ^ 2 + 5000x-750,000 )

Usando una calculadora gráfica en línea, generamos este gráfico de la ecuación de ganancias.

Un gerente puede querer saber por qué cantidad de teléfonos fabricados y vendidos se obtendrá una ganancia. Sustituyendo x por 100, descubrimos que cuando se fabricaban y vendían 100 teléfonos, la empresa no obtenía ganancias.

Sustituir x = 100

( begin {array} {c} P = -0.09x ^ 2 + 5000x-750,000 = - 0.09 left (100 right) ^ 2 + 5000 left (100 right) -750,000 = - 900 + 500,000-750,000 = - 250,900 end {matriz} )

Encontrar los puntos donde la ganancia es mayor o igual a cero guiará las decisiones de gestión y ayudará a la empresa a planificar tener suficiente mano de obra y materiales a mano. Saber dónde la ganancia es igual a cero le da a la empresa una línea de base a partir de la cual planificar. En el gráfico, la ganancia es cero cuando la parábola cruza el eje x. En términos algebraicos, esto significa encontrar dónde la ecuación de ganancias es igual a cero:

( begin {array} {c} P = -0.09x ^ 2 + 5000x-750,000 0 = -0.09x ^ 2 + 5000x-750,000 0 <-0.09x ^ 2 + 5000x-750,000 end { formación})

Sabemos cómo resolver ecuaciones lineales como esta: (x-4> 0 ). Pero, ¿cómo se resuelve una ecuación polinomial como esta: (0 <-0.09x ^ 2 + 5000x-750,000 )?

En esta sección aprenderemos algunas herramientas muy útiles para resolver ciertos tipos de ecuaciones polinomiales, y en cursos posteriores de matemáticas probablemente aprenderá cómo extender estas ideas para resolver desigualdades polinomiales. El primer concepto que exploraremos es el de la propiedad del producto cero, luego discutiremos cómo se puede usar para resolver ecuaciones polinomiales.

El principio de los productos cero

Cero

¿Y si te dijéramos que multiplicamos dos números y obtenemos una respuesta de cero? ¿Qué podrías decir sobre los dos números? ¿Podrían ser 2 y 5? ¿Podrían ser 9 y 1? ¡No! Cuando el resultado (respuesta) de multiplicar dos números es cero, eso significa que uno de ellos tenido ser cero. Esta idea se llama el principio del producto cero y es útil para resolver ciertos tipos de ecuaciones, como describimos en el ejemplo del fabricante de teléfonos celulares.

Principio de productos cero

El principio de productos cero establece que si el producto de dos números es 0, entonces al menos uno de los factores es 0. Si (a = 0 ) o (b = 0 ), o ambos a y B son 0.

Ejemplo

Usa el principio de productos cero para resolver. (5y = 0 )
[revel-answer q = ”547123 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[respuesta oculta a = ”547123 ″]

Según el principio de productos cero, cuando se multiplican dos factores y el resultado es cero, al menos uno de ellos es igual a cero. Por lo tanto, (y = 0 ).

En este caso, sabemos que 5 no es igual a cero, por lo que (y ) debe ser igual a cero.

Podemos verificar esto con álgebra.

( begin {array} {c} 5y = 0 text {} frac {5y} {5} = frac {0} {5} text {} y = 0 fin {matriz} )

Respuesta

Tanto por el principio de productos cero como por el álgebra, hemos demostrado que (y = 0 ).

[/ respuesta-oculta]

Podemos extender esta idea a productos de más de dos números. En el siguiente ejemplo mostraremos que podemos usar el principio de productos cero para resolver una ecuación que contiene el producto de un número y un binomio.

Ejemplo

Utilice el principio de productos cero para resolver:

(7 left (y-2 right) = 0 )
[revel-answer q = ”726832 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[respuesta oculta a = ”726832 ″]

Según el principio de cero productos, ( left (y-2 right) = 0 ). Sabemos que ( left (y-2 right) = 0 ). ¡Sabemos cómo resolver este tipo de ecuaciones!

Podemos quitar los paréntesis porque no son necesarios para resolverlos.

( begin {array} {c} y-2 = 0 , , , , , , , , , underline {+2} , , , , , , subrayado {+2} texto {} , , , , , , , , , , y = 2 end {matriz} )

Podemos comprobar que esto es correcto sustituyendo 2 por y en la ecuación original.

( begin {array} {c} 7 ​​left (2-2 right) = 0 7 left (0 right) = 0 0 = 0 end {array} )

Esta afirmación es verdadera, por lo que hemos encontrado el valor correcto para y.

Respuesta

(y = 2 )

[/ respuesta-oculta]

Podríamos haber usado la propiedad distributiva y las propiedades de igualdad de la suma y la multiplicación para resolver la ecuación del ejemplo anterior. Se vería así:

Resuelve (7 left (y-2 right) = 0 ) usando la propiedad distributiva.

( begin {array} {c} 7 ​​left (y-2 right) = 0 7y-14 = 0 , , , , , , , , , subrayado {+14} , , , , , , subrayado {+14} texto {} 7y = 14 texto {} frac {7y} {7} = frac {14} {7} texto {} y = 2 end {matriz} )

Tenemos la misma respuesta que verificamos en el ejemplo, pero usamos diferentes principios algebraicos para encontrarla.

En el siguiente ejemplo, agregamos otra capa a la idea de que podemos usar el principio de productos cero para resolver ecuaciones. Resolveremos una ecuación que contiene el producto de una variable y un binomio.

Ejemplo

Utilice el principio de productos cero para resolver:

(t left (5-t right) = 0 )

[revel-answer q = ”649695 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[respuesta oculta a = ”649695 ″]

Según el principio de cero productos, ( left (5-t right) = 0 )

( Displaystyle begin {array} {c} t = 0 , , , , , , , , , text {O} , , , , , , , , 5-t = 0 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , subrayado {-5} , , , , , , , , , , , , , , , subrayado {-5} , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , - t = -5 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , frac {-t} {-1} = frac {-5} {- 1} , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , t = 5 texto {} t = 0 , , , , , , , , , , , , text {O} , , , , , , , , , , , , , , , t = 5 end {matriz} )

¡Vaya, dos respuestas! Comprobemos que ambos sean correctos.

Sustituir (t = 0 )

( begin {array} {c} t left (5-t right) = 0 0 left (5-0 right) = 0 , , , , , , , , , , 0 left (5 right) = 0 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 0 = 0 end {matriz} )

(t = 5 )

Sustituir (t = 5 )

( begin {array} {c} 5 left (5-5 right) = 0 , , , , , , , , , , , 5 left ( 0 derecha) = 0 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 0 = 0 end {matriz} )

(t = 5 ) también comprueba. Hay dos respuestas a esta ecuación.

Respuesta

(t = 0 text {O} t = 5 )

[/ respuesta-oculta]

¿Por qué no usamos la propiedad distributiva para resolver este tipo de ecuaciones? Intentemos usar la propiedad distributiva del ejemplo anterior para explicar por qué esto no siempre funcionará.

( begin {array} {c} t left (5-t right) = 0 texto {} 5t-t ^ 2 = 0 subrayado {-5t} , , , , , , , , , , underline {-5t} t ^ 2 = -5t text {} t cdot {t} = - 5t text {} frac {t cdot {t}} {t} = frac {-5t} {t} text {} t = -5 end {matriz} )

Espere, en el ejemplo, nuestra solución fue (t = 0 text {OR} t = 5 ). Revisemos esta nueva respuesta para ver si es correcta.

Sustituir (t = -5 )

( begin {array} {c} -5 left (5- left (-5 right) right) = 0 - 5 left (5 + 5 right) = 0 - 5 izquierda (10 derecha) = 0 - 50 neq {0} end {matriz} )

¡Esta ni siquiera es la respuesta correcta!

Cuando resolvemos ecuaciones polinomiales, necesitamos usar algunos métodos diferentes a los que usamos para resolver ecuaciones lineales para asegurarnos de obtener todas de El correcto respuestas. El principio de productos cero es una herramienta que nos permite hacer esto.

¡Precaución! Es importante recordar que el principio de productos cero solo funciona cuando tenemos una ecuación con cero en un lado y solo un producto en el otro lado. La siguiente tabla ofrece ejemplos de ecuaciones para las que puede y no puede aplicar el principio de productos cero.

YES Zero Products trabaja para resolverNO Zero Products no funciona para resolver¿POR QUÉ NO?
( frac {1} {2} left (x-2 right) = 28 )Hay un producto a la izquierda, pero no es igual a cero.
(s ^ 2 + 9s = 0 )Hay una suma igual a cero pero ningún producto igual a cero.

Veamos un ejemplo más de cómo se puede usar el principio de productos cero para resolver ecuaciones que involucran productos que son binomios.

Ejemplo

Utilice el principio de productos cero para resolver:

( left (s + 1 right) left (s-5 right) = 0 )
[revel-answer q = ”499648 ″] Mostrar solución [/ revel-answer]
[respuesta oculta a = ”499648 ″]

Iguala ambos productos a cero, luego resuelve las ecuaciones lineales.

( begin {array} {c} left (s + 1 right) = 0 s + 1 = 0 subrayado {-1} , , , , , , , subrayado {-1} s = -1 end {matriz} )

( begin {array} {c} left (s-5 right) = 0 s-5 = 0 , , , , , , , , , , , subrayado {+5} , , , , , subrayado {+5} , , , , , , , , , s = 5 end { formación})

Respuesta

(s = -1 text {O} s = 5 )

[/ respuesta-oculta]

Los dos últimos ejemplos que mostramos fueron ecuaciones polinómicas de grado dos. Recuerda que grado significa el mayor exponente del polinomio. Los polinomios de grado dos a menudo se denominan cuadráticos. Usar la propiedad distributiva para multiplicar los productos en el último ejemplo te ayudará a ver que es un polinomio de grado dos.

Usa una mesa:

(+1)
(s ^ 2 )(-5)(-5)

Combina términos y simplifica:

( begin {matriz} {c} s ^ 2 + s-5s-5 = s ^ 2-4s-5 end {matriz} )

Cuando se simplifica el polinomio, se puede decir que es un polinomio de grado dos o un polinomio cuadrático. Al comienzo de esta página, propusimos que una empresa estaría interesada en dónde el polinomio cuadrático que representaba la ganancia era igual o mayor que cero. Hemos presentado una forma de encontrar dónde un polinomio cuadrático es igual a cero, siempre que tenga la forma de un producto de dos binomios y no se haya multiplicado.

En el siguiente video presentamos más ejemplos de cómo usar el principio del producto cero para resolver ecuaciones polinomiales que están en forma factorizada.

Se ha excluido un elemento de YouTube de esta versión del texto. Puede verlo en línea aquí: pb.libretexts.org/ba/?p=114

¿Qué harías si te pidieran que resolvieras una ecuación cuadrática como (y ^ 2 + 2y = 0 ) como el producto de un monomio y un binomio para poder usar el principio del producto cero para resolverlo?


Vista previa del contenido

Después de identificar la unidad experimental y el número de repeticiones que se utilizarán, ahora tenemos que evaluar cómo se asignan los niveles de tratamiento o las combinaciones de tratamiento a las unidades experimentales.

En un diseño completamente aleatorizado, los niveles de tratamiento o combinaciones se asignan a unidades experimentales al azar. Por lo general, esto se hace enumerando los niveles de tratamiento o combinaciones de tratamientos y asignando un número aleatorio a cada uno. Al clasificar el número aleatorio, producimos un orden aleatorio para la aplicación de los tratamientos a las unidades experimentales.

En Minitab, esto se puede hacer enumerando los niveles de tratamiento (cualquier orden), enumerando las unidades y luego obteniendo una muestra aleatoria de tamaño norte desde el norte unidades (muestreo sin reemplazo). Esto produce lo mismo: un orden aleatorio para instalar físicamente los tratamientos.

Para el experimento de invernadero que consideramos primero, con un solo factor (fertilizante) con 4 niveles, tuvimos seis repeticiones y un total de 24 unidades experimentales (una planta en maceta), (Lección 1 Datos). Podemos hacer un diagrama de estudio:

Invernadero Plano de planta y banco que se utilizará para el experimento (visto desde arriba).

Necesitamos poder asignar aleatoriamente cada uno de los niveles de tratamiento a 6 ubicaciones (que contienen una planta en maceta). Para ello, asigne números de posición física en el banco para colocar las macetas.


6.2: Introducción al factoraje

Después de estudiar esta sección, podrá:

1. Factorizar polinomios que contengan un factor común en cada término.

Factores comunes

Recuerde que cuando se multiplican dos o más números, variables o expresiones algebraicas, cada uno se llama factor.

& emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

Cuando se le pide que factorice un número o una expresión algebraica, se le preguntará, "¿Qué, cuando se multiplica, dará ese número o expresión? & Rsquo & rsquo Por ejemplo, puede factorizar 6 como 3 * 2 ya que 3 * 2 = 6. Puedes factorizar 15x ^ 5 como 3x ^ 2 * 5x ^ 3 ya que 3x ^ 2 * 5x ^ 3 = 15x ^ 5. Factorizar es simplemente lo contrario de multiplicar. 6 y 15x ^ 5 son expresiones simples para factorizar y se pueden factorizar en De diferentes maneras. Los factores del polinomio 2x ^ 2 + x -12 no son tan fáciles de reconocer. En este capítulo aprenderemos técnicas para encontrar los factores de un polinomio. Empezaremos con los factores comunes.

EJEMPLO 1 Factor. (a) 3x-6y y emsp y emsp (b) 9x + 2xy

Empiece por buscar un factor común, el factor que ambos términos tienen en común. Luego, reescribe la expresión como un producto.

(a) 3x-6y = 3 (x-2y) & emsp & emsp Esto es cierto porque 3 (x-2y) = 3x-6y.

(b) 9x + 2xy = x (9 + 2y) & emsp & emsp Esto es cierto porque x (9 + 2y) = 9x + 2xy.

& emsp & emspA algunas personas les resulta útil pensar en la factorización como la propiedad distributiva a la inversa. Cuando escribimos 3x-6y = 3 (x-2y), estamos & lsquo & lsquoundistribuyendo & rsquo & rsquo el 3.

& emsp & emspCuando factorizamos, buscamos el factor común más grande. Por ejemplo, en el polinomio 48x-16y, un factor común es 2. Podríamos factorizar 48-16y como 2 (24-8y). Sin embargo, esto no está completo. Para factorizar 48-16y por completo, buscamos el máximo común divisor de 48 y de 16.

EJEMPLO 2 Factor. 24xy + 12x ^ 2 + 36x ^ 3

Encuentra el máximo común divisor de 24, 12 y 36. Es posible que desee factorizar cada número o puede notar que 12 es un factor común. 12 es el máximo común divisor. Observe también que x es un factor de cada término.

Factores comunes de un polinomio

& emsp y emsp1. Puede determinar el factor común numérico preguntando, & lsquo & lsquo ¿Cuál es el entero más grande que se dividirá en el coeficiente de cada término? & Rsquo & rsquo

& emsp y emsp2. Puede determinar el factor común de la variable preguntando, & lsquo & lsquo¿Qué variables son comunes a cada término y cuál es el mayor exponente de esas variables que es común? & Rdquo

EJEMPLO 3 Factor. (a) 12x ^ 2 + 18y ^ 2 & emsp & emsp (b) x ^ 2y ^ 2 + 3xy ^ 2 + y ^ 3

(a) Tenga en cuenta que el número entero más grande que es común a ambos términos es 6 (no 3 o 2).

(b) Aunque y es común a todos los términos, factorizamos y ^ 2 ya que 2 es el mayor exponente de y que es común a todos los términos. No factorizamos x ya que x no es común a todos los términos.

EJEMPLO 4 Factor. 9a ^ 3b ^ 2 + 9a ^ 2b ^ 2

Observamos que ambos términos contienen un factor común de 9. Podemos eliminar a ^ 2 yb ^ 2 de cada término.

ADVERTENCIA No olvide incluir el 1 dentro del paréntesis en el ejemplo anterior. La solución está mal sin ella. Verá por qué si intenta verificar un resultado escrito sin el 1.

EJEMPLO 5 Factor. 3x (x-4y) + 2 (x-4y)

Asegúrese de comprender qué son los términos y los factores en este ejemplo. Hay dos términos. La expresión 3x (x-4y) es un término. La expresión 2 (x-4y) es el segundo término. Cada término se compone de dos factores. Observe que el binomio (x-4y) es un factor común en cada término. Un factor común puede ser un conjunto de paréntesis que contenga cualquier tipo de polinomio. Por tanto, podemos eliminar el factor común (x-4y).

EJEMPLO 6 Factor. 7x ^ 2 (2x-3 años) - (2x-3 años)

El factor común para cada término es (2x-3y). ¿Qué sucede cuando factorizamos (2x-3y)? ¿Qué nos queda en el segundo trimestre? Recuerda que (2x-3y) = 1 (2x-3y). Por lo tanto

7x ^ 2 (2x-3y) - (2x-3y) = 7x ^ 2 (2x-3y) -1 (2x-3y) & emsp & emsp Reescribe la expresión original.

Factorizar por agrupación

Después de estudiar esta sección, podrá:

1. Factorizar problemas con cuatro términos agrupando.

Factorizar por agrupación

Un factor común puede ser un número, una variable o una expresión algebraica. A veces, el polinomio se escribe de modo que sea fácil reconocer el factor común. Esto es especialmente cierto cuando el factor común está entre paréntesis.

EJEMPLO 1 Factor. x (x-3) + 2 (x-3)

& emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

El factor común tanto para el primer como para el segundo término es la cantidad (x-3), por lo que tenemos
& emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp x (x-3) + 2 (x-3) = (x-3) (x + 2)

& emsp & emsp En muchos casos, este tipo de problemas no tienen paréntesis y se nos pide factorizar el polinomio. En tales casos, eliminamos un factor común de los dos primeros términos y un factor común diferente de los dos segundos términos. Si los dos paréntesis contienen las mismas expresiones en este paso, el problema puede completarse como hicimos en el Ejemplo 1. Este procedimiento de factorización a menudo se denomina factorización por agrupación.

EJEMPLO 2 Factor. 2x ^ 2 + 3x + 6x +9


Ahora terminamos la factorización.

EJEMPLO 3 Factor. 4x + 8y + ax + 2ay

Ambos conjuntos de paréntesis contienen la misma expresión.El factor común de cada término es la expresión entre paréntesis, (x + 2y).

En algunos problemas, los términos están fuera de orden. Primero tenemos que reorganizar el orden de los términos para que los dos primeros términos tengan un factor común.

EJEMPLO 5 Factor. bx + 4y + 4b + xy

= bx + 4b + xy + 4y & emsp & emsp & emsp Reordena los términos para que los primeros términos tengan un factor común.

= b (x + 4) + y (x + 4) & emsp & emsp Quita el factor común de b de los dos primeros términos. Elimine el factor común de y de & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp los segundos dos términos.

= (x + 4) (b + y) & emsp & emsp & emsp & emsp Dado que los dos conjuntos de paréntesis anteriores contienen la misma expresión, podemos completar el factor & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp.

A veces, deberá eliminar un factor común negativo de los dos segundos términos para obtener dos conjuntos de paréntesis que contengan la misma expresión.

EJEMPLO 6 Factor. 2x ^ 2 + 5x -4x -10

Quita el factor común de x de los dos primeros términos y un factor común de -2 de los dos segundos términos.

Dado que los dos conjuntos de paréntesis anteriores contienen la misma expresión, podemos completar la factorización.

Observe que si eliminó un factor común de +2 en el primer paso, los dos conjuntos de paréntesis no contendrían la misma expresión. Si las expresiones dentro de los dos conjuntos de paréntesis no son exactamente iguales, ¡no puedes expresar el polinomio como un producto de dos factores!

Factorizar trinomios de la forma x ^ 2 + bx + c

Después de estudiar esta sección, podrá:

1. Factorizar polinomios de la forma x ^ 2 + bx + c.

2. Factorizar polinomios que tengan un factor común y un factor de la forma x ^ 2 + bx + c.

Factorizar polinomios de la forma x ^ 2 + bx + c

Suponga que desea factorizar x ^ 2 + 5x + 6. Después de un poco de prueba y error, podría obtenga (x + 2) (x + 3) o podría desanimarse y no obtener una respuesta. Si obtuvo estos factores, puede verificar esta respuesta mediante el método FOIL.

Pero la prueba y el error pueden ser un proceso largo. Hay otra forma.

& emsp & emsp Mira el polinomio original x ^ 2 + 5x + 6. Sabemos de inmediato que la respuesta será de la forma () (). Dado que el primer término del polinomio es x ^ 2, podemos colocar una x en cada uno de los paréntesis, (x) (x). A continuación, observe el signo del último término. La señal es positiva. Esto significa que el signo de cada factor debe ser el mismo. Dado que el signo del término medio es positivo, el signo de cada factor debe ser positivo y podemos escribir (x +) (x +). Mire de nuevo el último término. Piense en factores de 6. Prueba 2 y 3 ya que 2 + 3 = 5, el coeficiente del término medio. Escribimos (x + 2) (x + 3) y nuestra factorización está completa. Podemos verificar esto usando FOIL como se muestra arriba. Para resumir:

& emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

Dejemos que & rsquos escriba el procedimiento que hemos observado e intentemos con algunos ejemplos.

Factorizar trinomios de la forma x ^ 2 + bx + c

1. La respuesta será de la forma (x + __) (x + __).

2. Los dos números al final de cada paréntesis son números tales que:

& emsp & emsp (a) Cuando los multiplica, obtiene el último término, que es c.

& emsp & emsp (b) Cuando los suma, obtiene el coeficiente de x, que es b.

EJEMPLO 1 Factor. x ^ 2 + 7x + 12

La respuesta es de la forma (x + __) (x + __). Queremos encontrar los dos números que podemos multiplicar para obtener 12 pero sumar para obtener 7. Los números son 3 y 4.

EJEMPLO 2 Factor. x ^ 2 + 12x + 20

Queremos dos números que tengan un producto de 20 pero una suma de 12. Los números son 10 y 2.

Nota: Si no puede pensar en los números en su cabeza, anote los posibles factores cuyo producto es 20.

& emsp & emsp Hasta ahora solo hemos factorizado trinomios de la forma x ^ 2 + bx + c, donde byc son números positivos. El mismo procedimiento se aplica si b es un número negativo y c es positivo.

Recuerde, si c es positivo, el signo de ambos factores será ser el mismo.

EJEMPLO 3 Factor. x ^ 2 - 8x + 15

Queremos dos números que tengan un producto de +15 pero una suma de -8. Deben ser números negativos ya que el signo del término medio es negativo.

Multiplica usando FOIL para verificar.

EJEMPLO 4 Factor. x ^ 2 - 9x + 14

Queremos dos números cuyo producto sea 14 pero cuya suma sea -9. Los números son -7 y -2. Entonces

& emsp & emsp Todos los ejemplos hasta ahora han tenido un último trimestre positivo. ¿Qué pasa cuando el último término es negativo? Si el último término es negativo, necesitaremos un número positivo y un número negativo. ¿Por qué? El producto de un número positivo y negativo es negativo.

EJEMPLO 5 Factor. x ^ 2 + 2x -8

Queremos dos números cuyo producto sea -8 pero cuya suma sea +2.

x ^ 2 + 2x-8 = (x + 4) (x - 2) & emsp & emsp Piensa: (+4) (- 2) = -8 y +4 + (-2) = +2.

EJEMPLO 6 Factor. x ^ 2- 3x -10

Queremos dos números cuyo producto sea -10 pero cuya suma sea -3. Los dos números son -5 y +2.

¿Qué pasa si cometemos un error de signo y incorrectamente factorizó el trinomio x ^ 2-3x-10 como (x + 5) (x-2)? Podríamos detectar el error de inmediato ya que la suma de +5 y -2 es 3. ¡Necesitamos una suma de -3!

ADVERTENCIA Es muy fácil cometer un error de signo en estos problemas. Asegúrese de multiplicar mentalmente su respuesta para obtener la expresión original. Revise cada letrero cuidadosamente.

Cheque: (x-5) (x + 2) = x ^ 2 + 2x-5x-10 = x ^ 2-3x-10 & emsp & emsp✔

EJEMPLO 7 Factor. x ^ 2-16x -36

Queremos dos números cuyo producto sea -36 y cuya suma sea -16.

Enumere todos los factores posibles de 36 (sin tener en cuenta el signo). Encuentra el par que tenga una diferencia de 16. Buscamos una diferencia porque los signos de los factores son diferentes.

& emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

Una vez que hayamos elegido el par de números (18 y 2), es fácil encontrar los signos. Para que el coeficiente del término medio sea -16, tendremos que sumar los números -18 y +2.

¿Se siente un poco confundido acerca de las señales? Si lo hace, estos datos pueden resultarle útiles.

No memorice estos hechos, trate de entender el patrón.

A veces, el exponente del primer término será mayor que 2. Si el exponente es una potencia par, es un cuadrado. Por ejemplo, x ^ 4 = (x ^ 2) (x ^ 2). Asimismo, x ^ 6 = (x ^ 3) (x ^ 3).

EJEMPLO 8 Factor. y ^ 4-2y ^ 2-35

Factorizar polinomios que tienen un factor común

Algunos problemas de factorización requieren dos pasos. A menudo, primero debemos eliminar un factor común de cada término del polinomio. Una vez hecho esto, podemos encontrar que el otro factor es un trinomio que puede factorizarse usando los métodos discutidos previamente en esta sección.

EJEMPLO 9 Factor. 2x ^ 2 + 36x + 160

Primero, elimine el factor común de 2 de cada término del polinomio.

Luego factoriza el polinomio restante.

La respuesta final es 2 (x + 8) (x + 10). & emsp & emsp Asegúrese de enumerar todas las partes de la respuesta.

Cheque: 2 (x + 8) (x + 10) = 2 (x ^ 2 + 18x + 80) = 2x ^ 2 + 36x + 160 & emsp & emsp✔

Así estamos seguros de que la respuesta es 2 (x + 8) (x + 10)

EJEMPLO 10 Factor. 3x ^ 2 + 9x-162

Primero, elimine el factor común de 3 de cada término del polinomio.

Luego factoriza el polinomio restante.

La respuesta final es 3 (x-6) (x + 9).

Cheque: 3 (x-6) (x + 9) = 3 (x ^ 2 + 3x-54) = 3x ^ 2 + 9x- 162 & emsp & emsp✔

Entonces estamos seguros de que la respuesta es 3 (x-6) (x + 9)

Factorizar trinomios de la forma ax ^ 2 + bx + c

Después de estudiar esta sección, podrá:

1. Factoriza un trinomio de la forma ax ^ 2 + bx + c mediante el método de prueba y error.

2. Factorizar un trinomio de la forma ax ^ 2 + bx + c mediante el método del número de agrupación.

3. Factoriza un trinomio de la forma ax ^ 2 + bx + c después de eliminar un factor común para cada término.

Uso del método de prueba y error para factorizar

Cuando el coeficiente del término x ^ 2 no es 1, el trinomio es más difícil de factorizar. Deben considerarse varias posibilidades.

EJEMPLO 1 Factor. 2x ^ 2 + 5x + 3

Para que el coeficiente del primer término sea 2, los factores serían 2 y 1. 2x ^ 2 + 5x + 3 = (2x) (x).

Para que el último término sea 3, los factores serían 3 y 1.

Dado que todos los signos son positivos, sabemos que cada conjunto de paréntesis contendrá solo
signos positivos. Sin embargo, todavía tenemos dos posibilidades. Ellos son

Los comprobamos multiplicándolos por el método FOIL:

Por tanto, la respuesta correcta es

Algunos problemas tienen muchas más posibilidades.

EJEMPLO 2 Factor. 4x ^ 2-13x + 3

& emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

Enumeremos las posibles combinaciones de factorización y calculemos el término medio mediante el método FOIL. Tenga en cuenta que ambos signos serán negativos. ¿Por qué?

& emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

La respuesta correcta es (4x-1) (x-3) o (x-3) (4x-1)

Este método se llama método de prueba y error.

EJEMPLO 3 Factor. 6x ^ 2 + x -5

Consideremos & rsquos el último número de cada paréntesis. Como -5 es negativo, los dos números tendrán signos opuestos. Dado que el último número puede ser positivo o negativo, tenemos más posibilidades. En este caso:

& emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

Vuelva al ejemplo 3. Veamos & rsquos si podemos acortar nuestro trabajo. Observe que hay cuatro pares de factores posibles. La única diferencia entre los dos paréntesis del par es que los últimos signos de cada paréntesis están invertidos. Esto sugiere que enumeramos solo la mitad de posibilidades. Entonces, si el coeficiente del término medio es el signo opuesto a lo que queremos, podemos simplemente invertir los signos. Dejemos que & rsquos pruebe este método más corto.

EJEMPLO 4 Factor. 3x ^ 2-2x-8

& emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

Enumeremos solo la mitad de las posibilidades. El último término de ese primer paréntesis siempre será positivo.

y emsp y emsp y emsp y emsp y emsp y emsp

Entonces solo contrarrestar los signos del último término en cada paréntesis.

& emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

Uso del método del número de agrupación para factorizar

Una forma de factorizar un trinomio de la forma ax ^ 2 + bx + c es escribirlo con cuatro términos y factorizar por agrupación, como hicimos anteriormente. Por ejemplo, el trinomio 2x ^ 2 + 13x + 20 se puede escribir como 2x ^ 2 + 5x + 8x + 20. Utilizando los métodos anteriores, factorizamos

2x ^ 2 + 5x + 8x + 20 = x (2x + 5) + 4 (2x + 5)

Podemos factorizar todos los trinomios factorizables de la forma ax ^ 2 + bx + c de esta manera. Usaremos el siguiente procedimiento:

Dejemos que & rsquos intente el mismo problema que hicimos en el Ejemplo 1.

EJEMPLO 5 Factoriza por agrupación. 2x ^ 2 + 5x + 3

1. El número de agrupación es (2) (3) = 6.

2. Los factores de 6 son 6 * 1 y 3 * 2. Elegimos los factores cuya suma es 5.

3. Escribimos 5x como la suma 3x + 2x.

EJEMPLO 6 Factoriza por agrupación. 4x ^ 2 -13x + 3

1. El número de agrupación es (4) (3) = 12.

2. Los factores de 12 son (12) (1) o (4) (3) o (6) (2). Elegimos los factores cuya suma es 13. Ambos factores reciben el signo del término medio en el trinomio.

3. Escribimos -13x como la suma -12x + (-1).

Recuerde factorizar un -1 de los dos últimos términos para que ambos paréntesis contengan la misma expresión.

EJEMPLO 7 Factoriza por agrupación. 3x ^ 2-2x-8

1. El número de agrupación es (3) (- 8) = -24.

2. Como el último signo es negativo, queremos dos números cuyo producto sea 24 pero cuya diferencia sea 2. Son 6, 4. El más grande obtiene el signo del medio, por lo que tenemos -6 y +4.

3. Escribimos -2x como una suma -6x + 4x.

Factorizar polinomios que tienen un factor común

Algunos problemas requieren primero eliminar un factor común y luego factorizar el trinomio mediante uno de los dos métodos de esta sección.

EJEMPLO 8 Factor. 9x ^ 2 + 3x -30

Primero eliminamos el factor común de 3 de cada término del trinomio.

Luego factorizamos el trinomio por el método de agrupamiento o por el método de prueba y error.

Casos especiales de factoraje

Después de estudiar esta sección, podrá:

1. Reconocer y factorizar problemas del tipo a ^ 2-b ^ 2.

2. Reconocer y factorizar problemas del tipo a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.

3. Factorizar problemas que requieran eliminar un factor común y luego usar la fórmula de caso especial.

A medida que avancemos en esta sección, podrá reducir el tiempo que le lleva factorizar un problema al reconocer y factorizar rápidamente dos tipos especiales de problemas de factorización. Al familiarizarse con la fórmula adecuada, podrá factorizar la diferencia de dos cuadrados y trinomios cuadrados perfectos.

Factorizar la diferencia de dos cuadrados

Recuerde la fórmula de la sección anterior:

En forma inversa, podemos usarlo para factorizar.

Podemos expresarlo en palabras de esta manera: & lsquo & lsquoLa diferencia de dos cuadrados se puede factorizar en la suma y la diferencia de los valores que fueron al cuadrado. & Rdquo

EJEMPLO 1 Factor. 9x ^ 2-1

Vemos que el problema está en forma de diferencia de dos cuadrados. 9x ^ 2 es un cuadrado y 1 es un cuadrado. Entonces, usando la fórmula podemos escribir

9x ^ 2-1 = (3x + 1) (3x-1) & emsp & emsp Porque 9x ^ 2 = (3x) ^ 2 y 1 = (1) ^ 2.

A veces, el problema contendrá dos variables.

EJEMPLO 2 Factor. 4x ^ 2-49y ^ 2

Algunos problemas pueden implicar más de un paso.

EJEMPLO 3 Factor. 81x ^ 4-1

81x ^ 4-1 = (9x ^ 2 +1) (9x ^ 2-1) & emsp & emsp Porque 81x ^ 4 = (9x) ^ 2 y 1 = (1) ^ 2.

¿Está completa la factorización? Podemos factorizar 9x ^ 2-1.

81x ^ 4-1 = (9x ^ 2 + 1) (3x + 1) (3x-1) & emsp & emsp Porque (9x ^ 2-1) = (3x +1) (3x - 1)]].

Factorizar trinomios cuadrados perfectos

Existe una fórmula que nos ayudará a factorizar muy rápidamente ciertos trinomios, llamada trinomios cuadrados perfectos. Recuerde la fórmula para un binomio al cuadrado de la sección anterior:

En forma inversa, podemos usar estas dos ecuaciones para factorizar.

Un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio que es el resultado de elevar al cuadrado un binomio. ¿Cómo podemos reconocer un trinomio cuadrado perfecto?

1. El primer y último término son cuadrados perfectos.

2. El término medio es el doble del producto de los valores cuyos cuadrados son el primer y el último término.

EJEMPLO 4 Factor. x ^ 2 + 6x + 9

Este es un trinomio cuadrado perfecto.

1. El primer y último término son cuadrados perfectos porque x ^ 2 = (x) ^ 2 y 9 = (3) ^ 2.

2. El término medio es el doble del producto de x y 3.

Dado que x ^ 2 + 6x + 9 es un trinomio cuadrado perfecto, podemos usar la fórmula

EJEMPLO 5 Factor. 4x ^ 2-20x + 25

Este es un trinomio cuadrado perfecto. 20x = 2 (2x * 5) Tenga en cuenta el signo negativo. Tenemos

4x ^ 2-20x + 25 = (2x-5) ^ 2 Dado que a ^ 2-2ab + b ^ 2 = (a-b) ^ 2.

Puede estar involucrada más de una variable y los exponentes pueden ser superiores a 2. Se aplican los mismos principios.

EJEMPLO 6 Factor. (a) 49x ^ 2 + 42xy + 9y ^ 2 & emsp & emsp (b) 36x ^ 4 -12x ^ 2 + 1

(a) Este es un trinomio cuadrado perfecto. ¿Por qué?

Porque 49x ^ 2 = (7x) ^ 2 y 9y ^ 2 = (3y) ^ 2. Además, 42xy = 2 (7x * 3y)

(b) Este es un trinomio cuadrado perfecto. ¿Por qué?
36x ^ 4-12x ^ 2 + 1 = (6x ^ 2-1) ^ 2 Porque 36x ^ 4 = (6x ^ 2) ^ 2 y 1 = (1) ^ 2. Además, 12x ^ 2 = 2 (6x ^ 2 * 1).

Algunos problemas parecen ser trinomios cuadrados perfectos, pero no lo son. Fueron factorizados como otros trinomios en la sección anterior.

EJEMPLO 7 Factor. 49x ^ 2 + 35x + 4

Esto es no ¡un trinomio cuadrado perfecto! Aunque el primer y último término son cuadrados perfectos ya que (7x) ^ 2 = 49x ^ 2 y (2) ^ 2 = 4, el término medio no es el doble del producto de 2 y 7x. 35x! = 28x! Así que debemos factorizar por ensayo y error o por agrupación para obtener

Factorizar polinomios eliminando primero un factor común y luego usando una de las fórmulas especiales de factorización

En algunos casos, primero eliminaremos un factor común. Luego, encontraremos la oportunidad de usar la fórmula de la diferencia de dos cuadrados o una de las fórmulas del trinomio del cuadrado perfecto.

EJEMPLO 8 Factor. 12x ^ 2-48

12x ^ 2-48 = 12 (x ^ 2-4) & emsp & emsp Primero eliminamos el máximo común denominador 12.

= 12 (x + 2) (x-2) & emsp & emsp Luego usamos la fórmula de la diferencia de dos cuadrados: a ^ 2- b ^ 2 = (a + b) (a-b).

EJEMPLO 9 Factor. 24x ^ 2 + 72x +54

Primero eliminamos el máximo común denominador 6.

24x ^ 2 + 72x + 54 = 6 (4x ^ 2 + 12x + 9)

Luego usamos la fórmula del trinomio del cuadrado perfecto: a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = (a + b) ^ 2.

Una breve revisión del factoring

Después de estudiar esta sección, podrá:

1. Identifica y factoriza cualquier polinomio que se pueda factorizar. 1,:

2. Determina si un polinomio es primo.

Revisión de Factoring

A menudo, los diversos tipos de problemas de factorización se mezclan. Necesitamos poder identificar rápidamente cada tipo de problema de factorización. La siguiente tabla puede ser útil para resumir sus conocimientos de factorización.

Muchos problemas involucran más de un paso al factorizar. Cuando se le pide que factorice un polinomio, se espera que lo factorice por completo. Por lo general, el primer paso de la factorización es eliminar el factor común, luego el siguiente paso será más evidente.

EJEMPLO 1 Factor.

(a) 25x ^ 3-10x ^ 2 + x & emsp & emsp (b) 20x ^ 2y ^ 2-45y ^ 2

(a) Quite el factor común de x. El otro factor es un trinomio cuadrado perfecto.

(b) Quite el factor común de 5y ^ 2. El otro factor es la diferencia de cuadrados.

Determinar si un polinomio es primo

No todos los polinomios se pueden factorizar con los métodos de esta lección. . Si no podemos
factorizar un polinomio por métodos elementales, lo identificaremos como un principal polinomio.

EJEMPLO 2 Factoriza, si es posible. x ^ 2 + 6x + 12

Dado que solo estamos usando números racionales, encontramos que este polinomio es primo. Los factores racionales de 12 son (1) (12) o (2) (6) o (3) (4)

Ninguno de estos pares sumará 6, el coeficiente del término medio. Por tanto, los métodos de esta lección no pueden resolver el problema. Es primordial.

EJEMPLO 3 Factoriza, si es posible. 25x ^ 2 + 4

Tenemos una fórmula para factorizar la diferencia de dos cuadrados. No hay forma de factorizar la suma de dos cuadrados. Es decir, a ^ 2 + b ^ 2 no se puede factorizar. Por tanto, 25x ^ 2 + 4 es primo.

Resolver ecuaciones cuadráticas mediante factorización

Después de estudiar esta sección, podrá:

1. Resuelve una ecuación cuadrática factorizando.

2. Resolver una variedad de problemas aplicados usando una ecuación cuadrática.

Resolver una ecuación cuadrática mediante factorización

En el tutorial anterior, aprendimos cómo resolver ecuaciones lineales como 3x + 5 = 0 para encontrar la raíz (o valor de x) que satisface la ecuación. Ahora pasamos a la cuestión de cómo resolver ecuaciones como 3x ^ 2 + 5x + 2 = 0. Tales ecuaciones se llaman ecuaciones cuadráticas. Una ecuación cuadrática es una ecuación polinomial que contiene la potencia 2 de una variable como la potencia más alta en la ecuación.

En esta lección, estudiaremos ecuaciones cuadráticas en forma estándar, donde a, byc son números enteros.

Por lo general, podemos encontrar dos raíces reales que satisfagan una ecuación cuadrática. Pero, ¿cómo podemos encontrarlos? El enfoque más directo es el método de factorización. Este método depende de una propiedad muy poderosa.

Cuando hacemos una declaración en matemáticas usando la palabra o, pretendemos que signifique uno o el otro o ambos. Por lo tanto, ambas cosas ayb pueden ser iguales a cero si el producto es cero. Podemos usar este principio para resolver una ecuación cuadrática. Antes de comenzar, asegúrese de que la ecuación esté en forma estándar.

EJEMPLO 1 Encuentra las dos raíces. 3x ^ 2 + 5x +2 = 0

3x ^ 2 + 5x + 2 = 0 & emsp & emsp La ecuación está en forma estándar.

(3x + 2) (x + 1) = 0 & emsp & emsp Factoriza la expresión cuadrática.

3x + 2 = 0 & emsp & emsp x + 1 = 0 & emsp & emsp Establezca cada factor en 0.

3x = -2 & emsp & emsp x = -1 & emsp & emsp Resuelve cada ecuación para encontrar las dos raíces.

Las dos raíces son & menos 2/3 y -1.

EJEMPLO 2 Encuentra las dos raíces. 2x ^ 2 + 13x -7 = 0

2x ^ 2 + 13x -7 = 0 & emsp & emsp La ecuación está en forma estándar.

2x-1 = 0 & emsp & emsp x + 7 = 0 & emsp & emsp Establezca cada factor en 0.

2x = 1 & emsp & emsp x = -7 & emsp & emsp Resuelve cada ecuación para encontrar las dos raíces.

Las dos raíces son 1/2 y -7.

Cheque. Si x = 1/2, entonces

Por tanto, x = 1/2 y x = -7 son ambas raíces de la ecuación 2x ​​^ 2 + 13x -7 = 0.

Si la ecuación cuadrática ax ^ 2 + bx + c = 0 no tiene un término constante visible, entonces c = 0. Todas estas ecuaciones cuadráticas se pueden factorizar eliminando un factor común para obtener dos soluciones que son números reales.

EJEMPLO 3 Encuentra las dos raíces. 7x ^ 2-3x = 0

7x ^ 2-3x = 0 & emsp & emsp La ecuación está en forma estándar. Aquí c = 0.

x (7x-3) = 0 & emsp & emsp Factoriza eliminando el factor común.

x = 0 & emsp & emsp 7x -3 = 0 & emsp & emsp Establezca cada factor igual a 0 por la propiedad del factor cero.

x = 3/7 & emsp & emsp Resuelve cada ecuación para encontrar las dos raíces.

Las dos raíces son x = 0 y x = 3/7.

Si la ecuación cuadrática no está en forma estándar, usamos los mismos métodos algebraicos básicos que estudiamos anteriormente para igualar la ecuación a cero para poder usar la propiedad del factor cero.

EJEMPLO 4 Encuentra las dos raíces. x ^ 2 = 12-x

La ecuación no está en forma estándar.

Suma xy -12 a ambos lados de la ecuación para que el lado izquierdo sea igual a cero y pueda factorizarse.

x-3 = 0 & emsp & emsp x + 4 = 0 & emsp & emsp Establezca cada factor igual a 0 por la propiedad del factor cero.

EJEMPLO 5 Resolver. (x + 3) (x-2) = 50

¡Ten cuidado aquí! Debe tener un cero en el lado derecho para usar la propiedad del factor cero.

x ^ 2 + 3x-2x-6 = 50 & emsp & emsp Quita el paréntesis.

x ^ 2 + x-56 = 0 & emsp & emsp Colocar en forma estándar.

x + 8 = 0 & emsp & emsp x-7 = 0 & emsp & emsp Establezca cada factor en cero.

x = -8 & emsp & emsp x = 7 & emsp & emsp Resuelve cada ecuación para x.

Usar una ecuación cuadrática para resolver problemas aplicados

Ciertos tipos de problemas verbales conducen a ecuaciones cuadráticas. Estos problemas pueden ser problemas numéricos, problemas sobre figuras geométricas o problemas aplicados. Mostraremos la solución a algunos problemas del modelo en esta sección.

& emsp & emspEs particularmente importante verificar las soluciones aparentes de la ecuación cuadrática con las condiciones establecidas en el problema verbal. A menudo, una solución particular a la ecuación cuadrática será eliminada por las condiciones del problema verbal.

EJEMPLO 6 La longitud de un rectángulo es 3 metros más largo que el doble del ancho. El área del rectángulo es de 44 metros cuadrados. Calcula la longitud y el ancho del rectángulo.

Sea w = el ancho en metros

Entonces 2w + 3 = la longitud en metros

3. Resuelve la ecuación y enuncia la respuesta..

44 = 2w ^ 2 + 3w & emsp & emsp Quita el paréntesis.

0 = 2w ^ 2 + 3w -44 & emsp & emsp Resta 44 de ambos lados.

2w + 11 = 0 & emsp & emsp w-4 = 0 & emsp & emsp Establezca cada factor en 0.

Tenga en cuenta que w = & menos 5 1/2 no es una solución válida. No tendría sentido tener un rectángulo con un número negativo como ancho.
Como w = 4, el ancho del rectángulo es de 4 metros. La longitud es 2w + 3, por lo que tenemos 2 (4) + 3 = 8 + 3 = 11. Por tanto, la longitud del rectángulo es de 11 metros.

4. Cheque. ¿La longitud de 3 metros es más del doble del ancho?

¿El área del rectángulo es de 44 metros cuadrados?

EJEMPLO 7 El área de un triángulo es de 49 centímetros cuadrados. La altura del triángulo es 7 centímetros más larga que la base. Calcula la altitud y la base del triángulo.

& emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

Sea b = la longitud de la base en centímetros

b + 7 = la longitud de la altitud en centímetros

Para encontrar el área de un triángulo, usamos

área = 1/2 (altitud) (base) = 1 / 2ab = (ab) / 2

((b + 7) (b)) / 2 = 49 & emsp & emsp Sustituye las expresiones de altitud y base.

b ^ 2 + 7b = 98 & emsp & emsp Multiplica cada lado de la ecuación por 2.

b ^ 2 + 7b-98 = 0 & emsp & emsp Coloca la ecuación cuadrática en forma estándar.

b-7 = 0 & emsp & emsp b + 14 = 0 & emsp & emsp Establezca cada factor en cero.

b = 7 & emsp & emsp b = -14 & emsp & emsp Resuelve cada ecuación para b.

No podemos tener una base de -14 centímetros, por lo que rechazamos la respuesta negativa. La única respuesta posible es b = 7. Entonces la base mide 7 centímetros. La altitud es b + 7 = 7 + 7 = 14. La altitud es de 14 centímetros.


Década de 1940: Progresos tecnológicos

Los avances tecnológicos durante la década de 1940 hicieron que fuera aún más fácil para las personas escuchar su música favorita y para que los artistas la grabaran. La introducción de la grabadora de cinta de carrete a carrete allanó el camino para varias innovaciones que transformarían la industria de la música. Las primeras grabadoras de cinta disponibles comercialmente eran monofónicas, lo que significa que solo tenían una pista en la que grabar sonido en cinta magnética. Esto puede parecer una limitación hoy en día, pero en ese momento permitió innovaciones emocionantes. Durante las décadas de 1940 y 1950, algunos músicos, sobre todo el guitarrista Les Paul, con su canción "Lover (When You're Near Me)", comenzaron a experimentar con la sobregrabación, en la que reproducían una cinta previamente grabada a través de un mezclador, mezclando con una actuación en vivo, y grabó la señal compuesta en una segunda grabadora. Cuando las grabadoras de cuatro y ocho pistas estuvieron disponibles en la década de 1960, los músicos ya no tenían que tocar juntos en la misma habitación, podían grabar cada una de sus partes individuales y combinarlas en una grabación terminada.

Las grabadoras de cinta de carrete a carrete y la cinta magnética no solo ayudaron a los artistas a experimentar con la sobregrabación, sino que también fueron un método compacto para reproducir y preservar el audio.

Mientras que las grabadoras de carrete a carrete se encontraban en las primeras etapas de desarrollo, las familias escuchaban los discos en sus gramófonos. El disco de 78 revoluciones por minuto (rpm) había sido el medio de grabación aceptado durante muchos años a pesar de la necesidad de cambiar el disco cada 5 minutos. En 1948, Columbia Records perfeccionó el disco de larga duración (LP) de 12 pulgadas y 33 rpm, que podía reproducir hasta 25 minutos por lado y tenía un nivel de ruido de superficie más bajo que los discos de goma laca anteriores (y altamente rompibles) (Lomax, 2003). Los discos de 33 rpm se convirtieron en la forma estándar para álbumes completos y dominarían la industria de la música grabada hasta la llegada del disco compacto (CD).

Durante la década de 1940, existió una alianza mutuamente beneficiosa entre la grabación de sonido y la radio. Artistas como Frank Sinatra y Ella Fitzgerald se beneficiaron de la exposición radiofónica. Hasta ese momento, la música se había grabado principalmente para adultos, pero la popularidad de Sinatra y sus contemporáneos reveló un mercado completamente sin explotar: los adolescentes. El boom de la posguerra de la década de 1930 y principios de la de 1940 proporcionó a muchos adolescentes que gastaban dinero en discos. La radiodifusión ayudó a promover y vender discos y a los propios artistas discográficos, lo que a su vez estabilizó la industria discográfica. Los disturbios ocasionados por la aparición del cantante de Nueva Jersey Frank Sinatra en concierto allanaron el camino para la histeria masiva entre los fanáticos de Elvis Presley y los Beatles durante la era del rock and roll.


6.2: Teoría de los dos factores de Herzberg

Psicólogo estadounidense Frederick Herzberg es considerado como uno de los grandes pensadores originales en la teoría de la gestión y la motivación. Herzberg se propuso determinar el efecto de la actitud sobre la motivación, simplemente pidiendo a las personas que describieran los momentos en que se sintieron realmente bien, y realmente mal, con respecto a su trabajo. Lo que encontró fue que las personas que se sentían bien con su trabajo daban respuestas muy diferentes a las que se sentían mal.

Los resultados de esta investigación forman la base de la Teoría de la Motivación-Higiene de Herzberg & rsquos (a veces conocida como Herzberg & rsquos & ldquoTeoría de dos factores y rdquo). Publicado en su famoso artículo, "Una vez más: cómo motivar a los empleados", las conclusiones que extrajo fueron extraordinariamente influyentes y todavía forman la base de una buena práctica motivacional casi medio siglo después. Él es especialmente reconocido por su teoría de los dos factores, que planteó la hipótesis de que hay dos conjuntos diferentes de factores que gobiernan la satisfacción laboral y la insatisfacción laboral: "factores de higiene", "motivadores extrínsecos" y "factores de motivación", o motivadores intrínsecos.

Factores de higiene, o motivadores extrínsecos, tienden a representar necesidades básicas más tangibles, es decir, los tipos de necesidades incluidas en la categoría de existencia de necesidades en la teoría ERG o en los niveles más bajos de la jerarquía de necesidades de Maslow & rsquos. Los motivadores extrínsecos incluyen estatus, seguridad laboral, salario y beneficios adicionales. Es importante que los gerentes se den cuenta de que no proporcionar los motivadores extrínsecos adecuados y esperados sembrará insatisfacción y disminuirá la motivación entre los empleados.

Factores de motivación, o motivadores intrínsecos, tienden a representar necesidades menos tangibles, más emocionales, es decir, los tipos de necesidades identificadas en las categorías de necesidades & ldquorelatedness & rdquo y & ldquogrowth & rdquo en la teoría ERG y en los niveles más altos de la jerarquía de necesidades de Maslow & rsquos. Los motivadores intrínsecos incluyen trabajo desafiante, reconocimiento, relaciones y potencial de crecimiento. Los gerentes deben reconocer que, si bien estas necesidades pueden quedar fuera del alcance más tradicional de lo que debe proporcionar un lugar de trabajo, pueden ser fundamentales para un sólido desempeño individual y de equipo.

El factor que diferencia la teoría de dos factores de las otras que hemos discutido es el papel del empleado. Expectativas. Según Herzberg, los motivadores intrínsecos y los motivadores extrínsecos tienen una relación inversa. Es decir, los motivadores intrínsecos tienden a aumentar la motivación cuando están presentes, mientras que los motivadores extrínsecos tienden a reducir la motivación cuando están ausentes. Esto se debe a las expectativas de los empleados. Se esperan motivadores extrínsecos (por ejemplo, salario, beneficios), por lo que no pueden aumentar la motivación cuando están en su lugar, pero causarán insatisfacción cuando falten. Los motivadores intrínsecos (por ejemplo, trabajo desafiante, potencial de crecimiento), por otro lado, pueden ser una fuente de motivación adicional cuando están disponibles.

Si la gerencia quiere aumentar la satisfacción laboral de los empleados, deben preocuparse por la naturaleza del trabajo en sí y las oportunidades que presenta a los empleados para ganar estatus, asumir responsabilidades y lograr la autorrealización. Si, por otro lado, la dirección desea reducir la insatisfacción, debe centrarse en el entorno laboral y las políticas, los procedimientos, la supervisión y las condiciones laborales. Para garantizar una fuerza laboral satisfecha y productiva, los gerentes deben prestar atención a ambos conjuntos de factores laborales.


La expresión x 2 + 5x + 6 tiene tres términos en este momento, por lo que debemos escribirla con 4 términos antes de poder agruparlos.

5x = 3x + 2x, entonces x 2 + 5x + 6 se convierte en x 2 + 3x + 2x + 6.

Agrupe x 2 con 3x y 2x con 6 y luego factorice cada grupo.

Obtenemos (x 2 + 3x) + (2x + 6) = x * (x + 3) + 2 * (x + 3) = (x + 3) * (x + 2)

En este ejemplo, si agrupa x 2 con 2x y 3x con 6, obtendrá la misma respuesta. Intenta hacer eso.

Observe que hay más de una forma en que podemos expandir 5x, por lo que son posibles diferentes agrupaciones. 5x también es igual a 4x + x, 6x -x, 7x-2x, 8x-3x, etc.

Sin embargo, ¡no todas las agrupaciones funcionarán!

Esto arroja luz sobre el hecho de que esta forma de factorizar por agrupación puede resultar a veces muy tediosa.

Aunque siempre es bueno saberlo, no siempre es un método sencillo para factorizar trinomios.

Al principio, puede tener la tentación de decir que -4x puede ser igual a: -2x + -2x, o -3x + -x, por lo que uno de ellos funcionará.

¡Equivocado! La combinación correcta es -6x + 2x

Entonces, x 2 + -4x + -12 = x 2 + -6x + 2x + -12

Grupo x 2 con -6x y 2x con -12

(x 2 + -6x) + (2x + -12) = x * (x y menos 6) + 2 * (x y menos 6) = (x y menos 6) * (x + 2)

3y 2 + 14y + 8 = 3y 2 + 12y + 2y + 8 = (3y 2 + 12y) + (2y + 8) = 3y (y + 4) + 2 (y + 4)

Entonces, 3y 2 + 14y + 8 = (y + 4) (3y + 2)

Este problema es muy complicado porque tiene demasiadas opciones de cosas que puede agregar para obtener -41x.

Resulta que la combinación correcta es - 44x + 3x

Sin embargo, hay buenas noticias, ya que existe una técnica que se puede utilizar para encontrar la combinación correcta un poco más rápido al factorizar por agrupación.

Luego, encuentre factores de -132 que sumen -41

11x 2 + -41x + -12 = 11x 2 + -44x + 3x + -12

11x 2 + -44x + 3x + -12 = 11x (x y menos 4) + 3 (x y menos 4) = (x y menos 4) (11x + 3)

-14 + -12 = -26 y -14 * -12 = 168, por lo que la combinación correcta es

6x 2 - 26x + 28 = 6x 2 + -14x + -12x + 28

6x 2 + -14x + -12x + 28 = (6x 2 + -14x) + (-12x + 28) = 2x (3x + -7) + -4 (3x + -7)

6x 2 - 26x + 28 = (3x + -7) * (2x + -4)

¡Utilice la factorización agrupando solo si no tiene otras opciones!


6.2: Introducción al factoraje

Las proteínas son polímeros de aminoácidos. Veinte tipos diferentes de aminoácidos se encuentran naturalmente en las proteínas. Las proteínas se diferencian entre sí según el tipo, número y secuencia de aminoácidos que componen la estructura polipeptídica. Como resultado, tienen diferentes estructuras moleculares, atributos nutricionales y propiedades fisicoquímicas. Las proteínas son componentes importantes de los alimentos por varias razones diferentes. Son una fuente importante de energía, además de contener aminoácidos esenciales, como lisina, triptófano, metionina, leucina, isoleucina y valina, que son esenciales para la salud humana, pero que el cuerpo no puede sintetizar. Las proteínas también son los principales componentes estructurales de muchos alimentos naturales, y a menudo determinan su textura general, por ejemplo, la ternura de los productos cárnicos o pesqueros. Las proteínas aisladas se utilizan a menudo en alimentos como ingredientes debido a sus propiedades funcionales únicas, es decir, su capacidad para proporcionar una apariencia, textura o estabilidad deseables. Normalmente, las proteínas se utilizan como agentes gelificantes, emulsionantes, agentes espumantes y espesantes. Muchas proteínas alimentarias son enzimas capaces de aumentar la velocidad de ciertas reacciones bioquímicas. Estas reacciones pueden tener un efecto favorable o perjudicial sobre las propiedades generales de los alimentos. Los analistas de alimentos están interesados ​​en conocer la concentración total, el tipo, la estructura molecular y las propiedades funcionales de las proteínas en los alimentos.

6.2. Determinación de la concentración total de proteínas

El método Kjeldahl fue desarrollado en 1883 por un cervecero llamado Johann Kjeldahl. Un alimento se digiere con un ácido fuerte para que libere nitrógeno, que puede determinarse mediante una técnica de titulación adecuada. A continuación, se calcula la cantidad de proteína presente a partir de la concentración de nitrógeno del alimento. El mismo enfoque básico todavía se utiliza hoy en día, aunque se han realizado una serie de mejoras para acelerar el proceso y obtener mediciones más precisas. Por lo general, se considera el método estándar para determinar la concentración de proteínas. Debido a que el método Kjeldahl no mide el contenido de proteína directamente, se necesita un factor de conversión (F) para convertir la concentración de nitrógeno medida en una concentración de proteína. Un factor de conversión de 6.25 (equivalente a 0.16 g de nitrógeno por gramo de proteína) se usa para muchas aplicaciones, sin embargo, este es solo un valor promedio, y cada proteína tiene un factor de conversión diferente dependiendo de su composición de aminoácidos. El método Kjeldahl se puede dividir convenientemente en tres pasos: digestión, neutralización y titulación.

La muestra de alimento a analizar se pesa en un matraz de digestión y luego se digiere calentándola en presencia de ácido sulfúrico (un agente oxidante que digiere el alimento), sulfato de sodio anhidro (para acelerar la reacción aumentando el punto de ebullición) y un catalizador, como cobre, selenio, titanio o mercurio (para acelerar la reacción). La digestión convierte el nitrógeno de los alimentos (que no sea en forma de nitratos o nitritos) en amoníaco, y otra materia orgánica en C0 2 y H 2 0. El gas amoníaco no se libera en una solución ácida porque el amoníaco está en la forma del ion amonio (NH 4 +) que se une al ion sulfato (SO 4 2-) y así permanece en solución:

Una vez completada la digestión, el matraz de digestión se conecta a un matraz receptor mediante un tubo. Luego, la solución en el matraz de digestión se alcaliniza mediante la adición de hidróxido de sodio, que convierte el sulfato de amonio en gas amoníaco:

& # 9 (NH 4) 2 SO 4 + 2 NaOH & reg 2NH 3 + 2H 2 O + Na 2 SO 4 & # 9 (2)

El gas amoniaco que se forma se libera de la solución y sale del matraz de digestión al matraz receptor, que contiene un exceso de ácido bórico. El bajo pH de la solución en el matraz receptor convierte el gas amoniaco en ión amonio y, simultáneamente, convierte el ácido bórico en ión borato:

& # 9NH 3 + H 3 BO 3 (ácido bórico) & reg NH 4 + + H 2 BO 3 - (ion borato) (3)

A continuación, se estima el contenido de nitrógeno por titulación del borato de amonio formado con ácido sulfúrico o clorhídrico estándar, utilizando un indicador adecuado para determinar el punto final de la reacción.

& # 9H 2 BO 3 - + H + & reg H 3 BO 3 (4)

La concentración de iones de hidrógeno (en moles) requerida para alcanzar el punto final es equivalente a la concentración de nitrógeno que estaba en el alimento original (Ecuación 3). La siguiente ecuación se puede usar para determinar la concentración de nitrógeno de una muestra que pesa m gramos usando una solución ácida de HCl x M para la titulación:

Donde vs y vb son los volúmenes de titulación de la muestra y el blanco, y 14g es el peso molecular del nitrógeno N. Por lo general, se procesa una muestra en blanco al mismo tiempo que el material que se analiza para tener en cuenta cualquier nitrógeno residual que pueda estar en los reactivos utilizados para realizar el análisis. Una vez que se ha determinado el contenido de nitrógeno, se convierte en un contenido de proteína utilizando el factor de conversión apropiado:% de proteína = F % N.

6.2.1.4. Ventajas y desventajas

& # 9Ventajas. El método Kjeldahl se utiliza ampliamente a nivel internacional y sigue siendo el método estándar de comparación con todos los demás métodos. Su universalidad, alta precisión y buena reproducibilidad lo han convertido en el principal método para la estimación de proteínas en los alimentos.

& # 9Desventajas. No da una medida de la proteína verdadera, ya que todo el nitrógeno en los alimentos no está en forma de proteína. Las diferentes proteínas necesitan diferentes factores de corrección porque tienen diferentes secuencias de aminoácidos. El uso de ácido sulfúrico concentrado a altas temperaturas presenta un riesgo considerable, al igual que el uso de algunos de los posibles catalizadores. La técnica requiere mucho tiempo para llevarla a cabo.

6.2.2. Método Dumas mejorado

Recientemente, se ha desarrollado una técnica instrumental automatizada que es capaz de medir rápidamente la concentración de proteínas de muestras de alimentos. Esta técnica se basa en un método descrito por primera vez por un científico llamado Dumas hace más de un siglo y medio. Está comenzando a competir con el método Kjeldahl como método estándar de análisis de proteínas para algunos alimentos debido a su rapidez.

Una muestra de masa conocida se quema en una cámara de alta temperatura (alrededor de 900 o C) en presencia de oxígeno. Esto conduce a la liberación de CO 2, H 2 O y N 2. El CO 2 y el H 2 O se eliminan pasando los gases por columnas especiales que los absorben.A continuación, se mide el contenido de nitrógeno pasando los gases restantes a través de una columna que tiene un detector de conductividad térmica al final. La columna ayuda a separar el nitrógeno de cualquier CO 2 y H 2 O residual que pueda haber quedado en la corriente de gas. El instrumento se calibra analizando un material que es puro y tiene una concentración de nitrógeno conocida, como EDTA (= 9,59% N). Por tanto, la señal del detector de conductividad térmica se puede convertir en un contenido de nitrógeno. Al igual que con el método Kjeldahl, es necesario convertir la concentración de nitrógeno en una muestra al contenido de proteína, utilizando factores de conversión adecuados que dependen de la secuencia precisa de aminoácidos de la proteína.

6.2.2.2. Ventajas y desventajas

& # 9Ventajas: Es mucho más rápido que el método Kjeldahl (menos de 4 minutos por medición, en comparación con 1-2 horas para Kjeldahl). No necesita catalizadores ni químicos tóxicos. Muchas muestras se pueden medir automáticamente. Es fácil de usar.

& # 9Desventajas: Alto costo inicial. No da una medida de la proteína verdadera, ya que todo el nitrógeno en los alimentos no está en forma de proteína. Las diferentes proteínas necesitan diferentes factores de corrección porque tienen diferentes secuencias de aminoácidos. El pequeño tamaño de la muestra dificulta la obtención de una muestra representativa.

6.2.3. Métodos que utilizan espectroscopia UV-visible

Se han ideado varios métodos para medir la concentración de proteínas, que se basan en espectroscopía UV-visible. Estos métodos utilizan la capacidad natural de las proteínas para absorber (o dispersar) la luz en la región UV visible del espectro electromagnético, o modifican química o físicamente las proteínas para hacerlas absorber (o dispersar) la luz en esta región. El principio básico detrás de cada una de estas pruebas es similar. En primer lugar, se prepara una curva de calibración de absorbancia (o turbidez) frente a la concentración de proteína utilizando una serie de soluciones de proteína de concentración conocida. A continuación, se mide la absorbancia (o turbidez) de la solución que se analiza a la misma longitud de onda y se determina su concentración de proteína a partir de la curva de calibración. La principal diferencia entre las pruebas son los grupos químicos que son responsables de la absorción o dispersión de la radiación, por ejemplo, enlaces peptídicos, grupos laterales aromáticos, grupos básicos y proteínas agregadas.

& # 9 A continuación se destacan algunos de los métodos UV-visible más utilizados para determinar el contenido de proteínas de los alimentos:

Medición directa a 280 nm

El triptófano y la tirosina absorben fuertemente la luz ultravioleta a 280 nm. El contenido de triptófano y tirosina de muchas proteínas permanece bastante constante, por lo que se puede utilizar la absorbancia de las soluciones de proteínas a 280 nm para determinar su concentración. Las ventajas de este método son que el procedimiento es sencillo de realizar, no es destructivo y no se requieren reactivos especiales. La principal desventaja es que los ácidos nucleicos también absorben fuertemente a 280 nm y, por lo tanto, podrían interferir con la medición de la proteína si están presentes en concentraciones suficientes. Aun así, se han desarrollado métodos para superar este problema, por ejemplo, midiendo la absorbancia en dos longitudes de onda diferentes.

Se produce un color violeta-violáceo cuando los iones cúpricos (Cu 2+) interactúan con los enlaces peptídicos en condiciones alcalinas. El reactivo de biuret, que contiene todos los productos químicos necesarios para realizar el análisis, se puede adquirir comercialmente. Se mezcla con una solución de proteína y luego se deja reposar durante 15-30 minutos antes de leer la absorbancia a 540 nm. La principal ventaja de esta técnica es que no hay interferencia de materiales que se adsorben en longitudes de onda más bajas, y la técnica es menos sensible al tipo de proteína porque utiliza la absorción que involucra enlaces peptídicos que son comunes a todas las proteínas, en lugar de grupos laterales específicos. Sin embargo, tiene una sensibilidad relativamente baja en comparación con otros métodos de UV visible.

El método de Lowry combina el reactivo de biuret con otro reactivo (el reactivo de fenol de Folin-Ciocalteau) que reacciona con residuos de tirosina y triptófano en las proteínas. Esto le da un color azulado que puede leerse entre 500 y 750 nm, dependiendo de la sensibilidad requerida. Hay un pico pequeño alrededor de 500 nm que se puede usar para determinar concentraciones altas de proteína y un pico grande alrededor de 750 nm que se puede usar para determinar concentraciones bajas de proteína. Este método es más sensible a concentraciones bajas de proteínas que el método biuret.

Se añade un exceso conocido de un colorante cargado negativamente (aniónico) a una solución de proteína cuyo pH se ajusta para que las proteínas se carguen positivamente (es decir, & lt el punto isoeléctrico). Las proteínas forman un complejo insoluble con el tinte debido a la atracción electrostática entre las moléculas, pero el tinte no unido permanece soluble. El colorante aniónico se une a los grupos catiónicos de los residuos de aminoácidos básicos (histidina, arganina y lisina) y a los grupos amino terminales libres. La cantidad de tinte no unido que permanece en solución después de que se ha eliminado el complejo insoluble de proteína-tinte (por ejemplo, por centrifugación) se determina midiendo su absorbancia. La cantidad de proteína presente en la solución original es proporcional a la cantidad de tinte que se unió a ella: tinte unido = tinte inicial - sin tinte.

Las moléculas de proteína que normalmente son solubles en solución se pueden hacer precipitar mediante la adición de ciertos productos químicos, por ejemplo, ácido tricloroacético. La precipitación de proteínas hace que la solución se vuelva turbia. Por tanto, la concentración de proteína se puede determinar midiendo el grado de turbidez.

6.2.3.2. Ventajas y desventajas

& # 9Ventajas: Las técnicas de UV-visible son bastante rápidas y sencillas de realizar, y son sensibles a bajas concentraciones de proteínas.

& # 9Desventajas: Para la mayoría de las técnicas de UV-visible es necesario utilizar soluciones diluidas y transparentes, que no contienen sustancias contaminantes que absorben o dispersan la luz en la misma longitud de onda que la proteína que se analiza. La necesidad de soluciones transparentes significa que la mayoría de los alimentos deben someterse a cantidades significativas de preparación de muestras antes de que puedan ser analizados, por ejemplo, homogeneización, extracción con solvente, centrifugación, filtración, que pueden llevar mucho tiempo y ser laboriosos. Además, a veces es difícil extraer proteínas cuantitativamente de ciertos tipos de alimentos, especialmente después de que han sido procesados ​​para que las proteínas se agreguen o se unan covalentemente con otras sustancias. Además, la absorbancia depende del tipo de proteína analizada (diferentes proteínas tienen diferentes secuencias de aminoácidos).

6.2.4. Otras técnicas instrumentales

Existe una amplia variedad de diferentes métodos instrumentales disponibles para determinar el contenido total de proteínas de los materiales alimenticios. Estos se pueden dividir en tres categorías diferentes según sus principios fisicoquímicos: (i) medición de las propiedades físicas generales, (ii) medición de la adsorción de radiación y (iii) medición de la dispersión de la radiación. Cada método instrumental tiene sus propias ventajas y desventajas, y la variedad de alimentos a los que se puede aplicar.

Medición de propiedades físicas a granel

  • Densidad: la densidad de una proteína es mayor que la de la mayoría de los demás componentes de los alimentos, por lo que hay un aumento en la densidad de un alimento a medida que aumenta su contenido de proteínas. Por tanto, el contenido de proteínas de los alimentos se puede determinar midiendo su densidad.
  • Índice de refracción: el índice de refracción de una solución acuosa aumenta a medida que aumenta la concentración de proteína y, por lo tanto, las mediciones de RI pueden usarse para determinar el contenido de proteína.

Medición de la adsorción de radiación

  • UV-visible: la concentración de proteínas se puede determinar midiendo la absorbancia de la radiación ultravioleta-visible (ver arriba).
  • Infrarrojos: se pueden utilizar técnicas de infrarrojos para determinar la concentración de proteínas en muestras de alimentos. Las proteínas absorben los rayos infrarrojos de forma natural debido a las vibraciones características (estiramiento y flexión) de ciertos grupos químicos a lo largo de la columna vertebral del polipéptido. Las mediciones de la absorbancia de la radiación a determinadas longitudes de onda pueden, por tanto, utilizarse para cuantificar la concentración de proteína en la muestra. La IR es particularmente útil para el análisis rápido en línea del contenido de proteínas. También requiere poca preparación de muestras y no es destructivo. Sus principales desventajas son su alto costo inicial y la necesidad de una calibración extensa.
  • Resonancia Magnética Nuclear: La espectroscopia de RMN se puede utilizar para determinar la concentración de proteína total de los alimentos. El contenido de proteína se determina midiendo el área bajo un pico en un espectro de desplazamiento químico de RMN que corresponde a la fracción de proteína.

Medición de la dispersión de la radiación

  • Dispersión de luz: la concentración de agregados de proteína en solución acuosa se puede determinar usando técnicas de dispersión de luz porque la turbidez de una solución es directamente proporcional a la concentración de agregados presentes.
  • Dispersión ultrasónica: la concentración de agregados de proteínas también se puede determinar usando técnicas de dispersión ultrasónica porque la velocidad ultrasónica y la absorción de los ultrasonidos están relacionadas con la concentración de agregados de proteínas presentes.

6.2.4.2. Ventajas y desventajas

Varios de estos métodos instrumentales tienen ventajas importantes sobre las otras técnicas mencionadas anteriormente porque no son destructivas, requieren poca o ninguna preparación de la muestra y las mediciones son rápidas y precisas. Una de las principales desventajas de las técnicas que se basan en las mediciones de las propiedades físicas a granel de los alimentos es que debe prepararse una curva de calibración entre la propiedad física de interés y el contenido total de proteína, y esto puede depender del tipo de proteína presente y del alimento. matriz en la que está contenido. Además, las técnicas basadas en mediciones de propiedades fisicoquímicas a granel solo pueden usarse para analizar alimentos con composiciones relativamente simples. En un alimento que contiene muchos componentes diferentes cuya concentración puede variar, es difícil separar la contribución de la proteína a la medición general de la de los otros componentes.

6.2.5. Comparación de métodos

Como científicos de alimentos, a menudo podemos estar en una posición en la que tenemos que elegir una técnica particular para medir la concentración de proteínas de un alimento. ¿Cómo decidimos qué técnica es la más adecuada para nuestra aplicación particular? Lo primero que hay que determinar es para qué se utilizará la información. Si el análisis se va a realizar con fines oficiales, por ejemplo, requisitos legales o de etiquetado, es importante utilizar un método reconocido oficialmente. El método Kjeldahl, y cada vez más el método Dumas, han sido oficialmente aprobados para una amplia gama de aplicaciones alimentarias. Por el contrario, solo se han reconocido oficialmente un pequeño número de aplicaciones de la espectroscopia UV-visible.

& # 9 Para propósitos de control de calidad, a menudo es más útil tener mediciones rápidas y simples del contenido de proteína y, por lo tanto, las técnicas de IR son las más adecuadas. Para estudios fundamentales en el laboratorio, donde a menudo se analizan proteínas puras, a menudo se prefieren las técnicas espectroscópicas UV-visible porque dan mediciones rápidas y confiables y son sensibles a bajas concentraciones de proteína.

& # 9 Otros factores que pueden tener que considerarse son la cantidad de preparación de la muestra requerida, su sensibilidad y su velocidad. Los métodos Kjeldahl, Dumas e IR requieren muy poca preparación de la muestra. Una vez que se ha seleccionado una muestra representativa del alimento, normalmente se puede analizar directamente. Por otro lado, los diversos métodos de UV-visible requieren una preparación extensa de la muestra antes del análisis. La proteína debe extraerse del alimento en una solución transparente diluida, lo que generalmente implica procedimientos de homogeneización, extracción con solvente, filtración y centrifugación que requieren mucho tiempo. Además, puede resultar difícil aislar completamente algunas proteínas de los alimentos porque están fuertemente unidas a otros componentes. Las diversas técnicas también tienen diferentes sensibilidades, es decir, la concentración más baja de proteína que pueden detectar. Los métodos UV-visible son los más sensibles, pudiendo detectar concentraciones de proteínas tan bajas como 0,001% en peso. La sensibilidad de los métodos de Dumas, Kjeldahl e IR es de alrededor de 0,1% en peso. El tiempo requerido por análisis y la cantidad de muestras que se pueden analizar simultáneamente también son factores importantes a considerar al decidir qué técnica analítica usar. Las técnicas de IR son capaces de un análisis rápido (& lt 1 minuto) de la concentración de proteínas una vez que se han calibrado. El moderno método instrumental Dumas está totalmente automatizado y puede medir la concentración de proteína de una muestra en menos de 5 minutos, en comparación con el método Kjeldahl, que tarda entre 30 minutos y 2 horas en realizarse. Los diversos métodos de UV-visible oscilan entre un par de minutos y una hora (dependiendo del tipo de tinte que se use y cuánto tiempo tarde en reaccionar), aunque tiene la ventaja de que se pueden analizar muchas muestras simultáneamente. No obstante, suele ser necesario realizar una preparación exhaustiva de la muestra antes del análisis para obtener una solución transparente. Otros factores que pueden ser importantes al seleccionar una técnica adecuada son: el equipo disponible, la facilidad de operación, la precisión deseada y si la técnica es o no destructiva.

6.3. Separación y caracterización de proteínas

En la conferencia anterior, se discutieron las técnicas utilizadas para determinar la concentración total de proteína en un alimento. Los analistas de alimentos también suelen estar interesados ​​en el tipo de proteínas presentes en un alimento porque cada proteína tiene propiedades nutricionales y fisicoquímicas únicas. El tipo de proteína generalmente se determina separando y aislando las proteínas individuales de una mezcla compleja de proteínas, de modo que puedan identificarse y caracterizarse posteriormente. Las proteínas se separan sobre la base de diferencias en sus propiedades fisicoquímicas, tales como tamaño, carga, características de adsorción, solubilidad y estabilidad térmica. La elección de una técnica de separación adecuada depende de una serie de factores, incluidos los motivos para realizar el análisis, la cantidad de muestra disponible, la pureza deseada, el equipo disponible, el tipo de proteínas presentes y el coste. Los métodos a gran escala están disponibles para aislamientos crudos de grandes cantidades de proteínas, mientras que los métodos a pequeña escala están disponibles para proteínas que son caras o solo están disponibles en pequeñas cantidades. Uno de los factores que deben tenerse en cuenta durante el procedimiento de separación es la posibilidad de que se altere la estructura tridimensional nativa de las moléculas de proteína.

Un conocimiento previo de los efectos de las condiciones ambientales sobre la estructura y las interacciones de las proteínas es de gran utilidad a la hora de seleccionar la técnica de separación más adecuada. En primer lugar, porque ayuda a determinar las condiciones más adecuadas para aislar una proteína en particular de una mezcla de proteínas (p. Ej., PH, fuerza iónica, disolvente, temperatura, etc.) y, en segundo lugar, porque puede ser importante elegir las condiciones que no afectar negativamente a la estructura molecular de las proteínas.

6.3.1. Métodos basados ​​en diferentes características de solubilidad

Las proteínas se pueden separar aprovechando las diferencias en su solubilidad en soluciones acuosas. La solubilidad de una molécula de proteína está determinada por su secuencia de aminoácidos porque esta determina su tamaño, forma, hidrofobicidad y carga eléctrica. Las proteínas se pueden precipitar o solubilizar selectivamente alterando el pH, la fuerza iónica, la constante dieléctrica o la temperatura de una solución. Estas técnicas de separación son las más sencillas de usar cuando se trata de grandes cantidades de muestra, porque son relativamente rápidas, económicas y no están particularmente influenciadas por otros componentes alimentarios. A menudo se utilizan como primer paso en cualquier procedimiento de separación porque la mayoría de los materiales contaminantes se pueden eliminar fácilmente.

Las proteínas se precipitan a partir de soluciones acuosas cuando la concentración de sal excede un nivel crítico, lo que se conoce como salificación, porque toda el agua está "unida" a las sales y, por lo tanto, no está disponible para hidratar las proteínas. El sulfato de amonio [(NH 4) 2 SO 4] se usa comúnmente porque tiene una alta solubilidad en agua, aunque también se pueden usar otras sales neutras, por ejemplo, NaCl o KCl. Generalmente se utiliza un procedimiento de dos pasos para maximizar la eficiencia de la separación. En el primer paso, la sal se agrega a una concentración justo por debajo de la necesaria para precipitar la proteína de interés. Luego, la solución se centrifuga para eliminar cualquier proteína que sea menos soluble que la proteína de interés. Luego, la concentración de sal se aumenta hasta un punto justo por encima del requerido para provocar la precipitación de la proteína. Esto precipita la proteína de interés (que puede separarse mediante centrifugación), pero deja proteínas más solubles en solución. El principal problema de este método es que grandes concentraciones de sal contaminan la solución, que debe eliminarse antes de que la proteína pueda resolubilizarse, por ejemplo, mediante diálisis o ultrafiltración.

El punto isoeléctrico (pI) de una proteína es el pH donde la carga neta de la proteína es cero. Las proteínas tienden a agregarse y precipitarse en su pI porque no hay repulsión electrostática que las separe. Las proteínas tienen diferentes puntos isoeléctricos debido a sus diferentes secuencias de aminoácidos (es decir, números relativos de grupos aniónicos y catiónicos) y, por lo tanto, pueden separarse ajustando el pH de una solución. Cuando el pH se ajusta al pI de una proteína en particular, precipita dejando las otras proteínas en solución.

La solubilidad de una proteína depende de la constante dieléctrica de la solución que la rodea porque esta altera la magnitud de las interacciones electrostáticas entre grupos cargados. A medida que disminuye la constante dieléctrica de una solución, aumenta la magnitud de las interacciones electrostáticas entre especies cargadas. Esto tiende a disminuir la solubilidad de las proteínas en solución porque están menos ionizadas y, por lo tanto, la repulsión electrostática entre ellas no es suficiente para evitar que se agreguen. La constante dieléctrica de las soluciones acuosas se puede reducir añadiendo disolventes orgánicos solubles en agua, como etanol o acetona. La cantidad de disolvente orgánico necesaria para provocar la precipitación depende de la proteína y, por tanto, las proteínas se pueden separar sobre esta base. La cantidad óptima de disolvente orgánico necesaria para precipitar una proteína varía de aproximadamente un 5 a un 60%. El fraccionamiento de solventes generalmente se realiza a 0 o C o menos para evitar la desnaturalización de las proteínas causada por los aumentos de temperatura que ocurren cuando los solventes orgánicos se mezclan con agua.

Desnaturalización de proteínas contaminantes

Muchas proteínas se desnaturalizan y precipitan de la solución cuando se calientan por encima de cierta temperatura o al ajustar una solución a pH muy ácidos o básicos. Las proteínas que son estables a altas temperaturas o pH extremos se separan más fácilmente mediante esta técnica porque las proteínas contaminantes pueden precipitarse mientras la proteína de interés permanece en solución.

6.3.2. Separación debido a diferentes características de adsorción

La cromatografía de adsorción implica la separación de compuestos mediante adsorción-desorción selectiva en una matriz sólida que está contenida dentro de una columna a través de la cual pasa la mezcla. La separación se basa en las diferentes afinidades de diferentes proteínas por la matriz sólida. La cromatografía de afinidad y de intercambio iónico son los dos tipos principales de cromatografía de adsorción que se utilizan habitualmente para la separación de proteínas. La separación se puede llevar a cabo utilizando una columna abierta o cromatografía líquida de alta presión.

Cromatografía de intercambio de iones

La cromatografía de intercambio iónico se basa en la adsorción-desorción reversible de iones en solución a una matriz sólida cargada o red polimérica. Esta técnica es la técnica cromatográfica más utilizada para la separación de proteínas. Una matriz cargada positivamente se llama intercambiador de aniones porque se une a iones cargados negativamente (aniones). Una matriz cargada negativamente se llama intercambiador de iones cat porque se une a iones cargados positivamente (cationes). Las condiciones del tampón (pH y fuerza iónica) se ajustan para favorecer la unión máxima de la proteína de interés a la columna de intercambio iónico. Las proteínas contaminantes se unen con menos fuerza y, por lo tanto, pasan más rápidamente a través de la columna. A continuación, la proteína de interés se eluye utilizando otra solución tampón que favorezca su desorción de la columna (por ejemplo, diferente pH o fuerza iónica).

La cromatografía de afinidad utiliza una fase estacionaria que consiste en un ligando unido covalentemente a un soporte sólido. El ligando es una molécula que tiene una afinidad reversible única y muy específica por una proteína en particular. La muestra a analizar se pasa por la columna y la proteína de interés se une al ligando, mientras que las proteínas contaminantes la atraviesan directamente. A continuación, la proteína de interés se eluye mediante una solución tampón que favorece su desorción de la columna. Esta técnica es el medio más eficaz de separar una proteína individual de una mezcla de proteínas, pero es la más cara, debido a la necesidad de tener columnas con ligandos específicos unidos a ellas.

Tanto la cromatografía de intercambio iónico como la de afinidad se utilizan comúnmente para separar proteínas y aminoácidos en el laboratorio. Se utilizan con menos frecuencia para separaciones comerciales porque no son adecuados para separar rápidamente grandes volúmenes y son relativamente costosos.

6.3.3. Separación debido a diferencias de tamaño

Las proteínas también se pueden separar según su tamaño. Normalmente, los pesos moleculares de las proteínas varían de aproximadamente 10.000 a 1.000.000 de dalton. En la práctica, la separación depende del radio de Stokes de una proteína, más que directamente de su peso molecular. El radio de Stokes es el radio promedio que tiene una proteína en solución y depende de su estructura molecular tridimensional. Para proteínas con el mismo peso molecular, el radio de Stokes aumenta en el siguiente orden: proteína globular compacta & lt flexible de espiral aleatoria & lt proteína en forma de varilla.

La diálisis se utiliza para separar moléculas en solución mediante el uso de membranas semipermeables que permiten el paso de moléculas más pequeñas que un cierto tamaño, pero evitan el paso de moléculas más grandes. Se coloca una solución de proteína en un tubo de diálisis que se sella y se coloca en un gran volumen de agua o tampón que se agita lentamente. Los solutos de bajo peso molecular fluyen a través de la bolsa, pero las moléculas de proteína de gran peso molecular permanecen en la bolsa. La diálisis es un método relativamente lento, que tarda hasta 12 horas en completarse. Por tanto, se utiliza con mayor frecuencia en el laboratorio. La diálisis se usa a menudo para eliminar la sal de las soluciones de proteínas después de que se han separado mediante la salazón y para cambiar los tampones.

Se coloca una solución de proteína en una celda que contiene una membrana semipermeable y se aplica presión. Las moléculas más pequeñas atraviesan la membrana, mientras que las moléculas más grandes permanecen en la solución. El principio de separación de esta técnica es, por tanto, similar a la diálisis, pero debido a que se aplica presión, la separación es mucho más rápida. Se encuentran disponibles membranas semipermeables con puntos de corte entre aproximadamente 500 y 300.000. La parte de la solución que retiene la célula (moléculas grandes) se denomina retenido, mientras que la parte que atraviesa la membrana (moléculas pequeñas) forma parte del ultrafiltrado. La ultrafiltración se puede utilizar para concentrar una solución de proteína, eliminar sales, intercambiar tampones o fraccionar proteínas en función de su tamaño. Las unidades de ultrafiltración se utilizan en el laboratorio y a escala comercial.

Cromatografía de exclusión por tamaño

Esta técnica, a veces conocida como filtración en gel, también separa las proteínas según su tamaño. Se vierte una solución de proteína en una columna que se empaqueta con perlas porosas hechas de un material polimérico reticulado (como dextrano o agarosa). Las moléculas más grandes que los poros de las perlas se excluyen y se mueven rápidamente a través de la columna, mientras que el movimiento de las moléculas que entran en los poros se retarda. Por tanto, las moléculas se eluyen de la columna en orden de tamaño decreciente. Se encuentran disponibles perlas de diferente tamaño medio de poro para separar proteínas de diferentes pesos moleculares. Los fabricantes de estas perlas proporcionan información sobre el rango de peso molecular que son más adecuados para separar. Los pesos moleculares de proteínas desconocidas se pueden determinar comparando sus volúmenes de elución Vo, con los determinados utilizando proteínas de peso molecular conocido: una gráfica del volumen de elución frente al log (peso molecular) debería dar una línea recta. Un problema con este método es que el peso molecular no está directamente relacionado con el radio de Stokes para proteínas de diferentes formas.

6.3.4. Separación por electroforesis

La electroforesis se basa en las diferencias en la migración de moléculas cargadas en una solución cuando se aplica un campo eléctrico a través de ella. Se puede utilizar para separar proteínas en función de su tamaño, forma o carga.

En la electroforesis no desnaturalizante, se vierte una solución tamponada de proteínas nativas sobre un gel poroso (generalmente poliacrilamida, almidón o agarosa) y se aplica un voltaje a través del gel. Las proteínas se mueven a través del gel en una dirección que depende del signo de su carga, y a una velocidad que depende de la magnitud de la carga y la fricción de su movimiento:

Las proteínas pueden estar cargadas positiva o negativamente en solución dependiendo de sus puntos isoeleécticos (pI) y el pH de la solución. Una proteína se carga negativamente si el pH está por encima del pI y se carga positivamente si el pH está por debajo del pI. La magnitud de la carga y el voltaje aplicado determinarán qué tan lejos migran las proteínas en un tiempo determinado. Cuanto mayor sea el voltaje o la carga de la proteína, más se moverá. La fricción de una molécula es una medida de su resistencia al movimiento a través del gel y está determinada en gran medida por la relación entre el tamaño efectivo de la molécula y el tamaño de los poros del gel. Cuanto menor sea el tamaño de la molécula, o mayor sea el tamaño de los poros del gel, menor será la resistencia y, por tanto, más rápido se moverá una molécula a través del gel. Los geles con diferentes porosidades se pueden comprar a proveedores de productos químicos o se pueden preparar en el laboratorio. Los tamaños de poros más pequeños se obtienen utilizando una mayor concentración de reactivo de reticulación para formar el gel. Los geles pueden estar contenidos entre dos placas paralelas o en tubos cilíndricos. En la electroforesis no desnaturalizante, las proteínas nativas se separan basándose en una combinación de su carga, tamaño y forma.

En la electroforesis desnaturalizante, las proteínas se separan principalmente por su peso molecular. Las proteínas se desnaturalizan antes del análisis mezclándolas con mercaptoetanol, que rompe los enlaces disulfuro, y dodecilsulfato de sodio (SDS), que es un surfactante aniónico que se une hidrofóbicamente a las moléculas de proteína y hace que se desplieguen debido a la repulsión entre el surfactante cargado negativamente. grupos de cabeza. Cada molécula de proteína se une aproximadamente a la misma cantidad de SDS por unidad de longitud. Por tanto, la carga por unidad de longitud y la conformación molecular es aproximadamente similar para todas las proteínas. A medida que las proteínas viajan a través de una red de gel, se separan principalmente en función de su peso molecular porque su movimiento depende del tamaño de la molécula de proteína en relación con el tamaño de los poros del gel: las proteínas más pequeñas se mueven más rápidamente a través de la matriz que las más grandes. moléculas. Este tipo de electroforesis se denomina comúnmente electroforesis en gel de poliacrilamida y dodecilsulfato de sodio, o SDS-PAGE.

Para determinar qué tan lejos se han movido las proteínas, se agrega un colorante de seguimiento a la solución de proteína, por ejemplo, azul de bromofenol. Este tinte es una pequeña molécula cargada que migra por delante de las proteínas. Una vez completada la electroforesis, las proteínas se hacen visibles tratando el gel con un tinte proteico como Coomassie Brilliant Blue o tinción plateada. Se calcula la movilidad relativa de cada banda de proteína:

La electroforesis se utiliza a menudo para determinar la composición proteica de los productos alimenticios. La proteína se extrae de los alimentos en una solución, que luego se separa mediante electroforesis. SDS-PAGE se utiliza para determinar el peso molecular de una proteína midiendo R m, y luego comparándolo con una curva de calibración producida usando proteínas de peso molecular conocido: un gráfico de log (peso molecular) frente a la movilidad relativa suele ser lineal. La electroforesis desnaturalizante es más útil para determinar los pesos moleculares que la electroforesis no desnaturalizante, porque la fricción con el movimiento no depende de la forma o carga original de las moléculas de proteína.

Electroforesis de enfoque isoeléctrico

Esta técnica es una modificación de la electroforesis, en la que las proteínas se separan por carga en una matriz de gel que tiene un gradiente de pH a través de ella. Las proteínas migran a la ubicación donde el pH es igual a su punto isoeléctrico y luego dejan de moverse porque ya no están cargadas. Este método tiene una de las resoluciones más altas de todas las técnicas utilizadas para separar proteínas. Hay geles disponibles que cubren un rango de pH estrecho (2-3 unidades) o un rango de pH amplio (3-10 unidades) y, por lo tanto, se debe seleccionar el gel que sea más adecuado para las proteínas que se separan.

Electroforesis bidimensional

El enfoque isoeléctrico y SDS-PAGE se pueden usar juntos para mejorar la resolución de mezclas de proteínas complejas. Las proteínas se separan en una dirección sobre la base de la carga usando enfoque isoeléctrico, y luego en una dirección perpendicular sobre la base del tamaño usando SDS-PAGE.


Empoderamiento

Uno de los enfoques contemporáneos para motivar a los empleados a través del diseño de puestos es el empoderamiento. El concepto de empoderamiento amplía la idea de autonomía. El empoderamiento puede definirse como la eliminación de las condiciones que hacen a una persona impotente (Conger & amp Kanugo, 1988). La idea detrás del empoderamiento es que los empleados tienen la capacidad de tomar decisiones y realizar su trabajo de manera efectiva si la gerencia elimina ciertas barreras. Por lo tanto, en lugar de dictar roles, las empresas deben crear un entorno en el que los empleados prosperen, se sientan motivados y tengan discreción para tomar decisiones sobre el contenido y el contexto de sus trabajos. Los empleados que se sienten empoderados creen que su trabajo es significativo. Suelen sentir que son capaces de realizar su trabajo de manera eficaz, tienen la capacidad de influir en el funcionamiento de la empresa y pueden realizar su trabajo de la forma que consideren adecuada, sin una supervisión cercana ni otras interferencias. Estas libertades permiten que los empleados se sientan poderosos (Spreitzer, 1995 Thomas & amp Velthouse, 1990). En casos de niveles muy altos de empoderamiento, los empleados deciden qué tareas realizar y cómo realizarlas, en cierto sentido, gestionándose a sí mismos.

La investigación ha distinguido entre estructural elementos de empoderamiento y sintió empoderamiento. El empoderamiento estructural se refiere a los aspectos del entorno de trabajo que brindan a los empleados discreción, autonomía y la capacidad de hacer su trabajo de manera efectiva. La idea es que la presencia de ciertos factores estructurales ayuda a empoderar a las personas, pero al final el empoderamiento es una percepción. La siguiente figura demuestra la relación entre empoderamiento estructural y sentido. Por ejemplo, en Harley-Davidson Motor Company, los empleados tienen la autoridad para detener la línea de producción si ven una mancha en el producto (Lustgarten, 2004). El estilo de liderazgo es otra influencia sobre el empoderamiento experimentado (Kark, Shamir y Chen, 2003). Si el gerente es controlador, microgestivo y mandón, es probable que el empoderamiento no sea posible. La estructura de una empresa también tiene un papel en la determinación del empoderamiento. Las fábricas organizadas en equipos, como la planta Saturn de General Motors Corporation, aún pueden empoderar a los empleados, a pesar de la presencia de una jerarquía tradicional (Ford & amp Fottler, 1995). El acceso a la información se menciona a menudo como un factor clave para empoderar a los empleados. Si los empleados no reciben información para tomar una decisión informada, los intentos de empoderamiento fracasarán. Por tanto, la relación entre acceso a la información y empoderamiento está bien establecida. Por último, el empoderamiento de los empleados individuales no puede ocurrir en una burbuja, sino que depende de la creación de un clima de empoderamiento en toda la organización (Seibert, Silver y Randolph, 2004).

El proceso de empoderamiento comienza con una estructura que conduce al empoderamiento sentido.

Fuente: Basado en las ideas de Seibert, S. E., Silver, S. R., & amp Randolph, W. A. ​​(2004). Llevando el empoderamiento al siguiente nivel: un modelo de múltiples niveles de empoderamiento, desempeño y satisfacción. Revista de la Academia de Administración, 47, 332–349 Spreitzer, G. M. (1995). Empoderamiento psicológico en el lugar de trabajo: dimensiones, medición y validación. Revista de la Academia de Administración, 38, 1442-1465 Spreitzer, G. M. (1996). Características sociales estructurales del empoderamiento psicológico. Revista de la Academia de Administración, 39, 483–504.

El empoderamiento de los empleados tiende a ser beneficioso para las organizaciones, porque está relacionado con resultados como la innovación de los empleados, la eficacia gerencial, el compromiso de los empleados con la organización, la satisfacción del cliente, el desempeño laboral y los comportamientos que benefician a la empresa y a otros empleados (Ahearne, Mathieu, & amp Rapp, 2005 Alge et al., 2006 Chen et al., 2007 Liden, Wayne y amp Sparrowe, 2000 Spreitzer, 1995). Al mismo tiempo, el empoderamiento puede no ser necesariamente adecuado para todos los empleados. Es posible que las personas con poca fuerza de crecimiento o baja necesidad de rendimiento no se beneficien tanto del empoderamiento. Además, la idea de empoderamiento no siempre es fácil de implementar, porque algunos gerentes pueden sentirse amenazados cuando se empodera a sus subordinados. Si los empleados no se sienten preparados para el empoderamiento, también pueden preocuparse por el aumento de la responsabilidad y la rendición de cuentas. Por lo tanto, preparar a los empleados para el empoderamiento seleccionándolos y capacitándolos cuidadosamente es importante para el éxito de las intervenciones de empoderamiento.

Caja de herramientas OB: consejos para empoderar a los empleados

  • Cambiar la estructura de la empresa para que los empleados tengan más poder en sus trabajos.. Si los trabajos están fuertemente controlados por procedimientos organizacionales o si cada pequeña decisión debe ser aprobada por un superior, es poco probable que los empleados se sientan empoderados. Dales discreción en el trabajo.
  • Brindar a los empleados acceso a información sobre cosas que afectan su trabajo.. Cuando los empleados tienen la información que necesitan para hacer bien su trabajo y comprenden los objetivos, las prioridades y la estrategia de la empresa, están en una mejor posición para sentirse empoderados.
  • Asegúrese de que los empleados sepan cómo realizar su trabajo.. Esto implica seleccionar a las personas adecuadas, así como invertir en formación y desarrollo continuos.
  • No le quite el poder a los empleados. Si alguien toma una decisión, déjela en pie a menos que amenace a toda la empresa. Si la gerencia deshace las decisiones tomadas por los empleados de forma regular, los empleados no creerán en la sinceridad de la iniciativa de empoderamiento.
  • Inculcar un clima de empoderamiento en el que los gerentes no intervengan rutinariamente y se hagan cargo. En cambio, crea en el poder de los empleados para tomar las decisiones más precisas, siempre que estén equipados con los hechos y los recursos relevantes.

Fuentes: Adaptado de ideas en Forrester, R. (2000). Empoderamiento: rejuvenecer una idea potente. Ejecutivo de la Academia de Administración, 14, 67-79 Spreitzer, G. M. (1996). Características sociales estructurales del empoderamiento psicológico. Revista de la Academia de Administración, 39, 483–504.

Conclusión clave

La especialización laboral es el enfoque más temprano para el diseño de trabajos, originalmente descrito por el trabajo de Frederick Taylor. La especialización laboral es eficaz pero conduce al aburrimiento y la monotonía. Las primeras alternativas a la especialización laboral incluyen la rotación laboral, la ampliación del trabajo y el enriquecimiento del trabajo. Las investigaciones muestran que hay cinco componentes del trabajo que aumentan el potencial motivador de un trabajo: variedad de habilidades, identidad de la tarea, importancia de la tarea, autonomía y retroalimentación. Finalmente, el empoderamiento es una forma contemporánea de motivar a los empleados a través del diseño del trabajo. Estos enfoques aumentan la motivación del trabajador y tienen el potencial de incrementar el desempeño.


Rotación, ampliación de puestos y enriquecimiento

Una de las primeras alternativas a la especialización laboral fue la rotación laboral. La rotación de puestos implica trasladar a los empleados de un puesto a otro a intervalos regulares. Cuando los empleados se trasladan periódicamente a diferentes puestos de trabajo, se pueden aliviar los aspectos monótonos de la especialización laboral. Por ejemplo, Maids International Inc., una compañía que brinda servicios de limpieza a hogares y negocios, utiliza la rotación de trabajos para que las mucamas que limpian la cocina en una casa limpien el dormitorio en otra diferente (Denton, 1994). Mediante esta técnica, entre otras, la empresa consigue reducir su nivel de rotación. En un estudio de supermercados, los cajeros se rotaron para trabajar en diferentes departamentos. Como resultado de la rotación, los niveles de estrés de los empleados se redujeron, medido por su presión arterial. Además, experimentaron menos dolor en el cuello y los hombros (Rissen et al., 2002).

La rotación de puestos tiene una serie de ventajas para las organizaciones. Es una forma eficaz de que los empleados adquieran nuevas habilidades y, a su vez, las organizaciones aumenten el nivel general de habilidades de sus empleados (Campion, Cheraskin & # 38 Stevens, 1994). Cuando los trabajadores se trasladan a diferentes puestos, reciben capacitación cruzada para realizar diferentes tareas, lo que aumenta la flexibilidad de los gerentes para asignar empleados a diferentes partes de la organización cuando sea necesario. Además, la rotación de puestos es una forma de transferir conocimientos entre departamentos (Kane, Argote & # 38 Levine, 2005). La rotación también puede tener el beneficio de reducir el aburrimiento de los empleados, dependiendo de la naturaleza de los trabajos que el empleado esté realizando en un momento dado. Desde el punto de vista de los empleados, la rotación es un beneficio, porque adquieren nuevas habilidades que los mantienen comercializables a largo plazo.

¿Se utiliza la rotación solo en los niveles inferiores de una organización? La evidencia anecdótica sugiere que las empresas rotan con éxito a los empleados de alto nivel para capacitar a los gerentes y aumentar la innovación en la empresa. Por ejemplo, Nokia utiliza la rotación en todos los niveles, como la asignación de abogados para que actúen como gerentes de país o el traslado de ingenieros de redes al diseño de teléfonos. Se cree que este enfoque aporta una nueva perspectiva a viejos problemas (Wylie, 2003).Wipro Ltd., el gigante de la tecnología de la información de la India que emplea a unos 80.000 trabajadores, utiliza un plan de 3 años para preparar a los futuros líderes de la empresa rotándolos en diferentes puestos de trabajo (Ramamurti, 2001).

La ampliación del trabajo se refiere a ampliar las tareas realizadas por los empleados para agregar más variedad. Al darles a los empleados varias tareas diferentes para realizar, en lugar de limitar sus actividades a una pequeña cantidad de tareas, las organizaciones esperan reducir el aburrimiento y la monotonía, así como utilizar los recursos humanos de manera más efectiva. La ampliación del trabajo puede tener beneficios similares a la rotación de trabajo, porque también puede implicar enseñar a los empleados múltiples tareas. Las investigaciones indican que cuando se amplían los trabajos, los empleados se ven a sí mismos como capaces de realizar un conjunto más amplio de tareas (Parker, 1998). Existe alguna evidencia de que la ampliación del trabajo es beneficiosa, porque está relacionada positivamente con la satisfacción de los empleados y servicios al cliente de mayor calidad, y aumenta las posibilidades de detectar errores (Campion & # 38 McClelland, 1991). Al mismo tiempo, los efectos de la ampliación del empleo pueden depender de la tipo de ampliación. Por ejemplo, la ampliación del trabajo que consiste en agregar tareas que son de naturaleza muy simple tuvo consecuencias negativas en la satisfacción del empleado con el trabajo y resultó en que se detectaran menos errores. Alternativamente, dar a los empleados más tareas que requieren que tengan conocimientos en diferentes áreas parece tener efectos más positivos (Campion & # 38 McClelland, 1993).

El enriquecimiento del trabajo es una técnica de rediseño del trabajo que permite a los trabajadores tener más control sobre cómo realizan sus propias tareas. Este enfoque permite que los empleados asuman más responsabilidades. Como alternativa a la especialización laboral, las empresas que utilizan el enriquecimiento laboral pueden experimentar resultados positivos, como reducción de la rotación, aumento de la productividad y reducción de las ausencias (McEvoy & # 38 Cascio, 1985 Locke, Sirota & # 38 Wolfson, 1976). Esto puede deberse a que los empleados que tienen la autoridad y la responsabilidad sobre su trabajo pueden ser más eficientes, eliminar tareas innecesarias, tomar atajos y aumentar su desempeño general. Al mismo tiempo, existe evidencia de que el enriquecimiento laboral a veces puede causar insatisfacción entre ciertos empleados (Locke, Sirota, & # 38 Wolfson, 1976). La razón puede ser que los empleados a los que se les otorga autonomía y responsabilidad adicionales pueden esperar mayores niveles de pago u otros tipos de compensación, y si esta expectativa no se cumple, es posible que se sientan frustrados. Una cosa más para recordar es que el enriquecimiento laboral no es adecuado para todos (Cherrington & # 38 Lynn, 1980 Hulin & # 38 Blood, 1968). No todos los empleados desean tener control sobre cómo trabajan y, si no tienen este deseo, pueden frustrarse con un trabajo enriquecido.


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