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Respuesta al desafío 35


El precio del regalo.

Solución enviada por el visitante Renato Santos:

Deje que el precio del regalo se exprese como un número de cuatro dígitos, descuidando los centavos, como abcd (es decir, $ abcd, 00), donde el es 1 o 0 (para $ abcd, 00 será menor o igual a $ 1,200) yb, c y d, por supuesto, están entre 0 y 9. Lea lo contrario, el precio del regalo sería dcba, que debería ser valor de nueve regalos.

Para equiparar esta información, tenemos que tener en cuenta la notación decimal posicional, es decir, abcd significa mil, b cientos, c decenas yd unidades, o 1000a + 100b + 10c + d. Del mismo modo, dcba significa 1000d + 100c + 10b + a. Queda así:

1000d + 100c + 10b + a = 9 (1000a + 100b + 10c + d)
o
1000d + 100c + 10b + a = 9000a + 900b + 90c + 9d

Resolviendo:
(1000-9) d + (100-90) c + (10-900) b + (1-9000) a = 0
o
991d + 10c -890b -8999a = 0

Tenga en cuenta que 991 y 10 no tienen factores en común y, por lo tanto, en este caso no podemos reducir los coeficientes de la ecuación. Tenemos aquí una sola ecuación con cuatro incógnitas. Una estrategia sería sustituir los valores tentativos por a, b, c y d.

Sin embargo, uno puede, como Diophantus, usar en adelante el algoritmo de fracción continua:

Dejamos aislar el término con el coeficiente más bajo:

10c = 8999a + 890b - 991d

Dividimos la ecuación completa por el coeficiente:

c = (8999/10) a + (890/10) b - (991/10) d

Separando partes enteras de fracciones,

c = 899a + (9/10) a + 89b - 99d - (1/10) d
o
c = 899a + 89b - 99d + (1/10) (9a - d)

Dado que a, byc deben ser enteros, (1/10) (9a-d) también debe serlo. Esto, por supuesto, solo sucederá si (9a-d) es un múltiplo de 10.

Sin embargo, dado que a, b, cyd representan los dígitos del valor presente, deben estar entre 0 y 9. Con esta restricción, (9a-d) solo puede ser el múltiplo trivial de 10, es decir, 0.

Parece que 9a - d = 0
o
d = 9a

Volviendo este resultado a la ecuación anterior, obtenemos
c = 899a + 89b - 99x9a + (1/10) (9a - 9a)
o
c = 899a + 89b - 891a
c = 8a + 89b

Como c está entre 0 y 9 y los coeficientes de a y b son positivos, se deduce que b debe ser igual a 0 para que c no exceda de 9.
c = 8a

Recordemos también que a es 1 o 0.

Pero a = 0 da como resultado el caso trivial a = 0, b = 0, c = 0 yd = 0, es decir, el precio $ 0000.00 y, correctamente, 9 x 0000 $ 00 = 0000 $ 00.

Entonces tenemos a = 1 que resulta en c = 8 y, volviendo a la ecuación anterior, d = 9a => d = 9.

Por lo tanto, finalmente obtenemos el precio del regalo ($ abcd, 00) como $ 1089.00 que, invertido, resulta $ 9801 = 9 x $ 1089, según se desee.

RESPUESTA: El regalo costó $ 1089

Solución enviada por el visitante Paulo Martins Magalhães:

Si el monto reservado para el regalo fue de $ 1,200, debemos suponer que el precio fue de alrededor de $ 1,000.

Entonces estábamos buscando un número de 4 dígitos, siendo 1 el primero. El último dígito solo podría ser 9, porque solo entonces podríamos invertir el número y obtener 9 veces el primero.

Por lo tanto, sabemos que el número es 1ab9.

Encontrar ayb es relativamente fácil, ya que el número es un múltiplo de 9, ya que su inverso es el mismo (ya que es un número que vale nueve veces el precio del presente). Entonces tenemos el número 1ab9. Para que dicho número sea múltiplo de 9, la suma a + b debe ser 8. Los pares ayb que satisfacen esta condición son los siguientes: 0 y 8; 1 y 7; 2 y 6; 3 y 5; 4 y 4; 5 y 3; 6 y 2; 7 y 1 y finalmente 8 y 0.

Al probar el primer par, que parece más lógico porque el precio es inferior a $ 1,200, obtenemos $ 1,089, que es el precio del regalo. (1089 X 9 = 9801).

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