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2.3: Modelado con funciones lineales


Al modelar escenarios con una función lineal y resolver problemas que involucran cantidades que cambian linealmente, generalmente seguimos las mismas estrategias de resolución de problemas que usaríamos para cualquier tipo de función:

Estrategia de resolución de problemas

  1. Identifique cantidades cambiantes y luego defina con cuidado y claridad las variables descriptivas para representar esas cantidades. Cuando sea apropiado, dibuje una imagen o defina un sistema de coordenadas.
  2. Lea atentamente el problema para identificar información importante. Busque información que proporcione valores para las variables o valores para partes del modelo funcional, como la pendiente y el valor inicial.
  3. Lea atentamente el problema para identificar lo que estamos tratando de encontrar, identificar, resolver o interpretar.
  4. Identificar una ruta de solución desde la información proporcionada hasta lo que estamos tratando de encontrar. A menudo, esto implicará verificar y rastrear unidades, construir una tabla o incluso encontrar una fórmula para la función que se usa para modelar el problema.
  5. Cuando sea necesario, busque una fórmula para la función.
  6. Resuelve o evalúa usando la fórmula que encontraste para las cantidades deseadas.
  7. Reflexione sobre si su respuesta es razonable para la situación dada y si tiene sentido matemáticamente.
  8. Transmita claramente su resultado usando unidades apropiadas y responda con oraciones completas cuando sea apropiado.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Emily ahorró $ 3500 para su visita de verano a Seattle. Ella anticipa gastar $ 400 cada semana en alquiler, comida y diversión. Encuentre e interprete la intersección horizontal y determine un dominio y rango razonables para esta función.

Solución

En el problema, hay dos cantidades cambiantes: tiempo y dinero. La cantidad de dinero que le queda mientras está de vacaciones depende de cuánto tiempo se quede. Podemos definir nuestras variables, incluidas las unidades.

Salida: (M ), dinero restante, en dólares

Entrada: (t ), tiempo, en semanas

Al leer el problema, identificamos dos valores importantes. El primero, $ 3500, es el valor inicial de (M ). El otro valor parece ser una tasa de cambio: las unidades de dólares por semana coinciden con las unidades de nuestra variable de salida divididas por nuestra variable de entrada. Ella gasta dinero cada semana, por lo que debes reconocer que la cantidad de dinero restante disminuye cada semana y la pendiente es negativa.

Para responder a la primera pregunta, buscando la intersección horizontal, sería útil tener una ecuación que modele este escenario. Usando la intersección y la pendiente provistas en el problema, podemos escribir la ecuación: [M (t) = 3500-400t nonumber ]

Para encontrar la intersección horizontal, establecemos la salida en cero y resolvemos la entrada:

[ begin {array} {rcl} {0} & = & {3500 - 400t} {t} & = & { dfrac {3500} {400} = 8.75} end {array} nonumber ]

La intersección horizontal es de 8,75 semanas. Dado que esto representa el valor de entrada donde la salida será cero, interpretando esto, podríamos decir: Emily no tendrá dinero después de 8.75 semanas.

Al modelar cualquier escenario de la vida real con funciones, normalmente existe un dominio limitado sobre el cual ese modelo será válido; casi ninguna tendencia continúa indefinidamente. En este caso, ciertamente no tiene sentido hablar de valores de entrada menores que cero. También es probable que este modelo no sea válido después de la intersección horizontal (a menos que Emily comience a usar una tarjeta de crédito y se endeude).

El dominio representa el conjunto de valores de entrada, por lo que el dominio razonable para esta función es (0 le t le 8.75 ).

Sin embargo, en un escenario del mundo real, el alquiler puede ser semanal o nocturno. Es posible que no pueda quedarse una semana parcial, por lo que se deben considerar todas las opciones. Emily podría quedarse en Seattle de 0 a 8 semanas completas (y un par de días), pero tendría que endeudarse para quedarse 9 semanas completas, por lo que restringido a semanas completas, un dominio razonable sin endeudarse sería ( 0 le t le 8 ), o (0 le t le 9 ) si se endeudó para terminar la última semana.

El rango representa el conjunto de valores de salida y comienza con $ 3500 y termina con $ 0 después de 8,75 semanas, por lo que el rango correspondiente es (0 le M (t) le 3500 ). Sin embargo, si limitamos el alquiler a semanas completas, el rango cambiaría. Si se fue después de 8 semanas porque no tenía suficiente para quedarse durante 9 semanas completas, le quedarían (M (8) = 3500-400 (8) = $ 300 ) dólares después de 8 semanas, dando un rango de (300 le M (t) le 3500 ). Si quisiera quedarse las 9 semanas completas, tendría una deuda de $ 100, lo que da un rango de (- 100 le M (t) le 3500 ).

Lo más importante es recordar que el dominio y el rango están vinculados, y lo que decida que es más apropiado para el dominio (la variable independiente) dictará los requisitos para el rango (la variable dependiente).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Un administrador de bases de datos está cargando una tabla grande a partir de copias de seguridad. Impaciente, se da cuenta de que se han cargado 1,2 millones de filas. Diez minutos después, se habían cargado 2,5 millones de filas. ¿Cuánto tiempo más tendrá que esperar a que se carguen las 80 millones de filas?

Respuesta

Si (t ) es el número de minutos desde que se impacientó y N el número de filas cargadas, en millones, tenemos dos puntos: (0, 1.2) y (10, 2.5).

La pendiente es (m = dfrac {2.5-1.2} {10-0} = dfrac {1.3} {10} = 0.13 ) millones de filas por minuto.

Conocemos la intersección de (N ), por lo que podemos escribir la ecuación:

[N = 0.13t + 1.2 nonumber ]

Para determinar cuánto tiempo tendrá que esperar, debemos resolver cuándo (N = 80 ).

[N = 0.13t + 1.2 = 80 nonumber ]

[0.13t = 78.8 nonumber ]

[t = dfrac {78.8} {0.13} = 606 nonumber ]. Tendrá que esperar otros 606 minutos, unas 10 horas.

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Jamal está eligiendo entre dos empresas de mudanzas. El primero, U-Haul, cobra una tarifa inicial de $ 20, luego 59 centavos por milla. El segundo, Budget, cobra una tarifa inicial de $ 16, luego 63 centavos por milla (Tarifas recuperadas el 2 de agosto de 2010 de www.budgettruck.com y http://www.uhaul.com/). ¿Cuándo será U-Haul la mejor opción para Jamal?

Solución

Las dos cantidades importantes en este problema son el costo y la cantidad de millas recorridas. Dado que tenemos dos empresas a considerar, definiremos dos funciones:

Entrada: (m ), millas conducidas

Salidas:

(Y (m) ): costo, en dólares, para alquilar en U-Haul

(B (m) ): costo, en dólares, para alquilar en Budget

Al leer el problema con atención, parece que nos dieron un costo inicial y una tasa de cambio para cada empresa. Dado que nuestras salidas se miden en dólares, pero los costos por milla dados en el problema están en centavos, necesitaremos convertir estas cantidades para que coincidan con nuestras unidades deseadas: $ 0.59 por milla para U-Haul y $ 0.63 por milla para Budget.

Mirando lo que estamos tratando de encontrar, queremos saber cuándo U-Haul será la mejor opción. Dado que todo lo que tenemos para tomar esa decisión son los costos, estamos buscando cuándo U-Haul costará menos, o cuándo (Y (m)

[Y (m) = 20 + 0.59m nonumber ]
[B (m) = 16 + 0.63m nonumber ]

Estos gráficos están dibujados a la derecha, con Y (m) trazada de forma discontinua.

Para encontrar la intersección, igualamos las ecuaciones y resolvemos:

[ begin {array} {rcl} {Y (m)} & = & {B (m)} {20 + 0.59m} & = & {16 + 0.63m} {4} & = & {0.04m} {m} & = & {100} end {array} nonumber ]

Esto nos dice que el costo de las dos compañías será el mismo si se conducen 100 millas. Ya sea mirando el gráfico o observando que (Y (m) ) está creciendo a un ritmo más lento, podemos concluir que U-Haul será el precio más barato cuando se conduzcan más de 100 millas.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

La población de una ciudad ha ido creciendo de forma lineal. En 2004 la población era de 6.200. En 2009, la población había aumentado a 8.100. Si esta tendencia continúa,

  1. Predecir la población en 2013
  2. ¿Cuándo llegará la población a 15000?

Solución

Las dos cantidades cambiantes son la población y el tiempo. Si bien podríamos usar el valor real del año como la cantidad de entrada, hacerlo tiende a generar ecuaciones muy desagradables, ya que la intersección vertical correspondería al año 0, ¡hace más de 2000 años!

Para hacer las cosas un poco más agradables y para hacernos la vida más fácil también, definiremos nuestra aportación como años desde 2004:

Entrada: (t ), años desde 2004

Resultado: (P (t) ), la población de la ciudad

El problema nos da dos pares de entrada-salida. Al convertirlos para que coincidan con nuestras variables definidas, el año 2004 correspondería a (t = 0 ), dando el punto (0, 6200). Observe que a través de nuestra inteligente elección de definición de variable, nos hemos "dado" la intersección vertical de la función. El año 2009 correspondería a (t = 5 ), dando el punto (5, 8100).

Para predecir la población en 2013 ( (t = 9 )), necesitaríamos una ecuación para la población. Del mismo modo, para encontrar cuándo la población alcanzaría los 15 000, necesitaríamos resolver la entrada que proporcionaría una salida de 15 000. De cualquier manera, necesitamos una ecuación. Para encontrarlo, comenzamos calculando la tasa de cambio:

[m = dfrac {8100-6200} {5-0} = dfrac {1900} {5} = 380 text {personas por año} nonumber ]

Como ya conocemos la intersección vertical de la línea, podemos escribir inmediatamente la ecuación:

[P (t) = 6200 + 380t nonumber ]

Para predecir la población en 2013, evaluamos nuestra función en (t = 9 )

[P (9) = 6200 + 380 (9) = 9620 nonumber ]

Si la tendencia continúa, nuestro modelo predice una población de 9,620 en 2013.

Para encontrar cuándo la población llegará a 15,000, podemos establecer (P (t) = 15000 ) y resolver para (t ).

[ begin {array} {rcl} {15000} & = & {6200 + 380t} {8800} & = & {380t} {t} & approx & {23.158} end {array} sin número ]

Nuestro modelo predice que la población llegará a 15.000 en poco más de 23 años después de 2004, o alrededor del año 2027.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Anna y Emanuel comienzan en la misma intersección. Anna camina hacia el este a 4 millas por hora mientras que Emanuel camina hacia el sur a 3 millas por hora. Se están comunicando con una radio de dos vías con un alcance de 2 millas. ¿Cuánto tiempo después de que empiecen a caminar perderán el contacto por radio?

Solución

En esencia, podemos responder parcialmente a esta pregunta diciendo que se perderán el contacto por radio cuando estén a 2 millas de distancia, lo que nos lleva a hacer una nueva pregunta: ¿cuánto tiempo tardarán en estar a 2 millas de distancia?

En este problema, nuestras cantidades cambiantes son el tiempo y las posiciones de las dos personas, pero en última instancia, necesitamos saber cuánto tardarán en estar a 2 millas de distancia. Podemos ver que el tiempo será nuestra variable de entrada, por lo que definiremos

Entrada: (t ), tiempo en horas.

Dado que no es obvio cómo definir nuestras variables de salida, comenzaremos haciendo un dibujo.

Debido a la complejidad de esta pregunta, puede resultar útil introducir algunas variables intermedias. Estas son cantidades que no nos interesan directamente, pero que parecen importantes para el problema. Para este problema, las distancias de Anna y Emanuel desde el punto de partida parecen importantes. Para anotar estos, vamos a definir un sistema de coordenadas, poniendo el "punto de partida" en la intersección donde ambos comenzaron, luego vamos a introducir una variable, (A ), para representar la posición de Anna, y definir será una medida desde el punto de partida, en dirección este. Asimismo, introduciremos una variable, (E ), para representar la posición de Emanuel, medida desde el punto de partida en dirección sur. Tenga en cuenta que al definir el sistema de coordenadas especificamos tanto el origen o el punto de inicio de la medición como la dirección de la medición.

Ya que estamos en eso, definiremos una tercera variable, (D ), para ser la medida de la distancia entre Anna y Emanuel. Mostrar las variables en la imagen suele ser útil:

Al observar las variables en la imagen, recordamos que necesitamos saber cuánto tiempo se necesita para que (D ), la distancia entre ellas, sea igual a 2 millas.

Al ver esta imagen, recordamos que para encontrar la distancia entre los dos, podemos usar el Teorema de Pitágoras, una propiedad de los triángulos rectángulos.

Desde aquí, ahora podemos mirar hacia atrás en el problema para obtener información relevante. Anna camina 4 millas por hora y Emanuel camina 3 millas por hora, que son tasas de cambio. Usando esos, podemos escribir fórmulas para la distancia que cada uno ha caminado.

Ambos comienzan en la misma intersección y, por lo tanto, cuando (t = 0 ), la distancia recorrida por cada persona también debe ser 0, por lo que dada la tasa de cada uno y el valor inicial de cada uno, obtenemos:

[A (t) = 4t nonumber ]
[E (t) = 3t nonumber ]

Usando el teorema de Pitágoras obtenemos:

[D (t) ^ {2} = A (t) ^ {2} + E (t) ^ {2} nonumber ] sustituye en las fórmulas de la función

[D (t) ^ {2} = (4t) ^ {2} + (3t) ^ {2} = 16t ^ {2} + 9t ^ {2} = 25t ^ {2} nonumber ] resolver para (D (t) ) usando la raíz cuadrada

[D (t) = pm sqrt {25t ^ {2}} = pm 5 | t | nonumber ]

Dado que en este escenario solo estamos considerando valores positivos de ty nuestra distancia (D (t) ) siempre será positiva, podemos simplificar esta respuesta a (D (t) = 5t )

Curiosamente, la distancia entre ellos también es una función lineal. Usándolo, ahora podemos responder la pregunta de cuándo la distancia entre ellos alcanzará las 2 millas:

[ begin {array} {rcl} {D (t)} & = & {2} {5t} & = & {2} {t} & = & { dfrac {2} {5} = 0.4} end {matriz} nonumber ]

Saldrán del contacto por radio en 0,4 horas o 24 minutos.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Actualmente hay una carretera recta que va desde la ciudad de Westborough a una ciudad a 30 millas al este y 10 millas al norte. A mitad de camino de esta carretera, se cruza con una segunda carretera, perpendicular a la primera, que conduce a la ciudad de Eastborough. Si la ciudad de Eastborough se encuentra a 20 millas directamente al este de la ciudad de Westborough, ¿a qué distancia está el cruce de carreteras de Westborough?

Solución

Podría ser útil hacer un dibujo de la situación. Entonces sería útil introducir un sistema de coordenadas. Si bien podríamos ubicar el origen en cualquier lugar, ubicarlo en Westborough parece conveniente. Esto coloca a la otra ciudad en las coordenadas (30, 10) y Eastborough en (20, 0).

Usando este punto junto con el origen, podemos encontrar la pendiente de la línea de Westborough a la otra ciudad: (m = dfrac {10-0} {30-0} = dfrac {1} {3} ) . Esto da como resultado que la ecuación de la carretera de Westborough a la otra ciudad sea (W (x) = dfrac {1} {3} x ).

A partir de esto, podemos determinar que la carretera perpendicular a Eastborough tendrá una pendiente (m = -3 ). Dado que la ciudad de Eastborough está en el punto (20, 0), podemos encontrar la ecuación:

[E (x) = -3x + b nonumber ] inserta el punto (20, 0)
[0 = -3 (20) + b nonumber ]
[b = 60 nonumber ]
[E (x) = -3x + 60 nonumber ]

Ahora podemos encontrar las coordenadas del cruce de las carreteras encontrando la intersección de estas líneas. Poniéndolos iguales,

[ dfrac {1} {3} x = -3x + 60 nonumber ]
[ dfrac {10} {3} x = 60 nonumber ]
[10x = 180 nonumber ]
[x = 18 nonumber ] Sustituyendo esto de nuevo en (W (x) )
[y = W (18) = dfrac {1} {3} (18) = 6 nonumber ]

Las carreteras se cruzan en el punto (18, 6). Usando la fórmula de la distancia, ahora podemos encontrar la distancia desde Westborough hasta el cruce:

[dist = sqrt {(18-0) ^ {2} + (6-0) ^ {2}} approx 18.934 text {millas} nonumber ]

Temas importantes de esta sección

El proceso de resolución de problemas

  1. Identifique cantidades cambiantes y luego defina con cuidado y claridad las variables descriptivas para representar esas cantidades. A menudo, esto implicará verificar y rastrear unidades, construir una tabla o incluso encontrar una fórmula para la función que se usa para modelar el problema.
  2. Cuando sea necesario, busque una fórmula para la función.
  3. Resuelve o evalúa usando la fórmula que encontraste para las cantidades deseadas.
  4. Reflexione sobre si su respuesta es razonable para la situación dada y si tiene sentido matemáticamente.
  5. Transmita claramente su resultado usando unidades apropiadas y responda con oraciones completas cuando sea apropiado.

2.3.3: Ecuaciones de dos pasos con suma y multiplicación

La banda de música de Floyd Middle School está experimentando algunos cambios. Actualmente tienen 140 estudiantes, más el baterista mayor, y agregarán cuatro nuevos estudiantes este año. Esto significa que deberán rehacer su formación para la gran final en ocho filas iguales. Anica, miembro de la banda, anuncia que puede calcular el número de estudiantes en cada fila con una ecuación.

En este concepto, resolverás ecuaciones que involucran las propiedades inversas de la suma y la multiplicación.

Propiedades inversas de sumar y multiplicar

Un ecuación es una declaración con un signo igual donde la cantidad en un lado de los iguales es la misma que la cantidad en el otro lado de los iguales.

Aquí hay una ecuación simple:

Tienes una ecuación con una variable donde x es la cantidad desconocida. Para solucionar esto, realice una operación inversa u operación opuesta. Restarías once de 15 para darte 4. Ese es el valor de la variable.

La mayoría de las veces, ni siquiera piensa en realizar una operación inversa, su mente naturalmente resuelve el problema de esta manera.

Cuando tienes una ecuación con una variable, se llama ecuación de un paso. Solo se necesita una operación o una operación inversa para resolverlo.

Para resolver un ecuación de dos pasos, necesitará utilizar más de una operación inversa. Cuando realiza operaciones inversas para encontrar el valor de una variable, trabaja para obtener la variable sola en un lado del signo igual. Se llama aislar la variable. Es una estrategia para resolver ecuaciones. Puede usar aislar la variable ya sea que esté resolviendo ecuaciones de un paso o de dos pasos.

Puedes llamar término a cada parte de la ecuación. Hay un término con una variable y hay un término sin una variable. Observe que hay dos términos en el lado izquierdo de la ecuación, 3a y 12.

Primero, use operaciones inversas para obtener el término que incluye una variable, 3a, por sí mismo en un lado del signo igual. En las ecuaciones, siempre dejaría el término que contiene la variable hasta el final para aislar la variable. Entonces, en la ecuación anterior, se suma 12 a 3a. Puedes usar la inversa de la suma, que es la resta, como primer paso. Podemos restar 12 a ambos lados de la ecuación.

A continuación, use operaciones inversas para obtener la a por sí misma. Como 3a significa 3 & timesa, puedes usar la inversa de la multiplicación, que es la división. Puede dividir ambos lados de la ecuación por 3 para aislar la variable.

Permita que & rsquos revise sus pasos para resolver esta ecuación de dos pasos. Su objetivo es aislar su variable, por lo que primero debe obtener este término de variable solo en un lado del signo igual.

Ejemplos de

Anteriormente, se le presentó un problema sobre la nueva configuración de la banda de música.

Primero, veamos & rsquos la información dada.

Hay 144 estudiantes en la banda. También hay un tambor mayor. Los estudiantes deben organizarse en ocho filas pares.

Tenga en cuenta que la batería mayor no está incluida. La batería mayor no está incluida en las líneas ya que la batería mayor está a la cabeza.

A continuación, solo tiene una ecuación de un paso.

Habrá 18 estudiantes en cada fila.

Un jardinero cobra $ 20 por cada trabajo de jardinería más $ 15 por cada hora trabajada. Cobró $ 80 por un trabajo de jardinería que hizo ayer.

  1. Escribe una ecuación algebraica para representar h, la cantidad de horas que el jardinero trabajó en ese trabajo de $ 80.
  2. Calcula la cantidad de horas que el jardinero trabajó en ese trabajo de $ 80.

Primero, para resolver la parte a, necesitas escribir una ecuación. En este problema, está buscando el número de horas, por lo tanto, sea h = el número de horas.

Usa un número, un signo de operación, una variable o un signo igual para representar cada parte del problema. El jardinero ganaba $ 15 por cada hora trabajada en ese trabajo, por lo que podría multiplicar $ 15 por h, la cantidad de horas trabajadas, para encontrar cuánto dinero cobraba el jardinero por su tiempo de trabajo.

Entonces, la ecuación a usar para este problema es:

A continuación, resuelva la parte B. Debe usar la ecuación de la parte & lsquoa & rsquo para encontrar la cantidad de horas que el jardinero trabajó en ese trabajo.

Entonces, dado que 15 se multiplica por la variable, h, puedes usar la inversa de la multiplicación, que es la división. Divide ambos lados entre 15.

El jardinero trabajó cuatro horas.

Primero, use operaciones inversas (resta) para obtener el término que incluye una variable, 4x, por sí mismo en un lado del signo igual.

Luego, use operaciones inversas (división) para obtener la x por sí misma.

Primero, use operaciones inversas (resta) para obtener el término que incluye una variable, 3y, por sí mismo en un lado del signo igual.

A continuación, utilice operaciones inversas (división) para obtener & lsquoy & rsquo por sí mismo.

Primero, use operaciones inversas (resta) para obtener el término que incluye una variable, 6x, por sí mismo en un lado del signo igual.

A continuación, utilice operaciones inversas (división) para obtener & lsquox & rsquo por sí mismo.

Revisar

Resuelve las siguientes ecuaciones de dos pasos que contienen suma y multiplicación.

  1. 3x + 4 = 22
  2. 4 años + 3 = 15
  3. 6x + 5 = 35
  4. 7x + 2 = 16
  5. 9 años + 8 = 80
  6. 12x + 15 = 51
  7. 14 años + 2 = 30
  8. 7 años + 5 = 40
  9. 2x + 4 = 48
  10. 6x + 3 = 39
  11. 8x + 2 = 10
  12. 8x + 7 = 95
  13. 9x + 9 = 90
  14. 3x + 5 = 50
  15. 7x + 12 = 61

Revisión (respuestas)

Para ver las respuestas de Revisión, abra este archivo PDF y busque la sección 3.1.

Recursos adicionales

PLIX: Juega, aprende, interactúa, explora: Ecuación de camiseta

Práctica: Ecuaciones de dos pasos con suma y multiplicación


Responder a esta pregunta

Ayuda y comprobación de matemáticas

¿Qué tipo de función modela mejor el conjunto de puntos de datos (–1, 22), (0, 6), (1, –10), (2, –26) y (3, –42)? lineal **** exponencial cuadrático ninguno de los anteriores 2. ¿Qué tipo de función modela mejor el conjunto de puntos de datos?

Preálgebra

Los datos de la tabla ilustran una función lineal. x | –3, 0, 3, 6 años | –6, –2, 2, 6 ¿Cuál es la pendiente de la función lineal? ¿Qué gráfica representa los datos?

Preálgebra

¿Qué regla de función representa los datos de la tabla X | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 Y | 1 | -2 | -5 | -8 | -11 A. Y = -3x-8 B. Y = 1 / 3x-8 ***? C. Y = 1 / 3x + 8 D. Y = -3x + 8

12. ¿Qué función es una función cuadrática? A. y = 3x ^ 2 + x B. y = 2x-1 C. y = 3 / x D. y = - | x | ¿Qué regla de función representa los datos de la tabla? x -3, -2, -1, 0, 1 y 1, -2, -5, -8, -11 A. y = -3x-8 B. y = 1 / 3x -8 C. y = 1 / 3x + 8 D. y = 3x + 8

Jane está organizando una recaudación de fondos para comprar una mesa de ping-pong para el centro comunitario. La mesa cuesta $ 500,00. Jane pide a los contribuyentes que paguen una parte igual del costo de la mesa. Ella ya tiene cinco colaboradores alineados

La tabla muestra las salidas y para diferentes entradas x: Entrada (x) 3 7 11 15 Salida (y) 4 6 8 10 Parte A: ¿Los datos de esta tabla representan una función? Justifica tu respuesta. (3 puntos) Parte B: Compare los datos de la tabla con los

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Myra usa una función de variación inversa para modelar los datos de los pares ordenados a continuación. (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10) ¿Qué enunciado explica mejor si una función de variación inversa es el mejor modelo para los datos?

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qué tipo de función modela mejor los datos de la tabla usan diferencias o razones x y 0, 1.3 1, 7.8 2, 46.8 3, 280.8 4, 1684.8 A) lineal B) cuadrática C) exponencial D) ninguna de las anteriores

Matemáticas ¡Necesito ayuda lo antes posible!

1) Identifique la regla de función que se muestra en la tabla. Tabla de funciones n - 3, 4, 5, 6 y - 2, 1, 0, -1 a. y = 2 + n b. y = 5n c. y = 5 - norte d. no hay suficiente información ** 2) ¿Cuáles son los valores de la función y = -2x - 4 para x = 0,1,2 y

Álgebra

tipo de función mejor modela los datos de la tabla utilizados para diferencias o razones 0 0,6 1 4,2 2 29,4 3205,8 4 1440,6

Álgebra 1

¿Los datos de la tabla representan una variación directa o inversa? Escribe una ecuación que represente los datos de la tabla. X | 1 | 3 | 5 | 10 Y | 4 | 12 | 20 | 40 A) variación directa y = 4x B) variación directa y = 1 / 4x C) inversa

Álgebra

El nivel del agua, w, en pies, de un río después de una tormenta es una función del tiempo, t, en horas, desde que comenzó la tormenta. La siguiente tabla muestra las lecturas del nivel del agua recopiladas en diferentes momentos. Horas desde que comenzó la tormenta (t)


2.3 Inasibilidad en optimización lineal¶

En esta sección discutimos la teoría básica de los certificados de inviabilidad primarios para problemas lineales. Estas ideas se desarrollarán más después de haber introducido la dualidad en la siguiente sección.

Uno de los primeros problemas que uno enfrenta cuando se le presenta un problema de optimización es si tiene alguna solución. Como comentamos anteriormente, para un problema de optimización lineal

es un politopo convexo. Decimos que el problema es factible si (< cal F> _p neq emptyset ) y inviable de lo contrario.

Considere el problema de optimización:

Este problema es inviable. Lo vemos tomando una combinación lineal de las restricciones con coeficientes (y = (1,2, -1) ^ T ):

Esto demuestra claramente la inviabilidad: el lado izquierdo es negativo y el lado derecho es positivo, lo cual es imposible.

2.3.1 Lema de Farkas¶

En el último ejemplo demostramos la inviabilidad del sistema lineal al exhibir una combinación lineal explícita de las ecuaciones, de modo que el lado derecho (constante) es positivo mientras que en el lado izquierdo todos los coeficientes son negativos o cero. En notación matricial, dicha combinación lineal viene dada por un vector (y ) tal que (A ^ Ty leq 0 ) y (b ^ Ty & gt0 ). El siguiente lema muestra que la inviabilidad de (2.11) es equivalente a la existencia de tal vector.

Dado (A ) y (b ) como en (2.11), exactamente una de las dos afirmaciones es verdadera:

Existe (x geq 0 ) tal que (Ax = b ).

Existe (y ) tal que (A ^ T y leq 0 ) y (b ^ T y & gt 0 ).

Sean (a_1, ldots, a_n ) las columnas de (A ). El conjunto () es un cono convexo cerrado atravesado por (a_1, ldots, a_n ). Si este cono contiene (b ) entonces tenemos la primera alternativa. De lo contrario, el cono se puede separar del punto (b ) por un hiperplano que pasa por (0 ), es decir, existe (y ) tal que (y ^ Tb & gt0 ) y (y ^ Ta_i leq 0 ) para todo (i ). Esto es equivalente a la segunda alternativa. Finalmente, 1. y 2. son mutuamente excluyentes, ya que de lo contrario tendríamos

El lema de Farkas implica que el problema (2.11) es factible o hay una certificado de inviabilidad (y ). En otras palabras, cada vez que clasificamos el modelo como inviable, podemos certificar este hecho proporcionando una (y ) apropiada, como en el ejemplo 2.3.

2.3.2 Localización de inviabilidad¶

Como ya comentamos, el certificado de inviabilidad (y ) da coeficientes de una combinación lineal de las restricciones que es inviable "de una manera obvia", que es positiva por un lado y negativa por el otro. En algunos casos, (y ) puede ser muy escaso, es decir, puede tener muy pocos no ceros, lo que significa que ya un subconjunto muy pequeño de las restricciones es la causa raíz de la inviabilidad. Esto puede ser interesante si, por ejemplo, estamos depurando un modelo grande que esperábamos que fuera factible y la inviabilidad se debe a un error en la formulación del problema. Entonces solo tenemos que considerar el subproblema formado por restricciones con el conjunto de índices () .

Como nota de advertencia, considere las limitaciones

Cualquier problema con esas restricciones es inviable, pero eliminar cualquiera de las desigualdades crea un subproblema factible.


Lección en video

Agregue los datos en un diagrama de dispersión y determine si existe una correlación o no entre xey

X 1 4 5 7 9
y 14 34 27 40 38


9.1 Modelado de enteros¶

Un problema general de optimización cónica de enteros mixtos tiene la forma

donde (K ) es un cono y (< cal I> subseteq <1, dots, n > ) denota el conjunto de variables que están restringidas a ser enteros.

Dos técnicas principales son típicas para la optimización de enteros mixtos. El primero es el uso de variables binarias, también conocido como variables indicadoras, que solo toman los valores 0 y 1, e indican la ausencia o presencia de un evento o elección en particular. Por supuesto, esta restricción puede modelarse en la forma (9.1) escribiendo:

El otro, conocido como grande-M, se refiere al hecho de que algunas relaciones solo pueden modelarse linealmente si se supone algún límite fijo (M ) en las cantidades involucradas, y esta constante entra en la formulación del modelo. La elección de (M ) puede afectar el rendimiento del modelo; consulte el Ejemplo 7.8.

9.1.1 Implicación de la positividad¶

A menudo tenemos una variable de valor real (x in R ) que satisface (0 leq x & lt M ) para un límite superior conocido (M ), y deseamos modelar la implicación

Haciendo de (z ) una variable binaria, podemos escribir (9.2) como una desigualdad lineal

De hecho, (x & gt0 ) excluye la posibilidad de (z = 0 ), por lo tanto fuerza (z = 1 ). Dado que a priori (x leq M ), no hay peligro de que la restricción accidentalmente haga inviable el problema. Un uso típico de este truco es modelar los costos de instalación fijos.

Suponga que la producción de un artículo específico (i ) cuesta (u_i ) por unidad, pero hay un cargo fijo adicional de (w_i ) si producimos el artículo (i ) en absoluto. Por ejemplo, (w_i ) podría ser el costo de establecer una planta de producción, el costo inicial del equipo, etc. Entonces el costo de producir (x_i ) unidades de producto (i ) viene dado por la función discontinua

Si dejamos que (M ) denote un límite superior en las cantidades que podemos producir, entonces podemos minimizar el costo total de producción de (n ) productos bajo alguna restricción afín (Ax = b ) con

que es un problema de optimización lineal de enteros mixtos. Tenga en cuenta que al minimizar el costo de producción, llevamos (z_i ) a 0 cuando (x_i = 0 ), por lo que los costos de instalación se incluyen solo para los productos con (x_i & gt0 ).

Fig. 9.1 Coste de producción con coste de instalación fijo (w_i ). ¶

9.1.2 Variables semicontinuas¶

También podemos modelar semicontinuidad de una variable (x in real ),

donde (0 & lta leq b ) usando una desigualdad doble

9.1.3 Restricciones del indicador¶

Suponga que queremos modelar el hecho de que una determinada desigualdad lineal debe satisfacerse cuando ocurre algún otro evento. En otras palabras, para una variable binaria (z ) queremos modelar la implicación

Suponga que conocemos de antemano un límite superior (a ^ Tx-b leq M ). Entonces podemos escribir lo anterior como una desigualdad lineal

Ahora, si (z = 1 ) entonces forzamos (a ^ Tx leq b ), mientras que para (z = 0 ) la desigualdad se satisface trivialmente y no impone ninguna restricción adicional en (x ) .

9.1.4 Restricciones disyuntivas¶

Con una restricción disyuntiva, requerimos que se satisfaga al menos una de las restricciones lineales dadas, es decir

Introduciendo variables binarias (z_1, ldots, z_k ), podemos usar la Sec. 9.1.3 (Restricciones del indicador) para escribir un modelo lineal

Tenga en cuenta que (z_j = 1 ) implica que se satisface la restricción (j ) -th, pero no al revés. El logro de ese efecto se describe en la siguiente sección.

9.1.5 Satisfacción de restricciones¶

Digamos que queremos definir un modelo de optimización que se comportará de manera diferente dependiendo de cuál de las desigualdades

Está satisfecho. Suponga que tenemos límites inferior y superior para (a ^ Tx-b ) en la forma de (m leq a ^ Tx-b leq M ). Entonces podemos escribir un modelo

Ahora observe que (z = 0 ) implica (b leq a ^ Tx leq b + M ), de la cual la desigualdad de la derecha es redundante, es decir, siempre satisfecha. De manera similar, (z = 1 ) implica (b + m leq a ^ Tx leq b ). En otras palabras, (z ) es un indicador de si (a ^ Tx leq b ).

En la práctica, relajaríamos una desigualdad usando una pequeña cantidad de holgura, es decir,

para evitar problemas al clasificar la igualdad (a ^ Tx = b ).

9.1.6 Valor absoluto exacto¶

En la sec. 2.2.2 (Valor absoluto) mostramos cómo modelar (| x | leq t ) como dos desigualdades lineales. Ahora suponga que necesitamos modelar una igualdad exacta

Define un conjunto no convexo, por lo que no es cónico representable. Si dividimos (x ) en parte positiva y negativa (x = x ^ + - x ^ - ), donde (x ^ +, x ^ - geq 0 ), entonces (| x | = x ^ ++ x ^ - ) siempre que (x ^ + = 0 ) o (x ^ - = 0 ). Esa última alternativa se puede modelar con una variable binaria, y obtenemos un modelo de (9.7):

donde la constante (M ) es un límite superior conocido a priori en (| x | ) en el problema.

9.1.7 Norma 1 exacta¶

Podemos usar la técnica anterior para modelar la restricción de igualdad ( ell_1 ) -norm exacta

donde (x in real ^ n ) es una variable de decisión y (c ) es una constante. Tales limitaciones surgen, por ejemplo, en totalmente invertido escenarios de optimizaciones de cartera (con venta en corto). As before, we split (x) into a positive and negative part, using a sequence of binary variables to guarantee that at most one of them is nonzero:

9.1.8 Maximum¶

The exact equality (t=max) can be expressed by introducing a sequence of mutually exclusive indicator variables (z_1,ldots,z_n) , with the intention that (z_i=1) picks the variable (x_i) which actually achieves maximum. Choosing a safe bound (M) we get a model:

9.1.9 Boolean operators¶

Typically an indicator variable (zin<0,1>) represents a boolean value (true/false). In this case the standard boolean operators can be implemented as linear inequalities. In the table below we assume all variables are binary.

Table 9.1 Boolean operators ¶

At most one of (z_1,ldots,z_n) holds (SOS1, set-packing)

Exactly one of (z_1,ldots,z_n) holds (set-partitioning)

At least one of (z_1,ldots,z_n) holds (set-covering)

At most (k) of (z_1,ldots,z_n) holds (cardinality)

9.1.10 Fixed set of values¶

We can restrict a variable (x) to take on only values from a specified finite set () by writing

In (9.12) we essentially defined (z_i) to be the indicator variable of whether (x=a_i) . In some circumstances there may be more efficient representations of a restricted set of values, for example:

(modulo) (xin <1,4,7,10>iff x=3z+1, 0leq zleq 3, zinintegral) ,

(fraction) (xin <0,1/3,2/3,1>iff 3x=z, 0leq zleq 3, zinintegral) ,

(gap) (xin(-infty,a]cup[b,infty)iff b-M(1-z)leq xleq a+Mz, zin<0,1>) for sufficiently large (M) .

In a very similar fashion we can restrict a variable (x) to a finite union of intervals (igcup_i [a_i,b_i]) :

9.1.11 Alternative as a bilinear equality¶

In the literature one often finds models containing a bilinear constraint

This constraint is just an algebraic formulation of the alternative (x=0) or (y=0) and therefore it can be written as a mixed-integer linear problem:

for a suitable constant (M) . The absolute value can be omitted if both (x,y) are nonnegative. Otherwise it can be modeled as in Sec. 2.2.2 (Absolute value) .

9.1.12 Equal signs¶

Suppose we want to say that the variables (x_1,ldots,x_n) must either be all nonnegative or all nonpositive. This can be achieved by introducing a single binary variable (zin<0,1>) which picks one of these two alternatives:

Indeed, if (z=0) then we have (-Mleq x_ileq 0) and if (z=1) then (0leq x_ileq M) .

9.1.13 Continuous piecewise-linear functions¶

Consider a continuous, univariate, piecewise-linear, non-convex function (f:[alpha_1,alpha_5] mapsto R) shown in Fig. 9.2 . At the interval ([alpha_j,alpha_]) , (j=1,2,3,4) we can describe the function as

where (lambda_jalpha_j+lambda_alpha_=x) and (lambda_j+lambda_=1) . If we add a constraint that only two (adjacent) variables (lambda_, lambda_) can be nonzero, we can characterize every value (f(x)) over the entire interval ([alpha_1,alpha_5]) as some convex combination,

Fig. 9.2 A univariate piecewise-linear non-convex function. ¶

The condition that only two adjacent variables can be nonzero is sometimes called an SOS2 constraint. If we introduce indicator variables (z_i) for each pair of adjacent variables ((lambda_i,lambda_)) , we can model an SOS2 constraint as:

so that we have (z_j=1implies lambda_i=0, i eq) . Collectively, we can then model the epigraph (f(x)leq t) as

for a piecewise-linear function (f(x)) with (n) terms. This approach is often called the lambda-method.

For the function in Fig. 9.2 we can reduce the number of integer variables by using a Gray encoding

of the intervals ([alpha_j,alpha_]) and an indicator variable (yin <0,1>^2) to represent the four different values of Gray code. We can then describe the constraints on (lambda) using only two indicator variables,

which leads to a more efficient characterization of the epigraph (f(x)leq t) ,

The lambda-method can also be used to model multivariate continuous piecewise-linear non-convex functions, specified on a set of polyhedra (P_k) . For example, for the function shown in Fig. 9.3 we can model the epigraph (f(x)leq t) as

Note, for example, that (z_2=1) implies that (lambda_2=lambda_5=lambda_6=0) and (x=lambda_1 v_1 + lambda_3 v_3 + lambda_4 v_4) .

Fig. 9.3 A multivariate continuous piecewise-linear non-convex function. ¶

9.1.14 Lower semicontinuous piecewise-linear functions¶

The ideas in Sec. 9.1.13 (Continuous piecewise-linear functions) can be applied to lower semicontinuous piecewise-linear functions as well. For example, consider the function shown in Fig. 9.4 . If we denote the one-sided limits by (f_<->(c):=lim_f(x)) and (f_<+>(c):=lim_f(x)) , respectively, the one-sided limits, then we can describe the epigraph (f(x)leq t) for the function in Fig. 9.4 as

where we have a different decision variable for the intervals ([alpha_1,alpha_2)) , ([alpha_2,alpha_2]) , and ((alpha_2,alpha_3]) . As a special case this gives us an alternative characterization of fixed charge models considered in Sec. 9.1.1 (Implication of positivity) .

Fig. 9.4 A univariate lower semicontinuous piecewise-linear function. ¶


Cost Function of Linear Regression

Basics of Machine Learning Series

Linear Regression

Linear regression is an approach for modeling the relationship between a scalar dependent variable y and one or more explanatory variables (o independent variables) denoted X. The case of one explanatory variable is called simple linear regression o univariate linear regression. For more than one explanatory variable, the process is called multiple linear regression. In linear regression, the relationships are modeled using linear predictor functions whose unknown model parameters are estimated from the data. Such models are called linear models.

Hypothesis

The hypothesis for a univariate linear regression model is given by,

  • Donde
    • (h_ heta (x)) is the hypothesis function, also denoted as (h(x)) sometimes
    • (x) is the independent variable
    • ( heta_0) and ( heta_1) are the parameters of the linear regression that need to be learnt

    Parameters of the Hypothesis

    In the above case of the hypothesis, ( heta_0) and ( heta_1) are the parameters of the hypothesis. In case of a univariate linear regression, ( heta_0) is the intersección con el eje y and ( heta_1) is the Pendiente of the line.

    Different values for these parameters will give different hypothesis function based on the values of slope and intercepts.

    Cost Function of Linear Regression

    Assume we are given a dataset as plotted by the ‘x’ marks in the plot above. The aim of the linear regression is to find a line similar to the blue line in the plot above that fits the given set of training example best. Internally this line is a result of the parameters ( heta_0) and ( heta_1). So the objective of the learning algorithm is to find the best parameters to fit the dataset i.e. choose ( heta_0) and ( heta_1) so that (h_ heta (x)) is close to y for the training examples (x, y). This can be mathematically represented as,

    • Donde
      • (h_ heta(x^<(i)>) = heta_0 + heta_1,x^ <(i)>)
      • ((x^<(i)>,y^<(i)>)) is the (i^
  • m is the number of training example
  • (<1 over 2>) is a constant that helps cancel 2 in derivative of the function when doing calculations for gradient descent
  • So, cost function is defined as follows,

    which is basically ( <1 over 2>ar) where (ar) is the mean of squares of (h_ heta(x^<(i)>) - y^<(i)>), or the difference between the predicted value and the actual value.

    And learning objective is to minimize the cost function es decir.

    This cost function is also called the squared error function because of obvious reasons. It is the most commonly used cost function for linear regression as it is simple and performs well.

    Understanding Cost Function

    Cost function and Hypthesis are two different concepts and are often mixed up. Some of the key differences to remember are,

    ) training data
    Hypothesis (h_ heta(x)) Cost Function (J( heta_1))
    For a fixed value of ( heta_1), function of x Function of parameter ( heta_1)
    Each value of ( heta_1) corresponds to a different hypothesis as it is the slope of the line For any such value of ( heta_1), (J( heta_1)) can be calculated using (3) by setting ( heta_0 = 0)
    It is a linear line or a hyperplane Squared error cost function given in (3) is convex in nature

    Consider a simple case of hypothesis by setting ( heta_0 = 0), then (1) becomes

    which corresponds to different lines passing through the origin as shown in plots below as y-intercept i.e. ( heta_0) is nulled out.

    For the given training data, i.e. x’s marked on the graph, one can calculate cost function at different values of ( heta_1) using (3) which can be expressed in the following form using (5),

    On plotting points like this further, one gets the following graph for the cost function which is dependent on parameter ( heta_1).

    In the above plot each value of ( heta_1) corresponds to a different hypothesis. El optimization objective was to minimize the value of (J( heta_1)) from (4), and it can be seen that the hypothesis correponding to the minimum (J( heta_1)) would be the best fitting straight line through the dataset.

    The issue lies in the fact that we cannot always find the optimum global minima of the plot manually because as the number of dimensions increase, these plots would be much more difficult to visualize and interpret. So there is a need of an automated algorithm that can help achieve this objective.


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    Respond to this Question

    Math help and check

    Which kind of function best models the set of data points (–1, 22), (0, 6), (1, –10), (2, –26), and (3, –42)? linear **** quadratic exponential none of the above 2. Which kind of function best models the set of data points

    Pre Algebra

    The data in the table illustrate a linear function. x| –3, 0, 3, 6 y| –6, –2, 2, 6 What is the slope of the linear function? Which graph represents the data?

    Pre algebra

    Which function rule represents the data in the table X|-3|-2|-1|0 |1 Y|1 |-2|-5|-8|-11 A. Y=-3x-8 B. Y=1/3x-8***? C. Y=1/3x+8 D. Y=-3x+8

    12. Which function is a quadratic function? A. y=3x^2+x B. y=2x-1 C. y=3/x D. y= -|x| Which function rule represents the data in the table? x -3, -2, -1, 0, 1 y 1, -2, -5, -8, -11 A. y=-3x-8 B. y=1/3x -8 C. y=1/3x+8 D. y=3x+8

    Jane is organizing a fundraiser to buy a ping-pong table for the community center. The table costs $500.00. Jane is asking contributors to pay for an equal share of the cost of the table. She already has five contributors lined

    The table shows the outputs y for different inputs x: Input (x) 3 7 11 15 Output (y) 4 6 8 10 Part A: Do the data in this table represent a function? Justify your answer. (3 points) Part B: Compare the data in the table with the

    Álgebra

    Myra uses an inverse variation function to model the data for the ordered pairs below. (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10) Which statement best explains whether an inverse variation function is the best model for the data?

    Álgebra

    which kind of function best models the data in the table use differences or ratios x y 0, 1.3 1, 7.8 2, 46.8 3, 280.8 4, 1684.8 A) linear B) quadratic C) exponential D) none of the above

    Math I need help ASAP!

    1) Identify the function rule shown in the table. Function Table n - 3, 4, 5, 6 y - 2, 1, 0, -1 a. y = 2 + n b. y = 5n c. y = 5 - n d. not enough information ** 2) What is the values of the function y = -2x - 4 for x = 0,1,2 and

    Álgebra

    kind of function best models the data on the table used to differences or ratios 0 0.6 1 4.2 2 29.4 3 205.8 4 1440.6

    Algebra 1

    Does the data in the table represent a direct or inverse variation? Write an equation that models the data in the table. X | 1 | 3 | 5 | 10 Y | 4 | 12| 20| 40 A) direct variation y=4x B) direct variation y=1/4x C) inverse

    Álgebra

    The water level, w, in feet, of a river after a rainstorm is a function of the time, t, in hours, since the storm began. The table below shows the water level readings collected at different times. Hours Since Storm Began (t)


    2.3: Modeling with Linear Functions

    3X + 2y & ndash 5z = 8.

    In fact, any linear equation can be put in the form

    donde norte is the number of variables, the variables are X1, X2, . , Xnorte, y C0, C1, . , Cnorte are constants.

    A system is just a collection of such linear equations, and to solve a system look for the values of the variables which make all the equations true simultaneously. For instance, if X y y are the variables, then an example system of linear equations is

    5X & ndash 2y= 4
    X + 2y= 8

    There are various ways of solving this system, and they lead to the unique solution where X = 2 y y = 3. We&rsquoll look next at a common algorithm for solving systems of simultaneous equations called elimination.

    Elimination: the first example

      There are three classes of corn, of which three bundles of the first class, two of the second and one of the third make 39 measures. Two of the first, three of the second and one of the third make 34 measures. And one of the first, two of the second and three of the third make 26 measures. How many measures of grain are contained in one bundle of each class?

    3X+ 2y + z= 39
    2X+ 3y + z= 34
    X+ 2y + 3z= 26

      Rule. Arrange the 3, 2, and 1 bundles of the three classes and the 39 measures of the grains at the right. Arrange other conditions in the middle and at the left.

    Putting the numbers in rows rather than columns, and starting at the top instead of the right, we get the matrix of coefficients of the system of simultaneous linear equations that appears above.

    This matrix contains all the information of the system of equations so long as we remember what the rows and columns mean. But we don&rsquot have to write down all the variables, so it&rsquos more concise.

      Of the quantities that do not vanish, make the first the divisor and the next the dividend, that is, of the third class.
      To find the second class, with the divisor multiply the measure in the middle row and leave out from it the dividends for the third and second classes. The remainder being divided by the number of bundles of the first class gives the dividend for the first class.
      To find the first class, also with the divisor multiply the measures in the first row and leave out from it the dividends for the third and second classes. The remainder being divided by the number of bundles of the first class gives the dividend for the first class.

    A second example

      There are three kinds of corn. The grains contained in two, three and four bundles, respectively, of these classes of corn, are not sufficient to make a whole measure. If however we add to them one bundle of the second, third, and first classes, respectively, then the grains would become full one measure in each case. How many measures of grain does then each one bundle of the different classes contain?

    2X+ y = 1
    3y + z= 1
    X + 4z= 1

    As a matrix this looks like

    First, we&rsquoll put it in echelon form. There already is a 0 at the beginning of the second row. We need to get a 0 at the beginning of the third row. For this example, let&rsquos follow the ancient Chinese method that avoids fractions as long as possible. Double the third row to get 2 0 8 2, and subtract the first row from it.

    You might wonder how the ancient Chinese dealt with negative numbers like the ם that appears in the third row. They had no problem with them. According to Lui Hui (c. 263 C.E.) who wrote about the Jiuzhang suanshu, red rods were used for positive numbers and black rods for negative numbers. He also explained how to add and subtract positive and negative numbers.

    For this problem, we can continue by tripling the third row to get 0 &ndash3 24 3, and then adding the second row to it.

    The matrix is now in echelon form. We know z = 4/25. We can continue to avoid fractions if we multiply the second row by 25 to get 0 75 25 25 and subtracting the third from it.

    We now have y = 21/75 = 7/25. Multiply the first row by 25 to get 50 25 0 25, and subtract the second row 0 25 0 7 from it.

    Por lo tanto, X = 18/50 = 9/25. We&rsquove solved the problem. The solution is: one bundle of the first class contains X = 9/25 measures of grain, one bundle of the second class contains y = 7/25 measures of grain, and one bundle of the third class contains z = 4/25 measures of grain.

    Fractions earlier in the method

    2X+ 5y&ndash 13 z= 1000
    3X&ndash 9y + 3z= 0
    &ndash5X+ 6y + 8z= &ndash600

    As a matrix this looks like

    We can begin by putting a 1 at the beginning of the first row by dividing that row by 2.

    Now subtract 3 times the first row from the second, and add 5 times the first row to the third. That will make the first entries in the second and third rows both 0.

    12.5&ndash6.5500
    0&ndash16.522.5&ndash1500
    018.5&ndash24.51900

    Next, divide the second row by &ndash16.5 to put a 1 in its first nonzero entry. We can wait on the third row until later.

    12.5&ndash6.5500
    01&ndash1.363690.909
    018.5&ndash24.51900

    (Note that we&rsquove only kept five significant figures. You would think that would be enough, but we&rsquoll see how that small roundoff error makes a larger error in the final answer.)

    Now subtract 18.5 times the second row from the third.

    12.5&ndash6.5500
    01&ndash1.363690.909
    00.7266218.18

    (The error is building up. The .7266 should be .727272. )

    Divide the third row by .7266 so its leading nonzero entry becomes 1.

    12.5&ndash6.5500
    01&ndash1.363690.909
    001300.275

    (The correct entry in the last row is 300, not 300.275.)

    The matrix is now in echelon form where the first nonzero entry in each row is a 1. We know what z is, 300.275. We can back substitute. Add 1.3636 times the third row to the second row, and add 6.5 times the third row to the first row.

    12.502451.79
    010500.364
    001300.275

    Subtract 2.5 times the second row from the first row.

    1001200.88
    010500.364
    001300.275

    Thus, the solution is that X = 1200.88, y = 500.364, and z = 300.275.

    The fractions are due to roundoff error. The actual solution is X = 1200, y = 500, and z = 300. Even though our computations were done with five significant figures, our final answer is only correct to three significant figures. Typical modern calculators keep a couple extra digits of accuracy to hide the roundoff error. Usually that&rsquos enough, but not always. Perhaps the original method which delays division to the end of the algorithm is a better method.

    Summary of the method, and wrinkles

    Of course, there are shortcuts and exceptions. The order of the rows in the matrix is irrelevant, so you can decide which one goes first. If there&rsquos a 1 as the first entry of some row other than the first, you might just as well make that row the first and save yourself some division. For example, in the matrix

    start off by making the third row the first. You don&rsquot actually have to exchange the rows it&rsquos enough to treat the third row as the first. You can do something similar with the columns, but you can get pretty confused if you do that. (You must remember which column refers to which variable.)

    One time when you have to treat some other row as the first is when the first leads off with a 0. For instance, in the matrix

    you have to make either the second or the third row into the first row.

    Now a wrinkle. In many applications, there is a unique solution, that is, there is only one way to assign values to the variables so that the equations are simultaneously true. But not in all applications. Sometimes, there are no solutions at all, and sometimes there are infinitely many solutions. Here&rsquos a coefficient matrix for a system of linear equations that has no solution.

    Note that if you sum the first two rows, then you get 5 &ndash1 10 13. That says 5Xy + 10z = 13. But the third row says 5Xy + 10z = 4. Since 13 does not equal 4, there is no solution. If you were to go through the algorithm of elimination, you end up with the matrix

    The important thing to notice is that the last row is a contradiction. It says 0 = 1. There are no values of x, y, y z to make that true. So, there are no solutions to the system. When one of the rows has all zeros in it except the final number, that means the system has no solutions.

    Next, let&rsquos look at a system where there are infinitely many solutions. Take the last example, but change the last entry in the last row to 13.

    Note now how the third row is the sum of the previous two. If you follow through the method of elimination, you end up with the matrix

    The last row says 0 = 0, and that is no condition whatsoever on the values of x, y, y z. The question is: what do you do at this point? The second row says y = 㪦/13, and the first row says X מz = 31/13, that is to say, X = 2z + 31/13. Those are the conditions on X y y, but there are no conditions on z. That means you can take any value of z you want, set y to &ndash14/13, and set X to 2z + 31/13, and you get a solution to the system of equations. There are infinitely many solutions. When the solutions are described that way, we say that they are parameterized por z.


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