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6.3: Operadores - Suma de Euler-MacLaurin


La siguiente analogía estudia funciones inusuales. En notación de operadores, (D ( sin) = cos ) y (D ( sin h) = cos h ); omitir el paréntesis da la expresión menos desordenada (D sin = cos ) y (D sin h = cos h ). Para comprender y aprender a usar los operadores, una herramienta fructífera es el razonamiento por analogía: los operadores se comportan de manera muy parecida a las funciones ordinarias o incluso a los números.

Shift izquierdo

Como un número, el operador derivado (D ) se puede elevar al cuadrado para hacer (D ^ {2} ) (el operador de la segunda derivada) o para hacer cualquier potencia entera de (D ). De manera similar, el operador derivado se puede alimentar a un polinomio. En ese uso, un polinomio ordinario como (P (x) = x ^ {2} + x / 10 + 1 ) produce el polinomio operador (P (D) = D ^ {2} + D / 10 + 1 ) (el operador diferencial para un sistema resorte-masa ligeramente amortiguado).

¿Hasta dónde se extiende la analogía con los números? Por ejemplo, ¿tiene un significado ( cos hD text {o} sin D )? Debido a que estas funciones se pueden escribir usando la función exponencial, investiguemos el operador exponencial (e ^ {D} ).

Pregunta

Que hace (e ^ {D} ) ¿significar?

La interpretación directa de (e ) es que convierte una función (f ) en (e ^ {Df} ).

Sin embargo, esta interpretación es innecesariamente no lineal. Convierte (2f ) en (e ^ {2Df} ), que es el cuadrado de (e ^ {Df} ), mientras que un operador lineal que produce (e ^ {Df} ) a partir de (f ) produciría 2 (e ^ {Df} ) a partir de (2f ). Para obtener una interpretación lineal, use una serie de Taylor como si (D ) fuera un número para construir (e ^ {D} ) a partir de operadores lineales.

[e ^ {D} = 1 + D + frac {1} {2} D ^ {2} + frac {1} {6} D ^ {3} + .... label {6.4} ]

Pregunta

Que hace (e ^ {D} ) hacer con funciones simples?

La función distinta de cero más simple es la función constante (f = 1 ). Aquí está esa función que se alimenta a (e ^ {D} ):

[ underbrace {(1 + D + ...)} _ {e ^ {D}} underbrace {1} _ {f} = 1. label {6.5} ]

La siguiente función más simple (x ) se convierte en (x + 1 ).

[(1 + D + frac {D ^ {2}} {2} + ...) x = x + 1. label {6.6} ]

Más interesante aún, (x ^ {2} ) se convierte en ((x + 1) ^ {2} ).

[(1 + D + frac {D ^ {2}} {2} + frac {D ^ {3}} {6} ...) x ^ {2} = x ^ {2} + 2x + 1 = (x + 1) ^ {2}. label {6.7} ]

Problema 6.14 Continuar el patrón

¿Qué es (e ^ {D} x ^ {3} ) y, en general, (e ^ {D} x ^ {n} )?

Pregunta

Que hace (e ^ {D} ) hacer en general?

Los ejemplos anteriores siguen el patrón (e ^ {D} x ^ {n} = (x + 1) ^ {n} ). Porque la mayoría de las funciones de (x ) se pueden expandir en potencias de (x ), y (e ^ {D} ) convierte cada (x ^ {n} ) término en ((x + 1 ) ^ {n} ), la conclusión es que (e ^ {D} ) convierte (f (x) ) en (f (x + 1) ). Sorprendentemente, (e ^ {D} ) es simplemente L, el operador de desplazamiento a la izquierda.

Múltiples problemas

Problema 6.15 Desplazamiento hacia la derecha o hacia la izquierda

Dibuja una gráfica para mostrar que (f (x) rightarrow f (x + 1) ) es un desplazamiento a la izquierda en lugar de a la derecha. Aplique (e ^ {- D} ) a algunas funciones simples para caracterizar su comportamiento.

Problema 6.16 Operación en una función más difícil

Aplique la expansión de Taylor para (e ^ {D} ) a sin x para mostrar que (e ^ {D} sin x = sin (x + 1) ).

Problema 6.17 Operador de turno general

Si (x ) tiene dimensiones, entonces el operador derivado (D = d / dx ) no es adimensional y (e ^ {D} ) es una expresión ilegal. Para que la expresión general (e ^ {aD} ) sea legal, ¿cuáles deben ser las dimensiones de a? ¿Qué hace (e ^ {aD} )?

Suma

Así como el operador derivado puede representar al operador de desplazamiento a la izquierda (como (L = e ^ {D} )), el operador de desplazamiento a la izquierda puede representar la operación de suma. Esta representación de operador conducirá a un método poderoso para aproximar sumas sin forma cerrada.

La suma es análoga a la operación más familiar de integración. La integración ocurre en sabores definidos e indefinidos: la integración definida es equivalente a la integración indefinida seguida de una evaluación en los límites de la integración. Como ejemplo, aquí está la integración definida de (f (x) = 2x ).

En general, la conexión entre una función de entrada g y el resultado de la integración indefinida es (DG = g ), donde (D ) es el operador derivado y (G = int g ) es el resultado de indefinido integración.

Por lo tanto, (D ) y son inversos entre sí (D int = 1 ) o (D = 1 / int ) una conexión representada por el bucle en el diagrama. ( ( int D nleq 1 ) debido a una posible constante de integración).

Pregunta

¿Cuál es la imagen análoga para la suma?

De manera análoga a la integración, defina suma definida como suma indefinida y luego evaluación en los límites. Pero aplique la analogía con cuidado para evitar un error de uno por uno o del poste de la cerca (problema 2.24). La suma ( sum_ {2} ^ {4} f (k) ) incluye tres rectángulos (f (2), f (3) ) y (f (4) ) mientras que la integral definida ( sum_ {2} ^ {4} f (k) ) dk no incluye ninguno de los rectángulos (f (4) ). En lugar de rectificar la discrepancia redefiniendo la operación familiar de integración, interprete la suma indefinida para excluir el último rectángulo. Luego, la suma indefinida seguida de una evaluación en los límites (a ) y (b ) produce una suma cuyo índice varía de (a ) a (b - 1 ).

Como ejemplo, tome (f (k) = k ). Entonces la suma indefinida ( sum ) f es la función (F ) definida por (F (k) = k (k - 1) / 2 + C ) (donde C es la constante de suma). Evaluar (F ) entre 0 y (n ) da (n (n - 1) / 2 ), que es ( sum_ {0} ^ {n - 1} k ). En el siguiente diagrama, estos pasos son la ruta de avance.

En la ruta inversa, el nuevo operador Δ invierte ( sum ) al igual que la diferenciación invierte la integración. Por lo tanto, una representación de operador para Δ proporciona una para ( sum ). Dado que Δ y el operador derivado (D ) son análogos, sus representaciones probablemente sean análogas. Una derivada es el límite

[ frac {d f} {d x} = lim _ {h rightarrow 0} frac {f (x + h) -f (x)} {h} label {6.8} ]

El operador derivado (D ) es, por tanto, el operador límite

[D = lim_ {h rightarrow 0} frac {L_ {h} - 1} {h}, label {6.9} ]

donde el operador Lh convierte (f (x) ) en (f (x + h) ) es decir, (Lh ) se desplaza a la izquierda en (h ).

Problema 6.18 Límite de operador

Explica por qué (L_ {h} ≈ 1 + hD ) para h pequeña. Demuestre, por tanto, que (L = e ^ {D} ).

Pregunta

¿Qué es una representación análoga de Δ?

El límite del operador para D usa un desplazamiento infinitesimal a la izquierda; correspondientemente, la operación inversa de integración suma rectángulos de ancho infinitesimal. Debido a que la suma ( sum ) suma rectángulos de ancho de unidad, su Δ inversa debe usar un desplazamiento de unidad a la izquierda, a saber, (L_ {h} ) con (h = 1 ). Como conjetura razonable,

[Δ = lim_ {h flecha derecha 1} frac {L_ {h} - 1} {h} = L - 1. etiqueta {6.10} ]

Este Δ llamado operador de diferencias finitas se construye para ser (1 / sum ). Si la construcción es correcta, entonces ((L - 1) sum ) es el operador de identidad 1. En otras palabras, (L - 1) ( sum ) debería convertir las funciones en sí mismas.

Pregunta

¿Qué tan bien funciona esta conjetura en varios casos fáciles?

Para probar la conjetura, aplique el operador ((L − 1) sum ) primero a la función fácil (g = 1 ). Entonces ( sum g ) es una función que espera ser alimentada con un argumento, y ( ( sum g) (k) ) es el resultado de alimentarla (k ). Con esa notación, ( ( sum g) (k) = k + C ). Al alimentar esta función al operador (L - 1 ) se reproduce (g ).

[[(L - 1) sum g] (k) = underbrace {(k + 1 + C)} _ {(L sum g) (k)} - underbrace {(k + C)} _ {(1 sum g) (k)} = underbrace {1} _ {g (k)}. etiqueta {6.11} ]

Con la siguiente función más fácil definida por (g (k) = k ) la suma indefinida ( ( sum g) (k) ) es (k (k - 1) / 2 + C ). Pasando ( sum g ) a (L - 1 ) de nuevo se reproduce (g ).

[[( mathrm {L} -1) Sigma mathrm {g}] ( mathrm {k}) = underbrace { left ( frac {( mathrm {k} +1) mathrm {k }} {2} + mathrm {C} right)} _ {( mathrm {L} Sigma mathrm {g}) ( mathrm {k})} - underbrace { left ( frac { mathrm {k} ( mathrm {k} -1)} {2} + mathrm {C} right)} _ {(1 [ mathrm {~ g}) ( mathrm {k})} = underbrace { mathrm {k}} _ { mathrm {g} ( mathrm {k})}. etiqueta {6.12} ]

En resumen, para las funciones de prueba (g (k) = 1 ) y (g (k) = k ), el producto operador ((L - 1) sum ) devuelve g a sí mismo, entonces actúa como el operador de identidad. Este comportamiento es general ((L − 1) sum 1 ) es de hecho 1, y ( sum = 1 / (L − 1) ). Como (L = e ^ {D} ), tenemos ( sum = 1 / (e ^ {D} - 1) ). Al expandir el lado derecho en una serie de Taylor, se obtiene una representación asombrosa del operador de suma.

[ sum = frac {1} {e ^ {D} - 1} = frac {1} {D} - frac {1} {2} + frac {D} {12} - frac { D ^ {3}} {720} + frac {D ^ {5}} {30240} - .... Label {6.13} ]

Como (D = 1 ), el término principal (1 / D ) es integración. Por lo tanto, la suma es aproximadamente una integración, una conclusión plausible que indica que la representación del operador no es una tontería.

Aplicar esta serie de operadores a una función f y luego evaluar en los límites ayb produce la fórmula de suma de Euler-MacLaurin

[ begin {alineado}
sum_ {a} ^ {b - 1} f (k) = & int_ {a} ^ {b} f (k) d k + frac {f (b) + f (a)} {2} + frac {f ^ {(1)} (b) -f ^ {(1)} (a)} {12}
& - frac {f ^ {(3)} (b) -f ^ {(3)} (a)} {720} + frac {f ^ {(5)} (b) -f ^ {(5 )} (a)} {30240} - cdots
end {alineado} etiqueta {6.14} ]

donde (f ^ {(n)} ) indica la enésima derivada de (f ).

La suma carece del término final habitual (f (b) ). La inclusión de este término ofrece la alternativa útil

[ begin {alineado}
sum_ {a} ^ {b} f (k) = & int_ {a} ^ {b} f (k) d k + frac {f (b) + f (a)} {2} + frac { f ^ {(1)} (b) -f ^ {(1)} (a)} {12}
& - frac {f ^ {(3)} (b) -f ^ {(3)} (a)} {720} + frac {f ^ {(5)} (b) -f ^ {(5 )} (a)} {30240} - cdots
end {alineado} etiqueta {6.15} ]

Como prueba, pruebe con un caso sencillo: ( sum_ {0} {n} k ). Usando la suma de Euler-MacLaurin, (f (k) = k, a = 0 ) y (b = n ). El término integral entonces contribuye (n ^ {2} / 2 ); el término constante ([f (b) + f (a)] / 2 ) contribuye (n / 2 ); y los términos posteriores se desvanecen. El resultado es familiar y correcto:

[ sum_ {0} ^ {n} k = frac {n ^ {2}} {2} + frac {n} {2} + 0 = frac {n (n + 1)} {2} . etiqueta {6.16} ]

Una prueba más estricta de la suma de Euler-MacLaurin es aproximar (lnn! ), Que es la suma ( sum_ {1} ^ {n} ln k ) (Sección 4.5). Por lo tanto, sume (f (k) = ln k ) entre los límites (inclusive) (a = 1 text {y} b = n ). El resultado es

[ sum_ {1} ^ {n} ln k = int_ {1} ^ {n} ln k dk + frac {ln n} {2} + ... label {6.17} ]

La integral, del operador (1 / D ), aporta el área bajo la curva (ln k ). La corrección, del operador 1/2, incorpora las protuberancias triangulares (problema 6.20). La elipsis incluye las correcciones de orden superior (problema 6.21) difíciles de evaluar usando dibujos (problema 4.32) pero simples usando la suma de Euler-MacLaurin (problema 6.21).

Múltiples problemas

Problema 6.19 Sumas enteras

Utilice la suma de Euler-MacLaurin para encontrar formas cerradas para las siguientes sumas:

(a) ( sum_ {0} ^ {n} k ^ {2} ) (b) ( sum_ {0} ^ {n} (2k + 1) ) (c) ( sum_ { 0} ^ {n} k ^ {3} ).

Problema 6.20 Casos límite

En la suma de Euler-MacLaurin, el término constante es ([f (b) + f (a)] / 2 ) la mitad del primer término más la mitad del último término. La imagen para sumar (ln k ) (sección 4.5) mostró que las protuberancias son aproximadamente la mitad del último término, a saber, (ln n ). ¿Qué sucedió pictóricamente con la mitad del primer trimestre?

Problema 6.21 Términos de orden superior

Aproxime (ln 5! ) Usando la suma de Euler-MacLaurin.

Problema 6.22 Suma de Basilea

La suma de Basilea ( sum_ {1} ^ { infty} n ^ {- 2} ) puede aproximarse con dibujos (problema 4.37).

Sin embargo, la aproximación es demasiado burda para ayudar a adivinar la forma cerrada. Como hizo Euler, use la suma de Euler-MacLaurin para mejorar la precisión hasta que pueda adivinar con seguridad la forma cerrada.

Pista: Sume los primeros términos explícitamente.


Operadores aritméticos (referencia de C #)

Los siguientes operadores realizan operaciones aritméticas con operandos de tipos numéricos:

Estos operadores son compatibles con todos los tipos numéricos integrales y de coma flotante.

En el caso de los tipos integrales, esos operadores (excepto los operadores ++ y -) se definen para los tipos int, uint, long y ulong. Cuando los operandos son de otros tipos integrales (sbyte, byte, short, ushort o char), sus valores se convierten al tipo int, que también es el tipo de resultado de una operación. Cuando los operandos son de diferentes tipos integrales o de punto flotante, sus valores se convierten al tipo contenedor más cercano, si tal tipo existe. Para obtener más información, consulte la sección Promociones numéricas de la especificación del lenguaje C #. Los operadores ++ y - están definidos para todos los tipos numéricos integrales y de punto flotante y el tipo char.


Palabras clave

Este trabajo fue apoyado por el Consejo de Investigación de Ciencias Naturales e Ingeniería (NSERC), el programa de Cátedras de Investigación de Canadá, Bombardier Aerospace, Matemáticas de Tecnología de la Información y Sistemas Complejos (MITACS) y la Universidad de Toronto.

Instituto Politécnico Rensselaer, Departamento de Ingeniería Mecánica, Aeroespacial y Nuclear.

Cátedra Tier 1 de Investigación de Canadá en Aerodinámica Computacional, Cátedra de la Fundación J. Armand Bombardier en Vuelo Aeroespacial.


Una alternativa a la fórmula de suma de Euler-Maclaurin: aproximación de sumas solo por integrales

La fórmula de suma de Euler-Maclaurin (EM) se utiliza en muchos estudios teóricos y cálculos numéricos. Se aproxima a la suma (< sum nolimits _^ f (k)> ) de valores de una función F por una combinación lineal de una integral correspondiente de F y valores de sus derivadas de orden superior (f ^ <(j)> ). Se propone una fórmula de suma alternativa (Alt), que aproxima la suma mediante una combinación lineal de integrales únicamente, sin utilizar derivadas de orden superior de F. Se dan límites explícitos y bastante fáciles de usar en el resto. Se indican las extensiones a la suma de índices múltiples y a las sumas sobre politopos de celosía. Se presentan aplicaciones para sumar series posiblemente divergentes. En la mayoría de los casos, la fórmula Alt superará o superará en gran medida a la fórmula de suma EM en términos de tiempo de ejecución y uso de memoria. Una de las ventajas de los cálculos Alt es que, a diferencia de los EM, se pueden paralelizar casi por completo. Se dan ejemplos ilustrativos. En uno de los ejemplos, donde una matriz de valores de la función zeta generalizada de Hurwitz se calcula con alta precisión, se muestra que tanto nuestra implementación de la fórmula de suma EM como, especialmente, la fórmula Alt funcionan mucho más rápido que la función incorporada Comando de Mathematica HurwitzZeta [].

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Teorema de Koopmans y rsquo

Las ecuaciones HF-SCF (h_e phi_i = epsilon_i phi_i ) implican que las energías orbitales ( epsilon_i ) se pueden escribir como:

[ epsilon_i = langle phi_i | h_e | phi_i rangle = langle phi_i | T + V | phi_i rangle + sum_)> langle phi_i | J_j - K_j | phi_i rangle nonumber ]

[= langle phi_i | T + V | phi_i rangle + sum_)> [J_ - K_ ], etiqueta <6.1.30> nonumber ]

donde (T + V ) representa las energías cinética ( (T )) y de atracción nuclear ( (V )), respectivamente. Por lo tanto, ( epsilon_i ) es el valor promedio de la energía cinética más la atracción de Coulombic a los núcleos de un electrón en ( phi_i ) más la suma de todos los orbitales de espín ocupados en ( psi ) de Coulomb menos las interacciones de intercambio de estos electrones con el electrón en ( phi_i ).

Si ( phi_i ) es un orbital de espín ocupado, el término (j = i ) ([J_ - K_] ) desaparece en la suma anterior y los términos restantes en la suma representan la interacción de intercambio menos Coulomb de ( phi_i ) con todos los (N-1 ) otros orbitales de espín ocupados. Si ( phi_i ) es un orbital de espín virtual, esta cancelación no ocurre porque la suma de (j ) no incluye (j = i ). Entonces, se obtiene la interacción de intercambio menos Coulomb de ( phi_i ) con todos los (N ) de los orbitales de espín ocupados en ( psi ). Por tanto, las energías de los orbitales ocupados pertenecen a interacciones apropiadas para un total de (N ) electrones, mientras que las energías de los orbitales virtuales pertenecen a un sistema con (N + 1 ) electrones. Esta diferencia es muy importante de comprender y tener en cuenta.

Consideremos el siguiente modelo de desprendimiento o unión de un electrón en un sistema (N ) - de electrones.

  1. En este modelo, tanto la molécula madre como las especies generadas al agregar o eliminar un electrón se tratan en el nivel de un solo determinante.
  2. Los orbitales Hartree-Fock de la molécula madre se utilizan para describir ambas especies. Se dice que tal modelo descuida la relajación orbital (es decir, la reoptimización de los orbitales de espín para permitirles volverse apropiados para la especie hija).

Dentro de este modelo, la diferencia de energía entre la hija y el padre se puede escribir de la siguiente manera ( ( phi_k ) representa el orbital de espín particular que se agrega o elimina):

[MI_ - E_N = - epsilon_k label <6.1.31> nonumber ]

y para la unión de electrones:

[E_N - E_ = - epsilon_k. label <6.1.32> nonumber ]

Sea & rsquos derivar este resultado para el caso en el que un electrón se suma a (N + 1 ^) spin-orbital. Nuevamente, usando las reglas de Slater-Condon de la Sección 6.1.2 de este Capítulo, la energía del determinante (N ) - electrón con orbitales de espín ( phi_1 ) a (f_N ) ocupados es

[E_N = sum_^ N langle phi_i | T + V | phi_i rangle + sum_^ [J_ - K_ ], etiqueta <6.1.33> nonumber ]

que también se puede escribir como

[E_N = sum_^ N langle phi_i | T + V | phi_i rangle + frac <1> <2> sum_^ [J_ - K_ ]. etiqueta <6.1.34> nonumber ]

Asimismo, la energía de la función de onda determinante de electrones (N + 1 ) es

[MI_ = sum_^ langle phi_i | T + V | phi_i rangle + frac <1> <2> sum_^ [J_ - K_ ]. etiqueta <6.1.35> nonumber ]

La diferencia entre estas dos energías está dada por

[MI_ & ndash E_ = - langle phi_ | T + V | fi_ rangle - frac <1> <2> sum_^ [J_ - K_ ] etiqueta <6.1.36> nonumber ]

Es decir, la diferencia de energía es igual a menos la expresión de la energía de (N + 1 ^) spin-orbital, que se dio anteriormente.

Por lo tanto, dentro de las limitaciones del modelo orbital congelado de HF, los potenciales de ionización (IP) y las afinidades electrónicas (EA) se dan como el negativo de las energías orbitales de espín ocupadas y virtuales, respectivamente. Esta afirmación se conoce como teorema de Koopmans y se usa ampliamente en cálculos químicos cuánticos como un medio para estimar IP y EA y, a menudo, arroja resultados cualitativamente correctos (es decir, & plusmn 0,5 eV).


5. Operadores condicionales

5.1. No operador

El operador "no" se representa con un signo de exclamación (!) E invierte el resultado de la expresión booleana subyacente. En particular, es posible combinar el operador not con la verdad Groovy:

1 la negación de lo verdadero es falsa
2 'foo' es una cadena no vacía, que se evalúa como verdadera, por lo que la negación devuelve falso
3 '' es una cadena vacía, que se evalúa como falsa, por lo que la negación devuelve verdadero

5.2. Operador ternario

El operador ternario es una expresión de acceso directo que es equivalente a una rama if / else que asigna algún valor a una variable.

El operador ternario también es compatible con la verdad Groovy, por lo que puede hacerlo aún más simple:

5.3. Operador de Elvis

El "operador de Elvis" es una abreviatura del operador ternario. Una instancia en la que esto es útil es para devolver un valor 'predeterminado sensible' si una expresión se resuelve en falso -ish (como en la verdad Groovy). Un ejemplo simple podría verse así:

1 con el operador ternario, tienes que repetir el valor que quieres asignar
2 con el operador de Elvis, el valor, que se prueba, se usa si no es falso -ish

El uso del operador de Elvis reduce la verbosidad de su código y reduce los riesgos de errores en caso de refactorizaciones, al eliminar la necesidad de duplicar la expresión que se prueba tanto en la condición como en el valor de retorno positivo.

5.4. Operador de asignación de Elvis

Groovy 3.0.0 presenta el operador de Elvis, por ejemplo:


De un vistazo: sintaxis de cálculo

Consulte Funciones de Tableau (alfabéticamente) (el enlace se abre en una nueva ventana) para ver ejemplos de cómo dar formato a todas las funciones en Tableau.

Un campo en un cálculo suele estar entre corchetes []. Consulte Sintaxis de campo para obtener más información.

+, -, *, /,%, ==, =, & gt, & lt, & gt =, & lt =,! =, & lt & gt, ^, Y, O, NO, (). Consulte Sintaxis del operador para obtener información sobre los tipos de operadores que puede usar en los cálculos de Tableau, así como el orden en que se realizan en una fórmula.

Los literales numéricos se escriben como números.

Los literales de cadena se escriben entre comillas.

Los literales de fecha se escriben con el símbolo #.

Los literales booleanos se escriben como verdaderos o falsos.

Los literales nulos se escriben como nulos.

Un parámetro en un cálculo está entre corchetes []. Consulte Crear parámetros para obtener más información.

Para ingresar un comentario en un cálculo, ingrese dos barras diagonales //. Consulte Agregar comentarios a un cálculo para obtener más información.

SUM ([Sales]) / SUM ([Profit]) // Cálculo de John

// Para ser utilizado para la relación de beneficios


Interpolantes de Euler-Maclaurin y Gregory

Sea una función (f ) suficientemente suave en ([- 1,1] ) muestreada en (n + 1 ) puntos equiespaciados, y sea (k ge 0 ). Un Interpolante de Euler-Maclaurin a los datos está definido, que consiste en una suma de un polinomio algebraico de grado (k ) y un polinomio trigonométrico de grado (n ), que se desvía de (f ) por (O (n ^ <-k> ) ) y cuya integral es igual al orden (k ) Aproximación de Euler-Maclaurin de la integral de (f ). Este interpolante utiliza las mismas derivadas (f ^ <(j)> ( pm 1) ) que la fórmula de Euler-Maclaurin. Una variante Gregory interpolante también se define, con base en aproximaciones en diferencias finitas a las derivadas, cuya integral (para (k ) impar) es igual al orden (k ) Aproximación de Gregorio a la integral.

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Operadores

Puede elegir entre varios operadores para estructurar su fórmula de LibreOffice Math. Todos los operadores disponibles aparecen en la parte inferior del panel Elementos. También se enumeran en el menú contextual de la ventana Comandos. Todos los operadores que no se encuentran en el panel Elementos o en el menú contextual deben escribirse manualmente en la ventana Comandos.

Abra el menú contextual en la ventana Comandos - elija Operadores

Elija Ver - Elementos y luego en el panel Elementos seleccione Operadores del cuadro de lista.

La siguiente es una lista de los operadores disponibles. Un icono junto al nombre del operador indica que se puede acceder a él a través del panel Elementos (elija Ver - Elementos) o mediante el menú contextual de la ventana Comandos.

Funciones del operador

Inserta el signo de límite con un marcador de posición. También puede ingresar lim & lt? & Gt directamente en la ventana Comandos.

Inserta un signo de suma con un marcador de posición. También puede ingresar sum & lt? & Gt directamente en la ventana Comandos.

Inserta un cartel de producto con un marcador de posición. También puede escribir prod & lt? & Gt directamente en la ventana Comandos.

Inserta un símbolo de coproducto con un marcador de posición. También puede ingresar coprod & lt? & Gt directamente en la ventana Comandos.

Inserta un límite superior e inferior de declaración de rango para la integral y la suma con un marcador de posición. También puede escribir de <& lt? & Gt> a <& lt? & Gt> & lt? & Gt directamente en la ventana Comandos. Las declaraciones de límites deben combinarse con los operadores adecuados. Los límites se centrarán por encima o por debajo del carácter de suma.

Inserta un letrero integral con un marcador de posición. También puede escribir int & lt? & Gt directamente en la ventana Comandos.

Inserta un símbolo integral doble con un marcador de posición. También puede escribir iint & lt? & Gt directamente en la ventana Comandos.

Inserta un signo integral triple con un marcador de posición. También puede escribir iiint & lt? & Gt directamente en la ventana Comandos.

Inserta una declaración de rango de límite inferior para integral y suma con marcadores de posición. También puede escribir desde <& lt? & Gt> & lt? & Gt directamente en la ventana Comandos.

Inserta un símbolo integral de curva con un marcador de posición. También puede escribir lint & lt? & Gt directamente en la ventana Comandos.

Inserta un símbolo integral de doble curva con un marcador de posición. También puede escribir llint & lt? & Gt directamente en la ventana Comandos.

Inserta un signo integral de triple curva con un marcador de posición. También puede escribir lllint & lt? & Gt directamente en la ventana Comandos.

Inserta el límite superior de la declaración de rango para la integral y la suma con marcadores de posición. También puede escribir en & lt? & Gt & lt? & Gt directamente en la ventana Comandos. Las declaraciones de límite solo se pueden utilizar si se combinan con los operadores adecuados.

También puede agregar límites a un operador (por ejemplo, una integral) haciendo clic primero en el operador deseado y luego haciendo clic en el símbolo de límite. Este método es más rápido que escribir los comandos directamente.

El comando liminf inserta el límite inferior con un marcador de posición.

El comando limsup inserta el límite superior con un marcador de posición.

Al escribir oper en la ventana Comandos, puede insertar operadores definidos por el usuario en LibreOffice Math, una función útil para incorporar caracteres especiales en una fórmula. Un ejemplo es oper% theta x. Con el comando oper, también puede insertar caracteres que no estén en el juego de caracteres predeterminado de LibreOffice. oper también se puede utilizar en conexión con límites, por ejemplo, oper% union from hasta n x_ . En este ejemplo, el símbolo de unión se indica con el nombre unión. Sin embargo, este no es uno de los símbolos predefinidos. Para definirlo, elija Herramientas - Símbolos. seleccione Especial como el conjunto de símbolos en el cuadro de diálogo que aparece, luego haga clic en el botón Editar. En el siguiente cuadro de diálogo, seleccione Especial como conjunto de símbolos nuevamente. Ingrese un nombre significativo en el cuadro de texto Símbolo, por ejemplo, "unión" y luego haga clic en el símbolo de unión en el conjunto de símbolos. Haga clic en Agregar y luego en Aceptar. Haga clic en Cerrar para cerrar el cuadro de diálogo Símbolos. Ahora ha terminado y puede escribir el símbolo de unión en la ventana Comandos, ingresando oper% union.

Los límites se pueden organizar de formas distintas al centrado por encima o por debajo del operador. Utilice las opciones proporcionadas por LibreOffice Math para trabajar con índices de superíndice y subíndice. Por ejemplo, escriba sum_a ^ b c en la ventana Comandos para organizar los límites a la derecha del símbolo de suma. Si sus entradas de límite contienen expresiones más largas, debe ponerlas entre paréntesis de grupo, por ejemplo, sum_^ <2 * n> b. Cuando se importan fórmulas de versiones anteriores, esto se hace automáticamente. Para cambiar el espaciado (espacios) entre los caracteres, elija Formato - Espaciado - Categoría - Índices o Formato - Espaciado - Categoría - Límites. En otra parte de la Ayuda se proporciona información básica adicional sobre índices.

Cuando escribe información manualmente en la ventana Comandos, tenga en cuenta que varios operadores requieren espacios para una estructura correcta. Esto es especialmente cierto cuando a los operadores se les proporcionan valores en lugar de marcadores de posición, por ejemplo, lim a_= a.


Fórmulas exactas de Euler-Maclaurin para politopos de celosía simples ☆

Las fórmulas de Euler-Maclaurin para un politopo expresan la suma de los valores de una función sobre los puntos de la red en el politopo en términos de integrales de la función y sus derivadas sobre las caras del politopo o sus expansiones. Fórmulas exactas de Euler-Maclaurin [A.G. Khovanskii, A.V. Pukhlikov, Álgebra y análisis 4 (1992) 188–216 S.E. Cappell, J.L. Shaneson, Bull. Amer. Matemáticas. Soc. 30 (1994) 62–69 C. R. Acad. Sci. Paris Sér. Yo matemáticas. 321 (1995) 885–890 V. Guillemin, J. Differential Geom. 45 (1997) 53–73 M. Brion, M. Vergne, J. Amer. Matemáticas. Soc. 10 (2) (1997) 371–392] se aplican a funciones exponenciales o polinomiales fórmulas de Euler-Maclaurin con resto [Y. Karshon, S. Sternberg, J. Weitsman, Proc. Natl. Acad. Sci. 100 (2) (2003) 426–433 Duke Math. J. 130 (3) (2005) 401–434] se aplican a funciones suaves más generales.

En este artículo revisamos estos resultados y presentamos pruebas de las fórmulas exactas obtenidas por estos autores, utilizando métodos elementales. Luego usamos un formalismo algebraico debido a Cappell y Shaneson para relacionar las diferentes fórmulas.

Este trabajo fue apoyado parcialmente por la Beca de la Fundación Binacional de Ciencia Estados Unidos-Israel número 2000352 (para YK y JW), por el Connaught Fund (para YK) y por la Beca de la Fundación Nacional de Ciencia DMS 99/71914 y DMS 04/05670 (para JW ).


Ver el vídeo: The Basel Problem Part 1: Euler-Maclaurin Approximation (Octubre 2021).