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1.4: Funciones lineales - Matemáticas


Cuando suba a un taxi en Las Vegas, el taxímetro leerá inmediatamente $ 3.30; este es el cargo de “gota” que se hace cuando se activa el taxímetro. Usando variables descriptivas, elegimos metro por millas y C para Coste en dólares en función de millas: (C (m) ).

Sabemos con certeza que (C (0) = 3.30 ), ya que el cargo por envío de $ 3.30 se evalúa independientemente de cuántas millas se conduzcan. Dado que se agregan $ 2.60 por cada milla recorrida, entonces

[C (1) = 3.30 + 2.60 = 5.90 nonumber ]

Si luego recorrimos una segunda milla, se agregarían otros $ 2.60 al costo:

[C (2) = 3.30 + 2.60 + 2.60 = 3.30 + 2.60 (2) = 8.50 nonumber ]

Si manejáramos un tercio de milla, se agregarían otros $ 2.60 al costo:

[C (3) = 3.30 + 2.60 + 2.60 + 2.60 = 3.30 + 2.60 (3) = 11.10 nonumber ]

A partir de esto, podemos observar el patrón y concluir que si se recorren (m ) millas,

(C (m) = 3.30 + 2.60m ) porque comenzamos con una tarifa de entrega de $ 3.30 y luego por cada aumento de milla agregamos $ 2.60.

Es bueno verificar que las unidades tengan sentido en esta ecuación. El cargo por envío de $ 3.30 se mide en dólares; el cargo de $ 2.60 se mide en dólares por milla.

[C (m) = 3.30 text {dólares} + left (2.60 dfrac { text {dólares}} { text {milla}} right) left (m ; text {millas} right )sin número ]

Cuando los dólares por milla se multiplican por un número de millas, el resultado es un número de dólares, haciendo coincidir las unidades en el 3.30 y haciendo coincidir las unidades deseadas para el C función.

Observe que esta ecuación (C (m) = 3.30 + 2.60m ) constaba de dos cantidades. El primero es el cargo fijo de $ 3.30 que no cambia según el valor de la entrada. El segundo es el valor de $ 2.60 dólares por milla, que es un tasa de cambio. En la ecuación, esta tasa de cambio se multiplica por el valor de entrada.

Al observar este mismo problema en formato de tabla, también podemos ver los cambios de costo en $ 2.60 por cada aumento de 1 milla.

(metro)0123
(Cm))3.305.908.5011.10

Es importante notar aquí que en esta ecuación, el la tasa de cambio es constante; en cualquier intervalo, la tasa de cambio es la misma.

Graficando esta ecuación, (C (m) = 3.30 + 2.60m ) vemos que la forma es una línea, que es como estas funciones obtienen su nombre: funciones lineales.

Cuando la cantidad de millas es cero, el costo es $ 3.30, lo que da el punto (0, 3.30) en la gráfica. Esta es la intersección vertical o (C (m) ). La gráfica aumenta en línea recta de izquierda a derecha porque por cada milla el costo aumenta $ 2.60; esta tasa se mantiene constante.

En este ejemplo, ha visto el costo del taxi modelado en palabras, una ecuación, una tabla y en forma gráfica. Siempre que sea posible, asegúrese de poder vincular estas cuatro representaciones para desarrollar continuamente sus habilidades. Es importante tener en cuenta que no siempre podrá encontrar las 4 representaciones de un problema, por lo que es muy importante poder trabajar con las 4 formas.

Definición: función lineal

A función lineal es una función cuya gráfica produce una línea. Las funciones lineales siempre se pueden escribir en la forma

(f (x) = b + mx ) o (f (x) = mx + b ); son equivalentes

donde

  • (b ) es el valor inicial o inicial de la función (cuando se ingresa, x = 0), y
  • (m ) es la tasa de cambio constante de la función

A muchas personas les gusta escribir funciones lineales en la forma (f (x) = b + mx ) porque corresponde a la forma en que tendemos a hablar: “La salida comienza en (b ) y aumenta a una tasa de (metro)."

Solo por esta razón usaremos la forma (f (x) = b + mx ) para muchos de los ejemplos, pero recuerde que son equivalentes y pueden escribirse correctamente en ambos sentidos.

Definición: pendiente y creciente / decreciente

(m ) es la tasa de cambio constante de la función (también llamada Pendiente). Pendiente La pendiente determina si la función es una función creciente o una función decreciente.

(f (x) = b + mx ) es una creciente función si (m> 0 )

(f (x) = b + mx ) es una decreciente función si (m <0 )

Si (m = 0 ), la tasa de cambio es cero y la función (f (x) = b + 0x = b ) es solo una línea horizontal que pasa por el punto (0, (b )) , ni aumentando ni disminuyendo.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Para comenzar a producir un nuevo modelo de ruedas personalizadas, una empresa tendrá que comprar $ 30,000 en equipos nuevos. Cada rueda fabricada les cuesta $ 40 en suministros y mano de obra. Escribe una fórmula para el costo total, (TC ), de producir (q ) ruedas. ¿Cuáles serán sus costos totales en el primer año si esperan vender 240 ruedas?

Solución

El valor inicial para esta función es 30,000, ya que son los costos de inicio, entonces (TC (0) = 30,000 ). El costo aumenta en $ 40 por cada rueda fabricada, por lo que la tasa de cambio es de $ 40 por rueda. Con esta información, podemos escribir la fórmula:

[TC (q) = 30,000 + 40q. Nonumber ]

(TC (q) ) es una función lineal creciente.

Con esta fórmula podemos predecir el costo total de 240 ruedas:

[TC (240) = 30,000 + 40 (240) = 30,000 + 9,600 = 39,600. Nonumber ]

El costo total será de $ 39,600.

Definición: cálculo de la tasa de cambio

Dados dos valores para la entrada, (x_ {1} { rm ; y ;} x_ {2} ), y dos valores correspondientes para la salida, (y_ {1} { rm ; y ;} y_ {2} ), o un conjunto de puntos, ((x_ {1} { rm, ; ;} y_ {1}) ) y ((x_ {2} { rm, ; ;} y_ {2}) ), si deseamos encontrar una función lineal que contenga ambos puntos podemos calcular la tasa de cambio, metro:

[m = dfrac { rm change ; en; salida} { rm change ; en; entrada} = dfrac { Delta y} { Delta x} = dfrac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} ]

La tasa de cambio de una función lineal también se llama Pendiente de la línea.

Tenga en cuenta que en la notación de funciones, (y_ {1} = f (x_ {1}) ) y (y_ {2} = f (x_ {2}) ), por lo que podríamos escribir de forma equivalente

[m = dfrac {f left (x_ {2} right) -f left (x_ {1} right)} {x_ {2} -x_ {1}} ]

Ejemplo ( PageIndex {2} )

La población de una ciudad aumentó de 23,400 a 27,800 entre 2002 y 2006. Calcula la tasa de cambio de la población durante este período de tiempo.

Solución

La tasa de cambio relacionará el cambio en la población con el cambio en el tiempo. La población aumentó en (27800-23400 = 4400 ) personas durante el intervalo de tiempo de 4 años. Para encontrar la tasa de cambio, el número de personas por año que la población cambió por:

[ dfrac {4400 text {personas}} {4 text {años}} = 1100 dfrac { text {personas}} { text {año}} = 1100 text {personas por año} nonumber ]

Observe que sabíamos que la población estaba aumentando, por lo que esperaríamos que nuestro valor para (m ) fuera positivo. Esta es una forma rápida de verificar si su valor es razonable.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

La presión, (P ), en libras por pulgada cuadrada (PSI) sobre un buzo depende de su profundidad debajo de la superficie del agua, (d ), en pies, siguiendo la ecuación (P (d) = 14.696 + 0,434d ). Interprete los componentes de esta función.

Solución

La tasa de cambio, o pendiente, 0.434 tendría unidades ( dfrac { text {salida}} { text {entrada}} = dfrac { text {presión}} { text {profundidad}} = dfrac { text {PSI}} { text {ft}} ). Esto nos dice que la presión sobre el buceador aumenta en 0.434 PSI por cada pie que aumenta su profundidad.

El valor inicial, 14,696, tendrá las mismas unidades que la salida, por lo que esto nos dice que a una profundidad de 0 pies, la presión sobre el buceador será de 14,696 PSI.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Si (f (x) ) es una función lineal, (f (3) = - 2 ) y (f (8) = 1 ), encuentre la tasa de cambio.

Solución

(f (3) = - 2 ) nos dice que la entrada 3 corresponde con la salida -2, y (f (8) = 1 ) nos dice que la entrada 8 corresponde con la salida 1. Para encontrar la tasa de cambio, dividimos el cambio en la producción por el cambio en la entrada:

[m = dfrac { text {cambio en la salida}} { text {cambio en la entrada}} = dfrac {1 - (- 2)} {8-3} = dfrac {3} {5} nonumber ] Si lo desea, también podríamos escribir esto como (m = 0.6 )

Tenga en cuenta que no es importante qué par de valores aparece primero en las restas siempre que el primer valor de salida utilizado corresponda con el primer valor de entrada utilizado.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Dados los dos puntos (2, 3) y (0, 4), encuentre la tasa de cambio. ¿Esta función aumenta o disminuye?

Respuesta

(m = dfrac {4-3} {0-2} = dfrac {1} {- 2} = - dfrac {1} {2} ); Decreciente porque (m <0 )

Ahora podemos encontrar la tasa de cambio dados dos pares de entrada-salida, y podemos escribir una ecuación para una función lineal una vez que tenemos la tasa de cambio y el valor inicial. Si tenemos dos pares de entrada-salida y no incluyen el valor inicial de la función, entonces tendremos que resolverlo.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Escribe una ecuación para la función lineal graficada a la derecha.

Solución

Mirando la gráfica, podemos notar que pasa por los puntos (0, 7) y (4, 4). A partir del primer valor, sabemos que el valor inicial de la función es (b = 7 ), por lo que en este caso solo necesitaremos calcular la tasa de cambio:

[m = dfrac {4-7} {4-0} = dfrac {-3} {4} nonumber ]

Esto nos permite escribir la ecuación:

[f (x) = 7- dfrac {3} {4} x nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Si (f (x) ) es una función lineal, (f (3) = - 2 ) y (f (8) = 1 ), encuentra una ecuación para la función.

Solución

En el ejemplo 3, calculamos que la tasa de cambio es (m = dfrac {3} {5} ). En este caso, no conocemos el valor inicial (f (0) ), por lo que tendremos que resolverlo. Usando la tasa de cambio, sabemos que la ecuación tendrá la forma (f (x) = b + dfrac {3} {5} x ). Como conocemos el valor de la función cuando (x = 3 ), podemos evaluar la función en 3.

[f (3) = b + dfrac {3} {5} (3) nonumber ] Como sabemos que (f (3) = - 2 ), podemos sustituir en el lado izquierdo

[- 2 = b + dfrac {3} {5} (3) nonumber ] Esto nos deja con una ecuación que podemos resolver para el valor inicial

[b = -2- dfrac {9} {5} = dfrac {-19} {5} nonumber ]

Combinando esto con el valor de la tasa de cambio, ahora podemos escribir una fórmula para esta función:

[f (x) = dfrac {-19} {5} + dfrac {3} {5} x nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Trabajando como vendedor de seguros, Ilya gana un salario base y una comisión por cada nueva póliza, por lo que el ingreso semanal de Ilya, (I ), depende del número de nuevas pólizas, (n ), que vende durante la semana. La semana pasada vendió 3 pólizas nuevas y ganó $ 760 por semana. La semana anterior, vendió 5 pólizas nuevas y ganó $ 920. Encuentre una ecuación para (I (n) ) e interprete el significado de los componentes de la ecuación.

Solución

La información dada nos da dos pares de entrada-salida: (3.760) y (5.920). Empezamos por encontrar la tasa de cambio.

[m = dfrac {920-760} {5-3} = dfrac {160} {2} = 80 nonumber ]

Hacer un seguimiento de las unidades puede ayudarnos a interpretar esta cantidad. Los ingresos aumentaron en $ 160 cuando el número de pólizas aumentó en 2, por lo que la tasa de cambio es de $ 80 por póliza; Ilya gana una comisión de $ 80 por cada póliza vendida durante la semana.

Entonces podemos resolver el valor inicial

[I (n) = b + 80n nonumber ] entonces cuando (n = 3 ), (I (3) = 760 ), dando

[760 = b + 80 (3) nonumber ] esto nos permite resolver para (b )

[b = 760-80 (3) = 520 nonumber ]

Este valor es el valor inicial de la función. Estos son los ingresos de Ilya cuando (n = 0 ), lo que significa que no se venden pólizas nuevas. Podemos interpretar esto como el salario base de Ilya para la semana, que no depende del número de pólizas vendidas.

Escribiendo la ecuación final:

[I (n) = 520 + 80n nonumber ]

Nuestra interpretación final es: el salario base de Ilya es de $ 520 por semana y gana una comisión adicional de $ 80 por cada póliza vendida cada semana.

Escena retrospectiva

Mirando el Ejemplo 7:

Determine las variables independientes y dependientes.

¿Qué es un dominio y rango razonables?

¿Esta función es uno a uno?

Respuesta

(n ) (número de pólizas vendidas) es la variable independiente

(I (n) ) (ingreso semanal en función de las pólizas vendidas) es la variable dependiente.

Un dominio razonable es (0, 15) ({} ^ {*} )

Un rango razonable es ($ 540, $ 1740) ({} ^ {*} )

({} ^ {*} ) las respuestas pueden variar según se indique el razonamiento; 15 es un límite superior arbitrario basado en la venta de 3 pólizas por día en una semana laboral de 5 días y $ 1740 corresponde al dominio.

Sí, esta función es uno a uno

Ejercicio ( PageIndex {3} )

El saldo en su cuenta de pago universitario, (C ), es una función del número de trimestres, (q ), al que asiste. Interprete la función (C (a) = 20000 - 4000q ) en palabras. ¿Cuántos trimestres de la universidad puedes pagar hasta que esta cuenta esté vacía?

Respuesta

Su cuenta universitaria comienza con $ 20,000 y retira $ 4,000 cada trimestre (o su cuenta contiene $ 20,000 y disminuye en $ 4000 cada trimestre). Resolver (C (a) = 0 ) da (a = 5 ). Puede pagar 5 monedas de veinticinco centavos antes de que se agote el dinero de esta cuenta.

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Dada la tabla a continuación, escriba una ecuación lineal que represente los valores de la tabla

(w ), número de semanas0246
(P (w) ), número de ratas1000108011601240

Solución

Podemos ver en la tabla que el valor inicial de las ratas es 1000, por lo que en el formato lineal

[P (w) = b + mw, : b = 1000 nonumber ]

En lugar de resolver (m ), podemos observar en la tabla que la población aumenta en 80 por cada 2 semanas que pasan. Esta tasa es constante desde la semana 0 hasta las semanas 2, 4 y 6. La tasa de cambio es de 80 ratas por 2 semanas. Esto se puede simplificar a 40 ratas por semana y podemos escribir

[P (w) = b + mw text {as} P (w) = 1000 + 40w nonumber ]

Si no notó esto en la tabla, aún podría resolver la pendiente usando dos puntos cualesquiera de la tabla. Por ejemplo, usando (2, 1080) y (6, 1240),

[m = dfrac {1240-1080} {6-2} = dfrac {160} {4} = 40 text {ratas por semana} nonumber ]

Temas importantes de esta sección

  • Definición de modelado
  • Definición de una función lineal
  • Estructura de una función lineal
  • Funciones crecientes y decrecientes
  • Encontrar la intersección vertical (0, B)
  • Encontrar la pendiente / tasa de cambio, metro
  • Interpretación de funciones lineales

Tabla de Maharashtra Clase 10 Soluciones matemáticas Capítulo 1 Ecuaciones lineales en dos variables Conjunto de práctica 1.4

Décima Junta del Estado de Maharashtra Soluciones estándar Capítulo 1 Ecuaciones lineales en dos variables - Aquí están todas las soluciones de MH Board para el décimo conjunto de práctica de matemáticas estándar 1.4. Esta solución contiene preguntas, respuestas, imágenes y explicaciones del conjunto de práctica 1.4 completo titulado Ecuaciones lineales en dos variables de matemáticas que se enseñan en el décimo estándar. Si eres un estudiante del décimo estándar que está usando el libro de texto de la Junta estatal de Maharashtra para estudiar matemáticas, entonces debes encontrar Conjunto de práctica 1.4 Ecuaciones lineales en dos variables. Después de haber estudiado la lección, debe buscar respuestas a sus preguntas. Aquí puede obtener soluciones completas de tablero de Maharashtra para el décimo capítulo 1 de ecuaciones lineales de matemáticas estándar en dos variables en un solo lugar.


1.4: Funciones lineales - Matemáticas

Muchas funciones en aplicaciones se construyen a partir de funciones simples insertando constantes en varios lugares. Es importante comprender el efecto que tienen estas constantes en la apariencia del gráfico.

Desplazamientos horizontales. Si reemplazamos $ x $ por $ x-C $ dondequiera que ocurra en la fórmula para $ f (x) $, entonces la gráfica se desplaza más de $ C $ hacia la derecha. (Si $ C $ es negativo, esto significa que el gráfico se desplaza sobre $ | C | $ hacia la izquierda). Por ejemplo, el gráfico de $ y = (x-2) ^ 2 $ es $ x ^ 2 $ -parabola se desplazó para tener su vértice en el punto 2 del eje $ x $. La gráfica de $ y = (x + 1) ^ 2 $ es la misma parábola desplazada hacia la izquierda para tener su vértice en $ -1 $ en el eje $ x $. Observe bien: al reemplazar $ x $ por $ x-C $ debemos prestar atención al significado, no meramente a la apariencia. Comenzando con $ y = x ^ 2 $ y reemplazando literalmente $ x $ por $ x-2 $ da $ y = x-2 ^ 2 $. Esto es $ y = x-4 $, una línea con pendiente 1, no una parábola desplazada.

Desplazamientos verticales. Si reemplazamos $ y $ por $ y-D $, entonces la gráfica se mueve hacia arriba $ D $ unidades. (Si $ D $ es negativo, esto significa que la gráfica se mueve hacia abajo $ | D | $ unidades). Si la fórmula se escribe en la forma $ y = f (x) $ y si $ y $ se reemplaza por $ yD $ para obtener $ yD = f (x) $, podemos mover equivalentemente $ D $ al otro lado de la ecuación y escribir $ y = f (x) + D $. Así, este principio se puede afirmar: para obtener la gráfica de $ y = f (x) + D $, tome la gráfica de $ y = f (x) $ y muévala $ D $ unidades hacia arriba. Por ejemplo, la función $ y = x ^ 2-4x = (x-2) ^ 2-4 $ se puede obtener de $ y = (x-2) ^ 2 $ (ver el último párrafo) moviendo el gráfico 4 unidades abajo. El resultado es la parábola $ x ^ 2 $ desplazada 2 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia abajo para tener su vértice en el punto $ (2, -4) $.

Advertencia. No confunda $ f (x) + D $ y $ f (x + D) $. Por ejemplo, si $ f (x) $ es la función $ x ^ 2 $, entonces $ f (x) + 2 $ es la función $ x ^ 2 + 2 $, mientras que $ f (x + 2) $ es la función $ (x + 2) ^ 2 = x ^ 2 + 4x + 4 $.

Ejemplo 1.4.1 (Círculos) Un ejemplo importante de los dos principios anteriores comienza con el círculo $ x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 $. Este es el círculo de radio $ r $ centrado en el origen. (Como vimos, esta no es una sola función $ y = f (x) $, sino dos funciones $ y = pm sqrt$ juntos en cualquier caso, los dos principios de cambio se aplican a ecuaciones como esta que no están en la forma $ y = f (x) $.) Si reemplazamos $ x $ por $ xC $ y reemplazamos $ y $ por $ y-Dmdashobteniendo la ecuación $ (xC) ^ 2 + (yD) ^ 2 = r ^ 2mdash el efecto sobre el círculo es moverlo $ C $ hacia la derecha y $ D $ hacia arriba, obteniendo así el círculo de radio $ r $ centrado en el punto $ (C, D) $. Esto nos dice cómo escribir la ecuación de cualquier círculo, no necesariamente centrado en el origen.

Más adelante querremos utilizar dos principios más relacionados con los efectos de las constantes en la apariencia de la gráfica de una función.

Dilatación horizontal. Si $ x $ se reemplaza por $ x / A $ en una fórmula y $ A> 1 $, entonces el efecto en la gráfica es expandirlo por un factor de $ A $ en la dirección $ x $ (alejándose de la $ y $ -eje). Si $ A $ está entre 0 y 1, entonces el efecto en el gráfico es contraerse por un factor de $ 1 / A $ (hacia el eje $ y $). Usamos la palabra "dilatar" para significar expandir o contraer.

Por ejemplo, reemplazar $ x $ por $ x / 0.5 = x / (1/2) = 2x $ tiene el efecto de contraerse hacia el eje $ y $ por un factor de 2. Si $ A $ es negativo, dilatamos por un factor de $ | A | $ y luego voltee sobre el eje $ y $. Por lo tanto, reemplazar $ x $ por $ -x $ tiene el efecto de tomar la imagen especular de la gráfica con respecto al eje $ y $. Por ejemplo, la función $ y = sqrt <-x> $, que tiene el dominio $ $, se obtiene tomando la gráfica de $ sqrt$ y volteándolo alrededor del eje $ y $ en el segundo cuadrante.

Dilatación vertical. Si $ y $ se reemplaza por $ y / B $ en una fórmula y $ B> 0 $, entonces el efecto en la gráfica es dilatarlo por un factor de $ B $ en la dirección vertical. Como antes, se trata de una expansión o contracción dependiendo de si $ B $ es mayor o menor que uno. Tenga en cuenta que si tenemos una función $ y = f (x) $, reemplazar $ y $ por $ y / B $ es equivalente a multiplicar la función de la derecha por $ B $: $ y = Bf (x) $. El efecto en el gráfico es expandir la imagen lejos del eje $ x $ en un factor de $ B $ si $ B> 1 ​​$, para contraerla hacia el eje $ x $ en un factor de $ 1 / B $ if Ejemplo 1.4.2 (Elipses) Un ejemplo básico de los dos principios de expansión viene dado por elipse del semieje mayor $ a $ y semieje menor $ b $. Obtenemos dicha elipse comenzando con el círculo unitario & mdashel círculo de radio 1 centrado en el origen, cuya ecuación es $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1my dilatando por un factor de $ a $ horizontalmente y por un factor de $ b $ verticalmente. Para obtener la ecuación de la elipse resultante, que cruza el eje $ x $ en $ pm a $ y cruza el eje $ y $ en $ pm b $, reemplazamos $ x $ por $ x / a $ y $ y $ por $ y / b $ en la ecuación del círculo unitario. Esto da $ left ( right) ^ 2 + left ( right) ^ 2 = 1 qquad hbox qquad +=1. $

Por último, si queremos analizar una función que implica tanto desplazamientos como dilataciones, suele ser más sencillo trabajar primero con las dilataciones y luego con los desplazamientos. Por ejemplo, si queremos dilatar una función por un factor de $ A $ en la dirección $ x $ y luego desplazar $ C $ a la derecha, lo hacemos reemplazando $ x $ primero por $ x / A $ y luego por $ (xC) $ en la fórmula. Como ejemplo, suponga que, después de dilatar nuestro círculo unitario en $ a $ en la dirección $ x $ y en $ b $ en la dirección $ y $ para obtener la elipse en el último párrafo, quisiéramos cambiarla una distancia $ h $ hacia la derecha y una distancia $ k $ hacia arriba, de modo que quede centrada en el punto $ (h, k) $. La nueva elipse tendría la ecuación $ left ( right) ^ 2 + left ( derecha) ^ 2 = 1. $ Tenga en cuenta que esto es diferente a hacer primero cambios en $ h $ y $ k $ y luego dilataciones en $ a $ y $ b $: $ left (-h right) ^ 2 + left (-k derecha) ^ 2 = 1. $ Ver figura 1.4.1.


Historia temprana de ecuaciones lineales

Las ecuaciones lineales y otros conceptos básicos del álgebra tienen una larga historia que se remonta a miles de años. Los antiguos mesopotámicos, egipcios, griegos, chinos e indios desarrollaron métodos matemáticos que sirvieron como fundamentos para el álgebra moderna. Pero la mayoría de los historiadores consideran que el padre del álgebra es Abu Abdullah Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (780–850 d. C.), un erudito de la academia Casa de la Sabiduría en lo que hoy es Bagdad. De hecho, la palabra álgebra proviene de al-jabar, término que utilizó al-Khwarizmi para describir la técnica de sumar cantidades iguales a ambos lados de una ecuación para simplificarla.

Figura 3: Una página del libro más popular de al-Khwarizmi Al-Kitab Al-Jabar Wa'al-Muqabelah, que se traduce aproximadamente en El Libro de la Restauración y el Equilibrio. Aunque el significado ha cambiado con el tiempo, el término al-jabar eventualmente dio lugar al término latino álgebra, y finalmente a lo moderno álgebra.

Pero las matemáticas que practicaron al-Khwarizmi y sus predecesores se veían muy diferentes de lo que hoy conocemos como álgebra. Quizás la mayor diferencia es que al-Khwarizmi no usó símbolos matemáticos. No usó variables para representar incógnitas o constantes, ni usó símbolos para denotar las operaciones como la suma y la resta que realizaba en ellas. En lugar de trabajar con ecuaciones, todos los cálculos que hizo al-Khwarizmi se describieron en palabras, en su mayoría lenguaje cotidiano con algunos términos técnicos, como al-jabar. Por lo general, escribía sobre las matemáticas necesarias para fines prácticos, como dividir la herencia o cavar canales.

Hoy en día, el uso de símbolos y ecuaciones es tan fundamental para el álgebra que es lógico preguntarse: ¿Por qué los problemas verbales de al-Khwarizmi se consideran álgebra? Las características clave son:

  • resolver una cantidad desconocida (que los separa de la aritmética simple),
  • adoptando un enfoque numérico (en lugar de un enfoque puramente espacial o geométrico como hicieron muchos eruditos griegos), y
  • articular reglas o técnicas generales para trabajar con números (como al-jabar).

Al-Khwarizmi también estudió aritmética, especialmente como se practicaba en la India. Sobre la base de los primeros eruditos indios, escribió uno de los primeros textos conocidos que describen un sistema decimal, las operaciones que ahora llamamos multiplicación y división, y un pequeño círculo que parece usarse como un cero (Figura 3).

Durante el siglo XII, parte de los escritos de al-Khwarizmi fueron traducidos al latín y leídos por académicos que trabajaban en Europa. Estos eruditos introdujeron gradualmente símbolos para operaciones, números y variables. Esto eventualmente condujo al desarrollo de ecuaciones como las pensamos hoy.

¿Por qué se considera a Abu Abdullah Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi el "padre del álgebra"?


Grado 7

Grado 6

Hora estelar: Factores y múltiplos

Teoría de números, incluidos factores, múltiplos, números primos, compuestos, orden de operaciones de factorización prima, propiedad distributiva.

Comparación de bits y piezas: Razones, números racionales y equivalencia

Razón, tasa unitaria, tablas de tasas, números racionales, decimales, porcentajes, equivalencia, valor absoluto, recta numérica.

Dejemos que & rsquos sea racional: Comprensión de las operaciones de fracciones

Suma, resta, multiplicación, división de fracciones, familias de operaciones.

Cubriendo y rodeando: Medición bidimensional

Relaciones de área y perímetro, área y perímetro de polígonos, área de superficie y volumen de prismas rectangulares.

Operaciones decimales: Computación con decimales y porcentajes

Suma, resta, multiplicación y división de decimales, soluciones de estimación para un% de b = c

Variables y patrones: Centrarse en álgebra

Variables, expresiones de variables, ecuaciones, desigualdades, representaciones de relaciones en tablas, gráficos, ecuaciones.

Datos sobre nosotros: Estadísticas y análisis de datos

Análisis de distribuciones de datos, incluida la forma, medidas de centro (media, mediana, moda) y variabilidad (rango, rango entre cuartiles, desviación media absoluta).

Grado 7

Formas y diseños: Geometría bidimensional

Polígonos, medición de ángulos, suma de ángulos de polígonos, condiciones para un triángulo único, líneas paralelas y transversales.

Acentuar lo negativo: Enteros y números racionales

Suma, resta, multiplicación y división de números racionales, valor absoluto, opuestos, orden de operaciones, propiedad distributiva.

Estirar y encoger: Comprensión de la similitud

Agrandar una figura, efecto de los factores de escala en el perímetro y el área, reglas de coordenadas, relaciones entre y dentro de figuras similares usando similitud para encontrar medidas.

Comparar y escalar: Ratios, Tasas, Porcentaje, Proporciones

Ratios, tasa unitaria, tablas de tasas, constante de proporcionalidad, resolución de proporciones, incluye márgenes, descuentos, comisión, medición, conversión.

Avanzando directamente: Relaciones lineales

Representar relaciones lineales en gráficos, tablas, ecuaciones resolver ecuaciones lineales pendiente, intersección, escribir ecuaciones para puntos dados de relación lineal.

Qué esperas: Probabilidad y valor esperado

Modelos de probabilidad, probabilidad experimental y teórica, análisis de eventos compuestos.

Llenado y envoltura: Medición tridimensional

Circunferencia de área del volumen del círculo y área de superficie de prismas rectangulares y poligonales, volumen de cilindros de pirámides, conos, esferas, secciones planas de prismas, efecto de escala de pirámides sobre el área de superficie y volumen.

Muestras y poblaciones: Hacer comparaciones y predicciones

Planes de muestreo, efecto del tamaño de la muestra, predicción de estadísticas de población, simulaciones, comparación de estadísticas de muestra para extraer inferencias sobre dos poblaciones.

Grado 8

Pensar con modelos matemáticos: Variaciones lineales e inversas

Modelos y ecuaciones lineales, modelos y ecuaciones de variación inversa, variabilidad de datos numéricos y categóricos.

Buscando a Pitágoras: El teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras y recíproco, raíces cuadradas, raíces cúbicas, números irracionales y reales, ecuación de círculo.

Creciendo, Creciendo, Creciendo: Funciones exponenciales

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Guía paso a paso para escribir ecuaciones lineales

  • La ecuación de una línea en forma de intersección con pendiente es: ( color)
  • Identifica la pendiente.
  • Encuentra la intersección en (y ). Esto se puede hacer sustituyendo la pendiente y las coordenadas de un punto ((x, y) ) en la línea.

Escribir ecuaciones lineales & # 8211 Ejemplo 1:

¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por ((1, -2) ) y tiene una pendiente de (6 )?

La forma general pendiente-intersección de la ecuación de una línea es (y = mx + b ), donde m es la pendiente y b es la intersección en (y ).
Por sustitución del punto y la pendiente dados, tenemos: (- 2 = (1) (6) + b )
Entonces, (b = -2-6 = -8 ), y la ecuación requerida es (y = 6x-8 ).

Escribir ecuaciones lineales & # 8211 Ejemplo 2:

Escribe la ecuación de la recta que pasa por ((1, 1) ) y ((- 1, 3) ).

Slop (= frac- y_ <1>> & # 8211 x_ <1>> = frac <3- 1> <- 1- 1> = frac <2> <-2> = -1 → m = -1 )
Para encontrar el valor de b, puede usar cualquiera de los puntos. La respuesta será la misma: (y = -x + b )
((1,1) → 1 = -1 + b → b = 2 )
((- 1,3) → 3 = - (- 1) + b → b = 2 )
La ecuación de la recta es: (y = -x + 2 )

Escribir ecuaciones lineales & # 8211 Ejemplo 3:

¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por ((2, –2) ) y tiene una pendiente de (7 )?

La forma general pendiente-intersección de la ecuación de una línea es (y = mx + b ), donde (m ) es la pendiente y (b ) es la intersección en (y - ).
Por sustitución del punto y la pendiente dados, tenemos: (- 2 = (7) (2) + b )
Entonces, (b = –2-14 = -16 ), y la ecuación requerida es (y = 7x-16 ).

Escribir ecuaciones lineales & # 8211 Ejemplo 4:

Escribe la ecuación de la recta que pasa por ((2,1) ) y ((- 1,4) ).

Slop (= frac- y_ <1>> & # 8211 x_ <1>> = frac <4- 1> <- 1-2> = frac <3> <-3> = -1 → m = -1 )
Para encontrar el valor de b, puede usar cualquiera de los puntos. La respuesta será la misma: (y = -x + b )
((2,1) → 1 = -2 + b → b = 3 )
((-1,4) → 4 = - (- 1) + b → b = 3 )
La ecuación de la recta es: (y = -x + 3 )


Junta Estatal de Maharashtra Clase 10 Soluciones matemáticas Capítulo 1 Ecuaciones lineales en dos variables Conjunto de práctica 1.5

Pregunta 1.
Dos números difieren en 3. La suma del doble del número menor y el triple del mayor es 19. Halla los números.
Solución:
Sea x el número mayor y y el número menor.
Según la primera condición, x & # 8211 y = 3 & # 8230 (i)
Según la segunda condición,
3x + 2y = 19 & # 8230 (ii)
Multiplicando la ecuación (i) por 2, obtenemos
2x & # 8211 2y = 6 & # 8230 (iii)
Sumando las ecuaciones (ii) y (iii), obtenemos

Sustituyendo x = 5 en la ecuación (i), obtenemos
5 & ​​# 8211 y = 3
∴ 5 & # 8211 3 = y
∴ y = 2
∴ Los números requeridos son 5 y 2.

Pregunta 2.
Complete lo siguiente.

Solución:
Los lados opuestos de un rectángulo son iguales.
∴ 2x + y + 8 = 4x & # 8211 y
∴ 8 = 4x & # 8211 2x & # 8211 y & # 8211 y
∴ 2x & # 8211 2y = 8
∴ x & # 8211 y = 4 & # 8230 (i) [Dividir ambos lados entre 2]
Además, x + 4 = 2y
∴ x & # 8211 2y = -4 & # 8230 (ii)
Restando la ecuación (ii) de (i), obtenemos

Sustituyendo y = 8 en la ecuación (i), obtenemos
x & # 8211 8 = 4
∴ x = 4 + 8
∴ x = 12
Ahora, la longitud del rectángulo = 4x & # 8211 y
= 4(12) – 8
= 48 – 8
∴ Longitud del rectángulo = 40
Ancho del rectángulo = 2y = 2 (8) = 16
Perímetro del rectángulo = 2 (largo + ancho)
= 2(40 + 16)
= 2(56)
∴ Perímetro del rectángulo = 112 unidades
Área del rectángulo = largo × ancho
= 40 × 16
∴ Área del rectángulo = 640 unidades cuadradas
∴ x = 12 e y = 8, el perímetro del rectángulo es de 112 unidades y el área del rectángulo es de 640 unidades cuadradas.

Pregunta 3.
La suma de la edad del padre y el doble de la edad de su hijo es 70. Si duplicamos la edad del padre y la sumamos a la edad de su hijo, la suma es 95. Calcula sus edades actuales.
Solución:
Sea la edad actual del padre y del hijo x años y y años respectivamente.
Según la primera condición,
x + 2y = 70 & # 8230 (i)
Según la segunda condición,
2x + y = 95 y # 8230 (ii)
Multiplicando la ecuación (i) por 2, obtenemos
2x + 4y = 140 & # 8230 (iii)
Restando la ecuación (ii) de (iii), obtenemos

Sustituyendo y = 15 en la ecuación (i), obtenemos
x + 2 (15) = 7O
⇒ x + 30 = 70
⇒ x = 70 y # 8211 30
∴ x = 40
∴ Las edades actuales de padre e hijo son 40 años y 15 años respectivamente.

Pregunta 4.
El denominador de una fracción es 4 más del doble de su numerador. Denominator becomes 12 times the numerator, if both the numerator and the denominator are reduced by 6. Find the fraction.
Solution:
Let the numerator of the fraction be x and the denominator be y.
∴ Fraction = (frac < x > < y >)
According to the first condition,
y = 2x + 4
∴ 2x – y = -4 …(i)
According to the second condition,
(y – 6)= 12(x – 6)
∴ y – 6 = 12x – 72
∴ 12x – y = 72 – 6
∴ 12x – y = 66 …(ii)
Subtracting equation (i) from (ii), we get

Pregunta 5.
Two types of boxes A, B ,are to be placed in a truck having capacity of 10 tons. When 150 boxes of type A and 100 boxes of type B are loaded in the truck, it weights 10 tons. But when 260 boxes of type A are loaded in the truck, it can still accommodate 40 boxes of type B, so that it is fully loaded. Find the weight of each type of box.
Solution:
Let the weights of box of type A be x kg and that of box of type B be y kg.
1 ton = 1000 kg
∴ 10 tons = 10000 kg
According to the first condition,
150x + 100y = 10000
∴ 3x + 2y = 200 …(i) [Dividing both sides by 50]
According to the second condition,
260x + 40y = 10000
∴ 13x + 2y = 500 …(ii) [Dividing both sides by 20]
Subtracting equation (i) from (ii), we get

∴ The weights of box of type A is 30 kg and that of box of type B is 55 kg.

Pregunta 6.
Out of 1900 km, Vishal travelled some distance by bus and some by aeroplane. Bus travels with average speed 60 km/hr and the average speed of aeroplane is 700 km/hr. It takes 5 hours to complete the journey. Find the distance Vishal travelled by bus.
Solution:
Let the distance Vishal travelled by bus be x km and by aeroplane be y km.
According to the first condition,
x + y = 1900 …(i)
( ext < Time >=frac< ext < Distance >>< ext < Speed >> )
∴ Time required to cover x km by bus = (frac < x > < 60 >) hr
Time required to cover y km by aeroplane
= (frac < y > < 700 >) hr
According to the second condition,

Multiplying equation (i) by 6, we get
6x + 6y= 11400 …(iii)
Subtracting equation (iii) from (ii), we get

∴ The distance Vishal travelled by bus is 150 km.

Pregunta 1.
There are some instructions given below. Frame the equations from the information and write them in the blank boxes shown by arrows. (Textbook pg. no. 20)
Respuesta:


Formally, a linear function is a function F(X):RR such that the graph of F is a line. This means the domain or input of F is a real number R and the range or output of F is also a real number R. Usually we write y(X) or just y in place of F(X). So the formal statement means:

  • we input or substitute a real number X into the linear function
  • the linear function outputs or gives a real number y y
  • all of these points (X,y) make a line.

There are three main forms for writing linear functions: slope-intercept, standard y parametric.

Slope-intercept form Edit

El slope-intercept (also called point-slope or explicit) form of a linear function is y ( x ) = m x + b or y = m x + b . This form has 2 variables X y у and 2 constants metro y B.

  • The letters metro y B are constants. [4] Before working with a linear function, we replace metro y B with actual real numbers.
  • The letters X y y are variables. [5]
  • In slope-intercept form, the letter metro stands for the slope and B stands for the y-intercept.
    • The variable X is called the independent variable or argument. Any real number X can be input o substituted into a linear function. The function will then output the corresponding value for y.
    • The variable y is called the dependent variable. It is the output value after substituting an input value for X.
      lines are included. The line is horizontal if and only if metro=0. Then we have just y=B. Ya que B is a real number, this is a constant function. So a constant function is also a linear function. lines are never included because a vertical line is not a function. [5] A vertical line does not pass the vertical line test. (A vertical line is defined by the equation: X=B donde B is a real number.) lines are included. The line is slanted if and only if metro≠0. [6]
    • The slope-intercept form is unique. A different value of metro or a different value of B gives a different line.
    • A linear function is a polynomial function of first or zero degree in one variable х .
    • The constant term is B. If we substitute X=0 into the function, we get y=B. So the number B es el y-intercept and the line crosses the у-axis at the point (0,B).
    • Si metro≠0, the number –b /metro es el X-intercept or root or zero and ( –b /metro,0) is the point where the line crosses the х-eje. Here the value of the function is zero.
    • El coeficientemetro de X se llama el slope o degradado of the line. For each line, the number metro is a constant and so the slope is constant for the whole line. The slope determines both the direction and steepness of the line. Direction and steepness are called the rate of change. So the rate of change es metro and it is constant for each line.
      • The sign of metro determines the direction. Si metro>0 then the linear function is increasing if metro<0 then the function is decreasing.
      • The absolute value of metro determines the steepness. If |metro|<1 then the slope is gentle if |metro|>1 then the slope is steep.
      • If the slope of a line is metro and (х,у) is any point on the line, we must also have the point (х+1, y+metro) on the line.

      Ejemplo: y=–2X+4. The slope is metro= –2 and the y-intercept is B=4 or the point (0,4). Sustituyendo y=0 and solving for X, we get 0=–2X+4 or X=2. Entonces X=2 is the root of this linear function and the point (2,0) is the X-intercept. Since the slope is metro = –2, the line is decreasing. Since |–2|=2>1, the decrease is relatively steep. For each change in х of 1 (to the right), the value of у changes -2 (goes down).

      • El graph of a line is determined by two points. To graph a linear function, we can substitute two different values for X into the function and solve for the corresponding y-valores. We graph these two points. Using a straightedge, we draw the line through these two points extending it past both points.

      Ejemplo: y=–2X+4. Sustituyendo X=0 we get y=4 (this is the y-intercept) and thus the point (0,4). Sustituyendo X=1, we get y=2 and thus the point (1,2). Plot these points and draw the line. (Notice that the 2nd point is 1 to the right and 2 down from the 1st point. As we said in the above example, this happens because the slope is metro= –2)

      • A linear function that is not a constant function is a bijection. It will output each real number (surjection) for exactly one input value (injection).

      Ejemplo: y= –X+2. Suppose y= –1. We substitute y= –1 and get: –1= –'x+2 or X=3. This is the only solution. We can do this for any y-valor.

      Standard form Edit

      • The standard form has 2 variables X y у and 3 constants A, B, y C that are replaced by actual real numbers before working. This form is often used in geometry and in systems of linear equations.

      Ejemplo: The linear function 3X–2y=1 is in standard form. The constants are A=3, B=–2 and C=1.

      Ejemplo: The lines 3X–2y=1 and 6X–4y=2 are coincident (same line). Here the factor is: k=2. We multiplied the first equation by 2 to get the second equation. The unique slope-intercept form of this line is: y=1.5X–0.5 (solve either equation for y).

      Vector-Parametric form Edit

      • The parametric or vector or vector-parametric form has 1 parametert, 2 variables X y у, and 4 constants a1, a2, X1, y y1. The coefficients a1, a2, X1, y y1 are no uniquely determined. The line passes through the points А=(X1,y1) and B=(X1+a1,y1+a2) so that taking taking any other points or even just reversing the order ot the points will result in different constants for the same line.
      • El parámetro t is not visible on the graph.
      • Engineers usually use the letter t for the parameter. Mathematicians often use the Greek letter λ.

      Ejemplo: X=(–1,1)+t(2,3), t∈R is a line in vector form. Here: a1=2, a2=3, X1=–1 and X2=1. The line goes through the points (X1,y1)=(–1,1) and (X1+a1,y1+a2)=(1,4). The corresponding parametric form of this line is: X(t)= –1+2t, y(t)=1+3t. The unique slope-intercept form of this line is: y(X)=1.5X+2.5 (solve the first equation for t and substitute this result into the second equation).

      • The vector-parametric form of a line extends naturally to lines in 3-dimensional and higher spaces. The other forms do not.

      Ejemplo: X=(–1,1,2)+t(2,3,–1), t∈R is a line in 3-dimensional space. The line goes through the points (–1,1,2) and (1,4,1).

      In the context where it is defined, the derivative of a function is a measure of the rate of change of function values with respect to change in input values. A linear function has a constant rate of change. This rate of change is the slope metro. Entonces metro is the derivative. [8] This is often written:

      Ejemplo: y= –2X+4. Aquí metro= –2 and so y′= –2.

      Often, the terms linear equation y linear function are confused. Both are polynomials. However, the word lineal en linear equation means that all terms with variables are first degree. [9] [10] (The word lineal en linear function means the graph is a line.) A linear equation can have 1, 2, 3, or more variables. So a linear equation is a linear function only if it has exactly 2 variables. (A linear equation in one variable is a point on the number line and a linear equation in 3 variables is a plane in 3-dimensional space.)

      Many countries and disciplines use different letters and ordering for the different forms.


      Ejemplos de

      Any horizontal translation will affect the domain and leave the range unchanged. Any vertical translation will affect the range and the leave the domain unchanged.

      Apply the same translation to the domain or range that you apply to the x-coordinates or the y-coordinates. This works because the domain can be written in interval notation as the interval between two x-coordinates. Likewise for the range as the interval between two y-coordinates.

      In the following table, remember that domain and range are given in interval notation. If you're not familiar with interval notation, then please check the prerequisite chapter. The first line is the definition statement and should be used to determine the rest of the answers.

      Grafico Translation Domain Range
      y=f(x) none (-2,5) [4,8]
      y=f(x-2) right 2 (0,7) [4,8]
      y=f(x)-2 down 2 (-2,5) [2,6]
      y=3f(x) multiply each y by 3 (-2,5) [12,24]
      y=f(3x) divide each x by 3 (-2/3,5/3) [4,8]
      y=2f(x-3)-5 multiply each y by 2 and subtract 5
      add 3 to every x
      (1,8) [3,11]
      y=-f(x) reflect about x-axis (-2,5) [-8,-4]
      y=1/f(x) take the reciprocal of each y (-2,5) [1/8,1/4]

      Notice on the last two that the order in the range has changed. This is because in interval notation, the smaller number always comes first.


      Types of GMAT Problems

      Solving a linear equation involves isolating the variable on one side of the equation. To do so, use mathematical operations on both sides of the equation. Adding or subtracting the same numbers from both sides does not change the equation. Similarly, the equation will remain unchanged after multiplying or dividing both sides of the equation by the same number.

      1. Multiply both sides by 3.
        27x - 9 = 2x-4.
      2. Add 9 to both sides.
        27x = 2x + 5.
      3. Subtract 2x from both sides.
        25x = 5.
      4. Divide both sides by 25.
        x= (5/25) = (1/5)

      If there are two variables, pick one variable and choose a number for it to equal. Substitute the chosen number into the equation and solve for the second variable. For equations with more than two variables, choose numbers for every variable but one. Substitute all of the numbers in and solve for the final variable.


      Ver el vídeo: Función Lineal (Octubre 2021).