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Integrales dobles sobre regiones rectangulares - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

  • Reconocer cuando una función de dos variables es integrable en una región rectangular.
  • Reconocer y utilizar algunas de las propiedades de integrales dobles.
  • Evalúe una integral doble sobre una región rectangular escribiéndola como una integral iterada.
  • Utilice una integral doble para calcular el área de una región, el volumen debajo de una superficie o el valor promedio de una función sobre una región plana.

En esta sección investigamos integrales dobles y mostramos cómo podemos usarlas para encontrar el volumen de un sólido sobre una región rectangular en el plano xy. Muchas de las propiedades de las integrales dobles son similares a las que ya hemos discutido para las integrales simples.

Volúmenes e integrales dobles

Comenzamos considerando el espacio sobre una región rectangular (R ). Considere una función continua (f (x, y) ≥0 ) de dos variables definidas en el rectángulo cerrado (R ):

[R = [a, b] times [c, d] = left {(x, y) ∈ mathbb {R} ^ 2 | , a ≤ x ≤ b, , c ≤ y ≤ d right } nonumber ]

Aquí ([a, b] times [c, d] ) denota el producto cartesiano de los dos intervalos cerrados ([a, b] ) y ([c, d] ). Consiste en pares rectangulares ((x, y) ) tales que (a≤x≤b ) y (c≤y≤d ). La gráfica de (f ) representa una superficie sobre el plano (xy ) - con la ecuación (z = f (x, y) ) donde (z ) es la altura de la superficie en el punto ((x, y) ). Sea (S ) el sólido que se encuentra encima de (R ) y debajo de la gráfica de (f ) (Figura ( PageIndex {1} )). La base del sólido es el rectángulo (R ) en el plano (xy ). Queremos encontrar el volumen (V ) del sólido (S ).

Dividimos la región (R ) en pequeños rectángulos (R_ {ij} ), cada uno con área (ΔA ) y lados (Δx ) y (Δy ) (Figura ( PageIndex { 2} )). Hacemos esto dividiendo el intervalo ([a, b] ) en (m ) subintervalos y dividiendo el intervalo ([c, d] ) en (n ) subintervalos. Por tanto, ( Delta x = frac {b - a} {m} ), ( Delta y = frac {d - c} {n} ) y ( Delta A = Delta x Delta y ).

El volumen de una caja rectangular delgada encima de (R_ {ij} ) es (f (x_ {ij} ^ *, , y_ {ij} ^ *) , Delta A ), donde ( (x_ {ij} ^ *, , y_ {ij} ^ * )) es un punto de muestra arbitrario en cada (R_ {ij} ) como se muestra en la siguiente figura, (f (x_ {ij} ^ *, , y_ {ij} ^ *) ) es la altura de la caja rectangular delgada correspondiente, y ( Delta A ) es el área de cada rectángulo (R_ {ij} ).

Usando la misma idea para todos los subrectangulos, obtenemos un volumen aproximado del sólido S como

[V approx sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ n f (x_ {ij} ^ *, , y_ {ij} ^ *) Delta A. nonumber ]

Esta suma se conoce como suma doble de Riemann y se puede utilizar para aproximar el valor del volumen del sólido. Aquí, la suma doble significa que para cada subrectángulo evaluamos la función en el punto elegido, multiplicamos por el área de cada rectángulo y luego sumamos todos los resultados.

Como hemos visto en el caso de una sola variable, obtenemos una mejor aproximación al volumen real si (m ) y (n ) se vuelven más grandes.

[V = lim_ {m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ {ij} ^ *, , y_ {ij} ^ *) Delta A nonumber ]

o

[V = lim _ { Delta x, , Delta y rightarrow 0} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ {ij} ^ *, , y_ { ij} ^ *) Delta A. nonumber ]

Tenga en cuenta que la suma se acerca a un límite en cualquier caso y el límite es el volumen del sólido con la base (R ). Ahora estamos listos para definir la integral doble.

Definición

La integral doble de la función (f (x, , y) ) sobre la región rectangular (R ) en el plano (xy ) - se define como

[ iint_R f (x, , y) dA = lim_ {m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ {ij} ^ * , , y_ {ij} ^ *) Delta A. ]

Si (f (x, y) geq 0 ), entonces el volumen (V ) del sólido (S ), que se encuentra por encima de (R ) en el plano (xy ) - y bajo la gráfica de (f ), es la integral doble de la función (f (x, y) ) sobre el rectángulo (R ). Si la función es alguna vez negativa, entonces la integral doble puede considerarse un volumen "con signo" de una manera similar a la forma en que definimos el área neta con signo en La integral definida.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Configuración de una integral doble y su aproximación por sumas dobles

Considere la función (z = f (x, , y) = 3x ^ 2 - y ) sobre la región rectangular (R = [0, 2] times [0, 2] ) (Figura ( PageIndex {4} )).

  1. Establezca una integral doble para encontrar el valor del volumen con signo del sólido (S ) que se encuentra sobre (R ) y "debajo" de la gráfica de (f ).
  2. Divida (R ) en cuatro cuadrados con (m = n = 2 ) y elija el punto de muestra como el punto de la esquina superior derecha de cada cuadrado (1,1), (2,1), (1,2 ) y (2,2) (Figura ( PageIndex {4} )) para aproximar el volumen con signo del sólido (S ) que se encuentra encima de (R ) y "debajo" de la gráfica de ( F).
  3. Divida (R ) en cuatro cuadrados con (m = n = 2 ) y elija el punto de muestra como el punto medio de cada cuadrado: (1/2, 1/2), (3/2, 1/2 ), (1 / 2,3 / 2) y (3/2, 3/2) para aproximar el volumen firmado.

Solución

  1. Como podemos ver, la función (z = f (x, y) = 3x ^ 2 - y ) está por encima del plano. Para encontrar el volumen con signo de (S ), necesitamos dividir la región (R ) en pequeños rectángulos (R_ {ij} ), cada uno con área (ΔA ) y lados (Δx ) y (Δy ), y elija ((x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) ) como puntos de muestra en cada (R_ {ij} ). Por lo tanto, una integral doble se configura como

    [V = iint_R (3x ^ 2 - y) dA = lim_ {m, n → ∞} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ n [3 (x_ {ij} ^ *) ^ 2 - y_ {ij} ^ *] Delta A. nonumber ]

  2. Aproximando el volumen con signo usando una suma de Riemann con (m = n = 2 ) tenemos ( Delta A = Delta x Delta y = 1 times 1 = 1 ). Además, los puntos de muestra son (1, 1), (2, 1), (1, 2) y (2, 2) como se muestra en la siguiente figura.

Por eso,

[ begin {align *} V & approx sum_ {i = 1} ^ 2 sum_ {j = 1} ^ 2 f (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A [4pt]
& = sum_ {i = 1} ^ 2 (f (x_ {i1} ^ *, y_ {i1} ^ *) + f (x_ {i2} ^ *, y_ {i2} ^ *)) Delta A [4pt]
& = f (x_ {11} ^ *, y_ {11} ^ *) Delta A + f (x_ {21} ^ *, y_ {21} ^ *) Delta A + f (x_ {12} ^ * , y_ {12} ^ *) Delta A + f (x_ {22} ^ *, y_ {22} ^ *) Delta A [4pt]
& = f (1,1) (1) + f (2,1) (1) + f (1,2) (1) + f (2,2) (1) [4pt]
& = (3 - 1) (1) + (12 - 1) (1) + (3 - 2) (1) + (12 - 2) (1) [4pt]
& = 2 + 11 + 1 + 10 = 24. end {align *} ]

  1. Aproximando el volumen con signo usando una suma de Riemann con (m = n = 2 ) tenemos ( Delta A = Delta x Delta y = 1 times 1 = 1 ). En este caso, los puntos de muestra son (1/2, 1/2), (3/2, 1/2), (1/2, 3/2) y (3/2, 3/2).
    Por eso,
    [ begin {align *} V & approx sum_ {i = 1} ^ 2 sum_ {j = 1} ^ 2 f (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A [4pt]
    & = f (x_ {11} ^ *, y_ {11} ^ *) Delta A + f (x_ {21} ^ *, y_ {21} ^ *) Delta A + f (x_ {12} ^ * , y_ {12} ^ *) Delta A + f (x_ {22} ^ *, y_ {22} ^ *) Delta A [4pt]
    & = f (1 / 2,1 / 2) (1) + f (3 / 2,1 / 2) (1) + f (1 / 2,3 / 2) (1) + f (3/2, 3/2) (1) [4pt]
    & = izquierda ( frac {3} {4} - frac {1} {4} derecha) (1) + izquierda ( frac {27} {4} - frac {1} {2} derecha) (1) + izquierda ( frac {3} {4} - frac {3} {2} derecha) (1) + izquierda ( frac {27} {4} - frac {3} {2} derecha) (1) [4pt]
    & = frac {2} {4} + frac {25} {4} + left (- frac {3} {4} right) + frac {21} {4} = frac {45} {4} = 11. end {align *} ]

Análisis

Observe que las respuestas aproximadas difieren debido a las elecciones de los puntos de muestra. En cualquier caso, estamos introduciendo algún error porque usamos solo unos pocos puntos de muestra. Por lo tanto, necesitamos investigar cómo podemos lograr una respuesta precisa.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Usa la misma función (z = f (x, y) = 3x ^ 2 - y ) sobre la región rectangular (R = [0,2] × [0,2] ).

Divida (R ) en los mismos cuatro cuadrados con (m = n = 2 ) y elija los puntos de muestra como el punto de la esquina superior izquierda de cada cuadrado (0,1), (1,1), (0 , 2) y (1,2) (Figura ( PageIndex {5} )) para aproximar el volumen con signo del sólido (S ) que se encuentra arriba de (R ) y "debajo" de la gráfica (F).

Pista

Siga los pasos del ejemplo anterior.

Respuesta

[V approx sum_ {i = 1} ^ 2 sum_ {j = 1} ^ 2 f (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) , Delta A = 0 nonumber ]

Tenga en cuenta que desarrollamos el concepto de integral doble usando una región rectangular (R ). Este concepto se puede extender a cualquier región general. Sin embargo, cuando una región no es rectangular, es posible que no todos los subrectangulos encajen perfectamente en (R ), particularmente si el área base es curva. Examinamos esta situación con más detalle en la siguiente sección, donde estudiamos regiones que no siempre son rectangulares y los subrectangulos pueden no encajar perfectamente en la región (R ). Además, las alturas pueden no ser exactas si la superficie (z = f (x, y) ) es curva. Sin embargo, los errores en los lados y la altura donde las piezas pueden no encajar perfectamente dentro del sólido (S ) se acercan a 0 cuando (m ) y (n ) se acercan al infinito. Además, la integral doble de la función (z = f (x, y) ) existe siempre que la función (f ) no sea demasiado discontinua. Si la función es acotada y continua sobre (R ) excepto en un número finito de curvas suaves, entonces existe la integral doble y decimos que ff es integrable sobre (R ).

Dado que ( Delta A = Delta x Delta y = Delta y Delta x ), podemos expresar (dA ) como (dx , dy ) o (dy , dx ). Esto significa que, cuando usamos coordenadas rectangulares, la integral doble sobre una región (R ) denotada por

[ iint_R f (x, y) , dA nonumber ]

Se puede escribir como

[ iint_R f (x, y) , dx , dy nonumber ]

o

[ iint_R f (x, y) , dy , dx. sin número]

Ahora enumeremos algunas de las propiedades que pueden ser útiles para calcular integrales dobles.

Propiedades de las integrales dobles

Las propiedades de las integrales dobles son muy útiles al calcularlas o al trabajar con ellas. Aquí enumeramos seis propiedades de integrales dobles. Las propiedades 1 y 2 se conocen como la linealidad de la integral, la propiedad 3 es la aditividad de la integral, la propiedad 4 es la monotonicidad de la integral y la propiedad 5 se usa para encontrar los límites de la integral. La propiedad 6 se usa si (f (x, y) ) es un producto de dos funciones (g (x) ) y (h (y) ).

Teorema: PROPIEDADES DE DOBLES INTEGRALES

Suponga que las funciones (f (x, y) ) y (g (x, y) ) son integrables sobre la región rectangular (R ); (S ) y (T ) son subregiones de (R ); y suponga que (m ) y (M ) son números reales.

  1. La suma (f (x, y) + g (x, y) ) es integrable y

[ iint_R [f (x, y) + g (x, y)] , dA = iint_R f (x, y) , dA + iint_R g (x, y) , dA. sin número]

  1. Si C es una constante, entonces (cf (x, y) ) es integrable y

[ iint_R cf (x, y) , dA = c iint_R f (x, y) , dA. sin número]

  1. Si (R = S∪T ) y (S∩T = ∅ ) excepto una superposición en los límites, entonces

[ iint_R f (x, y) , dA = iint_S f (x, y) , dA + iint_T f (x, y) , dA. sin número]

  1. Si (f (x, y) geq g (x, y) ) para ((x, y) ) en (R ), entonces

[ iint_R f (x, y) , dA geq iint_R g (x, y) , dA. sin número]

  1. Si (m leq f (x, y) leq M ) y (A (R) = , text {el área de} , R ), entonces

[m cdot A (R) leq iint_R f (x, y) , dA leq M cdot A (R). sin número]

  1. En el caso donde (f (x, y) ) se puede factorizar como un producto de una función (g (x) ) de (x ) solamente y una función (h (y) ) de (y ) solamente, luego sobre la región (R = big {(x, y) , | , a leq x leq b, , c leq y leq d big } ), la integral doble se puede escribir como

[ iint_R f (x, y) , dA = left ( int_a ^ b g (x) , dx right) left ( int_c ^ d h (y) , dy right). sin número]

Estas propiedades se utilizan en la evaluación de integrales dobles, como veremos más adelante. Seremos expertos en el uso de estas propiedades una vez que nos familiaricemos con las herramientas computacionales de las integrales dobles. Así que vayamos a eso ahora.

Integrales iteradas

Hasta ahora, hemos visto cómo configurar una integral doble y cómo obtener un valor aproximado para ella. También podemos imaginar que evaluar integrales dobles usando la definición puede ser un proceso muy largo si elegimos valores más grandes para (m ) y (n ). Por lo tanto, necesitamos una técnica práctica y conveniente para calcular integrales dobles. En otras palabras, necesitamos aprender a calcular integrales dobles sin emplear la definición que usa límites y sumas dobles.

La idea básica es que la evaluación se vuelve más fácil si podemos dividir una integral doble en integrales simples integrando primero con respecto a una variable y luego con respecto a la otra. La herramienta clave que necesitamos se llama integral iterada.

Definiciones: integrales iteradas

Suponga que (a ), (b ), (c ) y (d ) son números reales. Definimos un integral iterada para una función (f (x, y) ) sobre la región rectangular (R = [a, b] × [c, d] ) como

[ int_a ^ b int_c ^ d f (x, y) , dy , dx = int_a ^ b left [ int_c ^ d f (x, y) , dy right] dx ]

o

[ int_c ^ d int_a ^ b f (x, y) , dx , dy = int_c ^ d left [ int_a ^ b f (x, y) , dx right] dy. ]

La notación ( int_a ^ b left [ int_c ^ df (x, y) , dy right] dx ) significa que integramos (f (x, y) ) con respecto a (y ) mientras se mantiene constante (x ). De manera similar, la notación ( int_c ^ d left [ int_a ^ bf (x, y) , dx right] dy ) significa que integramos (f (x, y) ) con respecto a ( x ) mientras se mantiene constante (y ). El hecho de que las integrales dobles se puedan dividir en integrales iteradas se expresa en el teorema de Fubini. Piense en este teorema como una herramienta esencial para evaluar integrales dobles.

Teorema: TEOREMA DE FUBINI

Suponga que (f (x, y) ) es una función de dos variables que es continua en una región rectangular (R = big {(x, y) ∈ mathbb {R} ^ 2 | , a leq x leq b, , c leq y leq d big } ). Luego vemos en la Figura ( PageIndex {6} ) que la integral doble de (f ) sobre la región es igual a una integral iterada,

[ iint_R f (x, y) , dA = iint_R f (x, y) , dx , dy = int_a ^ b int_c ^ df (x, y) , dy , dx = int_c ^ d int_a ^ bf (x, y) , dx , dy. ]

De manera más general, el teorema de Fubini es verdadero si (f ) está limitado en (R ) y (f ) es discontinuo solo en un número finito de curvas continuas. En otras palabras, (f ) tiene que ser integrable sobre (R ).

Ejemplo ( PageIndex {2} ): Uso del teorema de Fubini

Usa el teorema de Fubini para calcular la integral doble ( displaystyle iint_R f (x, y) , dA ) donde (f (x, y) = x ) y (R = [0, 2] times [0, 1] ).

Solución

El teorema de Fubini ofrece una forma más sencilla de evaluar la integral doble mediante el uso de una integral iterada. Observe cómo los valores de los límites de la región (R ) se convierten en los límites superior e inferior de integración.

[ begin {align *} iint_R f (x, y) , dA & = iint_R f (x, y) , dx , dy [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 1} int_ {x = 0} ^ {x = 2} x , dx , dy [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 1} left [ frac {x ^ 2} {2} bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} right] , dy [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 1} 2 , dy = 2y bigg | _ {y = 0} ^ {y = 1} = 2 end {align *} ]

La doble integración en este ejemplo es lo suficientemente simple como para usar el teorema de Fubini directamente, lo que nos permite convertir una integral doble en una integral iterada. En consecuencia, ahora estamos listos para convertir todas las integrales dobles en integrales iteradas y demostrar cómo las propiedades enumeradas anteriormente pueden ayudarnos a evaluar integrales dobles cuando la función (f (x, y) ) es más compleja. Tenga en cuenta que el orden de integración se puede cambiar (consulte el Ejemplo 7).

Ejemplo ( PageIndex {3} ): ilustrando las propiedades i y ii

Evalúa la integral doble [ iint_R (xy - 3xy ^ 2) , dA, , text {donde} , R = big {(x, y) , | , 0 leq x leq 2, , 1 leq y leq 2 big }. Nonumber ]

Solución

Esta función tiene dos partes: una es (xy ) y la otra es (3xy ^ 2 ). Además, la segunda pieza tiene una constante 3. Observa cómo usamos las propiedades i y ii para ayudar a evaluar la integral doble.

[ begin {align *} iint_R (xy - 3xy ^ 2) , dA & = iint_R xy , dA + iint_R (-3xy ^ 2) , dA & & text {Propiedad i: Integral de una suma es la suma de las integrales.} [4pt]
& = int_ {y = 1} ^ {y = 2} int_ {x = 0} ^ {x = 2} xy , dx , dy - int_ {y = 1} ^ {y = 2} int_ {x = 0} ^ {x = 2} 3xy ^ 2 , dx , dy & & text {Convertir integrales dobles en integrales iteradas.} [4pt]
& = int_ {y = 1} ^ {y = 2} left ( frac {x ^ 2} {2} y right) bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} , dy - 3 int_ {y = 1} ^ {y = 2} left ( frac {x ^ 2} {2} y ^ 2 right) bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} , dy & & text {Integrar con respecto a $ x $, manteniendo constante $ y $.} [4pt]
& = int_ {y = 1} ^ {y = 2} 2y , dy - int_ {y = 1} ^ {y = 2} 6y ^ 2 dy & & text {Propiedad ii: Colocar la constante antes de integral.} [4pt]
& = 2 int_1 ^ 2 y , dy - 6 int_1 ^ 2 y ^ 2 , dy & & text {Integrar con respecto ay.} [4pt]
& = 2 frac {y ^ 2} {2} bigg | _1 ^ 2-6 frac {y ^ 3} {3} bigg | _1 ^ 2 [4pt]
& = y ^ 2 bigg | _1 ^ 2 - 2y ^ 3 bigg | _1 ^ 2 [4pt]
& = (4−1) - 2 (8−1) = 3-2 (7) = 3-14 = −11. end {alinear *} ]

Ejemplo ( PageIndex {4} ): ilustrando la propiedad v.

Sobre la región (R = big {(x, y) , | , 1 leq x leq 3, , 1 leq y leq 2 big } ), tenemos (2 leq x ^ 2 + y ^ 2 leq 13 ). Encuentra un límite inferior y uno superior para la integral ( displaystyle iint_R (x ^ 2 + y ^ 2) , dA. )

Solución

Para un límite inferior, integre la función constante 2 sobre la región (R ). Para un límite superior, integre la función constante 13 sobre la región (R ).

[ begin {align *} int_1 ^ 2 int_1 ^ 3 2 , dx , dy & = int_1 ^ 2 [2x bigg | _1 ^ 3] , dy = int_1 ^ 2 2 (2) dy = 4y bigg | _1 ^ 2 = 4 (2-1) = 4 [4pt] int_1 ^ 2 int_1 ^ 3 13dx , dy & = int_1 ^ 2 [13x bigg | _1 ^ 3] , dy = int_1 ^ 2 13 (2) , dy = 26y bigg | _1 ^ 2 = 26 (2-1) = 26. end {align *} ]

Por lo tanto, obtenemos ( displaystyle 4 leq iint_R (x ^ 2 + y ^ 2) , dA leq 26. )

Ejemplo ( PageIndex {5} ): ilustrando la propiedad vi

Evalúa la integral ( displaystyle iint_R e ^ y cos x , dA ) sobre la región (R = big {(x, y) , | , 0 leq x leq frac { pi} {2}, , 0 leq y leq 1 big } ).

Solución

Este es un gran ejemplo para la propiedad vi porque la función (f (x, y) ) es claramente el producto de dos funciones de una sola variable (e ^ y ) y ( cos x ). Por lo tanto, podemos dividir la integral en dos partes y luego integrar cada una como un problema de integración de una sola variable.

[ begin {align *} iint_R e ^ y cos x , dA & = int_0 ^ 1 int_0 ^ { pi / 2} e ^ y cos x , dx , dy [4pt ]
& = left ( int_0 ^ 1 e ^ y dy right) left ( int_0 ^ { pi / 2} cos x , dx right) [4pt]
& = (e ^ y bigg | _0 ^ 1) ( sin x bigg | _0 ^ { pi / 2}) [4pt]
& = e - 1. end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {2} )

un. Usa las propiedades de la integral doble y el teorema de Fubini para evaluar la integral

[ int_0 ^ 1 int _ {- 1} ^ 3 (3 - x + 4y) , dy , dx. sin número ]

B. Muestra que ( displaystyle 0 leq iint_R sin pi x , cos pi y , dA leq frac {1} {32} ) donde (R = left (0, frac {1} {4} right) left ( frac {1} {4}, frac {1} {2} right) ).

Pista

Propiedades de uso i. y ii. y evaluar la integral iterada, y luego usar la propiedad v.

Respuesta

un. (26 )

B. Las respuestas pueden variar.

Como mencionamos antes, cuando usamos coordenadas rectangulares, la integral doble sobre una región (R ) denotada por ( iint_R f (x, y) , dA ) se puede escribir como ( iint_R , f (x, y) , dx , dy ) o ( iint_R , f (x, y) , dy , dx. ) El siguiente ejemplo muestra que los resultados son los mismos independientemente del orden de integración que elegimos.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): evaluar una integral iterada de dos maneras

Regresemos a la función (f (x, y) = 3x ^ 2 - y ) del Ejemplo 1, esta vez sobre la región rectangular (R = [0,2] times [0,3] ). Usa el teorema de Fubini para evaluar ( iint_R f (x, y) , dA ) de dos formas diferentes:

  1. Primero integre con respecto a (y ) y luego con respecto a (x );
  2. Primero integre con respecto a (x ) y luego con respecto a (y ).

Solución

La figura ( PageIndex {6} ) muestra cómo funciona el cálculo de dos formas diferentes.

  1. Primero integre con respecto a (y ) y luego integre con respecto a (x ):

[ begin {align *} iint_R f (x, y) , dA & = int_ {x = 0} ^ {x = 2} int_ {y = 0} ^ {y = 3} (3x ^ 2 - y) , dy , dx [4pt]
& = int_ {x = 0} ^ {x = 2} left ( int_ {y = 0} ^ {y = 3} (3x ^ 2 - y) , dy right) , dx = int_ {x = 0} ^ {x = 2} left [3x ^ 2y - frac {y ^ 2} {2} bigg | _ {y = 0} ^ {y = 3} right] , dx [4pt]
& = int_ {x = 0} ^ {x = 2} left (9x ^ 2 - frac {9} {2} right) , dx = 3x ^ 3 - frac {9} {2} x bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} = 15. end {align *} ]

  1. Primero integre con respecto a (x ) y luego integre con respecto a (y ):
    [ begin {align *} iint_R f (x, y) , dA & = int_ {y = 0} ^ {y = 3} int_ {x = 0} ^ {x = 2} (3x ^ 2 - y) , dx , dy [4pt]
    & = int_ {y = 0} ^ {y = 3} left ( int_ {x = 0} ^ {x = 2} (3x ^ 2 - y) , dx right) , dy [ 4pt]
    & = int_ {y = 0} ^ {y = 3} left [x ^ 3 - xy bigg | _ {x = 0} ^ {x = 2} right] dy [4pt]
    & = int_ {y = 0} ^ {y = 3} (8 - 2y) , dy = 8y - y ^ 2 bigg | _ {y = 0} ^ {y = 3} = 15. end { alinear*}]

Análisis

Con cualquier orden de integración, la integral doble nos da una respuesta de (15 ). Podríamos querer interpretar esta respuesta como un volumen en unidades cúbicas del sólido (S ) debajo de la función (f (x, y) = 3x ^ 2 - y ) sobre la región (R = [0, 2] veces [0,3] ). Sin embargo, recuerde que la interpretación de una integral doble como un volumen (sin signo) funciona solo cuando el integrando (f ) es una función no negativa sobre la región base (R ).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Evaluar

[ int_ {y = -3} ^ {y = 2} int_ {x = 3} ^ {x = 5} (2 - 3x ^ 2 + y ^ 2) , dx , dy. sin número]

Pista

Utilice el teorema de Fubini.

Respuesta

(- frac {1340} {3} )

En el siguiente ejemplo, vemos que en realidad puede ser beneficioso cambiar el orden de integración para facilitar el cálculo. Volveremos a esta idea varias veces en este capítulo.

Ejemplo ( PageIndex {7} ): Cambiar el orden de integración

Considera la integral doble ( displaystyle iint_R x , sin (xy) , dA ) sobre la región (R = big {(x, y) , | , 0 leq x leq pi, , 1 leq y leq 2 big } ) (Figura ( PageIndex {7} )).

  1. Expresa la integral doble de dos formas diferentes.
  2. Analiza si evaluar la integral doble de una forma es más fácil que de otra y por qué.
  3. Evalúa la integral.
  1. Podemos expresar ( iint_R x , sin (xy) , dA ) de las dos formas siguientes: primero integrando con respecto a (y ) y luego con respecto a (x ); segundo integrando con respecto a (x ) y luego con respecto a (y ).
    [ iint_R x , sin (xy) , dA = int_ {x = 0} ^ {x = pi} int_ {y = 1} ^ {y = 2} x , sin (xy ) , dy , dx nonumber ]
    Integre primero con respecto a (y ).
    [= int_ {y = 1} ^ {y = 2} int_ {x = 0} ^ {x = pi} x , sin (xy) , dx , dy nonumber ]
    Integre primero con respecto a (x ).
  2. Si queremos integrarnos con respecto a y primero y luego integrar con respecto a (x ), vemos que podemos usar la sustitución (u = xy ), que da (du = x , dy ). Por lo tanto, la integral interna es simplemente ( int sin u , du ) y podemos cambiar los límites para que sean funciones de (x ),

[ iint_R x , sin (xy) , dA = int_ {x = 0} ^ {x = pi} int_ {y = 1} ^ {y = 2} x , sin (xy ) , dy , dx = int_ {x = 0} ^ {x = pi} left [ int_ {u = x} ^ {u = 2x} sin (u) , du right] , dx. nonumber ]

Sin embargo, la integración con respecto a (x ) primero y luego la integración con respecto a (y ) requiere la integración por partes para la integral interna, con (u = x ) y (dv = sin (xy) dx )

Entonces (du = dx ) y (v = - frac { cos (xy)} {y} ), entonces

[ iint_R x sin (xy) , dA = int_ {y = 1} ^ {y = 2} int_ {x = 0} ^ {x = pi} x sin (xy) , dx , dy = int_ {y = 1} ^ {y = 2} left [- frac {x , cos (xy)} {y} bigg | _ {x = 0} ^ {x = pi} + frac {1} {y} int_ {x = 0} ^ {x = pi} cos (xy) , dx right] , dy. nonumber ]

Dado que la evaluación se está complicando, solo haremos el cálculo que sea más fácil de hacer, que es claramente el primer método.

  1. Evalúe la integral doble usando la forma más fácil.

[ begin {align *} iint_R x , sin (xy) , dA & = int_ {x = 0} ^ {x = pi} int_ {y = 1} ^ {y = 2} x , sin (xy) , dy , dx [4pt]
& = int_ {x = 0} ^ {x = pi} left [ int_ {u = x} ^ {u = 2x} sin (u) , du right] , dx = int_ { x = 0} ^ {x = pi} left [- cos u bigg | _ {u = x} ^ {u = 2x} right] , dx [4pt]
& = int_ {x = 0} ^ {x = pi} (- cos 2x + cos x) , dx [4pt]
& = left (- frac {1} {2} sin 2x + sin x right) bigg | _ {x = 0} ^ {x = pi} = 0. end {align *} ]

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Evalúa la integral ( displaystyle iint_R xe ^ {xy} , dA ) donde (R = [0,1] times [0, ln 5] ).

Pista

Primero integre con respecto a (y ).

Respuesta

( frac {4 - ln 5} { ln 5} )

Aplicaciones de integrales dobles

Las integrales dobles son muy útiles para encontrar el área de una región limitada por curvas de funciones. Describimos esta situación con más detalle en la siguiente sección. Sin embargo, si la región tiene forma rectangular, podemos encontrar su área integrando la función constante (f (x, y) = 1 ) sobre la región (R ).

Definición: área de la región

El área de la región (R ) está dada por [A (R) = iint_R 1 , dA. ]

Esta definición tiene sentido porque usar (f (x, y) = 1 ) y evaluar la integral la convierte en un producto de la longitud y la anchura. Revisemos esta fórmula con un ejemplo y veamos cómo funciona.

Ejemplo ( PageIndex {8} ): Encontrar área usando una integral doble

Encuentra el área de la región (R = big {, (x, y) , | , 0 leq x leq 3, , 0 leq y leq 2 big } ) por usando una integral doble, es decir, integrando (1 ) sobre la región (R ).

Solución

La región es rectangular con longitud (3 ) y ancho (2 ), por lo que sabemos que el área es (6 ). Obtenemos la misma respuesta cuando usamos una integral doble:

[A (R) = int_0 ^ 2 int_0 ^ 3 1 , dx , dy = int_0 ^ 2 left [x big | _0 ^ 3 right] , dy = int_0 ^ 2 3 dy = 3 int_0 ^ 2 dy = 3y bigg | _0 ^ 2 = 3 (2) = 6 , text {unidades} ^ 2. Nonumber ]

Ya hemos visto cómo se pueden usar integrales dobles para encontrar el volumen de un sólido acotado arriba por una función (f (x, y) geq 0 ) sobre una región (R ) siempre que (f (x, y) geq 0 ) para todo ((x, y) ) en (R ). Aquí hay otro ejemplo para ilustrar este concepto.

Ejemplo ( PageIndex {9} ): Volumen de un paraboloide elíptico

Encuentra el volumen (V ) del sólido (S ) que está limitado por el paraboloide elíptico (2x ^ 2 + y ^ 2 + z = 27 ), los planos (x = 3 ) y (y = 3 ) y los tres planos de coordenadas.

Solución

Primero observe la gráfica de la superficie (z = 27 - 2x ^ 2 - y ^ 2 ) en la Figura ( PageIndex {8} ) (a) y arriba de la región cuadrada (R_1 = [-3,3 ] veces [-3,3] ). Sin embargo, necesitamos el volumen del sólido delimitado por el paraboloide elíptico (2x ^ 2 + y ^ 2 + z = 27 ), los planos (x = 3 ) y (y = 3 ), y el tres planos de coordenadas.

Ahora veamos el gráfico de la superficie en la Figura ( PageIndex {8} ) (b). Determinamos el volumen (V ) evaluando la integral doble sobre (R_2 ):

[ begin {align *} V & = iint_R z , dA = iint_R (27 - 2x ^ 2 - y ^ 2) , dA [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 3} int_ {x = 0} ^ {x = 3} (27 - 2x ^ 2 - y ^ 2) , dx , dy & & text { Convertir a integral literal.} [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 3} [27x - frac {2} {3} x ^ 3 - y ^ 2x] bigg | _ {x = 0} ^ {x = 3} , dy & & text {Integrar con respecto a $ x $.} [4pt]
& = int_ {y = 0} ^ {y = 3} (63 - 3y ^ 2) dy = 63 y - y ^ 3 bigg | _ {y = 0} ^ {y = 3} = 162. end {alinear*}]

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Encuentra el volumen del sólido acotado arriba por la gráfica de (f (x, y) = xy sin (x ^ 2y) ) y abajo por el plano (xy ) - en la región rectangular (R = [0,1] veces [0, pi] ).

Pista

Grafica la función, configura la integral y usa una integral iterada.

Respuesta

( frac { pi} {2} )

Recuerde que definimos el valor promedio de una función de una variable en un intervalo ([a, b] ) como

[f_ {ave} = frac {1} {b - a} int_a ^ b f (x) , dx. ]

De manera similar, podemos definir el valor promedio de una función de dos variables en una región. (R ). La principal diferencia es que dividimos por un área en lugar del ancho de un intervalo.

Definición: VALOR PROMEDIO DE UNA FUNCIÓN

El valor medio de una función de dos variables en una región (R ) es

[F_ {ave} = frac {1} { text {Área de} , R} iint_R f (x, y) , dx , dy. ]

En el siguiente ejemplo, encontramos el valor promedio de una función en una región rectangular. Este es un buen ejemplo de cómo obtener información útil para una integración haciendo mediciones individuales sobre una cuadrícula, en lugar de intentar encontrar una expresión algebraica para una función.

Ejemplo ( PageIndex {10} ): Calcular la precipitación pluvial promedio

El mapa meteorológico de la Figura ( PageIndex {9} ) muestra un sistema de tormentas inusualmente húmedo asociado con los restos del huracán Karl, que arrojó 4 a 8 pulgadas (100 a 200 mm) de lluvia en algunas partes del Medio Oeste en septiembre 22-23 de 2010. El área de lluvia midió 300 millas de este a oeste y 250 millas de norte a sur. Estime la precipitación promedio en toda el área en esos dos días.

Solución

Coloque el origen en la esquina suroeste del mapa para que todos los valores se puedan considerar como en el primer cuadrante y, por lo tanto, todos sean positivos. Ahora divida todo el mapa en seis rectángulos ((m = 2 ) y (n = 3) ), como se muestra en la Figura ( PageIndex {9} ). Suponga que (f (x, y) ) denota la lluvia de tormenta en pulgadas en un punto aproximadamente a (x ) millas al este del origen y (y ) millas al norte del origen. Sea (R ) el área completa de (250 times 300 = 75000 ) millas cuadradas. Entonces el área de cada subrectangulo es

[ Delta A = frac {1} {6} (75000) = 12500. nonumber ]

Suponga que ((x_ {ij} *, y_ {ij} *) ) son aproximadamente los puntos medios de cada subrectangulo (R_ {ij} ). Tenga en cuenta la región codificada por colores en cada uno de estos puntos y estime la precipitación. La precipitación en cada uno de estos puntos se puede estimar como:

  • En ( (x_ {11}, y_ {11} )), la precipitación es 0.08.
  • En ( (x_ {12}, y_ {12} )), la precipitación es 0.08.
  • En ( (x_ {13}, y_ {13} )), la precipitación es 0.01.
  • En ( (x_ {21}, y_ {21} )), la precipitación es de 1,70.
  • En ( (x_ {22}, y_ {22} )), la precipitación es de 1,74.
  • En ( (x_ {23}, y_ {23} )), la precipitación es 3.00.

Según nuestra definición, la precipitación pluvial promedio en toda el área durante esos dos días fue

[ begin {align *} f_ {ave} = frac {1} {Área , R} iint_R & = f (x, y) , dx , dy = frac {1} {75000} iint_R f (x, y) , dx , dy [4pt]
& approx frac {1} {75000} sum_ {i = 1} ^ 3 sum_ {j = 1} ^ 2 f (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) Delta A [4pt]
& = frac {1} {75000} [f (x_ {11} ^ *, y_ {11} ^ *) Delta A + f (x_ {12} ^ *, y_ {12} ^ *) Delta A + f (x_ {13} ^ *, y_ {13} ^ *) Delta A + f (x_ {21} ^ *, y_ {21} ^ *) Delta A + f (x_ {22} ^ *, y_ {22} ^ *) Delta A + f (x_ {23} ^ *, y_ {23} ^ *) Delta A] [4pt]
& approx frac {1} {75000} [0.08 + 0.08 + 0.01 + 1.70 + 1.74 + 3.00] Delta A [4pt]
& = frac {1} {75000} [0,08 + 0,08 + 0,01 + 1,70 + 1,74 + 3,00] 12500 [4pt]
& = frac {1} {6} [0.08 + 0.08 + 0.01 + 1.70 + 1.74 + 3.00] [4pt] & approx 1.10 ; text {in}. end {alinear *} ]

Durante el 22 al 23 de septiembre de 2010, esta área tuvo una precipitación pluvial promedio de aproximadamente 1,10 pulgadas.

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Se muestra un mapa de contorno para una función (f (x, y) ) en el rectángulo (R = [-3,6] times [-1, 4] ).

un. Usa la regla del punto medio con (m = 3 ) y (n = 2 ) para estimar el valor de ( displaystyle iint_R f (x, y) , dA. )

B. Estima el valor promedio de la función (f (x, y) ).

Pista

Divida la región en seis rectángulos y use las curvas de nivel para estimar los valores de (f (x, y) ).

Respuesta

Respuestas a ambas partes a. y B. puede variar.

Conceptos clave

  • Podemos usar una suma de Riemann doble para aproximar el volumen de un sólido acotado arriba por una función de dos variables sobre una región rectangular. Al tomar el límite, esto se convierte en una integral doble que representa el volumen del sólido.
  • Las propiedades de la integral doble son útiles para simplificar el cálculo y encontrar límites en sus valores.
  • Podemos usar el teorema de Fubini para escribir y evaluar una integral doble como una integral iterada.
  • Las integrales dobles se utilizan para calcular el área de una región, el volumen debajo de una superficie y el valor promedio de una función de dos variables en una región rectangular.

Ecuaciones clave

  • [ iint_R f (x, y) , dA = lim_ {m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ij *, y_ij *) , ΔA nonumber ]
  • [ int_a ^ b int_c ^ d f (x, y) , dx , dy = int_a ^ b left [ int_c ^ d f (x, y) , dy right] dx nonumber ] o

    [ int_c ^ d int_a ^ b f (x, y) , dx , dy = int_c ^ d left [ int_a ^ b f (x, y) , dx right] dy nonumber ]

  • [f_ {ave} = frac {1} { text {Área de} , R} iint_R f (x, y) , dx , dy nonumber ]

Glosario

integral doble
de la función (f (x, y) ) sobre la región (R ) en el plano (xy ) - se define como el límite de una suma de Riemann doble,
[ iint_R f (x, y) , dA = lim_ {m, n rightarrow infty} sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ nf (x_ {ij} ^ * , y_ {ij} ^ *) , Delta A. nonumber ]
suma doble de Riemann
de la función (f (x, y) ) sobre una región rectangular (R ) es
[ sum_ {i = 1} ^ m sum_ {j = 1} ^ n f (x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) , Delta A, nonumber ]
donde (R ) se divide en subrectangulos más pequeños (R_ {ij} ) y ((x_ {ij} ^ *, y_ {ij} ^ *) ) es un punto arbitrario en (R_ {ij} )
Teorema de Fubini
si (f (x, y) ) es una función de dos variables que es continua en una región rectangular (R = big {(x, y) in mathbb {R} ^ 2 , | , a leq x leq b, , c leq y leq d big } ), entonces la integral doble de (f ) sobre la región es igual a una integral iterada,
[ Displaystyle iint_R f (x, y) , dA = int_a ^ b int_c ^ df (x, y) , dx , dy = int_c ^ d int_a ^ bf (x, y) , dx , dy nonumber ]
integral iterada
for a function (f(x,y)) over the region (R) is

un. (displaystyle int_a^b int_c^d f(x,y) ,dx , dy = int_a^b left[int_c^d f(x,y) , dy ight] , dx,)

B. (displaystyle int_c^d int_a^b f(x,y) , dx , dy = int_c^d left[int_a^b f(x,y) , dx ight] , dy,)

where (a,b,c), and (d) are any real numbers and (R = [a,b] imes [c,d])