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4.1.1: Tamaño del divisor y tamaño del cociente - Matemáticas


Lección

Exploremos cocientes de diferentes tamaños.

Ejercicio ( PageIndex {1} ): Charla numérica: tamaño del dividendo y del divisor

Calcula mentalmente el valor de cada expresión.

(5,000 div 5 )

(5,000 div 2,500 )

(5,000 div 10,000 )

(5,000 div 500,000 )

Ejercicio ( PageIndex {2} ): todo apilado

  1. Aquí hay varios tipos de objetos. Para cada tipo de objeto, calcule cuántos hay en una pila de 5 pies de altura. Esté preparado para explicar su razonamiento.

Cajas de cartón

Cuadernos

Ladrillos

Monedas

  1. Una pila de libros mide 72 pulgadas de alto. Cada libro tiene 2 pulgadas de grosor. ¿Qué expresión nos dice cuántos libros hay en la pila? Esté preparado para explicar su razonamiento.
    • (72 cdot 2 )
    • (72-2)
    • (2 div 72 )
    • (72 div 2 )
  2. Otra pila de libros mide 43 pulgadas de alto. Cada libro tiene ( frac {1} {2} ) - pulgada de grosor. Escribe una expresión que represente la cantidad de libros en la pila.

Ejercicio ( PageIndex {3} ): Todo en orden

Tu maestro te dará dos juegos de papeles con expresiones de división.

  1. Sin calcular, estime los cocientes de cada conjunto y ordénelos de mayor a menor. Esté preparado para explicar su razonamiento.
    Haga una pausa aquí para una discusión en clase.
    Registre las expresiones en cada conjunto en orden de mayor a menor valor.
    1. Serie 1
    2. Conjunto 2
  2. Sin calcular, estime los cocientes y clasifíquelos en los siguientes tres grupos. Esté preparado para explicar su razonamiento.

( begin {array} {lllllll} {30 div frac {1} {2}} & { qquad} & {9 div 10} & { qquad} & {18 div 19} & { qquad} & {15,000 div 1,500,000} {30 div 0.45} & { qquad} & {9 div 10,000} & { qquad} & {18 div 0.18} & { qquad} & {15,000 div 14,500} end {matriz} )

  • Cerca de 0
  • Cerca de 1
  • Mucho más grande que 1

¿Estás listo para más?

Escribe 10 expresiones de la forma (12 div? ) En una lista ordenada de menor a mayor. ¿Puedes enumerar expresiones que tengan un valor cercano a 1 sin ser igual a 1? ¿Qué tan cerca puede llegar al valor 1?

Resumen

Aquí hay una expresión de división: (60 div 4 ). En esta división, llamamos 60 el dividendo y 4 el divisor. El resultado de la división es el cociente. En este ejemplo, el cociente es 15, porque (60 div 4 = 15 ).

No siempre tenemos que hacer cálculos para tener una idea de lo que será un cociente. Podemos razonar al respecto mirando el tamaño del dividendo y el divisor. Veamos algunos ejemplos.

  • En (100 div 11 ) y en (18 div 2.9 ) el dividendo es mayor que el divisor. (100 div 11 ) está muy cerca de (99 div 11 ), que es (9 ). El cociente (18 div 2.9 ) está cerca de (18 div 3 ) o (6 ).
    En general, cuando un número mayor se divide por un número menor, el cociente es mayor que (1 ).
  • En (99 div 101 ) y en (7.5 div 7.4 ) el dividendo y el divisor están muy cerca el uno del otro. (99 div 101 ) está muy cerca de (99 div 100 ), que es ( frac {99} {100} ) o (0,99 ). El cociente (7.5 div 7.4 ) está cerca de (7.5 div 7,5 ), que es (1 ).
    En general, cuando dividimos dos números que son casi iguales entre sí, el cociente es cercano a (1 ).
  • En (10 ​​ div 101 ) y en (50 div 198 ) el dividendo es menor que el divisor. (10 ​​ div 101 ) está muy cerca de (10 ​​ div 100 ), que es ( frac {10} {100} ) o (0.1 ). La división (50 div 198 ) está cerca de (50 div 200 ), que es ( frac {1} {4} ) o (0.25 ).
    En general, cuando un número menor se divide por un número mayor, el cociente es menor que (1 ).

Práctica

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Ordene de menor a mayor:

  • Cantidad de monedas de un centavo en una pila de 1 pie de alto
  • Número de libros en una pila de 1 pie de alto
  • Número de billetes de un dólar en una pila de 1 pie de alto
  • Número de rebanadas de pan en una pila de 1 pie de altura

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Usa cada uno de los números 4, 40 y 4000 una vez para completar las oraciones.

  1. El valor de ( underline { qquad} div 40.01 ) está cerca de (1 ).
  2. El valor de ( underline { qquad} div 40.01 ) es mucho menor que (1 ).
  3. El valor de ( underline { qquad} div 40.01 ) es mucho mayor que (1 ).

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Sin calcular, decida si el valor de cada expresión es mucho menor que 1, cercano a 1 o mucho mayor que 1.

  1. (100 div frac {1} {1000} )
  2. (50 frac {1} {3} div 50 frac {1} {4} )
  3. (4.7 div 5.2 )
  4. (2 div 7335 )
  5. (2,000,001 div 9 )
  6. (0,002 div 2,000 )

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Un caballito de balancín tiene un límite de peso de 60 libras.

  1. ¿Qué porcentaje del límite de peso es 33 libras?
  2. ¿Qué porcentaje del límite de peso es de 114 libras?
  3. ¿Qué peso es el 95% del límite?

(De la Unidad 3.4.7)

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Compare usando (> ), (= ) o (<).

  1. (0.7) ______ (0.70)
  2. (0.03+ frac {6} {10} ) ______ (0.30+ frac {6} {100} )
  3. (0.9) ______ (0.12)

(De la Unidad 3.4.5)

Ejercicio ( PageIndex {9} )

Diego tiene 90 canciones en su lista de reproducción. ¿Cuántas canciones hay para cada género?

  1. 40% roca
  2. 10% país
  3. 30% hip-hop
  4. El resto es electronica

(De la Unidad 3.4.4)

Ejercicio ( PageIndex {10} )

Una manguera de jardín emite 9 litros de agua en 6 segundos. A este ritmo:

  1. ¿Cuánto tiempo tardará la manguera en emitir 12 cuartos de galón?
  2. ¿Cuánta agua emite la manguera en 10 segundos?

(De la Unidad 3.3.4)


Lección 1

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Problema 2

Usa cada uno de los números 4, 40 y 4000 una vez para completar las oraciones.

El valor de ( underline < hspace <1in>> div 40.01 ) es cercano a 1.

El valor de ( underline < hspace <1in>> div 40.01 ) es mucho menor que 1.

El valor de ( underline < hspace <1in>> div 40.01 ) es mucho mayor que 1.

Solución

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Problema 3

Sin calcular, decida si el valor de cada expresión es mucho menor que 1, cercano a 1 o mucho mayor que 1.

  1. (100 div frac <1> <1000> )
  2. (50 frac13 div 50 frac14 )
  3. (4.7 div 5.2 )
  4. (2 div 7335 )
  5. (2, ! 000, ! 001 div 9 )
  6. (0,002 div 2, ! 000 )

Solución

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Problema 4

Un caballito de balancín tiene un límite de peso de 60 libras.

  1. ¿Qué porcentaje del límite de peso es 33 libras?
  2. ¿Qué porcentaje del límite de peso es de 114 libras?

¿Qué peso es el 95% del límite?

Solución

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Problema 5

Solución

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Problema 6

Diego tiene 90 canciones en su lista de reproducción. ¿Cuántas canciones hay para cada género?

Solución

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Problema 7

Una manguera de jardín emite 9 litros de agua en 6 segundos. A este ritmo:

  1. ¿Cuánto tiempo tardará la manguera en emitir 12 cuartos de galón?
  2. ¿Cuánta agua emite la manguera en 10 segundos?

Solución

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1.3 Todo en orden

Registre las expresiones en cada conjunto en orden de mayor a menor.

Sin calcular, calcule cada cociente y organícelos en tres grupos: cerca de 0, cerca de 1 y mucho más grande que 1. Esté preparado para explicar su razonamiento.

¿Estás listo para más?

Escribe 10 expresiones de la forma 12 div? en una lista ordenada de menor a mayor. ¿Puedes enumerar expresiones que tengan un valor cercano a 1 sin ser igual a 1? ¿Qué tan cerca puede llegar al valor 1?


División larga: divisor de un dígito y cociente de un dígito sin resto (A)

Maestro s Puede usar hojas de trabajo de matemáticas como pruebas, tareas de práctica o herramientas de enseñanza (por ejemplo, en el trabajo en grupo, como andamiaje o en un centro de aprendizaje). Padres pueden trabajar con sus hijos para darles práctica adicional, ayudarlos a aprender una nueva habilidad matemática o mantener sus habilidades frescas durante las vacaciones escolares. Estudiantes puede usar hojas de trabajo de matemáticas para dominar una habilidad matemática a través de la práctica, en un grupo de estudio o como tutoría entre compañeros.

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División Larga: Divisor de Un Dígito y Cociente de Un Dígito sin Resto (A) Página 1 División Larga: Divisor de Un Dígito y Cociente de Un Dígito sin Resto (A) Página 2

EL SIGNIFICADO DE DIVISIÓN

- el multiplicador y el multiplicando, y tenemos que nombrar su producto.

Pero en lo que se llama el inverso de la multiplicación, se nos da el producto y el multiplicando:

- y tenemos que nombrar el multiplicador.

"¿Qué número multiplicado por 15 es igual a 60?"

"¿Cuántas veces tenemos que sumar 15 para obtener 60?"

A eso lo llamamos división porque 60 se divide por - cortado en partes iguales - por 15.

"60 dividido entre 15 es igual a 4".

De manera equivalente, podríamos restar 15 de 60 cuatro veces. La multiplicación es suma repetida. Por tanto, podemos pensar en la división como una resta repetida.

luego 15, el número a la derecha del signo de división & divide, se llama divisor. Es el número que tenemos que multiplicar para obtener 60.

60 se llama dividendo, es el número que se divide entre 15.

4 se llama cociente. Es el número de veces que debemos multiplicar 15 para obtener 60. En la figura, el cociente es el número de partes iguales en las que se ha dividido el dividendo.


1. ¿Cuál es el problema de la "división"?
Dividendo y Divisor de dividendos = Cociente.
Cociente y divisor de tiempos = Dividendo.
Debemos nombrar el número de veces que un número, llamado Divisor, está contenido en otro número, llamado Dividendo.
Ese número de veces se llama Cociente.
De manera equivalente, debemos decir qué número de veces el Divisor será igual al Dividendo. Es decir, ¿cuántas veces tenemos que sumar el Divisor para que sea igual al Dividendo?
O, ¿cuántas veces podríamos restar el Divisor del Dividendo?

Un divisor no puede ser 0 - 6 y dividir 0, porque cualquier número
veces 0 seguirá siendo 0. La división por 0 es una operación excluida.

En cuanto a 0 y dividir 0, eso es ambiguo porque podría ser cualquier número. Cualquier número multiplicado por el divisor 0 será igual al dividendo 0.

Ejemplo 1. Esta figura muestra cómo los números 1, 2, 3, 4 y 6 entran en - están contenidos en - 12.

6 entra en 12 dos veces. 12 y divide 6 = 2.

4 entra en 12 tres veces. 12 y divide 4 = 3.

3 entra en 12 cuatro veces. 12 y divide 3 = 4.

2 entra en 12 seis veces. 12 y divide 2 = 6.

1 entra en 12 doce veces. 12 y divide 1 = 12.

Ejemplo 2. Una botella de jugo contiene 18 onzas. ¿Cuántas veces podrías llenar un vaso de 6 onzas?

Respuesta . Cualquier problema que pregunte "¿Cuántas veces?" es un problema de división. Entonces la pregunta es: ¿Cuántas veces hay 6 onzas contenidas en 18?

Podrías llenar el vaso 3 veces.

Aquí está la imagen de 18 y divide 6:

6 entra en 18 tres veces. Eso es,

De manera equivalente, podríamos restar 6 de 18 tres veces.

Aquí, por otro lado, está la imagen de 18 y divide 3:

18 se pueden dividir en seis 3.

Dividendo y Divisor de dividendos = Cociente
Cociente y divisor de tiempos = Dividendo

Para un problema tan simple, el estudiante no debe escribir el cuadro de división.

No es necesario prepararse para una división larga como lo hicieron hace 100 años.

Ejemplo 3. ¿Qué número multiplicado por 10 será igual a 72?

Respuesta . Nuevamente, este es un problema de división. El número que sigue a la palabra "tiempos" es el divisor. Tenemos que dividir 72 entre 10.

Ejemplo 4. Si se necesitan 3 yardas de material para hacer un traje, ¿cuántos trajes se podrían hacer con una pieza de material de 15 yardas?

Respuesta . Tenemos que cortar 3 yardas desde 15 yardas tantas veces como podamos. Ese número de veces es 15 y divide 3.

Este problema ilustra lo siguiente: El dividendo y el divisor deben ser unidades del mismo tipo. Solo podemos dividir yardas por yardas, dólares por dólares, horas por horas. No podemos dividir 8 manzanas por 2 naranjas.

- porque no hay un número multiplicado por 2 naranjas que equivaldrán a 8 manzanas

Es más, vemos que el cociente es siempre un número puro.

Dividendo y divide Divisor = Cociente.

Es el número que multiplica el divisor para producir el dividendo.

Ejemplo 5. Está programado que llegue un autobús cada 12 minutos. En el transcurso de 2 horas, ¿cuántos autobuses llegarán?

Respuesta . ¿Cuántas veces se contienen 12 minutos en 2 horas? Pero las unidades deben ser las mismas. Dado que 1 hora = 60 minutos, luego 2 horas = 2 y tiempos 60 = 120 minutos.

120 minutos y dividir 12 minutos = 10.

10 veces 12 minutos = 120 minutos. (Lección 4.)

En el transcurso de 2 horas, llegarán 10 autobuses.

(Vea el problema 6 al final de la lección).

División en partes iguales

2. Si dividimos un número en partes iguales, ¿cómo podemos saber cuántos hay en cada parte?
Divida por el número de partes iguales.

Si dividimos en 2 partes iguales,

luego, para saber cuántos hay en cada parte, divida por 2.

Si dividimos en 3 partes iguales,

Es por eso que para dividir la totalidad de algo, que es 100%, en 100 partes iguales, es decir, para encontrar el 1% de un número, lo dividimos por 100 (Lección 4, Pregunta 6).

Ejemplo 6. Si dividimos a 28 personas en cuatro partes iguales, ¿cuántas habrá en cada parte?

En la lección 15 veremos que estamos tomando un "cuarto" o un "cuarto" de 28 personas.

Solución. Dividir entre 4. 28 y dividir 4 = 7.

Habrá 7 personas en cada parte.

Pero esa es la imagen de 28 & divide 7. ¿Por qué 28 & divide 4 da la respuesta correcta?

Debido a la propiedad de orden de la multiplicación. 28 y dividir 4 = 7 significa

Eso significa que 28 se compone de cuatro 7.

Ejemplo 7. Christopher compró 3 camisas por un total de $ 66. Cada uno cuesta lo mismo. ¿Cuánto costó cada uno?

Solución. Si dividimos $ 66 en 3 partes iguales, sabremos la respuesta.

¿Qué número multiplicado por 3 será 66?

De manera equivalente, 3 veces ¿qué número será 66?

En la lección 15, hablaremos simplemente de tomar un tercio de $ 66, y la cuestión de la división nunca surge.

Un problema en el que relacionamos unidades de diferentes tipos (dólares por camiseta, por ejemplo) se denomina problema de tarifas, como vamos a ver.


3. ¿Qué es una tarifa?
Una tasa es una relación entre unidades de diferentes tipos. Millas por hora. Dólares por persona. Etcétera.

Una tasa se indica típicamente por per, que significa para cada uno o en cada uno.

En un cálculo, por siempre indica división.

Ejemplo 8. En un país determinado, la unidad monetaria es la corona. Con $ 11 Ana pudo comprar 55 coronas. ¿Cuál fue el tipo de cambio? Es decir, ¿cuántas coronas por dólar?

Solución. Siga la secuencia: coronas por dólar: 55 y divida 11 = 5.

El tipo de cambio era de 5 coronas por dólar.

Nuevamente, un problema de tasa implica dividir un número en partes iguales. En este ejemplo, dividimos 55 coronas en 5 partes iguales de 11 coronas cada una.

5 y veces 11 coronas = 55 coronas.

Pero eso implica 11 y veces 5 coronas = 55 coronas:

Cada grupo de 5 valía $ 1. Ese era el tipo de cambio. 5 coronas por dólar.

Para preservar los significados de multiplicación y división, debemos relacionar unidades del mismo tipo, aunque no sea así como podría parecer.

División exacta versus inexacta

Los números exactamente divisibles por 3 son múltiplos de 3:

Y como son divisibles por 3, también lo son

Dado que esos son múltiplos de 3, decimos que 3 es su divisor. En otras palabras, decimos que un número es divisor de un segundo si el segundo es su múltiplo.

Un número entrará uniformemente en cada uno de sus múltiplos.

Los números exactamente divisibles por 8 son múltiplos de 8:

Ejemplo 9. Una botella contiene 35 onzas. Un vaso tiene capacidad para 8 onzas. ¿Cuántos vasos puedes llenar con esa botella?

Solución. Debemos calcular 35 y dividir 8. Ahora, 8 entra exactamente en 32, pero 8 no entra exactamente en 35:

Queda un resto de 3.

Por lo tanto, podría llenar 4 vasos y quedarán 3 onzas en la botella.

El resto 3 es lo que tenemos que sumar a 4 y multiplicado por 8 para obtener 35.

Digamos que hay una gran cantidad de personas y queremos dividirlas en grupos de 5.

Pero digamos que descubrimos que no hay un número exacto de 5. Entonces, ¿cuántas personas no podríamos agrupar? ¿Cuántas personas podrían quedar?

Respuesta: 1, 2, 3 o 4. Porque si quedaran más de 4, podríamos hacer otro grupo de 5

El resto es siempre menor que el divisor.

Si dividimos por 5, los posibles residuos son 1, 2, 3 o 4.

a) Si 7 es el divisor, ¿cuáles son los posibles residuos?

b) ¿Cuántos 7 hay en 61?

Respuesta. 8. 8 & times 7 es 56 - más 5 es 61.

El resto 5 es lo que debemos sumar a 56 para obtener 61.

Ejemplo 11. Demuestre: 47 y divida 9 = 5 R 2.

Prueba . 5 y multiplicado por 9 + 2 = 45 + 2 = 47.

Di el cociente de números enteros y el resto. No escriba el cuadro de división.

"8 entra en 53 seis veces - 48 - con 5 restantes".

El resto es el número que debes sumar a 48 para obtener 53.

¿Cómo sabrías que tienes que sumar 5? 4 8 más ¿qué número termina en 3? 8 más 5 termina en 3. (13.) 5 es el resto.

48 más 2 es 50, más 3 es 53.

"4 entra en 31 siete veces - 28 - con 3 restantes".

En lo que sigue, significaremos división de esta manera:

Dividendo
Divisor
= Cociente

Cociente y tiempos Divisor = Dividendo

La línea horizontal que separa 16 y 8 se llama barra de división. La barra de división también se usa para significar una fracción, porque una fracción a veces requiere la división del numerador por el denominador. (Lecciones 20 y 24.) También usamos la barra de división para indicar la razón de dos números. (Lección 20.)

"¿280 dividido entre 7 es qué número?"

Respuesta . Ignore el 0. 7 entra en 28 cuatro (4) veces. Por lo tanto, 7 entra en 280 cuarenta (40) veces.

En otras palabras, dado que 28 es divisible entre 7, entonces también lo es '28' seguido de cualquier número de ceros.


Manual de álgebra

Prueba

Según el teorema de Martindale, RC tiene un idempotente primitivo, pero el anillo Q(R ) sin divisores cero puede tener solo un idempotente distinto de cero, es 1. Por lo tanto, RC = 1 · RC · 1 = T es un campo de dimensión finita sobre C.

Consideremos un lineal sobre C proyección l: T → o n C y suponga que l(T) ∩ R = 0. Entonces, por el Lema 2.2.6 hay elementos aI, BI ∈ T, tal que


Ejemplos de

Para extender el round a nuevos tipos numéricos, normalmente es suficiente definir Base.round (x :: NewType, r :: RoundingMode).

Un tipo utilizado para controlar el modo de redondeo de las operaciones de punto flotante (mediante funciones de redondeo / setrounding) o como argumentos opcionales para redondear al entero más cercano (mediante la función round).

Los modos de redondeo admitidos actualmente son:

El modo de redondeo predeterminado. Redondea al número entero más cercano, con empates (valores fraccionarios de 0,5) que se redondean al número entero par más cercano.

Redondea al entero más cercano, con empates redondeados desde cero (comportamiento de redondeo C / C ++).

Redondea al entero más cercano, con vínculos redondeados hacia infinito positivo (comportamiento de ronda Java / JavaScript).

round usando este modo de redondeo es un alias para trunc.

Redondea desde cero. Este modo de redondeo solo se puede utilizar con entradas T == BigFloat para redondear.

round usando este modo de redondeo es un alias para ceil.

round usando este modo de redondeo es un alias para floor.

Devuelve el valor integral más cercano del mismo tipo que el valor complejo de la z a la z, rompiendo los lazos usando el RoundingMode s especificado. El primer RoundingMode se utiliza para redondear los componentes reales, mientras que el segundo se utiliza para redondear los componentes imaginarios.

ceil (x) devuelve el valor integral más cercano del mismo tipo que x que es mayor o igual que x.

ceil (T, x) convierte el resultado al tipo T, arrojando un InexactError si el valor no es representable.

dígitos, sigdigits y base funcionan como para redondos.

floor (x) devuelve el valor integral más cercano del mismo tipo que x que es menor o igual que x.

floor (T, x) convierte el resultado al tipo T, arrojando un InexactError si el valor no es representable.

dígitos, sigdigits y base funcionan como para redondos.

trunc (x) devuelve el valor integral más cercano del mismo tipo que x cuyo valor absoluto es menor o igual que x.

trunc (T, x) convierte el resultado al tipo T, arrojando un InexactError si el valor no es representable.

dígitos, sigdigits y base funcionan como para redondos.

Devuelve el valor integral más cercano de tipo T cuyo valor absoluto es menor o igual que x. Si el valor no es representable por T, se devolverá un valor arbitrario.

Devuelve el mínimo de argumentos. Consulte también la función mínima para tomar el elemento mínimo de una colección.

Devuelve el máximo de argumentos. Consulte también la función máxima para tomar el elemento máximo de una colección.

Retorno (min (x, y), max (x, y)). Ver también: extrema que devuelve (mínimo (x), máximo (x)).

Devuelve x si lo & lt = x & lt = hi. Si x & gt hola, devuelve hola. Si x & lt lo, devuelve lo. Los argumentos se promueven a un tipo común.

Fije x entre typemin (T) y typemax (T) y convierta el resultado al tipo T.

Sujete x para que quede dentro del rango r.

Este método requiere al menos Julia 1.6.

Restrinja los valores de la matriz al rango especificado, en el lugar. Ver también abrazadera.

Cuando se aplica abs a enteros con signo, puede producirse un desbordamiento, lo que da como resultado el retorno de un valor negativo. Este desbordamiento ocurre solo cuando se aplica abs al valor mínimo representable de un entero con signo. Es decir, cuando x == typemin (typeof (x)), abs (x) == x & lt 0, no -x como podría esperarse.

Calcula abs (x), verificando errores de desbordamiento cuando corresponda. Por ejemplo, dos números enteros con signo de complemento estándar (por ejemplo, Int) no pueden representar abs (typemin (Int)), lo que conduce a un desbordamiento.

La protección contra desbordamiento puede imponer una penalización de rendimiento perceptible.

Calcula -x, verificando errores de desbordamiento cuando corresponda. Por ejemplo, dos números enteros con signo de complemento estándar (por ejemplo, Int) no pueden representar -typemin (Int), lo que conduce a un desbordamiento.

La protección contra desbordamiento puede imponer una penalización de rendimiento perceptible.

Calcula x + y, verificando errores de desbordamiento cuando corresponda.

La protección contra desbordamiento puede imponer una penalización de rendimiento perceptible.

Calcula x-y, verificando errores de desbordamiento cuando corresponda.

La protección contra desbordamiento puede imponer una penalización de rendimiento perceptible.

Calcula x * y, verificando errores de desbordamiento cuando corresponda.

La protección contra desbordamiento puede imponer una penalización de rendimiento perceptible.

Calcula div (x, y), verificando errores de desbordamiento cuando corresponda.

La protección contra desbordamiento puede imponer una penalización de rendimiento perceptible.

Calcula x% y, verificando errores de desbordamiento cuando corresponda.

La protección contra desbordamiento puede imponer una penalización de rendimiento perceptible.

Calcula fld (x, y), verificando errores de desbordamiento cuando corresponda.

La protección contra desbordamiento puede imponer una penalización de rendimiento perceptible.

Calcula mod (x, y), verificando errores de desbordamiento cuando corresponda.

La protección contra desbordamiento puede imponer una penalización de rendimiento perceptible.

Calcula cld (x, y), verificando errores de desbordamiento cuando corresponda.

La protección contra desbordamiento puede imponer una penalización de rendimiento perceptible.

Calcula r = x + y, con la bandera f indicando si se ha producido un desbordamiento.

Calcula r = x-y, con la bandera f indicando si se ha producido un desbordamiento.

Calcula r = x * y, con la bandera f indicando si se ha producido un desbordamiento.

Valor absoluto cuadrado de x.

Devuelve z que tiene la magnitud de x y el mismo signo que y.

Devuelve cero si x == 0 y $ x / | x | $ de lo contrario (es decir, ± 1 para x real).

Devuelve verdadero si el valor del signo de x es negativo, de lo contrario falso.

Devuelve x con su signo invertido si y es negativo. Por ejemplo abs (x) = flipsign (x, x).

Devuelve $ sqrtPS Lanza DomainError para argumentos reales negativos. En su lugar, utilice argumentos negativos complejos. El operador de prefijo √ es equivalente a sqrt.

Raíz cuadrada entera: el entero más grande m tal que m * m & lt = n.

Devuelve la raíz cúbica de x, es decir, $ x ^ <1/3> $. Se aceptan valores negativos (devolviendo la raíz real negativa cuando $ x & lt 0 $).

El operador de prefijo ∛ es equivalente a cbrt.

Devuelve la parte real del número complejo z.

Devuelve la parte imaginaria del número complejo z.

Devuelve las partes real e imaginaria del número complejo z.

Calcule el conjugado complejo de un número complejo z.

Calcule el ángulo de fase en radianes de un número complejo z.

Calcule $ exp (i pi x) $ con mayor precisión que cis (pi * x), especialmente para x grande.

Esta función requiere Julia 1.6 o posterior.

El coeficiente binomial $ binom$, siendo el coeficiente del término $ k $ ésimo en la expansión polinomial de $ (1 + x) ^ n $.

Si $ n $ no es negativo, entonces es el número de formas de elegir k de n elementos:

Si $ n $ es negativo, entonces se define en términos de identidad

enlaces externos

Factorial de n. Si n es un número entero, el factorial se calcula como un número entero (promovido a al menos 64 bits). Tenga en cuenta que esto puede desbordarse si n no es pequeño, pero puede usar factorial (big (n)) para calcular el resultado exactamente con precisión arbitraria.

enlaces externos

Máximo divisor común (positivo) (o cero si todos los argumentos son cero). Los argumentos pueden ser números enteros y racionales.

Los argumentos racionales requieren Julia 1.4 o posterior.

Mínimo común (positivo) múltiplo (o cero si algún argumento es cero). Los argumentos pueden ser números enteros y racionales.

Los argumentos racionales requieren Julia 1.4 o posterior.

Calcula el máximo común divisor (positivo) de ayb y sus coeficientes de Bézout, es decir, los coeficientes enteros u y v que satisfacen $ ua + vb = d = gcd (a, b) $. $ gcdx (a, b) $ devuelve $ (d, u, v) $.

Los argumentos pueden ser números enteros y racionales.

Los argumentos racionales requieren Julia 1.4 o posterior.

Los coeficientes de Bézout son no definido de forma única. gcdx devuelve los coeficientes de Bézout mínimos que son calculados por el algoritmo euclidiano extendido. (Ref: D. Knuth, TAoCP, 2 / e, p. 325, Algoritmo X.) Para enteros con signo, estos coeficientes uyv son mínimos en el sentido de que $ | u | & lt | y / d | $ y $ | v | & lt | x / d | $. Además, los signos de u y v se eligen de modo que d sea positivo. Para enteros sin signo, los coeficientes u y v pueden estar cerca de su typemax, y la identidad se mantiene solo a través de la aritmética de módulo de enteros sin signo.

Pruebe si n es una potencia entera de dos.

Se agregó soporte para argumentos que no son enteros en Julia 1.6.

El menor a ^ n no menor que x, donde n es un número entero no negativo. a debe ser mayor que 1 y x debe ser mayor que 0.

El mayor a ^ n no mayor que x, donde n es un número entero no negativo. a debe ser mayor que 1 y x no debe ser menor que 1.

Siguiente entero mayor o igual an que se puede escribir como $ prod k_i ^$ para enteros $ p_1 $, $ p_2 $, etcétera, para factores $ k_i $ en factores.

El método que acepta una tupla requiere Julia 1.6 o posterior.

Tome la inversa de n módulo m: y tal que $ n y = 1 pmod m $ y $ div (y, m) = 0 $. Esto arrojará un error si $ m = 0 $, o si $ gcd (n, m) neq 1 $.

Calcule el número de dígitos del entero n escrito en base base (la base no debe estar en [-1, 0, 1]), opcionalmente rellenado con ceros hasta un tamaño especificado (el resultado nunca será menor que pad).

Multiplica xey, dando el resultado como un tipo más grande.

Evalúa el polinomio $ sum_k x ^ p [k] $ para los coeficientes p [1], p [2],. es decir, los coeficientes se dan en orden ascendente por potencia de x. Los bucles se desenrollan en tiempo de compilación si el número de coeficientes se conoce estáticamente, es decir, cuando p es una tupla. Esta función genera código eficiente usando el método de Horner si x es real, o usando un algoritmo similar a Goertzel [DK62] si x es complejo.

Esta función requiere Julia 1.4 o posterior.

Evalúa el polinomio $ sum_k z ^ c [k] $ para los coeficientes c [1], c [2],. es decir, los coeficientes se dan en orden ascendente por potencia de z. Esta macro se expande a un código en línea eficiente que usa el método de Horner o, para z complejo, un algoritmo similar a Goertzel más eficiente.

Ejecute una versión transformada de la expresión, que llama a funciones que pueden violar la semántica estricta de IEEE. Esto permite la operación más rápida posible, pero los resultados no están definidos; tenga cuidado al hacer esto, ya que puede cambiar los resultados numéricos.

Esto establece los indicadores LLVM Fast-Math y corresponde a la opción -ffast-math en clang. Consulte las notas sobre las anotaciones de rendimiento para obtener más detalles.


Más historias de división

Videos y soluciones para ayudar a los estudiantes de sexto grado a demostrar una mayor comprensión de la división de fracciones mediante la creación de sus propios problemas de palabras.

Matemáticas básicas comunes del estado de Nueva York Grado 6, Módulo 1, Lección 6

Resultados de los estudiantes de la lección 6

& bull Los estudiantes demuestran una mayor comprensión de la división de fracciones cuando crean sus propios problemas de palabras.
& bull Los estudiantes eligen un problema de división partitiva, dibujan un modelo, encuentran la respuesta, eligen una unidad y luego establecen una situación. Además, practican probando varias situaciones y unidades antes de encontrar cuáles son realistas con los números dados.

Resumen de la lección 6

El método para crear historias de división tiene cinco pasos, que se deben seguir en orden:

Paso 1: Decidir sobre una interpretación (medida o partitiva). Hoy usamos solo la división de medidas.
Paso 2: Dibuja un modelo.
Paso 3: Encuentra la respuesta.
Paso 4: elige una unidad.
Paso 5: configura una situación. Esto significa escribir un problema de historia que sea interesante, realista, corto y claro y que tenga toda la información necesaria para resolverlo. Es posible que le tome varios intentos antes de encontrar una historia que funcione bien con el dividendo y el divisor dados.

Discusión
La división partitiva es otra interpretación de los problemas de división. ¿Qué recuerdas de la división partitiva?
& bull Sabemos que cuando dividimos un número entero por una fracción, el cociente será mayor que el número entero con el que comenzamos (el dividendo). Esto es cierto independientemente de si utilizamos un enfoque partitivo o un enfoque de medición.
& bull En otros casos, sabemos qué es el todo y cuántos grupos estamos formando y debemos averiguar de qué tamaño son los grupos.

Ejemplo 1
División partitiva.
Dividir 50 y dividir 2/3

Ejercicio 1
Usando el mismo dividendo y divisor, trabaje con un compañero para crear su propio problema de historia. Puede usar la misma unidad, dólares, pero su situación debe ser única. Puede probar con otra unidad, como millas, si lo prefiere.
Posibles problemas de la historia:
1. Ronaldo ha recorrido 50 millas durante su carrera ciclista y está a 2/3 del camino hasta la línea de meta. ¿Cuánto dura la carrera?
2. Samantha usó 50 boletos (2/3 de su total) para intercambiar por una muñeca kewpie en la feria. ¿Con cuántas entradas empezó?

Ejemplo 1
División partitiva.
Dividir 50 y dividir 2/3

1. Escribe un problema de historia de división partitiva para 45 y divide 3/5

2. Escribe un problema de historia de división partitiva para 100 y divide 2/5

Resultados de los estudiantes de la lección 7

Los estudiantes conectan formalmente modelos de fracciones con multiplicaciones mediante el uso de inversos multiplicativos tal como se representan en modelos.

El recíproco , o inversa, de una fracción es la fracción que se forma intercambiando el numerador y el denominador.

Dos números cuyo producto es 1 son inversos multiplicativos .

Resultados de los estudiantes de la lección 8

Los estudiantes dividen fracciones entre números mixtos convirtiendo primero los números mixtos en una fracción con un valor mayor que uno.
Los estudiantes usan ecuaciones para encontrar cocientes.

Ejemplo 1: Introducción al cálculo del cociente de un número mixto y una fracción

Carli has 4 1/2 walls left to paint in order for all the bedrooms in her house to have the same color paint. However, she has used almost all of her paint and only has 5/6 of a gallon left. How much paint can she use on each wall in order to have enough to paint the remaining walls?

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The order of a conjugacy class must always divide the order of the group. This follows from a theorem sometimes called the "orbit-stabilizer" theorem: The size of a group = the size or an orbit $ imes$ the size of a corresponding stabilizer.

Consider $G$ acting on itself by conjugation: $g circ x = gxg^<-1>$

Pick some $x in G$. Then $mathrm(x) = < g circ x | g in G>= < gxg^<-1>| g in G>$ (this is the conjugacy class of $x$) and $mathrm(x) = < g in G | g circ x=x >= < g in G | gxg^<-1>=x > = < g in G | gx=xg >$ (this is the centralizer of $x$).

So the size of a conjugacy class times the size of a corresponding centralizer is equal to the size of the group.

So for a group of order 30. The size of the conjugacy classes are limited to divisors of 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, and 30. However, these classes also partition $G$, so their sizes must sum to the order of $G$. The identity is in a conjugacy class by itself, so you have to have a bunch of divisors which add up to 30 which include at least one 1 [this means we can't have a conjugacy class of which exhausts the whole group -- i.e. 30 is not an option]. Another limitation [on any class equation] is that the conjugacy classes of order 1 correspond to elements which commute with everything (i.e. elements of the center). So the 1's in the class equation need to add to a divisor of 30 as well (since the order of the center must divide the order of the group). So for example, $1+1+1+1+2+2+2+10+10=30$ is no good. Since the order of the center (a subgroup) would be $1+1+1+1=4$ which does not divide 30. That's about all the low hanging fruit.

Of course, more can be said. For example, the class equation cannot be $1+1+2+2+2+2+5+15=30$. If it was, the center of the group would have order 2 so that $G$ mod its center would have order 15. However, every group of order 15 is isomorphic to the cyclic group of order 15. This is a problem since if $G$ quotient its center is cyclic, then $G$ must be abelian so that the center is the whole group. Thus this particular equation is ruled out. Other than piecemeal tricks like this, the Sylow theorems tend to help you find lots of restrictions on the class equation.

[A note about orbit-stablizer theorem: If you let $G$ act on the left cosets of some subgroup $H$, then the orbit of $H$ is the set of all left cosets and the stabilizer is $H$ itself. In this case the orbit-stablizer theorem says the size of a subgropu times the number of cosets is the size of the group. That's Lagrange's thoerem. As you might imagine, since Lagrange's thorem is so important, a generalization of his theorem should show up quite often.]


Absolute Value

  1. The absolute value of a number is its distance from zero.
  2. For any x, |x| is defined as follows: | x |= x, if x > 0, and | x |= −x, if x < 0

Acute Angle
An angle whose measure is greater than 0 degrees and less than 90 degrees.

Acute Triangle
A triangle in which all three angles are acute angles.

Example of an acute angle

Addition Property of Equality
If a = b, then a + c = b + c. This property states that adding the same amount to both members of an equation preserves the equality.

Additive identity
A property that states that for any number x, x + 0 = x, zero is the additive identity.

Additive Inverse
For any number x, there exists a number −x, such that x + −x= 0. This means that there exists a pair of numbers (like 5 and –5) that are the same distance from zero on the number line, and when added together will always produce a sum of zero. These pairs of numbers are also sometimes called “opposites.”

Altitude of a Triangle
A segment drawn from a vertex of the triangle perpendicular to the opposite side of the triangle, called the base (or perpendicular to an extension of the base).

AD is an altitude of the triangle

Angle
An angle is formed when two rays share a common vertex.

Example of an angle

Area Model
A mathematical model based on the area of a rectangle, used to represent multiplication or fractional parts of a whole.

Associative Property of Addition
For any numbers x, y , and z: (x + y) + z = x + (y + z). The associative property of addition states that the order in which you group variables or numbers does not matter in determining the final sum.

Associative Property of Multiplication
For any numbers x, y , and z: (xy) z = x (yz). The associative property of multiplication states that the order in which you group variables or numbers does not matter in determining the final product.

Attribute
A distinguishing characteristic of an object. For instance, two attributes of a triangle are angles and sides.

Axis
A number line in a plane. Plural form is axes. Also see: Coordinate Plane.

Bar Graph
A graph in which rectangular bars, either vertical or horizontal, are used to display data.

Example of a bar graph
  1. If any number x is raised to the nth power, written as x^n, x is called the base of the expression
  2. Any side of a triangle
  3. Either of the parallel sides of a trapezoid
  4. Either of the parallel sides of a parallelogram.

Box and Whisker Plot
For data ordered smallest to largest the median, lower quartile and upper quartile are found and displayed in a box along a number line. Whiskers are added to the right and left and extended to the least and greatest values of the data.

Example of a box and whisker plot

Cartesian Coordinate System
See: Coordinate Plane

Center of a Circle
A point in the interior of the circle that is equidistant from all points of the circle.

A circle and its center

Chord
A segment whose endpoints are points of a circle.

An example of a chord of a circle

Circle
The set of points in a plane equidistant from a point in the plane.

Circumference
The distance around a circle. Its length is the product of the diameter of the circle and pi.

Coefficient
In the product of a constant and a variable the constant is the numerical coefficient of the variable and is frequently referred to simply as the coefficient.

Common Denominator
A common multiple of the denominators of two or more fractions. Also see: Least Common Denominator

Common Factor
A factor that two or more integers have in common. Also see: Greatest Common Factor.

Common Multiple
See: Least Common Multiple.

Complement
The complement of a set E is a set of all the elements that are not in E.

Complementary Angles
Two angles are complementary if the sum of their measures totals 90 degrees.

Example of two complementary angles, a and b

Composite Number
A prime number is an integer p greater than 1 with exactly two positive factors: 1 and p. A composite number is an integer greater than 1 that has more than two positive factors. The number 1 is the multiplicative identity that is, for any number n, n · 1 = n. The number 1 is neither a prime nor a composite number.

Compound Event
A subset of a sample space containing two or more outcomes.

Concentric circles
Circles with the same center and in the same plane that have different radii.

Cone
A three-dimensional figure with a circular base joined to a point called the apex.

Picture of a cone

Congruent
Used to refer to angles or sides having the same measure and to polygons that have the same shape and size.

Conjecture
An assumption that is thought to be true based on observations.

Constante
A fixed value.

Coordinate(s)
A number assigned to each point on the number line which shows its position or location on the line. In a coordinate plane the ordered pair, (x,y), assigned to each point of the plane, shows the point’s position in relation to the x-axis and y-axis.

Coordinate Plane
A plane that consists of a horizontal and vertical number line, intersecting at right angles at their origins. The number lines, called axes, divide the plane into four quadrants. The quadrants are numbered I, II, III, and IV beginning in the upper right quadrant and moving counterclockwise.

Counterclockwise
A circular movement opposite to the direction of the movement of the hands of a clock.

Counterclockwise

Counting Numbers
The counting numbers are the numbers in the following never-ending sequence: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. We can also write this as +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7. These numbers are also called the positive integers or natural numbers.

  1. A three-dimensional shape having six congruent square faces.
  2. The third power of a number.
Cube shape

Cylinder
A three-dimensional figure with parallel circular bases of equal size joined by a lateral surface whose net is a rectangle.

Cylinder

Data
A collection of information, frequently in the form of numbers.

Data Analysis
The process of making sense of collected data.

Data Point
Each individual piece of information collected in a set of data.

  1. The circumference of a circle is divided into 360 equal parts or arcs. Radii drawnto both ends of the arc form an angle of 1 degree.
  2. The degree of a term is the sum of the exponents of the variables.
  3. A degree is also unit of measurement used for measuring temperature.

Denominator
The denominator of a fraction indicates into how many equal parts the whole is divided. The denominator appears beneath the fraction bar.

Diameter
A segment with endpoints on the circle that passes through its center.

Dividend
The quantity that is to be divided.

Divisibility
Suppose that n and d are integers, and that d is not 0. The number n is divisible by d if there is an integer q such that n = dq. Equivalently, d is a factor of n or n is a multiple of d.

Division Algorithm
Given two positive integers a and b, we can always find unique integers q and r such that a= bq + r and 0 ≤ r < b. We call a the dividend, b the divisor, q the quotient, and r the remainder.

Divisor
The quantity by which the dividend is divided.

Domain
The set of input values in a function.

Edge
A segment that joins consecutive vertices of a polygon or a polyhedron.

Elements
Members of a set.

Empirical Probability
Probability determined by real data collected from real experiments.

Equation
A math sentence using the equal sign to state that two expressions represent the same number.

Equilateral Triangle
An equilateral triangle is a triangle with three congruent sides. An equilateral triangle also has three congruent angles, which we can also call equiangular triangle.

  1. A term used to describe fractions or ratios that are equal.
  2. A term used to describe fractions, decimals, and percents that are equal.

Event
An event is any subset of the sample space. A simple event is a subset of the sample space containing only 1 possible outcome of an experiment. A compound event is a subset of the sample space containing 2 or more outcomes.

Experiment
A repeatable action with a set of outcomes.

Exponent
Suppose that n is a whole number. Then, for any number x, the nth power of x, or x to the nth power, is the product of n factors of the number x. This number is usually written x^n. The number x is usually called the base of the expression x^n, and n is called the exponent.

Exponential Notation
A notation that expresses a number in terms of a base and an exponent.

Expression
A mathematical phrase like “m + 1” used to describe quantities mathematically with numbers and variables.

Face
Each of the surface polygons that form a polyhedron.

Factor
An integer that divides evenly into a dividend. Use interchangeably with divisor except in the Division Algorithm.

Factorial
The factorial of a non-negative number n is written n! and is the product of all positive integers less than or equal to n. By definition 0!= 1!= 1.

Fraction
Numbers of the form m/n, where n is not zero.

Frequency
The number of times a data point appears in a data set.

Function
A function is a rule that assigns to each member of a set of inputs, called the domain, a member of a set of outputs, called the range.

Graph of a Function
The pictorial representation of a function.

Greater than, Less Than
Suppose that x and y are integers. We say that x is less than y, x < y, if x is to the left of y on the number line. We say that x is greater than y, x > y, if x is to the right of y on the number line.

Greatest Common Factor, GCF
Suppose m and n are positive integers. An integer d is a common factor of m and n if d is a factor of both m and n. The greatest common factor, or GCF, of m and n is the greatest positive integer that is a factor of both m and n. We write the GCF of m and n as GCF (m,n).

Height
The length of the perpendicular between the bases of a parallelogram or trapezoid also the altitude of a triangle.

Horizontal Axis
See: Coordinate Plane.

Hypotenuse
The side opposite the right angle in a right triangle.

Improper Fraction
A fraction in which the numerator is greater than or equal to the denominator.

Independent Events
If the outcome of an event does not affect the outcome of other events.

Input Values
The values of the domain of a function.

Integers
The collection of integers is composed of the counting numbers, the negatives, and zero . −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4.

Isosceles Triangle
A triangle with at least two sides of equal length.

Example of isosceles triangle

Lateral Area
The surface area of any three-dimensional figure excluding the area of any surface designated as a base of the figure.

Lattice Point
A point of the coordinate plane, (x,y), in which both x and y are integers.

Least Common Denominator
The least common denominator of the fractions p/n and k/m is the least common multiple of n and m, LCM(n, m).

Least Common Multiple, LCM
The integers a and b are positive. An integer m is a common multiple of a and b if m is a multiple of both a and b. The least common multiple, or LCM, of a and b is the smallest integer that is a common multiple of a and b. We write the LCM of a and b as LCM (a,b).

  1. The two sides of a right triangle that form the right angle.
  2. The equal sides of an isosceles triangle or the non-parallel sides of a trapezoid.

Less than
See: Greater Than.

Line graph
A graph used to display data that occurs in a sequence. Consecutive points are connected by segments.

Line Plot
A graph that shows frequency of data along a number line.

Linear Model for Multiplication
Skip counting on a number line.

Mean
The average of a set of data sum of the data divided by the number of items. Also called the arithmetic mean or average.

Measures of Central Tendency
Generally measured by the mean, median, or mode of the data set.

Median
The middle value of a set of data arranged in increasing or decreasing order. If the set has an even number of items the median is the average of the middle two items.

Missing Factor Model
A model for division in which the quotient of an indicated division is viewed as a missing factor of a related multiplication.

Mixed fraction (Numbers)
The sum of an integer and a proper fraction.

Mode
The value of the element that appears most frequently in a data set.

Multiplicative Identity
See: Composite Numbers.

Multiplicative Inverse
The number x is called the multiplicative inverse or reciprocal of n, n ≠ 0, if x · n = 1.

Natural Numbers
See: Counting Numbers.

Negative Integers
Integers less than zero.

Notation
A technical system of symbols used to convey mathematical information.

Number Line
A pictorial representation of numbers on a straight line.

Numerator
The expression written above the fraction bar in a common fraction to indicate the number of parts counted.

Obtuse Angle
An angle whose measure is greater than 90 degrees and less than 180 degrees.

Obtuse Triangle
A triangle that has one obtuse angle.

Order Of Operations
The order of mathematical operations, with computations inside parentheses to be done first, and addition and subtraction from left to right done last.

Ordered Pair
A pair of numbers that represent the coordinates of a point in the coordinate plane with the first number measured along the horizontal scale and the second along the vertical scale.

Origin
The point with coordinate 0 on a number line the point with coordinates (0,0) in the coordinate plane.

Outcomes
The set of possible results of an experiment.

Outlier
A term referring to a value that is drastically different from most of the other data values.

Output Values
The set of results obtained by applying a function rule to a set of input values.

Parallel Lines
Two lines in a plane that never intersect.

Example of two parallel lines

Parallelogram
A parallelogram is a four-sided figure with opposite sides parallel.

Por ciento
A way of expressing a number as parts out of 100 the numerator of a ratio with a denominator of 100.

Perfect Cube
An integer n that can be written in the form n= k³, where k is an integer.

Perfect Square
An integer n that can be written in the form n= k², where k is an integer.

Perimeter
The perimeter of a polygon is the sum of the lengths of its sides.

Perpendicular
Two lines or segments are perpendicular if they intersect to form a right angle.

Example of two perpendicular lines

Pi
The ratio of the circumference to the diameter of any circle, represented either by the symbol π, or the approximation 22/7 , or 3.1415926.

Pie (Circle) Graph
A graph using sectors of a circle that are proportional to the percent of the data represented.

Example of a pie graph

Polygon
A simple, closed, plane figure formed by three or more line segments.

Polyhedron
A three-dimensional figure with four or more faces, all of which are polygons.

Examples of polyhedrons

Positive Integers
See: Counting Numbers.

Power
See: Exponent.

Prime Number
See: Composite Number.

Prime Factorization
The process of finding the prime factors of an integer. The term is also used to refer to the result of the process.

Prism
A type of polyhedron that has two bases that are both congruent and parallel, and lateral faces which are parallelograms.

Examples of prisms

Probability
In an experiment in which each outcome is equally likely, the probability P(A) of an event A is m/n where m is the number of outcomes in the subset A and n is the total number of outcomes in the sample space S.

Proper Fraction
A fraction whose value is greater than 0 and less than 1.

Proportion
An equation of ratios in the form a/b = c/d, where b and d are not equal to zero.

Protractor
An instrument used to measure angles in degrees.

Quadrant
See: Coordinate Plane.

Quadrilateral
A plane figure with four straight edges and four angles.

Quotient
The result obtained by doing division. See the Division Algorithm for a different use of quotient.

Radius
The distance from the center of a circle to a point on the circle. Plural form is radii.

Range
The difference between the largest and smallest values of a data set. See Function for another meaning of range.

Rate
A rate is a division comparison between two quantities with different units. Also see Unit Rate.

Ratio
A division comparison of two quantities with or without the same units. If the units are different they must be expressed to make the ratio meaningful.

Rational Number
A number that can be written as a/b where a is an integer and b is a natural number.

Ray
Part of a line that has a starting point and continues forever in only one direction.

Reciprocal
See: Multiplicative Inverse.

Regular Polygon
A polygon with equal side lengths and equal angle measures.

Relatively Prime
Two integers m and n are relatively prime if the GCF of m and n is 1.

Remainder
See: Division Algorithm.

Repeating Decimal
A decimal in which a cycle of one or more digits is repeated infinitely.

Right Angle
An angle formed by the intersection of perpendicular lines an angle whose measure is 90º.

Right Triangle
A triangle that contains a right angle.

Sample Space
The set of all possible outcomes of an experiment.

Scaffolding
A method of division in which partial quotients are computed, stacked, and then combined.

Scalene Triangle
A triangle with all three sides of different lengths is called a scalene triangle.

Examples of scalene triangles
  1. A process by which a shape is reduced or expanded proportionally.
  2. Choosing the unit of measure to be used on a number line.

Sector
A part of a circle that represents the interior portion of the circle between two radii.

Sequence
A list of terms ordered by the natural numbers.

Set
A collection of objects or elements.

Simple Event
See: Event

Simplest Form of a Fraction
A form of a fraction in which the greatest common factor of the numerator and denominator is 1.

Simplifying
The process of finding equivalent fractions to obtain the simplest form.

Skewed
An uneven representation of a set of data.

Slant Height
An altitude of a face of a pyramid or a cone.

Slant Height of a pyramid

Square Root
For non-negative numbers x and y, y= x , read “y is equal to the square root of x,” means y²= x.

Stem and Leaf Plot
A method of showing the frequency of a certain data by sorting and ordering the values.

Straight Angle
An angle with a measure of 180 degrees formed by opposite rays.

Subset
Set B is a subset of set A if every element of set B is also an element of set A.

Supplementary
Two angles are supplementary if the sum of their measures totals 180º.

Example of two supplementary angles, x and y

Surface Area
The surface area of a three-dimensional figure is the area needed to form its exterior.

Terminating Decimal
If the quotient of a division problem contains a remainder of zero, the quotient is said to be a terminating decimal.

Tessellation
Tiling of a plane with one or more shapes as a way of covering the plane with the shape(s) with no gaps or overlaps.

Theoretical Probability
Probability based on thought experiments rather than a collection of data.

Translation
A transformation that slides a figure a certain distance along a line in a specified direction.

Trapezoid
A four sided plane figure with exactly one set of parallel sides.

Tree Diagram

  1. A process used to find the prime factors of an integer.
  2. A method to organize the sample space of compound events.

Triangle
A plane figure with three straight edges and three angles.

Trichotomy
A property stating that exactly one of these statements is true for each real number: it is positive, negative, or zero.

Unit Fraction
For an integer n, the multiplicative inverse or reciprocal of n is the unit fraction 1/n. 1/n is said to be a unit fraction because its numerator is 1.

Unit Rate
A ratio of two unlike quantities that has a denominator of 1 unit.

Variable
A letter or symbol that represents an unknown quantity.

Venn Diagram
A diagram involving two or more overlapping circles that aids in organizing data.

  1. The common endpoint of two rays forming an angle.
  2. A point of a polygon or polyhedron where edges meet.

Vertical Angles
A pair of angles of equal measure less than 180° that are formed by opposite rays of a pair of intersecting lines.

Vertical Axis
See: Coordinate Plane.

Volume
A measure of space the number of unit cubes needed to fill a three-dimensional shape.

Whole Numbers
The whole numbers are the numbers in the following never-ending sequence: 0, 1, 2, 3, 4, 5, . These numbers are also called the non-negative integers.

x-axis
The horizontal axis of a coordinate plane.

y-axis
The vertical axis of a coordinate plane.

x-coordinate
The first number provided in an ordered pair (a, b).

y-coordinate
The second number provided in an ordered pair (a, b).


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