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13.6.4: Triángulos, rectángulos y el teorema de Pitágoras - Matemáticas


Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Resolver aplicaciones usando propiedades de triángulos
  • Usa el teorema de Pitágoras
  • Resolver aplicaciones usando propiedades rectangulares

Antes de comenzar, responda este cuestionario de preparación.

  1. Simplifica: (12 (6h) ).
    Si pasó por alto este problema, revise el ejercicio 1.10.1.
  2. La longitud de un rectángulo es tres menos que el ancho. Sea w el ancho. Escribe una expresión para la longitud del rectángulo.
    Si pasó por alto este problema, repase el ejercicio 1.3.43.
  3. Resuelve: (A = frac {1} {2} bh ) para b cuando A = 260 y h = 52.
    Si pasó por alto este problema, revise el ejercicio 2.6.10.
  4. Simplifica: ( sqrt {144} ).
    Si pasó por alto este problema, repase el ejercicio 1.9.10.

Resolver aplicaciones usando propiedades de triángulos

En esta sección usaremos algunas fórmulas geométricas comunes. La fórmula de geometría nombrará las variables y nos dará la ecuación a resolver. Además, dado que todas estas aplicaciones implicarán formas de algún tipo, a la mayoría de las personas les resulta útil dibujar una figura y etiquetarla con la información proporcionada. Incluiremos esto en el primer paso de la estrategia de resolución de problemas para aplicaciones de geometría.

RESOLVER APLICACIONES DE GEOMETRÍA

  1. Leer el problema y asegúrese de que se entiendan todas las palabras e ideas. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
  2. Identificar Qué estamos buscando.
  3. Etiqueta lo que buscamos eligiendo una variable para representarlo.
  4. Traducir en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Sustituir en la información dada.
  5. Resolver la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
  6. Cheque la respuesta sustituyéndola de nuevo en la ecuación resuelta en el paso 5 y asegurándose de que tenga sentido en el contexto del problema.
  7. Respuesta la pregunta con una oración completa.

Comenzaremos las aplicaciones de geometría observando las propiedades de los triángulos. Repasemos algunos datos básicos sobre los triángulos. Los triángulos tienen tres lados y tres ángulos interiores. Por lo general, cada lado se etiqueta con una letra minúscula para que coincida con la letra mayúscula del vértice opuesto.

El plural de la palabra vértice es vértices. Todos los triángulos tienen tres vértices. Los triángulos se nombran por sus vértices: El triángulo de la Figura ( PageIndex {1} ) se llama ( triangle {ABC} ).

Los tres ángulos de un triángulo están relacionados de una manera especial. La suma de sus medidas es (180 ^ { circ} ). Tenga en cuenta que leemos (m angle {A} ) como "la medida del ángulo A". Entonces en ( triangle {ABC} ) en la Figura ( PageIndex {1} ).

[m ángulo A + m ángulo B + m ángulo C = 180 ^ { circ} nonumber ]

Porque el perímetro de una figura es la longitud de su límite, el perímetro de ( triangle {ABC} ) es la suma de las longitudes de sus tres lados.

[P = a + b + c nonumber ]

Para encontrar el zona de un triángulo, necesitamos conocer su base y altura. La altura es una línea que conecta la base con el vértice opuesto y forma un ángulo de (90 ^ circ ) con la base. Dibujaremos ( triangle {ABC} ) nuevamente, y ahora mostraremos la altura, (h ). Vea la Figura ( PageIndex {2} ).

PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO

Para ( triangle {ABC} )

Medidas de los ángulos:

[m ángulo A + m ángulo B + m ángulo C = 180 ^ { circ} ]

  • La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es 180 °.

Perímetro:

[P = a + b + c ]

  • El perímetro es la suma de las longitudes de los lados del triángulo.

Zona:

(A = frac {1} {2} bh, b = text {base}, h = text {altura} )

  • El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Las medidas de dos ángulos de un triángulo son 55 y 82 grados. Calcula la medida del tercer ángulo.

Solución

Paso 1. Leer el problema. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
Paso 2. Identificar Qué estás buscando.la medida del tercer ángulo en un triángulo
Paso 3. Elija una variable para representarla.Sea (x = ) la medida del ángulo.
Paso 4.
Escriba la fórmula apropiada y sustitúyala. (m ángulo A + m ángulo B + m ángulo C = 180 ^ { circ} )
Paso 5. Resuelve la ecuacion. ( begin {array} {rll} {55 + 82 + x} & {=} & {180} {137 + x} & {=} & {180} {x} & {=} & {43} end {matriz} )
Paso 6.

( begin {array} {rll} {55 + 82 + 43} & { stackrel {?} {=}} & {180} {180} & {=} & {180 checkmark} end { formación})

Paso 7. Respuesta la pregunta.La medida del tercer ángulo es 43 grados.

Pruébelo ( PageIndex {1} )

Las medidas de dos ángulos de un triángulo son 31 y 128 grados. Calcula la medida del tercer ángulo.

Respuesta

21 grados

Pruébelo ( PageIndex {2} )

Las medidas de dos ángulos de un triángulo son 49 y 75 grados. Calcula la medida del tercer ángulo.

Respuesta

56 grados

Ejemplo ( PageIndex {2} )

El perímetro de un jardín triangular mide 24 pies. Las longitudes de dos lados son cuatro pies y nueve pies. ¿Cuánto mide el tercer lado?

Solución

Paso 1. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
Paso 2. Identificar Qué estás buscando.longitud del tercer lado de un triángulo
Paso 3. Elija una variable para representarla.Sea (c = ) el tercer lado.
Paso 4.
Escriba la fórmula apropiada y sustitúyala.
Sustituir en la información dada.
Paso 5. Resuelve la ecuacion.
Paso 6.

( begin {array} {rll} {P} & {=} & {a + b + c} {24} & { stackrel {?} {=}} & {4 + 9 + 11} {24} & {=} & {24 checkmark} end {array} )

Paso 7. Respuesta la pregunta.El tercer lado mide 11 pies de largo.

Pruébelo ( PageIndex {3} )

El perímetro de un jardín triangular mide 48 pies. Las longitudes de dos lados son de 18 pies y 22 pies. ¿Cuánto mide el tercer lado?

Respuesta

8 pies

Pruébelo ( PageIndex {4} )

La longitud de dos lados de una ventana triangular es de siete pies y cinco pies. El perímetro mide 18 pies. ¿Cuánto mide el tercer lado?

Respuesta

6 pies

Ejemplo ( PageIndex {3} )

El área de una ventana triangular de la iglesia es de 90 metros cuadrados. La base de la ventana es de 15 metros. ¿Cuál es la altura de la ventana?

Solución

Paso 1. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
( text {Área} = 90m ^ {2} )
Paso 2. Identificar Qué estás buscando.altura de un triangulo
Paso 3. Elija una variable para representarla.Sea (h = ) la altura.
Paso 4.
Escribe la fórmula adecuada.
Sustituir en la información dada.
Paso 5. Resuelve la ecuacion. (90 = dfrac {15} {2} h )
(12 = h )
Paso 6.

( begin {array} {rll} {A} & {=} & { frac {1} {2} bh} {90} & { stackrel {?} {=}} & { frac { 1} {2} cdot 15 cdot 12} {90} & {=} & {90 checkmark} end {array} )

Paso 7. Respuesta la pregunta.La altura del triángulo es de 12 metros.

Pruébelo ( PageIndex {5} )

El área de una pintura triangular es de 126 pulgadas cuadradas. La base es de 18 pulgadas. Cual es la altura?

Respuesta

14 pulgadas

Pruébelo ( PageIndex {6} )

La puerta de una carpa triangular tiene un área de 15 pies cuadrados. La altura es de cinco pies. Cual es la base?

Respuesta

6 pies

Las propiedades de los triángulos que usamos hasta ahora se aplican a todos los triángulos. Ahora veremos un tipo específico de triángulo: un triángulo rectángulo. A triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90 °, que solemos marcar con un pequeño cuadrado en la esquina.

Definición: TRIÁNGULO DERECHO

A triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90 °, que a menudo se marca con un cuadrado en el vértice.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 28 °. ¿Cuál es la medida del tercer ángulo?

Solución

Paso 1. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
Paso 2. Identificar Qué estás buscando.la medida de un ángulo
Paso 3. Elija una variable para representarla.Sea (x = ) la medida de un ángulo.
Paso 4. (m angle {A} + m angle {B} + m angle {C} = 180 )
Escriba la fórmula apropiada y sustitúyala. (x + 90 + 28 = 180 )
Paso 5. Resuelve la ecuacion. (x = 62 )
Paso 6.

( begin {array} {rll} {180} & { stackrel {?} {=}} & {90 + 28 + 62} {180} & {=} & {180 checkmark} end { formación})

Paso 7. Respuesta la pregunta.La medida del tercer ángulo es 62°.

Pruébelo ( PageIndex {7} )

Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 56 °. ¿Cuál es la medida del otro ángulo pequeño?

Respuesta

34°

Pruébelo ( PageIndex {8} )

Un ángulo de un triángulo rectángulo mide 45 °. ¿Cuál es la medida del otro ángulo pequeño?

Respuesta

45°

En los ejemplos que hemos visto hasta ahora, podríamos dibujar una figura y etiquetarla directamente después de leer el problema. En el siguiente ejemplo, tendremos que definir un ángulo en términos de otro. Esperaremos para dibujar la figura hasta que escribamos expresiones para todos los ángulos que buscamos.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

La medida de un ángulo de un triángulo rectángulo es 20 grados más que la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los tres ángulos.

Solución

Paso 1. Leer el problema.
Paso 2. Identificar Qué estás buscando.las medidas de los tres ángulos
Paso 3. Elija una variable para representarla.Sea (a = 1 ^ {st} ) ángulo.
(a + 20 = 2 ^ {nd} ) ángulo
(90 = 3 ^ {rd} ) ángulo (el ángulo recto)
Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
Paso 4. Traducir
Escribe la fórmula adecuada.
Sustituir en la fórmula.
(a + (a + 20) + 90 = 180 )
Paso 5. Resuelve la ecuacion.

( begin {align *} 2a + 110 & = 180 [3pt]
2a & = 70 [3pt]
a & = 35 text {primer ángulo} [3pt]
a & + 20 text {segundo ángulo} [3pt]
{ color {red} {35}} & + 20 = 55 end {align *} )
Y el tercer ángulo es 90.

Paso 6.

( begin {array} {rll} {35 + 55 + 90} & { stackrel {?} {=}} & {180} {180} & {=} & {180 checkmark} end { formación})

Paso 7. Respuesta la pregunta.Los tres ángulos miden 35°, 55°y 90°.

Pruébelo ( PageIndex {9} )

La medida de un ángulo de un triángulo rectángulo es 50 ° más que la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los tres ángulos.

Respuesta

20°,70°,90°

Pruébelo ( PageIndex {10} )

La medida de un ángulo de un triángulo rectángulo es 30 ° más que la medida del ángulo más pequeño. Encuentra las medidas de los tres ángulos.

Respuesta

30°,60°,90°

Usa el teorema de Pitágoras

Hemos aprendido cómo se relacionan entre sí las medidas de los ángulos de un triángulo. Ahora, aprenderemos cómo se relacionan las longitudes de los lados entre sí. Una propiedad importante que describe la relación entre las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo se llama Teorema de pitágoras. Este teorema se ha utilizado en todo el mundo desde la antigüedad. Lleva el nombre del filósofo y matemático griego Pitágoras, que vivió alrededor del año 500 a. C.

Antes de enunciar el Teorema de Pitágoras, necesitamos introducir algunos términos para los lados de un triángulo. Recuerda que un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90 °, marcado con un pequeño cuadrado en la esquina. El lado del triángulo opuesto al ángulo de 90 ° 90 ° se llama hipotenusa y cada uno de los otros lados se llama piernas.

El Teorema de Pitágoras dice cómo se relacionan entre sí las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo. Afirma que en cualquier triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. En símbolos decimos: en cualquier triángulo rectángulo, (a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} ), donde ayb son las longitudes de los catetos y cc es la longitud de la hipotenusa .

Escribir la fórmula en cada ejercicio y decirla en voz alta mientras la escribe, puede ayudarlo a recordar el Teorema de Pitágoras.

EL TEOREMA PITAGOREO

En cualquier triángulo rectángulo, donde (a ) y (b ) son las longitudes de los catetos, (c ) es la longitud de la hipotenusa.

Luego

[a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} label {Pteorema} ]

Para resolver ejercicios que usan el Teorema de Pitágoras (Ecuación ref {Pteorema}), necesitaremos encontrar raíces cuadradas. Hemos utilizado la notación ( sqrt {m} ) y la definición:

Si (m = n ^ {2} ), entonces ( sqrt {m} = n ), para (n geq 0 ).

Por ejemplo, encontramos que ( sqrt {25} ) es 5 porque (25 = 5 ^ {2} ).

Debido a que el Teorema de Pitágoras contiene variables cuadradas, para resolver la longitud de un lado en un triángulo rectángulo, tendremos que usar raíces cuadradas.

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa que se muestra a continuación.

Solución

Paso 1. Identificar Qué estás buscando.la longitud de la hipotenusa del triángulo
Paso 3. Elija una variable para representarla.
Lado de la etiqueta C en la figura.
Dejar C = la longitud de la hipotenusa.

Paso 4. Traducir.
Escribe la fórmula adecuada. (a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} )
Sustituir. (3 ^ {2} + 4 ^ {2} = c ^ {2} )
Paso 5. Resuelve la ecuacion. (9 + 16 = c ^ {2} )
Simplificar. (25 = c ^ {2} )
Usa la definición de raíz cuadrada. ( sqrt {25} = c )
Simplificar. (5 = c )
Paso 6.

Paso 7. Respuesta la pregunta.La longitud de la hipotenusa es 5.

Pruébelo ( PageIndex {11} )

Usa el Teorema de Pitágoras para hallar la longitud de la hipotenusa en el triángulo que se muestra a continuación.

Respuesta

c = 10

Pruébelo ( PageIndex {12} )

Usa el Teorema de Pitágoras para hallar la longitud de la hipotenusa en el triángulo que se muestra a continuación.

Respuesta

c = 13

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del cateto que se muestra a continuación.

Solución

Paso 1. Identificar Qué estás buscando.la longitud del cateto del triángulo
Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla.Sea (b = ) el cateto del triángulo.
Lado de la etiqueta (b ).
Paso 4. Traducir
Escribe la fórmula adecuada. (a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} )
Sustituir. (5 ^ {2} + b ^ {2} = 13 ^ {2} )
Paso 5. Resuelve la ecuacion.

(25 + b ^ {2} = 169 )

Aislar el término variable. (b ^ {2} = 144 )
Usa la definición de raíz cuadrada. (b = sqrt {144} )
Simplificar. (b = 12 )
Paso 6.

Paso 7. Respuesta la pregunta.La longitud de la pierna es 12.

Pruébelo ( PageIndex {13} )

Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del cateto en el triángulo que se muestra a continuación.

Respuesta

8

Pruébelo ( PageIndex {14} )

Usa el Teorema de Pitágoras para hallar la longitud del cateto en el triángulo que se muestra a continuación.

Respuesta

12

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Kelvin está construyendo una glorieta y quiere reforzar cada esquina colocando una pieza de madera de 10 ″ en diagonal como se muestra arriba.

Si sujeta la madera de modo que los extremos de la riostra estén a la misma distancia de la esquina, ¿cuál es la longitud de los catetos del triángulo rectángulo formado? Aproximadamente a la décima de pulgada más cercana.

Solución

( begin {array} {ll} { textbf {Paso 1.} text {Leer el problema.}} & {} { textbf {Paso 2.} text {Identificar lo que estamos buscando para.}} & { text {la distancia desde la esquina a la que se debe adjuntar el corchete}} {} & { text {}} { textbf {Paso 3.} text {Nombre. Elija una variable para representarla.}} & { Text {Sea x = distancia desde la esquina.}} { textbf {Paso 4.} text {Traducir}} & {} { text {Escribir la fórmula apropiada y sustitúyala.}} & {a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}} {} & {x ^ {2} + x ^ {2} = 10 ^ {2 }} { textbf {Paso 5. Resuelva la ecuación.}} & {} {} & {2x ^ {2} = 100} { text {Aislar la variable.}} & { x ^ {2} = 50} { text {Simplificar. Aproximado a la décima más cercana.}} & {x approx 7.1} { textbf {Paso 6.} text {Verificar.}} & {} {a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}} & {} {(7.1) ^ {2} + (7.1) ^ {2} approx 10 ^ { 2} text {Sí.}} & {} { textbf {Paso 7. Responde la pregunta.}} & { Text {Kelven debe sujetar cada pieza de}} {} & { text {madera aproximadamente a 7.1 '' desde la esquina.}} end {array} )

Pruébelo ( PageIndex {15} )

John coloca la base de una escalera de 13 pies a cinco pies de la pared de su casa como se muestra a continuación. ¿A qué altura de la pared llega la escalera?

Respuesta

12 pies

Pruébelo ( PageIndex {16} )

Randy quiere colocar una cadena de luces de 17 pies en la parte superior del mástil de 15 pies de su velero, como se muestra a continuación. ¿A qué distancia de la base del mástil debe sujetar el extremo de la cuerda de luz?

Respuesta

8 pies

Resolver aplicaciones usando propiedades rectangulares

Es posible que ya esté familiarizado con las propiedades de los rectángulos. Los rectángulos tienen cuatro lados y cuatro ángulos rectos (90 °). Los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud. Nos referimos a un lado del rectángulo como la longitud, (L ), y su lado adyacente como el ancho, (W ).

La distancia alrededor de este rectángulo es (L + W + L + W ) o (2L + 2W ). Este es el perímetro, (P ), del rectángulo.

[P = 2L + 2W ]

Qué pasa con la zona de un rectángulo? Imagine una alfombra rectangular de 2 pies de largo por 3 pies de ancho. Su área es de 6 pies cuadrados. Hay seis cuadrados en la figura.

[ begin {matriz} {l} {A = 6} {A = 2 cdot3} {A = L cdot W} end {matriz} ]

El área es el largo por el ancho. La fórmula para el área de un rectángulo es

[A = LW. ]

PROPIEDADES DE LOS RECTÁNGULOS

Los rectángulos tienen cuatro lados y cuatro ángulos rectos (90 °).

Las longitudes de los lados opuestos son iguales.

El perímetro de un rectángulo es la suma del doble de la longitud y el doble de la anchura.

[P = 2L + 2W ]

El área de un rectángulo es el producto del largo por el ancho.

[A = L · W ]

Ejemplo ( PageIndex {9} )

La longitud de un rectángulo es de 32 metros y el ancho es de 20 metros. ¿Qué es el perímetro?

Solución

Paso 1. Leer el problema.
Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
Paso 2. Identificar Qué estás buscando.el perímetro de un rectángulo
Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla.Sea (P = ) el perímetro.
Paso 4. Traducir.
Escribe la fórmula adecuada.
Sustituir.
Paso 5. Resuelve la ecuacion. (P = 64 + 40 )
(P = 104 )
Paso 6.

( begin {array} {rcl} {P} & { stackrel {?} {=}} & {104} {20 + 32 + 20 + 32} & { stackrel {?} {=}} & {104} {104} & {=} & {104 checkmark} end {array} )

Paso 7. Respuesta la pregunta.El perímetro del rectángulo es de 104 metros.

Pruébelo ( PageIndex {17} )

La longitud de un rectángulo es de 120 yardas y el ancho es de 50 yardas. ¿Qué es el perímetro?

Respuesta

340 yardas

Pruébelo ( PageIndex {18} )

La longitud de un rectángulo es de 62 pies y el ancho es de 48 pies. ¿Qué es el perímetro?

Respuesta

220 pies

Ejemplo ( PageIndex {10} )

El área de una habitación rectangular es de 168 pies cuadrados. La longitud es de 14 pies. Cual es el ancho?

Solución

Paso 1. Leer el problema.
Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
Paso 2. Identificar Qué estás buscando.el ancho de una habitación rectangular
Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla.Sea (W = ) el ancho.
Paso 4. Traducir.
Escribe la fórmula adecuada. (A = LW )
Sustituir. (168 = 14W )
Paso 5. Resuelve la ecuacion.

( frac {168} {14} = frac {14W} {14} )

(12 = W )

Paso 6.


( begin {array} {rcl} {A} & {=} & {LW} {168} & { stackrel {?} {=}} & {14 cdot 12} {168} & {=} & {168 checkmark} end {array} )

Paso 7. Respuesta la pregunta.El ancho de la habitación es de 12 pies.

Pruébelo ( PageIndex {19} )

El área de un rectángulo es 598 pies cuadrados. La longitud es de 23 pies. Cual es el ancho?

Respuesta

26 pies

Pruébelo ( PageIndex {20} )

El ancho de un rectángulo es de 21 metros. El área es de 609 metros cuadrados. ¿Cuál es la longitud?

Respuesta

29 metros

Ejemplo ( PageIndex {11} )

Calcula la longitud de un rectángulo con un perímetro de 50 pulgadas y un ancho de 10 pulgadas.

Solución

Paso 1. Leer el problema.
Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.

Paso 2. Identificar Qué estás buscando.la longitud del rectángulo
Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla.Sea (L = ) la longitud.
Paso 4. Traducir.
Escribe la fórmula adecuada. (P = 2L + 2W )
Sustituir. (50 = 2L + 2 (10) )
Paso 5. Resuelve la ecuacion.

Paso 6.

( begin {array} {rcl} {P} & {=} & {50} {15 + 10 + 15 + 10} & { stackrel {?} {=}} & {50} { 50} & {=} & {50 checkmark} end {array} )
Paso 7. Respuesta la pregunta.La longitud es de 15 pulgadas.

Pruébelo ( PageIndex {21} )

Calcula la longitud de un rectángulo con: perímetro 80 y ancho 25.

Respuesta

15

Pruébelo ( PageIndex {22} )

Calcula la longitud de un rectángulo con: perímetro 30 y ancho 6.

Respuesta

9

Hemos resuelto problemas en los que se daba la longitud o el ancho, junto con el perímetro o el área; ahora aprenderemos a resolver problemas en los que el ancho se define en términos de largo. Esperaremos para dibujar la figura hasta que escribamos una expresión para el ancho para poder etiquetar un lado con esa expresión.

Ejemplo ( PageIndex {12} )

El ancho de un rectángulo es dos pies menos que el largo. El perímetro mide 52 pies. Calcula el largo y el ancho.

Solución

Paso 1. Identificar Qué estás buscando.la longitud y el ancho de un rectángulo
Paso 3. Nombre. Elija una variable para representarla.
Dado que el ancho se define en términos de la longitud, dejamos (L = ) longitud. El ancho es dos pies menos que el largo, entonces dejamos (L-2 ) ancho.

(P = 52 ) pies
Paso 4. Traducir.
Escribe la fórmula adecuada. La fórmula del perímetro de un rectángulo relaciona toda la información. (P = 2L + 2W )
Sustituir en la información dada. (52 = 2L + 2 (L − 2) )
Paso 5. Resuelve la ecuacion. (52 = 2L + 2L − 4 )
Combina términos semejantes. (52 = 4L − 4 )
Agregue 4 a cada lado. (56 = 4L )
Dividir entre 4. ( frac {56} {4} = frac {4L} {4} )
(14 = L )
La longitud es de 14 pies.
Ahora necesitamos encontrar el ancho.El ancho es (L − 2 ).

El ancho es de 12 pies.
Paso 6.
Dado que (14 + 12 + 14 + 12 = 52 ), ¡esto funciona!
Paso 7. Respuesta la pregunta.La longitud es de 14 pies y el ancho es de 12 pies.

Pruébelo ( PageIndex {23} )

El ancho de un rectángulo es siete metros menos que la longitud. El perímetro es de 58 metros. Calcula el largo y el ancho.

Respuesta

18 metros, 11 metros

Pruébelo ( PageIndex {24} )

La longitud de un rectángulo es dos metros y medio más que el ancho. El perímetro es de 60 pies. Calcula el largo y el ancho.

Respuesta

19 pies, 11 pies

Ejemplo ( PageIndex {13} )

La longitud de un rectángulo es cuatro centímetros más que el doble del ancho. El perímetro mide 32 centímetros. A la derecha de este, tenemos el largo y el ancho. A la derecha de este, hemos dejado que w sea igual al ancho. La longitud es cuatro más del doble del ancho; por lo tanto, dejamos 2w más 4 igual a la longitud. Debajo de esto, tenemos un rectángulo con una longitud de 2w más 4 y un ancho de w. Por debajo de esto, tenemos P igual a 32 cm. Escriba la fórmula apropiada y sustitúyala en la información dada. Debajo de esto, tenemos 32 es igual a 2 veces la cantidad (2w más 4) más 2w. A la derecha de esto, tenemos 32 igual a 4w más 8 más 2w. Debajo de esto, tenemos 32 igual a 6w más 8. Por debajo de esto, 24 es igual a 6w. Por debajo de este 4 es igual a w. Debajo de esto se determina la longitud: 2w más 4, entonces 2 por 4 más 4 es igual a 12. La longitud es 12 cm. Tenemos un rectángulo de 12 cm de largo y 4 cm de ancho. Por debajo de esto, tenemos P igual a 2L más 2W. Debajo tenemos 32 iguales con un signo de interrogación sobre él 2 por 12 más 2 por 4. Debajo tenemos 32 iguales a 32. Responde la pregunta: La longitud es de 12 cm y el ancho es de 4 cm. ">Paso 1. Identificar Qué estás buscando.el largo y el anchoPaso 3. Nombre. Elija una variable para representar el ancho.La longitud es cuatro más del doble del ancho.


Paso 4. TraducirEscribe la fórmula adecuada. ( quad P = 2L + 2W )Sustituir en la información dada.Paso 5. Resuelve la ecuacion.




12
La longitud es de 12 cm.

Paso 6.


( begin {array} {rcl} {P} & {=} & {2L + 2W} {32} & { stackrel {?} {=}} & {2 cdot 12 + 2 cdot 4 } {32} & {=} & {32 checkmark} end {array} )

Paso 7. Respuesta la pregunta.La longitud es de 12 cm y el ancho es de 4 cm.

Pruébelo ( PageIndex {25} )

La longitud de un rectángulo es ocho más del doble del ancho. El perímetro es 64. Calcula el largo y el ancho.

Respuesta

24, 8

Pruébelo ( PageIndex {26} )

El ancho de un rectángulo es seis menos que el doble de la longitud. El perímetro es 18. Calcula el largo y el ancho.

Respuesta

5, 4

Pruébelo ( PageIndex {27} )

El perímetro de una piscina rectangular es de 200 pies. El largo es 40 pies más que el ancho. Calcula el largo y el ancho.

Respuesta

70 pies, 30 pies

Pruébelo ( PageIndex {28} )

La longitud de un jardín rectangular es 30 yardas más que el ancho. El perímetro es de 300 yardas. Calcula el largo y el ancho.

Respuesta

90 yardas, 60 yardas

Conceptos clave

  • Estrategia de resolución de problemas para aplicaciones geométricas
    1. Leer el problema y hacer que se entiendan todas las palabras e ideas. Dibuja la figura y etiquétala con la información dada.
    2. Identificar Qué estamos buscando.
    3. Nombre lo que buscamos eligiendo una variable para representarlo.
    4. Traducir en una ecuación escribiendo la fórmula o modelo apropiado para la situación. Sustituir en la información dada.
    5. Resolver la ecuación usando buenas técnicas de álgebra.
    6. Cheque la respuesta en el problema y asegúrese de que tenga sentido.
    7. Respuesta la pregunta con una oración completa.
  • Propiedades del triángulo para △ ABC
    Medidas de los ángulos:
    • (m angle {A} + m angle {B} + m angle {C} = 180 )
    Perímetro:
    • (P = a + b + c )
    Zona:
    • (A = frac {1} {2} bh ), b = base, h = altura
    Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90 °.
  • El teorema de Pitágoras En cualquier triángulo rectángulo, (a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2} ) donde (c ) es la longitud de la hipotenusa y (a ) y (b ) son las longitudes de las piernas.
  • Propiedades de los rectángulos
    • Los rectángulos tienen cuatro lados y cuatro ángulos rectos (90 °).
    • Las longitudes de los lados opuestos son iguales.
    • El perímetro de un rectángulo es la suma del doble de la longitud y el doble de la anchura: (P = 2L + 2W ).
    • El área de un rectángulo es el largo por el ancho: (A = LW ).

Teorema de pitágoras
Investiga las áreas de los cuadrados en los lados de triángulos rectángulos usando esta figura interactiva.
www.interactive-maths.com/pythagoras-theorem-ggb.html

Prueba sin palabras: teorema de Pitágoras
Vea una "prueba sin palabras" dinámica y geométrica del Teorema de Pitágoras. ¿Puedes explicar la prueba?
illuminations.nctm.org/Activity.aspx?id=4211

Explorador pitagórico
Practica calcular la longitud del lado faltante de los triángulos rectángulos. Incluye tres niveles de dificultad.
www.shodor.org/interactivate/activities/PythagoreanExplorer

El teorema de Pitágoras: una sesión del curso de geometría de Learning Math
Un curso en línea que incluye tutoriales, problemas, videos, actividades interactivas, problemas de tareas y soluciones. En esta sesión, verá algunas demostraciones y varias aplicaciones de uno de los teoremas más famosos de las matemáticas: el teorema de Pitágoras.
www.learner.org/courses/learningmath/geometry/session6/index.html

Lección del teorema de Pitágoras
Esta lección presenta y explora el Teorema de Pitágoras usando el Explorador de Pitágoras. Tres actividades de computadora brindan a los estudiantes la oportunidad de observar triángulos, aprender y usar el Teorema de Pitágoras y practicar diferentes formas de determinar áreas de triángulos.
www.shodor.org/interactivate/lessons/pyth.html

¿Teorema de Pitágoras para la escuela primaria?
Este es un plan de lección que muestra cómo podría introducir el Teorema de Pitágoras en la escuela primaria. Realmente no lo recomiendo porque creo que pertenece a la escuela secundaria, pero parece que a algunos estudiantes-maestros se les pide que escriban una lección para eso.
/teaching/pythagorean-theorem-elementary.php


Geometría: Teorema de Pitágoras

El siguiente diagrama da la fórmula para el Teorema de Pitágoras, desplácese hacia abajo en la página para ver más ejemplos y soluciones que usan el Teorema de Pitágoras.


¿Qué es el teorema de Pitágoras?

Un triángulo rectángulo consta de dos lados llamados piernas y un lado llamado el hipotenusa. La hipotenusa es el lado más largo y está opuesto al ángulo recto.

El Teorema de Pitágoras o Teorema de Pitágoras es una fórmula que relaciona las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo.

Si tomamos la longitud de la hipotenusa como C y la longitud de las piernas a ser a y B entonces este teorema nos dice que:

El Teorema de Pitágoras establece que

En cualquier triángulo rectángulo, la suma de las longitudes al cuadrado de los dos catetos es igual a la longitud al cuadrado de la hipotenusa.

Nota: El teorema de Pitágoras solo funciona para triángulos rectángulos.

Prueba del teorema de Pitágoras usando triángulos similares

Esta demostración se basa en la proporcionalidad de los lados de dos triángulos similares, es decir, la razón de los lados correspondientes de triángulos similares es la misma independientemente del tamaño de los triángulos.

  1. Determina la longitud del lado faltante del triángulo rectángulo.
  2. Mason quiere colocar adoquines en el patio trasero de sus familias durante el verano. Es importante que ponga los adoquines en ángulo recto. Si quiere que las dimensiones del patio sean de 8 pies por 10 pies, ¿qué debería medir la diagonal?

¿Cuál es el inverso del teorema de Pitágoras?

Lo contrario del Teorema de Pitágoras también es cierto.

Para cualquier triángulo con lados a, B, y C, Si a 2 + B 2 = C 2, luego el ángulo entre a y B mide 90 ° y el triángulo es un triángulo rectángulo.

¿Cómo usar el inverso del teorema de Pitágoras?

Podemos usar el inverso del Teorema de Pitágoras para comprobar si un triángulo dado es un triángulo agudo, un triángulo rectángulo o un triángulo obtuso.

Para un triangulo con lados a, b y C y C es el lado más largo, entonces: Si C 2 & lt a 2 + B 2 entonces es un triángulo de ángulo agudo, es decir, el ángulo que mira hacia el lado C es un ángulo agudo.

Si C 2 = a 2 + B 2 entonces es un triángulo rectángulo, es decir, el ángulo que mira hacia el lado C es un ángulo recto.

Si C 2 & gt a 2 + B 2 entonces es un triángulo de ángulo obtuso, es decir, el ángulo que mira hacia el lado C es un ángulo obtuso.

¿Cómo usar el inverso del teorema de Pitágoras?

Este video muestra cómo usar el Teorema de Pitágoras y su inverso para determinar si un triángulo es agudo, recto u obtuso.

De acuerdo con la teorema de desigualdad triangular, la suma de los dos lados más cortos de un triángulo debe ser mayor que el lado más largo.

Ejemplos: Determina si las longitudes representan los lados de un triángulo agudo, recto u obtuso si es posible un triángulo.

¿Cómo utilizar el teorema de Pitágoras?

El Teorema de Pitágoras se puede usar cuando conocemos la longitud de dos lados de un triángulo rectángulo y necesitamos obtener la longitud del tercer lado.

Ejemplo 1:
Calcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo si las longitudes de los otros dos lados son de 3 pulgadas y 4 pulgadas.

Solución:
Paso 1: escribe la fórmula
C 2 = a 2 + B 2

Paso 2: inserta los valores
C 2 = 3 2 + 4 2
C 2 = 9 + 16 & lt
C 2 = 25
C = √25
C = 5

Respuesta: La longitud de la hipotenusa es de 5 pulgadas.

Ejemplo 2:
Calcula la longitud de un lado de un triángulo rectángulo si la longitud de la hipotenusa es de 10 pulgadas y la longitud del otro lado es de 9 pulgadas.

Solución:
Paso 1: escribe la fórmula
C 2 = a 2 + B 2

Paso 2: inserta los valores
10 2 = 9 2 + B 2
100 = 81 + B 2
Paso 3: Resta 81 de ambos lados
19 = B 2
B = √19
B ≈ 4.36

Respuesta: La longitud del lado es de 4,36 pulgadas.

¿Cómo usar el Teorema de Pitágoras para resolver problemas del mundo real?

  1. Claire quiere colgar una pancarta en el alféizar de una ventana del segundo piso de su casa. Necesita encontrar una escalera que, cuando se apoye contra la pared exterior de su casa, sea lo suficientemente larga para llegar a la ventana del segundo piso. Si la ventana está a 16 pies sobre el suelo y Claire coloca el pie de la escalera a 12 pies de la pared, ¿cuánto tiempo tendrá que ser la escalera?
  2. Durante un juego de béisbol, el segunda base toma la pelota y la lanza al receptor para detener a un corredor antes de que llegue a casa. Si hay 90 pies entre cada base, ¿qué tan lejos lanzó la pelota el segunda base?
  3. Un parque acuático quiere agregar una tirolesa a una piscina. Si la plataforma en la parte superior de la tirolesa mide 25 pies de alto y la piscina mide 40 pies de largo, ¿cuál es la longitud máxima necesaria para la tirolesa?
  4. Se necesita una rampa para sillas de ruedas a la entrada de un edificio. Solo hay 10 pies de espacio disponible para la rampa. ¿Cuánto tiempo debe tener la rampa?
  5. Una pantalla de televisión se anuncia como de 50 pulgadas. Si el televisor mide 35 pulgadas de ancho, ¿qué altura tiene?
  6. Una cometa al final de una línea de 40 pies está a 10 pies detrás del corredor. ¿Qué altura tiene la cometa?
  7. Se está colocando un techo en un marco que mide 9 pies de alto y 30 pies de ancho. ¿Cuánto miden las piezas diagonales del marco?

Pruebas del teorema de Pitágoras

Hay muchas formas de probar el Teorema de Pitágoras. Veremos tres de ellos aquí.

¿Cómo probar el teorema de Pitágoras usando triángulos similares?

Esta prueba se basa en el hecho de que la razón de dos lados correspondientes de triángulos similares es la misma independientemente del tamaño de los triángulos.

Dado el triángulo ABC dibujado arriba en la imagen y demostrar a 2 + B 2 = C 2 usando Triángulos similares.

Triángulo ABC ∼ Triángulo ACD AA (Postulado de semejanza)

Triángulo ABC ∼ Triángulo CBD AA (Postulado de semejanza)

C/a = a/X (El inverso del postulado de similitud SSS)

C/B = B/y (El inverso del postulado de similitud SSS)

a 2 + B 2 = cx + cy (Sumando las ecuaciones)

¿Cómo probar el teorema de Pitágoras usando álgebra?

En esta demostración, usamos cuatro copias del triángulo rectángulo, las reorganizamos y usamos álgebra para probar el teorema.

¿Cómo probar el Teorema de Pitágoras usando Reordenamiento de formas?

El siguiente video muestra cómo un cuadrado con área C 2 se pueden cortar y reorganizar para que quepan en otros dos cuadrados más pequeños con áreas a 2 y B 2 .

Pruebe la calculadora Mathway gratuita y el solucionador de problemas a continuación para practicar varios temas matemáticos. Pruebe los ejemplos dados o escriba su propio problema y verifique su respuesta con las explicaciones paso a paso.

Agradecemos sus comentarios, comentarios y preguntas sobre este sitio o página. Envíe sus comentarios o consultas a través de nuestra página de Comentarios.


Hojas de trabajo del teorema de Pitágoras

Estas hojas de trabajo imprimibles tienen ejercicios para encontrar el cateto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo usando el teorema de Pitágoras. Aquí se proporcionan gráficos triples de Pitágoras con ejercicios. Los problemas de palabras en la aplicación en tiempo real están disponibles. Además, se incluyen cuadros descriptivos sobre la aplicación del teorema en diferentes formas. Estos folletos son ideales para estudiantes de séptimo, octavo grado y de secundaria. ¡Ponte en marcha con nuestras hojas de trabajo gratuitas del teorema de Pitágoras!

Aplica el teorema de Pitágoras para identificar si el triángulo dado es un triángulo rectángulo. Cada hoja de trabajo imprimible consta de seis problemas.

Estos cuadros descriptivos explican el teorema de Pitágoras con una ilustración. Estos PDF enfatizan la relación del teorema derivado como una ecuación.

En cada problema se da un conjunto de tres números. Los estudiantes de los grados 7 y 8 deben aplicar el teorema e identificar si el conjunto de números forma un triple de Pitágoras.

Esta sección se compone de conjuntos triples de Pitágoras hasta 100. Además, en las tablas se proporcionan fórmulas triples de Pitágoras con ejemplos.

Aplica el teorema de Pitágoras para encontrar el lado desconocido del triángulo rectángulo. Redondea la respuesta a la décima más cercana.

Aplica el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud desconocida de cada forma en estas hojas de trabajo imprimibles. Redondea la respuesta a la décima más cercana.

Ilumine su clase de matemáticas con este paquete de problemas verbales de la vida real basados ​​en el Teorema de Pitágoras. Resuelve cada problema verbal encontrando la hipotenusa faltante del triángulo rectángulo y redondeando la respuesta a la décima más cercana.

Al presentar problemas verbales con ilustraciones claras, estas hojas de trabajo en pdf requieren que los estudiantes de secundaria ingresen los valores conocidos en la forma de ecuación del Teorema de Pitágoras y descubran el lado desconocido del triángulo rectángulo.


500 entusiastas de las matemáticas con bastones de luz & # x27Pythagorized & # x27 NYC & # x27s icónico edificio Flatiron en una moda épica

"Pythagorizing the Flatiron" es el primero de una serie planificada de "MathHappenings" que ejecutará MoMath.

La prueba de la naturaleza del triángulo rectángulo del edificio Flatiron se basa en el teorema de Pitágoras: la afirmación de que para un triángulo rectángulo con catetos (lados más cortos) de longitudes ayb, e hipotenusa (lado largo) de longitud c, la suma de los cuadrados de las dos longitudes más cortas es igual al cuadrado de la longitud mayor - a 2 + b 2 = c 2.

El Museo de Matemáticas cambió esta idea: si las longitudes de los lados de un triángulo, como el edificio Flatiron, satisfacen el teorema de Pitágoras, entonces el triángulo debe ser un triángulo rectángulo.

MoMath midió los lados del edificio Flatiron de una manera única. Las personas se alinearon alrededor de los tres lados del edificio y los trabajadores y voluntarios de MoMath repartieron barras de luz que los entusiastas de las matemáticas sostenían de punta a punta. Al contar mientras repartía los juguetes brillantes, MoMath pudo estimar la longitud de los lados del edificio en términos de barras de luz.

El lado más corto del edificio, a lo largo de 22nd St y el lado designado A, medía 75 barras de luz. El tramo más largo del edificio, subiendo la Quinta Avenida y el lado designado B, medía 180 barras de luz. El lado más largo del edificio, la hipotenusa C que corre a lo largo de Broadway, tenía una longitud de 195 barras de luz.

Habiendo encontrado las longitudes de los lados del edificio en barras de luz, MoMath luego proyectó en el costado del edificio los cálculos que mostraban que los tres lados coinciden de hecho con el Teorema de Pitágoras, lo que demuestra que Flatiron es de hecho un triángulo rectángulo. :

Los triángulos rectángulos cuyos lados tienen longitudes de números enteros son especiales. Para la mayoría de los triángulos rectángulos, al menos uno de los tres lados será un número irracional: un triángulo rectángulo cuyos lados más cortos tengan la longitud uno tendrá una hipotenusa de longitud raíz cuadrada de 2 (ya que, de nuevo según el Teorema de Pitágoras, 1 2 + 1 2 = 1 + 1 = 2, y 2 es, por definición, la raíz cuadrada de 2, al cuadrado).

Los conjuntos de tres números enteros que describen un triángulo rectángulo, como 75, 180 y 195, se denominan triples pitagóricos y han sido de interés para los matemáticos desde la época de los antiguos griegos.

Este triple pitagórico en particular también tiene otra propiedad interesante. Los tres números 75, 180 y 195 se pueden dividir por 15 sin dejar un resto: 75 ÷ 15 = 5, 180 ÷ 15 = 12 y 195 ÷ 15 = 13. Entonces, si "reescalamos" las medidas de longitud Al realizar esta división en las tres longitudes, obtenemos que los lados del edificio Flatiron son 5, 12 y 13.

Por lo tanto, MoMath fue muy inteligente al elegir la fecha para el evento: el 5 de diciembre de 2013 o el 5/12/13, haciendo coincidir los lados del edificio.

Después de tomar las medidas de los lados del edificio Flatiron y mostrar su relación pitagórica, MoMath proyectó un par de buenas pruebas geométricas del teorema de Pitágoras en el costado del edificio:

Eventos como este son una forma agradable para que todo tipo de personas participen de la elegancia y la belleza de las matemáticas. El Teorema de Pitágoras es un concepto central en nuestra comprensión de la geometría y, de muchas maneras, define la forma de nuestro mundo. Fue emocionante ver cómo este principio matemático fundamental cobra vida de una manera divertida e interactiva.


13.6.4: Triángulos, rectángulos y el teorema de Pitágoras - Matemáticas

Construyamos cuadrados en los lados de un triángulo rectángulo. El Teorema de Pitágoras afirma entonces que la suma de (las áreas de) dos cuadrados pequeños es igual (el área de) el grande.

En términos algebraicos, a 2 + b 2 = c 2 donde C es la hipotenusa mientras a y B son los lados del triángulo.

El teorema es de fundamental importancia en la Geometría Euclidiana donde sirve como base para la definición de la distancia entre dos puntos. Es tan básico y bien conocido que, creo, cualquiera que haya tomado clases de geometría en la escuela secundaria no puede dejar de recordarlo mucho después de que otras nociones matemáticas se hayan olvidado por completo.

Planeo presentar varias pruebas geométricas del Teorema de Pitágoras. Un extraordinario subprograma de Java escrito por Jim Morey dio un impulso a esta página. Esta constituye la primera prueba en esta página. Uno de mis primeros subprogramas de Java fue escrito para ilustrar otra demostración euclidiana. Actualmente, hay varias ilustraciones de Java de varias pruebas, pero la mayoría se han renderizado en HTML simple con diagramas gráficos simples.

Observación

La declaración del Teorema fue descubierta en una tablilla babilónica alrededor de 1900-1600 a.C. Si Pitágoras (c.560-c.480 a.C.) o alguien más de su Escuela fue el primero en descubrir su prueba, no puede afirmarse con ningún grado de credibilidad. Euclides (c. 300 a. C.) Elementos proporcionar la primera y, posteriormente, la referencia estándar en geometría. El applet de Jim Morey sigue la Proposición I.47 (Primer Libro, Proposición 47), el mío VI.31. El teorema es reversible, lo que significa que un triángulo cuyos lados satisfacen a 2 + b 2 = c 2 tiene un ángulo recto. Euclides fue el primero (I.48) en mencionar y probar este hecho.

W. Dunham [Universo Matemático] cita un libro La propuesta pitagórica por un profesor de principios del siglo XX, Elisha Scott Loomis. El libro es una colección de 367 pruebas del Teorema de Pitágoras y ha sido reeditado por NCTM en 1968.

El Teorema de Pitágoras se generaliza a espacios de mayores dimensiones. Algunas de las generalizaciones están lejos de ser obvias.

A Larry Hoehn se le ocurrió una generalización del plano que está relacionada con la ley de los cosenos, pero es más corta y se ve mejor.

El Teorema cuya formulación conduce a la noción de distancia euclidiana y espacios euclidianos y de Hilbert, juega un papel importante en las Matemáticas en su conjunto. Comencé a recopilar datos matemáticos cuya demostración puede basarse en el Teorema de Pitágoras.

(EWD) signo (a + b - g) = signo (a 2 + b 2 - c 2),

donde sign (t) es la función signum:

El teorema al que está dedicada esta página se trata como "Si entonces Dijkstra encuentra merecidamente (EWD) más simétrico y más informativo. La ausencia de cantidades trascendentales (p) se considera una ventaja adicional".

Prueba # 2

Empezamos con dos cuadrados con lados. a y B, respectivamente, colocados uno al lado del otro. El área total de los dos cuadrados es a 2 + b 2 .

La construcción no empezó con un triángulo pero ahora dibujamos dos de ellos, ambos con lados a y B e hipotenusa C. Tenga en cuenta que se ha eliminado el segmento común a los dos cuadrados. En este punto, por lo tanto, tenemos dos triángulos y una forma extraña.

Como último paso, rotamos los triángulos 90 o, cada uno alrededor de su vértice superior. El de la derecha se gira en el sentido de las agujas del reloj, mientras que el triángulo de la izquierda se gira en el sentido contrario a las agujas del reloj. Obviamente, la forma resultante es un cuadrado con el lado cy el área c 2 .

(Una variante de esta prueba se encuentra en un manuscrito existente de Th & acircbit ibn Qurra ubicado en la biblioteca de Aya Sofya Musium en Turquía, registrado con el número 4832. [R. Shloming, Th & acircbit ibn Qurra y el teorema de Pitágoras, profesor de matemáticas 63 ( Oct., 1970), 519-528]. El diagrama de ibn Qurra es similar al de la prueba n. ° 27. La prueba en sí comienza notando la presencia de cuatro triángulos rectángulos iguales que rodean una forma de apariencia extraña como en la prueba n. ° 2 actual. cuatro triángulos corresponden en pares a las posiciones inicial y final de los triángulos rotados en la prueba actual. Esta misma configuración podría observarse en una prueba por teselación.)

Prueba # 3

Ahora comenzamos con cuatro copias del mismo triángulo. Tres de estos se han girado 90 °, 180 ° y 270 °, respectivamente. Cada uno tiene área ab/ 2. Vamos a juntarlos sin rotaciones adicionales para que formen un cuadrado con lados C.

El cuadrado tiene un agujero cuadrado con el lado sumando su área y 2ab, el área de los cuatro triángulos (4 & middotab/ 2), obtenemos

Prueba # 4

El cuarto enfoque comienza con los mismos cuatro triángulos, excepto que, esta vez, se combinan para formar un cuadrado con el lado (a + b) y un agujero con el lateral C. Podemos calcular el área del cuadrado grande de dos formas. Por lo tanto

(a + b) 2 = 4 y middotab/2 + C 2

simplificando lo que obtenemos la identidad necesaria.

Prueba # 5

Esta prueba, descubierta por el presidente J.A. Garfield en 1876 [Pappas], es una variación del anterior. Pero esta vez no dibujamos ningún cuadrado. La clave ahora es la fórmula para el área de un trapezoide: la mitad de la suma de las bases por la altitud - (a + b) / 2 y middot (a + b). Mirando la imagen de otra manera, esto también se puede calcular como la suma de las áreas de los tres triángulos: ab/2 + ab/2 + C& middotC/ 2. Como antes, las simplificaciones producen a 2 + b 2 = c 2 .

Se pueden combinar dos copias del mismo trapezoide de dos maneras uniéndolas a lo largo del lado inclinado del trapezoide. Uno conduce a la prueba n. ° 4, el otro a la prueba n. ° 52.

Prueba # 6

Comenzamos con el triángulo original, ahora denominado ABC, y solo necesitamos una construcción adicional: la altitud AD. Los triángulos ABC, BDA y ADC son similares, lo que da lugar a dos proporciones:

AB / BC = BD / AB y AC / BC = DC / AC.

Escrito de otra manera, estos se convierten

AB & middotAB = BD & middotBC y AC & middotAC = DC & middotBC

En una correspondencia privada, el Dr. France Dacar, Ljubljana, Eslovenia, sugirió que el diagrama de la derecha puede tener dos propósitos. Primero, da una representación gráfica adicional a la presente prueba # 6. Además, destaca la relación de esta última con la prueba # 1.

Prueba # 7

La siguiente prueba está tomada literalmente de Euclides VI.31 traducida por Sir Thomas L. Heath. El gran G. Polya lo analiza en su Inducción y Analogía en Matemáticas (II.5) que es una lectura recomendada para estudiantes y profesores de Matemáticas.

En triángulos rectángulos, la figura del lado que subtiende el ángulo recto es igual a las figuras similares y descritas de manera similar en los lados que contienen el ángulo recto.

Sea ABC un triángulo rectángulo que tiene el ángulo BAC recto. Digo que la figura en BC es igual a las figuras similares y descritas de manera similar en BA, AC.

Sea AD perpendicular. Entonces, dado que, en el triángulo rectángulo ABC, AD se ha dibujado desde el ángulo recto en A perpendicular a la base BC, los triángulos ABD, ADC adyacentes a la perpendicular son similares tanto al ABC completo como entre sí [VI.8 ].

Y, dado que ABC es similar a ABD, así como CB es a BA, también lo es AB a BD [VI.Def.1].

Y, dado que tres líneas rectas son proporcionales, como la primera es a la tercera, así es la figura de la primera a la figura similar y descrita de manera similar en la segunda [VI.19]. Por lo tanto, como CB es para BD, también lo es la figura de CB para la figura similar y descrita de manera similar en BA.

Por la misma razón también, como BC es para CD, así es la cifra de BC para la de CA, de modo que, además, como BC es para BD, DC, también lo es la cifra de BC para las figuras similares y descritas de manera similar en BA, AC.

Pero BC es igual a BD, DC por lo tanto, la cifra de BC también es igual a las cifras similares y descritas de manera similar en BA, AC.

Confesión

Obtuve una apreciación real de esta prueba solo después de leer el libro de Polya que mencioné anteriormente. Espero que un subprograma de Java le ayude a llegar al fondo de esta notable prueba. Tenga en cuenta que la afirmación realmente probada es mucho más general que el teorema como se lo conoce generalmente.

Prueba # 8

Jugando con el applet que demuestra la prueba de Euclides (# 7), he descubierto otro que, aunque feo, sirve de todos modos.

Por lo tanto, comenzando con el triángulo 1, agregamos tres más de la manera sugerida en la prueba n. ° 7: triángulos 2, 3 y 4 similares y descritos de manera similar. Derivando un par de razones como se hizo en la prueba n. ° 6, llegamos a las longitudes de los lados como representado en el diagrama. Ahora, es posible mirar la forma final de dos maneras:

  • como una unión del rectángulo (1 + 3 + 4) y el triángulo 2, o
  • como una unión del rectángulo (1 + 2) y dos triángulos 3 y 4.

ab / c & middot (a 2 + b 2) / c + ab / 2 = ab + (ab / c & middot a 2 / c + ab / c & middot b 2 / c) / 2

ab / c & middot (a 2 + b 2) / c / 2 = ab / 2, o (a 2 + b 2) / c 2 = 1

Observación

En retrospectiva, hay una prueba más simple. Mira el rectángulo (1 + 3 + 4). Su lado largo es, por un lado, c simple, mientras que, por otro lado, es a 2 / c + b 2 / cy nuevamente tenemos la misma identidad.

Prueba # 9

Otra prueba surge de una reordenación de piezas rígidas, muy similar a la prueba n. ° 2. Hace que la parte algebraica de la prueba # 4 sea completamente redundante. No hay mucho que se pueda agregar a las dos imágenes.

(Mi más sincero agradecimiento a Monty Phister por el amable permiso para usar los gráficos).

Prueba # 10

Esta y las siguientes 3 pruebas provienen de [PWW].

Los triángulos de la Prueba n. ° 3 pueden reorganizarse de otra manera que hace que la identidad pitagórica sea obvia.

(Monty Phister me envió amablemente un diagrama más esclarecedor a la derecha).

Prueba # 11

Dibuja un círculo con radio cy un triángulo rectángulo con lados ay b como se muestra. En esta situación, se puede aplicar cualquiera de los pocos hechos bien conocidos. Por ejemplo, en el diagrama, tres puntos F, G, H ubicados en el círculo forman otro triángulo rectángulo con la altitud FK de longitud a. Su hipotenusa GH se divide en la proporción (c + b) / (c-b). Entonces, como en la Prueba # 6, obtenemos a 2 = (c + b) (c-b) = c 2 - b 2.

Prueba # 12

Esta prueba es una variación del n. ° 1, una de las pruebas originales de Euclides. En las partes 1, 2 y 3, los dos pequeños cuadrados se cortan uno hacia el otro de modo que el área sombreada total permanece sin cambios (e igual a a 2 + b 2). En la parte 3, la longitud de la porción vertical del sombreado El borde del área es exactamente c porque los dos triángulos sobrantes son copias del original. Esto significa que uno puede deslizarse hacia abajo por el área sombreada como en la parte 4. De aquí se sigue fácilmente el Teorema de Pitágoras.

(Esta prueba se puede encontrar en H. Eves, En círculos matemáticos, MAA, 2002, págs.74-75)

Prueba # 13

En el diagrama hay varios triángulos similares (abc, a'b'c ', a'x y b'y.) Tenemos sucesivamente

y / b = b '/ c, x / a = a' / c, cy + cx = aa '+ bb'.

Y, finalmente, cc '= aa' + bb '. Esto es muy parecido a la Prueba # 6, pero el resultado es más general.

Prueba # 14

Esta prueba de HE Dudeney (1917) comienza cortando el cuadrado del lado más grande en cuatro partes que luego se combinan con el más pequeño para formar el cuadrado construido sobre la hipotenusa.

Greg Frederickson de la Universidad de Purdue, autor de un libro verdaderamente esclarecedor, Disecciones: Plano y Fantasía (Cambridge University Press, 1997), señaló la inexactitud histórica:

Usted atribuyó la prueba # 14 a S.E. Dudeney (1917), pero en realidad fue publicado antes (1873) por Henry Perigal, un corredor de bolsa de Londres. Una prueba de disección diferente apareció mucho antes, dada por el matemático / astrónomo árabe Thabit en el siglo X. He incluido detalles sobre estas y otras pruebas de disecciones (incluidas las pruebas de la Ley de los cosenos) en mi libro reciente "Dissections: Plane & Fancy", Cambridge University Press, 1997. Puede que disfrutes de la página web del libro:

Bill Casselman de la Universidad de Columbia Británica secunda la información de Greg. El mío vino de Pruebas sin palabras por R.B. Nelsen (MAA, 1993).

Prueba # 15

Esta notable prueba de K. O. Friedrichs es una generalización de la anterior de Dudeney. De hecho, es general. Es general en el sentido de que se puede derivar una variedad infinita de pruebas geométricas específicas. (Roger Nelsen atribuye [PWWII, p 3] esta prueba a Annairizi de Arabia (ca. 900 d.C.))

Prueba # 16

Esta prueba se atribuye a Leonardo da Vinci (1452-1519) [Eves]. Los cuadriláteros ABHI, JHBC, ADGC y EDGF son todos iguales. (Esto se deduce de la observación de que el ángulo ABH es de 45 °. Esto se debe a que ABC tiene un ángulo recto, por lo que el centro O del cuadrado ACJI se encuentra en el círculo que circunscribe el triángulo ABC. Obviamente, el ángulo ABO es de 45 °). área (ABHI) + área (JHBC) = área (ADGC) + área (EDGF). Cada suma contiene dos áreas de triángulos iguales a ABC (IJH o BEF) eliminando cuál obtiene el Teorema de Pitágoras.

David King modifica un poco el argumento

Las longitudes de los lados de los hexágonos son idénticas. Los ángulos en P (ángulo recto + ángulo entre ay c) son idénticos. Los ángulos en Q (ángulo recto + ángulo entre byc) son idénticos. Por tanto, los cuatro hexágonos son idénticos.

Prueba # 17

Esta prueba aparece en el Libro IV de Colección matemática por Pappus de Alejandría (ca A.D.300) [Vísperas, Pappas]. Generaliza el Teorema de Pitágoras de dos maneras: no se requiere que el triángulo ABC tenga un ángulo recto y las formas construidas en sus lados son paralelogramos arbitrarios en lugar de cuadrados. Por lo tanto, construya paralelogramos CADE y CBFG en los lados AC y, respectivamente, BC. Deje que DE y FG se encuentren en H y dibuje AL y BM paralelos e iguales a HC. Entonces área (ABML) = área (CADE) + área (CBFG). De hecho, con la transformación de corte ya utilizada en las pruebas # 1 y # 12, área (CADE) = área (CAUH) = área (SLAR) y también área (CBFG) = área (CBVH) = área (SMBR). Ahora, sume lo que sea igual.

Prueba # 18

Esta es otra generalización que no requiere ángulos rectos. Se debe a Th & acircbit ibn Qurra (836-901) [Eves]. Si los ángulos CAB, AC'B y AB'C son iguales, de hecho, los triángulos ABC, AC'B y AB'C son similares. Así lo tenemos y que conduce inmediatamente a la identidad requerida. En caso de que el ángulo A sea recto, el teorema se reduce a la proposición y demostración de Pitágoras n. ° 6.

Prueba # 19

Esta prueba es una variación del n. ° 6. En el lado pequeño AB, agregue un triángulo rectángulo ABD similar a ABC. Entonces, naturalmente, DBC es similar a los otros dos. De AD = AB 2 / AC y BD = AB & middotBC / AC derivamos Dividiendo por AB / AC conduce a

Prueba # 20

Este es un cruce entre el # 7 y el # 19. Construya triángulos ABC ', BCA' y ACB 'similares a ABC, como en el diagrama. Por construcción, además, los triángulos ABB 'y ABC' también son iguales. Por lo tanto, concluimos que De la similitud de los triángulos obtenemos como antes B'C = AC 2 / BC y BC '= AC & middotAB / BC. Al ponerlo todo junto, se obtiene lo mismo que

Prueba # 21

El siguiente es un extracto de una carta del Dr. Scott Brodie de la Escuela de Medicina Mount Sinai, Nueva York, quien me envió un par de pruebas del teorema propiamente dicho y su generalización a la Ley de los cosenos:

La primera prueba la paso simplemente de la excelente discusión en la serie Project Mathematics, basada en el teorema de Ptolomeo sobre cuadriláteros inscritos en un círculo: para tales cuadriláteros, la suma de los productos de las longitudes de los lados opuestos, tomados en pares, es igual a la producto de las longitudes de las dos diagonales. Para el caso de un rectángulo, esto se reduce inmediatamente a a 2 + b 2 = c 2.

Prueba # 22

Aquí está la segunda prueba de la carta del Dr. Scott Brodie.

Tomamos como conocidos los teoremas de la "potencia del punto": si se toma un punto exterior a un círculo, y desde el punto se dibuja un segmento tangente al círculo y se dibuja otro segmento (una secante) que corta el círculo en dos puntos distintos, entonces el cuadrado de la longitud de la tangente es igual al producto de la distancia a lo largo de la secante desde el punto externo al punto más cercano de intersección con el círculo y la distancia a lo largo de la secante hasta el punto más lejano de intersección con el circulo.

Sea ABC un triángulo rectángulo, con el ángulo recto en C. Dibuje la altitud desde C hasta la hipotenusa, sea P el pie de esta altitud. Entonces, dado que CPB es correcto, el punto P se encuentra en el círculo con diámetro BC y como CPA es correcto, el punto P se encuentra en el círculo con diámetro AC. Por lo tanto, la intersección de los dos círculos en los catetos BC, CA del triángulo rectángulo original coincide con P y, en particular, se encuentra en AB. Denotamos por X y y las longitudes de los segmentos BP y PA, respectivamente, y, como es habitual, dejemos a B C denotar las longitudes de los lados de ABC opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente. Luego, X + y = C.

Como el ángulo C es recto, BC es tangente al círculo de diámetro CA, y el teorema de la potencia establece que un 2 = xc De manera similar, AC es tangente al círculo con diámetro BC, y b 2 = yc. Sumando, encontramos un 2 + b 2 = xc + yc = c 2 , Q.E.D.

El Dr. Brodie también creó un archivo SketchPad de Geometer para ilustrar esta prueba.

Prueba # 23

Otra prueba se basa en la fórmula de Heron que ya utilicé en la Prueba n. ° 7 para mostrar áreas triangulares. Esta es una forma bastante complicada de probar el Teorema de Pitágoras que, sin embargo, refleja la centralidad del Teorema en la geometría del plano.

Prueba # 24

[Swetz] atribuye esta prueba a abu 'l'Hasan Th & acircbit ibn Qurra Marw & acircn al'Harrani (826-901). Es la segunda de las pruebas dadas por Th & acircbit ibn Qurra. El primero es esencialmente el # 2 anterior.

La prueba se parece a la parte 3 de la prueba n. ° 12. ABC = FLC = FMC = BED = AGH = FGE. Por un lado, el área de la forma ABDFH es igual a AC 2 + BC 2 + área (ABC + FMC + FLC). Por otro lado, área (ABDFH) = AB 2 + área (BED + FGE + AGH).

Esta es una variante "desplegada" de la prueba anterior. Dos regiones pentagonales, la roja y la azul, son obviamente iguales y dejan la misma área al eliminar tres triángulos iguales de cada una.

La prueba es popularizada por Monty Phister, autor de la inimitable Matemáticas retorcidas CD ROM.

Prueba # 25

B.F.Yanney (1903, [Swetz]) dio una prueba usando el "argumento deslizante" también empleado en las Pruebas # 1 y # 12. Sucesivamente, las áreas de LMOA, LKCA y ACDE (que es AC 2) son iguales al igual que las áreas de HMOB, HKCB y HKDF (que BC 2). BC = DF. Así AC 2 + BC 2 = área (LMOA) + área (HMOB) = área (ABHL) = AB 2.

Prueba # 26

Esta prueba la descubrí en el sitio mantenido por Bill Casselman donde es presentada por un subprograma de Java.

Con todas las pruebas anteriores, esta debe ser simple. Triángulos similares como en las pruebas n. ° 6 o n. ° 13.

Prueba # 27

Las mismas piezas que en la prueba n. ° 26 se pueden reorganizar de otra manera.

Esta disección se atribuye a menudo al matemático holandés del siglo XVII Frans van Schooten. [Frederickson, pág. 35] lo considera como una variante con bisagras de uno de ibn Qurra, ver la nota entre paréntesis después de la prueba # 2. El Dr. France Dacar de Eslovenia ha señalado que este mismo diagrama se explica fácilmente con un teselado en la prueba n. ° 15. De hecho, puede explicarse mejor con una teselación diferente. (Agradezco a Douglas Rogers por aclararme esto).

Prueba # 28

Melissa Running de MathForum me ha enviado amablemente un enlace a Una prueba del teorema de Pitágoras de Liu Hui (siglo III d.C.). La página es mantenida por Donald B. Wagner, un experto en historia de la ciencia y la tecnología en China. El diagrama es una reconstrucción de una descripción escrita de un algoritmo de Liu Hui (siglo III d.C.). Para obtener más información, consulte la página original.

Prueba # 29

Una demostración mecánica del teorema merece una página propia.

Pertinente a esa prueba es una página de pruebas "extra-geométricas" del Teorema de Pitágoras por Scott Brodie

Prueba # 30

Esta prueba la encontré en la secuela de R. Nelsen Pruebas sin palabras II. (Se debe a Poo-sung Park y se publicó originalmente en Revista de Matemáticas, Diciembre de 1999). Comenzando con uno de los lados de un triángulo rectángulo, construya 4 triángulos isósceles rectos congruentes con hipotenusas de dos perpendiculares y ápices subsiguientes alejados del triángulo dado. La hipotenusa del primero de estos triángulos (en rojo en el diagrama) debe coincidir con uno de los lados.

Los ápices de los triángulos isósceles forman un cuadrado con el lado igual a la hipotenusa del triángulo dado. Las hipotenusas de esos triángulos cortan los lados del cuadrado en sus puntos medios. De modo que parece haber 4 pares de triángulos iguales (uno de los pares está en verde). Uno de los triángulos del par está dentro del cuadrado, el otro está fuera. Sean los lados del triángulo original a, b, c (hipotenusa). Si el primer triángulo isósceles se construyó en el lado b, entonces cada uno tiene un área b 2/4. Obtenemos

Aquí hay una ilustración dinámica y otro diagrama que muestra cómo diseccionar dos cuadrados más pequeños y reorganizarlos en el grande.

Prueba # 31

Dado el ABC derecho, denotemos, como de costumbre, las longitudes de los lados BC, AC y la de la hipotenusa como a, byc, respectivamente. Levantar cuadrados en los lados BC y AC como en el diagrama. Según SAS, los triángulos ABC y PCQ son iguales, de modo que sea M el punto medio de la hipotenusa. Denotemos la intersección de MC y PQ como R. Demostremos que

La mediana de la hipotenusa es igual a la mitad de esta última. Por lo tanto, CMB es isósceles y Pero también tenemos De aquí y se deduce que el ángulo CRP es correcto, o

Con estos preliminares pasamos a los triángulos MCP y MCQ. Evaluamos sus áreas de dos formas diferentes:

Por un lado, la altitud de M a PC es igual a AC / 2 = b / 2. Pero también Por lo tanto, Por otro lado, De manera similar, y también

Podemos resumir las dos identidades: o

(Mi gratitud va para Floor van Lamoen, quien me llamó la atención sobre esta prueba. Apareció en Pitágoras - una revista holandesa de matemáticas para escolares - en el número de diciembre de 1998, en un artículo de Bruno Ernst. La prueba se atribuye a una estudiante de secundaria estadounidense de 1938 con el nombre de Ann Condit).

Prueba # 32

Sean ABC y DEF dos triángulos rectángulos congruentes tales que B se encuentra en DE y A, F, C, E son colineales. ,,. Obviamente, calcule el área de ADE de dos formas diferentes.

Área (ADE) = AB & middotDE / 2 = c 2/2 y también CE se puede encontrar a partir de triángulos similares BCE y DFE: Poniendo las cosas juntas obtenemos

(Esta prueba es una simplificación de una de las pruebas de Michelle Watkins, estudiante de la Universidad del Norte de Florida, que apareció en Espectro matemático 1997/98, v30, n3, 53-54.)

Douglas Rogers observó que el mismo diagrama se puede tratar de manera diferente:

La prueba 32 se puede arreglar un poco más, en la línea de las pruebas posteriores agregadas más recientemente, y así evitar triángulos similares.

Por supuesto, ADE es un triángulo en la base DE con altura AB, entonces de área cc / 2.

Pero se puede diseccionar en el triángulo FEB y el cuadrilátero ADBF. El primero tiene una base FE y una altura BC, por lo que el área aa / 2. Este último a su vez consta de dos triángulos espalda con espalda en la base DF con alturas combinadas AC, por lo que el área bb / 2. Una disección alternativa considera que el triángulo ADE está formado por el triángulo ADC y el triángulo CDE, que, a su vez, consta de dos triángulos espalda con espalda en la base BC, con alturas combinadas EF.

Las siguientes dos pruebas han acompañado el siguiente mensaje de Shai Simonson, profesor de Stonehill College en Cambridge, MA:

Disfruté mirando su sitio y me encontré con la larga lista de pruebas de teoremas de Pyth.

En mi curso "La historia del ingenio matemático" utilizo dos demostraciones que usan un círculo inscrito en un triángulo rectángulo. Cada prueba usa dos diagramas, y cada uno es una vista geométrica diferente de una única prueba algebraica que descubrí hace muchos años y publiqué en una carta al profesor de matemáticas.

Las dos pruebas geométricas no requieren palabras, pero requieren un poco de reflexión.

Prueba # 33

Prueba # 34

Prueba # 35

Domino agrietado, una prueba de Mario Pacek (también conocido como Pakoslaw Gwizdalski), también requiere algo de reflexión.

La prueba enviada por correo electrónico iba acompañada del siguiente mensaje:

Esta nueva, extraordinaria y extremadamente elegante prueba de muy probablemente el teorema más fundamental en matemáticas (¿ganador indiscutible con respecto al número de pruebas 367?) Es superior a todas las conocidas por la ciencia, incluidos los chinos y James A. Garfield (vigésimo presidente de EE. UU. ), por ser directo, no implica fórmulas e incluso los preescolares pueden conseguirlo. Es muy probable que sea idéntico al original perdido, pero ¿quién puede probarlo? ¡Todavía no está en el Libro Guinness de los Récords!

La forma en que se combinan las piezas bien puede ser original. La disección en sí es bien conocida (ver Pruebas 26 y 27) y se describe en el libro de Frederickson, p. 29. Se observa allí que B. Brodie (1884) observó que la disección como esa también se aplica a rectángulos similares. La disección es también un ejemplo particular de la prueba de superposición de K.O. Friedrichs.

Prueba # 36

Esta prueba se debe a J. E. B & oumlttcher y ha sido citada por Nelsen (Pruebas sin palabras II, pag. 6).

Creo que descifrar esta prueba sin palabras es un buen ejercicio para la clase de geometría de secundaria o preparatoria.

Prueba # 37

Un subprograma de David King que demuestra esta prueba se ha colocado en una página separada.

Prueba # 38

Esta prueba también me fue comunicada por David King. Los cuadrados y 2 triángulos se combinan para producir dos hexágonos de igual área, que podrían haberse establecido como en la Prueba # 9. Sin embargo, ambos hexágonos teselan el plano.

Por cada hexágono en el mosaico de la izquierda hay un hexágono en el mosaico de la derecha. Ambas teselaciones tienen la misma estructura de celosía que se demuestra mediante un subprograma. El teorema de Pitágoras se demuestra después de eliminar dos triángulos de cada uno de los hexágonos.

Prueba # 39

(Por J. Barry Sutton, The Math Gazette, v 86, n 505, marzo de 2002, p72.)

Sea ABC, ángulo C = 90 o. Como de costumbre, defina los puntos D y E en AB para que

Por construcción, C se encuentra en el círculo con centro A y radio b. El ángulo DCE subtiende su diámetro y, por lo tanto, es correcto: se deduce que, dado que ACE es isósceles,

Los triángulos DBC y EBC comparten DBC. Además, por lo tanto, los triángulos DBC y EBC son similares. Tenemos o

a 2 = c 2 - b 2,
a 2 + segundo 2 = do 2.

El diagrama recuerda la prueba de Th & acircbit ibn Qurra. Pero los dos son bastante diferentes.

Prueba # 40

Este es de Michael Hardy de la Universidad de Toledo y fue publicado en The Mathematical Intelligencer en 1988. Debe tomarse con un grano de sal.

Sea ABC un triángulo rectángulo con hipotenusa BC. Denote y luego, a medida que C se mueve a lo largo de la línea AC, x cambia y también lo hace y. Suponga que x cambió en una pequeña cantidad dx. Luego y cambió en una pequeña cantidad dy. El triángulo CDE puede considerarse aproximadamente recto. Suponiendo que lo sea, comparte un ángulo (D) con el triángulo ABD y, por lo tanto, es similar a este último. Esto conduce a la proporción o una ecuación diferencial (separable)

que después de la integración da y 2 - x 2 = const. El valor de la constante se determina a partir de la condición inicial de Dado para todo x.

Es fácil tener problemas con esta prueba. ¿Qué significa que un triángulo sea? Puedo ofrecer la siguiente explicación. Los triángulos ABC y ABD son correctos por construcción. Tenemos, y también por el teorema de Pitágoras. En términos de xey, el teorema aparece como

x 2 + a 2 = y 2
(x + dx) 2 + a 2 = (y + dy) 2

que, después de la resta, da

Para dx y dy pequeños, dx 2 y dy 2 son incluso más pequeños y podrían pasarse por alto, lo que lleva a la aproximación

El truco de la viñeta de Michael consiste en saltarse el tema de la aproximación. Pero, ¿se puede realmente justificar la derivación sin depender del teorema de Pitágoras en primer lugar? Independientemente, me gusta mucho tener la ecuación ubicua colocada en ese contexto geométrico.

Prueba # 41

Este me lo envió Geoffrey Margrave de Lucent Technologies. Se parece mucho al # 8, pero se llega a él de una manera diferente. Crea 3 copias a escala del triángulo con lados a, b, c multiplicándolo por a, by c sucesivamente. Juntos, los tres triángulos semejantes así obtenidos forman un rectángulo cuyo lado superior es, mientras que el lado inferior es c 2. (Lo que también muestra que el # 8 podría haberse concluido de una manera más corta).

Además, elegir solo dos triángulos conduce a una variante de las Pruebas n. ° 6 y n. ° 19:

De esta forma, la prueba aparece en [Birkhoff, p. 92].

Sin embargo, James F ha enviado otra variante que podría estar relacionada con el número 8:

Este último tiene un gemelo con ayb intercambiando sus roles.

Prueba # 42

La demostración se basa en el mismo diagrama que el # 33 [Pritchard, p. 226-227].

El área de un triángulo es obviamente rp, donde r es el círculo y el semiperímetro del triángulo. A partir del diagrama, la hipotenusa o el área del triángulo se calcula de dos maneras:

(La prueba se debe a Jack Oliver y se publicó originalmente en Gaceta matemática 81 (marzo de 1997), págs. 117-118.)

Prueba # 43

Aplique el teorema de la potencia de un punto al diagrama de arriba donde el lado a sirve como tangente a un círculo de radio b: el resultado sigue inmediatamente.

(La configuración aquí es esencialmente la misma que en la prueba # 39. La invocación del teorema de la potencia de un punto puede considerarse como un atajo al argumento en la prueba # 39).

Prueba # 44

Adam Rose presentó la siguiente prueba relacionada con el número 39 (23 de septiembre de 2004).

Comience con dos triángulos rectángulos idénticos: ABC y AFE, A el punto medio de BE y CF. Marque D en AB y G en la extensión de AF, de modo que

(Para obtener más notaciones, consulte el diagrama anterior). BCD es isósceles. Por lo tanto, dado que el ángulo C es recto,

Dado que AFE es exterior a EFG, pero EFG también es isósceles. Por lo tanto

Ahora tenemos dos líneas, CD y EG, cruzadas por CG con dos ángulos alternos internos, ACD y AGE, iguales. Por lo tanto, CD || EG. Los triángulos ACD y AGE son similares y AD / AC = AE / AG:

y sigue el teorema de Pitágoras.

Prueba # 45

Esta prueba se debe a Douglas Rogers, quien la encontró en el curso de su investigación sobre la historia de las matemáticas chinas. Los dos también tienen versiones en línea:

La prueba es una variación de los números 33, 34 y 42. La prueba procede en dos pasos. Primero, como puede observarse en

donde d es el diámetro del círculo inscrito en un triángulo rectángulo con lados ayb e hipotenusa c. Basándose en eso y reorganizando las piezas de dos maneras, se obtiene otra demostración sin palabras del teorema de Pitágoras:

Prueba # 46

Esta prueba se debe a Tao Tong (profesor de matemáticas, febrero de 1994, Reader Reflections). Me enteré gracias a los buenos servicios de Douglas Rogers, quien también me llamó la atención sobre las Pruebas # 47, # 48 y # 49. En espíritu, la prueba se parece a la prueba # 32.

Sean ABC y BED triángulos rectángulos iguales, con E en AB. Vamos a evaluar el área de ABD de dos formas:

Usando las notaciones como se indica en el diagrama que obtenemos se puede encontrar observando la similitud de los triángulos BFC y ABC:

Las dos fórmulas se combinan fácilmente en la identidad pitagórica.

Prueba # 47

Esta prueba, que se debe a un estudiante de secundaria, John Kawamura, fue informada por Chris Davis, su maestro de geometría en Head-Rouce School, Oakland, CA (Maestro de matemáticas, abril de 2005, p. 518).

La configuración es prácticamente idéntica a la de la Prueba # 46, pero esta vez nos interesa el área del cuadrilátero ABCD. Ambas diagonales perpendiculares tienen una longitud c, de modo que su área es igual a c 2/2. Por otro lado,

Multiplicar por 2 produce el resultado deseado.

Prueba # 48

(W. J. Dobbs, The Mathematical Gazette, 8 (1915-1916), p. 268.)

En el diagrama, dos triángulos rectángulos, ABC y ADE, son iguales y E está ubicado en AB. Como en la demostración del presidente Garfield, evaluamos el área de un trapezoide ABCD de dos maneras:

donde, como en la demostración # 47, c & middotc es el producto de las dos diagonales perpendiculares del cuadrilátero AECD. Por otro lado,

Combinando los dos obtenemos c 2/2 = a 2/2 + b 2/2, o, después de multiplicar por 2,

Prueba # 49

En la demostración anterior podemos proceder de manera un poco diferente. Completa un cuadrado en los lados AB y AD de los dos triángulos.Su área es, por un lado, b 2 y, por otro,

que equivale a la misma identidad que antes.

Douglas Rogers, quien observó la relación entre las demostraciones 46-49, también comentó que se podría haber dibujado un cuadrado en los catetos más pequeños de los dos triángulos si el segundo triángulo se dibuja en la posición "inferior" como en las demostraciones 46 y 47. En esto En este caso, evaluaremos nuevamente el área del cuadrilátero ABCD de dos maneras. Con referencia al segundo de los diagramas anteriores,

También señaló que es posible pensar que uno de los triángulos rectángulos se desliza desde su posición en la prueba n. ° 46 a su posición en la prueba n. ° 48 de modo que su cateto corto se deslice a lo largo del cateto largo del otro triángulo. En cualquier posición intermedia existe un cuadrilátero con diagonales iguales y perpendiculares, de modo que para todas las posiciones es posible construir demostraciones análogas a la anterior. El triángulo siempre permanece dentro de un cuadrado de lado b, la longitud del cateto largo de los dos triángulos. Ahora, también podemos imaginar el triángulo ABC deslizándose dentro de ese cuadrado. Lo que conduce a una prueba que generaliza directamente el n. ° 49 e incluye configuraciones de las pruebas 46-48. Vea abajo.

Prueba # 50

El área del cuadrado grande KLMN es b 2. El cuadrado se divide en 4 triángulos y un cuadrilátero:

No es una derivación interesante, pero muestra que, cuando se enfrenta a la tarea de simplificar expresiones algebraicas, multiplicar todos los términos para eliminar todos los paréntesis puede no ser la mejor estrategia. En este caso, sin embargo, existe incluso una estrategia mejor que evita por completo cálculos prolongados. Siguiendo la sugerencia de Douglas Rogers, complete cada uno de los cuatro triángulos en un rectángulo apropiado:

Los cuatro rectángulos siempre cortan un cuadrado de tamaño a, de modo que su área total sea b 2 - a 2. Así podemos terminar la prueba como en las otras pruebas de esta serie:

Prueba # 51

(W. J. Dobbs, The Mathematical Gazette, 7 (1913-1914), p. 168.)

Éste es cortesía de Douglas Rogers de su extensa colección. Como en la Prueba # 2, el triángulo se gira 90 o alrededor de una de sus esquinas, de modo que el ángulo entre las hipotenusas en dos posiciones sea recto. La forma resultante del área b 2 se diseca luego en dos triángulos rectángulos con longitudes de lado y áreas c 2/2 y

Prueba # 52

Esta prueba, descubierta por un estudiante de secundaria, Jamie deLemos (The Mathematics Teacher, 88 (1995), p. 79.), ha sido citada por Larry Hoehn (The Mathematics Teacher, 90 (1997), pp. 438-441. )

Por un lado, el área del trapezoide es igual a

Al igualar los dos se obtiene a 2 + b 2 = c 2.

La prueba está estrechamente relacionada con la prueba del presidente Garfield.

Prueba # 53

Larry Hoehn también publicó la siguiente prueba (The Mathematics Teacher, 88 (1995), p. 168.):

Extiende el cateto AC del triángulo rectángulo ABC a D de manera que como en el diagrama. En D dibuja una perpendicular a CD. En A dibuja una bisectriz del ángulo BAD. Deje que las dos rectas se encuentren en E. Finalmente, sea EF perpendicular a CF.

Por esta construcción, los triángulos ABE y ADE comparten el lado AE, tienen los otros dos lados iguales: así como los ángulos formados por esos lados: Por lo tanto, los triángulos ABE y ADE son congruentes por SAS. Desde aquí, el ángulo ABE es correcto.

Luego se deduce que en los triángulos rectángulos ABC y BEF los ángulos ABC y EBF suman 90 o. Por lo tanto

Los dos triángulos son similares, de modo que

Pero, EF = CD, ox = b + c, que en combinación con la proporción anterior da

Por otro lado, y = u + a, lo que conduce a

que se simplifica fácilmente a c 2 = a 2 + b 2.

Prueba # 54k

Más tarde (The Mathematics Teacher, 90 (1997), págs. 438-441.) Larry Hoehn echó un segundo vistazo a su demostración y produjo una genérica, o más bien una familia completa de pruebas de 1 parámetro, que, para varios valores el parámetro, incluía su prueba anterior, así como la # 41. A continuación, ofrezco una variante simplificada inspirada en el trabajo de Larry.

Para reproducir el punto esencial de la prueba # 53, es decir, tener un triángulo rectángulo ABE y otro BEF, este último similar a ABC, podemos simplemente colocar BEF con lados ka, kb, kc, para algunos k, como se muestra en el diagrama. . Para que el diagrama tenga sentido, debemos restringir k de modo que (Esto asegura que D no descienda por debajo de A.)

Ahora, el área del rectángulo CDEF se puede calcular directamente como el producto de sus lados ka y (kb + a), o como la suma de las áreas de los triángulos BEF, ABE, ABC y ADE. Así obtenemos

que después de la simplificación se reduce a

que está a un paso de la proposición pitagórica.

La demostración funciona para cualquier valor de k que satisfaga kb / a. En particular, obtenemos la prueba n. ° 41. Además, conduce a la prueba # 53. Por supuesto, obtendríamos el mismo resultado al representar el área del trapezoide AEFB de dos maneras. Porque esto conduciría a la prueba del presidente Garfield.

Obviamente, tratar con un trapezoide es menos restrictivo y funciona para cualquier valor positivo de k.


13.6.4: Triángulos, rectángulos y el teorema de Pitágoras - Matemáticas

Esta es la Proposición 47 en el primer libro de Euclides & # 8217s Elements. A menudo se ilustra mediante la construcción de tres cuadrados en los lados de un triángulo rectángulo.

El teorema se ilustra arriba en el caso especial de un triángulo rectángulo 5-12-13, que es un triple pitagórico con valores enteros:

En el ejemplo anterior, esto significa que el número total de galletas en los dos cuadrados más pequeños (en las patas) es igual al número total de galletas en el cuadrado más grande (en la hipotenusa). Imaginando galletas matemáticamente ideales, todas de igual área, esta es una ilustración del teorema de Pitágoras: el área del cuadrado grande es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados pequeños.

Lo primero que hay que notar es que el triángulo de longitud de borde tres contiene nueve galletas, el triángulo de longitud de borde cuatro contiene dieciséis galletas y el triángulo de longitud de borde cinco contiene veinticinco galletas. Esta relación de cuadratura entre la longitud y el área no es específica de los cuadrados. Decimos que nueve es & # 8220three al cuadrado & # 8221, pero la imagen muestra que también podríamos decir que nueve es & # 8220three triangulado & # 8221. O, de hecho, podríamos decir & # 8220three pentágono. & # 8221 Es cierto para cualquier figura plana que si escala su longitud en n, entonces el área se escala en n 2. (Estoy feliz de seguir con el término tradicional & # 8220squared. & # 8221)

Entonces, en general, uno puede elegir cualquier forma plana y hacer tres copias similares escaladas para que quepan en los lados de un triángulo rectángulo. Es fácil probar que el área del grande es igual a la suma de las áreas de los más pequeños. En el ejemplo anterior, el triángulo azul es un triángulo rectángulo y las tres formas onduladas son similares, por lo que el área del rojo es igual a la suma de las áreas de los dos verdes. No hacen galletas con esta forma, pero si horneara las mías, sabría que las áreas funcionan. Esto se debe a que el pequeño cracker tiene un área proporcional a A 2, llamemos & # 8217s a su área kA 2 (para algún factor de escala, k). La galleta mediana tiene una longitud B / A multiplicada por la longitud de la pequeña, por lo que su área se escala en (B / A) 2, por lo que su área es kB 2. De manera similar, el grande tiene un área kC 2. Demostramos fácilmente que kA 2 + kB 2 = kC 2 simplemente multiplicando el Teorema de Pitágoras por k.

Para obtener una introducción al Teorema de Pitágoras y dos pruebas de su corrección, consulte la columna Steven Strogatz & # 8217s & # 8220Square Dancing & # 8221 del 14 de marzo de 2010, en el NY Times. Para obtener más demostraciones prácticas de matemáticas, consulte nuestras columnas anteriores del lunes de matemáticas para Make: Online.


Juegos y hojas de trabajo del teorema de Pitágoras



Nuestro directorio de juegos de geometría matemática gratuitos disponibles en Internet: juegos que enseñan, construyen o fortalecen sus habilidades y conceptos de geometría matemática mientras se divierten. Clasificamos y revisamos los juegos enumerados aquí para ayudarlo a encontrar los juegos de matemáticas que está buscando.

Echa un vistazo a los siguientes juegos, hojas de trabajo y simulaciones del teorema de Pitágoras.

Practica usando el Teorema de Pitágoras para calcular los lados de triángulos rectángulos.

Juego del teorema de Pitágoras
En este juego de Teorema de Pitágoras encontrarás el lado desconocido en un triángulo rectángulo.
El Teorema de Pitágoras se desarrolla en un triángulo rectángulo. El lado más largo de un triángulo rectángulo es la hipotenusa y los otros dos lados son los catetos. Para encontrar el lado desconocido, simplemente aplique esta fórmula: a 2 + B 2 = C 2 (donde C es la hipotenusa, y a y B son las piernas)

Peligro del teorema de Pitágoras
En este juego del teorema de Pitágoras, los estudiantes de octavo grado practicarán el cálculo de la hipotenusa y el cateto desconocido en un triángulo rectángulo. El inverso del Teorema de Pitágoras también se utilizará para verificar si tres números pueden ser los lados de un triángulo rectángulo.

El teorema de la locura de Pitágoras
"¿Cuánto sabes sobre el teorema de Pitágoras? Este cuestionario incluirá preguntas sobre el teorema, la determinación de la longitud de los lados, y también tendrá preguntas sobre Triples de Pitágoras.

El teorema de Pitágoras y el béisbol
Acabas de recoger un roletazo en la primera base y ves al jugador del otro equipo corriendo hacia la tercera base. ¿Qué tan lejos tienes que lanzar la pelota para llevarla desde la primera base a la tercera base y sacar al corredor?

Peligro del teorema de Pitágoras
Usa el teorema de Pitágoras para resolver estos problemas.

Juego del teorema de Pitágoras
Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la distancia.

Encuentra el juego de la hipotenusa
Practica el uso del teorema de Pitágoras para encontrar la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Hojas de trabajo del teorema de Pitágoras

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Escríbalo como una ecuación:


Luego usamos álgebra para encontrar cualquier valor faltante, como en estos ejemplos:

Ejemplo: resuelve este triángulo

También puede leer sobre cuadrados y raíces cuadradas para averiguar por qué √ 169 = 13

Ejemplo: resuelve este triángulo.

Ejemplo: ¿Cuál es la distancia diagonal a través de un cuadrado de tamaño 1?

También funciona al revés: cuando los tres lados de un triángulo forman a 2 + b 2 = c 2, entonces el triángulo forma un ángulo recto.

Ejemplo: ¿Este triángulo tiene un ángulo recto?

¡Sí, tiene un ángulo recto!

Ejemplo: ¿Un triángulo de 8, 15, 16 tiene un ángulo recto?

Hace 8 2 + 15 2 = 16 2 ?

Entonces, NO, no tiene un ángulo recto.

Ejemplo: ¿Este triángulo tiene un ángulo recto?

Así que esto es un triángulo rectángulo


Prueba del teorema de Pitágoras

Hay muchas formas de probar el Teorema de Pitágoras. Una forma de hacerlo implica el uso de las áreas de cuadrados y triángulos.

  • El cuadrado verde está inscrito en el cuadrado azul de arriba, creando cuatro triángulos rectángulos congruentes con catetos ayb e hipotenusa c.
  • Los lados del cuadrado azul son cada uno (a + b), por lo tanto, el área del cuadrado azul es (a + b) 2.
  • El área del cuadrado azul también es igual al área del cuadrado verde más el área de los 4 triángulos rectángulos que lo rodean. El área del cuadrado verde es c 2 y el área de cada uno de los triángulos rectángulos es. Por lo tanto, el área del cuadrado azul es igual a.
  • Igualar las fórmulas para el área del cuadrado azul:


Ver el vídeo: Satz des Pythagoras (Octubre 2021).