Artículos

6.3.5: Modelado con desigualdades - Matemáticas


Lección

Veamos soluciones a las desigualdades.

Ejercicio ( PageIndex {1} ): Valores posibles

El director de escena del musical de la escuela está tratando de averiguar cuántos sándwiches puede pedir con los 83 dólares que cobró del elenco y el equipo. Los sándwiches cuestan $ 5,99 cada uno, por lo que permite que (x ) represente la cantidad de sándwiches que pedirá y escribe (5,99x leq 83 ). Resuelve esto con 2 lugares decimales, obteniendo (x leq 13.86 ).

¿Cuáles de estas son declaraciones válidas sobre esta situación? (Seleccione todos eso aplica.)

  1. Puede llamar a la tienda de sándwiches y pedir exactamente 13,86 sándwiches.
  2. Puede redondear y pedir 14 sándwiches.
  3. Puede pedir 12 sándwiches.
  4. Puede pedir 9,5 sándwiches.
  5. Puede pedir 2 sándwiches.
  6. Puede pedir -4 sándwiches.

Ejercicio ( PageIndex {2} ): Ascensor

Una empresa de mudanzas está cargando un elevador con muchas cajas idénticas de 48 libras.
El motor pesa 185 libras. El elevador puede transportar como máximo 2000 libras.

  1. Escribe una desigualdad que diga que la empresa de mudanzas no sobrecargará el elevador en un viaje en particular. Comprueba tu desigualdad con tu pareja.
  2. Resuelve tu desigualdad y explica qué significa la solución.
  3. Grafica la solución de tu desigualdad en una recta numérica.
  4. Si la empresa de mudanzas preguntó: "¿Cuántas cajas puedo cargar en este elevador a la vez?" ¿Qué les dirías?

Ejercicio ( PageIndex {3} ): Brecha de información: dar consejos

Tu maestro te dará un tarjeta de problema o un tarjeta de datos. No le muestre ni lea su tarjeta a su pareja.

Si tu profesor te da la tarjeta de problema:

  1. Lea su tarjeta en silencio y piense qué información necesita para poder responder la pregunta.
  2. Pídale a su socio la información específica que necesita.
  3. Explique cómo está utilizando la información para resolver el problema.
    Continúe haciendo preguntas hasta que tenga suficiente información para resolver el problema.
  4. Compartir el tarjeta de problema y resolver el problema de forma independiente.
  5. Leer el tarjeta de datos y discuta su razonamiento.

Si tu profesor te da la tarjeta de datos:

  1. Lee tu tarjeta en silencio.
  2. Pregúntale a tu compañero "¿Qué información específica necesitas?" y esperar a que ellos preguntar para información.
    Si su pareja le pide información que no está en la tarjeta, no haga los cálculos por ella. Diles que no tienes esa información.
  3. Antes de compartir la información, pregunte "¿Por qué necesitas esa información?
    Escuche el razonamiento de su pareja y haga preguntas aclaratorias.
  4. Leer el tarjeta de problema y resolver el problema de forma independiente.
  5. Compartir el tarjeta de datos y discuta su razonamiento.

Haz una pausa aquí para que tu profesor pueda revisar tu trabajo. Pídale a su maestro un nuevo juego de tarjetas y repita la actividad, intercambiando roles con su compañero.

¿Estás listo para más?

En un grupo de guardería, nueve bebés tienen cinco meses y 12 bebés tienen siete meses. ¿En cuántos meses completos a partir de ahora la edad promedio de los 21 bebés superará por primera vez los 20 meses?

Resumen

Podemos representar y resolver muchos problemas del mundo real con desigualdades. Siempre que escribimos una desigualdad, es importante decidir qué cantidad representamos con una variable. Después de tomar esa decisión, podemos conectar las cantidades en la situación para escribir una expresión y, finalmente, toda la desigualdad.

Mientras resolvemos la desigualdad o ecuación para responder una pregunta, es importante tener en cuenta el significado de cada cantidad. Esto nos ayuda a decidir si la respuesta final tiene sentido en el contexto de la situación.

Por ejemplo: Han tiene 50 centímetros de alambre y quiere hacer un marco de imagen cuadrado con un lazo para colgarlo que usa 3 centímetros para el lazo. Esta situación se puede representar por (3 + 4s = 50 ), donde (s ) es la longitud de cada lado (si queremos usar todo el cable). También podemos usar (3 + 4s leq 50 ) si queremos permitir soluciones que no usen todo el cable. En este caso, cualquier número positivo que sea menor o igual a 11,75 cm es una solución a la desigualdad. Cada solución representa una posible longitud lateral para el marco de la imagen, ya que Han puede doblar el cable en cualquier punto. En otras situaciones, la variable puede representar una cantidad que aumenta en números enteros, como con el número de revistas, cargas de ropa o estudiantes. En esos casos, solo las soluciones de números enteros tienen sentido.

Entradas del glosario

Definición: solución a una desigualdad

Una solución a una desigualdad es un número que se puede usar en lugar de la variable para hacer que la desigualdad sea verdadera.

Por ejemplo, 5 es una solución a la desigualdad (c <10 ), porque es cierto que (5 <10 ). Algunas otras soluciones a esta desigualdad son 9,9, 0 y -4.

Práctica

Ejercicio ( PageIndex {4} )

28 estudiantes viajan en una excursión. Traen una camioneta con capacidad para 12 estudiantes. La maestra de Elena y Kiran les pide a otros adultos que conduzcan autos con capacidad para 3 niños cada uno para transportar al resto de los estudiantes.

Elena se pregunta si debería usar la desigualdad (12 + 3n> 28 ) o (12 + 3n geq 28 ) para calcular cuántos coches se necesitan. Kiran no cree que importe en este caso. ¿Estás de acuerdo con Kiran? Explica tu razonamiento.

Ejercicio ( PageIndex {5} )

  1. En la cafetería, hay una mesa grande de 10 asientos y muchas mesas más pequeñas de 4 asientos. Hay suficientes mesas para 200 estudiantes. Escribe una desigualdad cuya solución sea el número posible de mesas de 4 asientos en la cafetería.
  2. 5 barriles recogen el agua de lluvia en el patio de la escuela. Cuatro barriles son del mismo tamaño y el quinto barril contiene 10 litros de agua. Combinados, los 5 barriles pueden contener al menos 200 litros de agua. Escribe una desigualdad cuya solución sea el tamaño posible de cada uno de los 4 barriles.
  3. ¿En qué se parecen estos dos problemas? ¿En qué se diferencian?

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Resuelve cada ecuación.

  1. (5 (n-4) = - 60 )
  2. (- 3t + -8 = 25 )
  3. (7p-8 = -22 )
  4. ( frac {2} {5} (j + 40) = - 4 )
  5. (4 (w + 1) = - 6 )

(De la Unidad 6.2.3)

Ejercicio ( PageIndex {7} )

Seleccione todos las desigualdades que tienen la misma gráfica que (x <4 ).

  1. (x <2 )
  2. (x + 6 <10 )
  3. (5x <20 )
  4. (x-2> 2 )
  5. (x <8 )

(De la Unidad 6.3.1)

Ejercicio ( PageIndex {8} )

Una persona de 200 libras pesa 33 libras en la Luna.

  1. ¿Cuánto disminuyó el peso de la persona?
  2. ¿En qué porcentaje disminuyó el peso de la persona?

(De la Unidad 4.3.3)


Andre tiene un trabajo de verano vendiendo suscripciones a revistas. Gana $ 25 por semana más $ 3 por cada suscripción que vende. Andre espera ganar al menos suficiente dinero esta semana para comprar un nuevo par de zapatos de fútbol.

  1. Sea n el número de suscripciones a revistas que vende Andre esta semana. Escribe una expresión para la cantidad de dinero que gana esta semana.
  2. El par de tacos menos caro que quiere Andre cuesta $ 68. Escribe y resuelve una ecuación para averiguar cuántas suscripciones a revistas necesita vender Andre para comprar los tacos.
  3. Si Andre vendiera 16 suscripciones a revistas esta semana, ¿alcanzaría su objetivo? Explica tu razonamiento.

¿Qué otros números de suscripciones a revistas podría haber vendido Andre y aún así alcanzar su objetivo?

Escribe una desigualdad para describir la cantidad de suscripciones que Andre debe vender para alcanzar su meta.

Diego ha presupuestado $ 35 de las ganancias de su trabajo de verano para comprar pantalones cortos y calcetines de fútbol. Necesita 5 pares de calcetines y un par de pantalones cortos. Los calcetines cuestan diferentes cantidades en diferentes tiendas. Los pantalones cortos que quiere cuestan $ 19.95.

  1. Sea x el precio de un par de calcetines. Escribe una expresión para el costo total de los calcetines y los pantalones cortos.
  2. Escribe y resuelve una ecuación que diga que Diego gastó exactamente $ 35 en calcetines y pantalones cortos.
  3. Enumere algunos otros precios posibles para los calcetines que aún le permitirían a Diego mantenerse dentro de su presupuesto.

Escribe una desigualdad para representar la cantidad que Diego puede gastar en un solo par de calcetines.


MODELAR Y RESOLVER DESIGUALDADES EN DOS PASOS

Usa fichas de álgebra para modelar y resolver 3n + 2 & # xa0 ≥ & # xa011.

¿Cómo podemos modelar el lado izquierdo de la desigualdad?

Encontramos 3n + 2 en el lado izquierdo de la desigualdad & # xa0. Entonces podemos usar tres mosaicos de variables positivas y dos mosaicos +1 para modelar el lado izquierdo de la desigualdad & # xa0.

¿Cómo podemos modelar el lado derecho de la desigualdad & # xa0 & # xa0?

Encontramos 11 positivo en el lado derecho de la desigualdad & # xa0. Así que podemos usar once fichas +1 para modelar el lado derecho de la desigualdad & # xa0.

Ahora use las fichas de álgebra mencionadas anteriormente o dibujelas para modelar la & # xa0 desigualdad & # xa0 en el tapete.

Retire dos fichas +1 de cada lado del tapete. & # Xa0

Divida cada lado en & # xa0 3 grupos iguales.

Usa fichas de álgebra para modelar 2x - 3 & lt & # xa0 5.

¿Cómo podemos modelar el lado izquierdo de la desigualdad & # xa0 & # xa0?

Encontramos 2x - 3 en el lado izquierdo de la desigualdad & # xa0. Entonces podemos usar dos mosaicos de variables positivas y tres mosaicos & # xa0 -1 para modelar el lado izquierdo de la desigualdad & # xa0.

¿Cómo podemos modelar el lado derecho de la desigualdad & # xa0 & # xa0?

Encontramos 5 positivo en el lado derecho de la desigualdad & # xa0. Entonces podemos usar cinco mosaicos +1 para modelar el lado derecho de la desigualdad & # xa0.

Ahora use las fichas de álgebra mencionadas anteriormente o dibujelas para modelar la & # xa0 desigualdad & # xa0 en el tapete.

Agrega tres fichas +1 a cada lado del tapete. & # Xa0

Identifique y elimine pares cero a cada lado del tapete. & # Xa0

Divida cada lado en 2 & # xa0grupos iguales.

Aparte de las cosas dadas anteriormente, si necesita alguna otra cosa en matemáticas, utilice nuestra búsqueda personalizada de Google aquí.

Si tiene algún comentario sobre nuestro contenido matemático, envíenos un correo electrónico a: & # xa0

Siempre agradecemos sus comentarios. & # Xa0

También puede visitar las siguientes páginas web sobre diferentes temas de matemáticas. & # Xa0


3.6: Desigualdades con multiplicación y división

Therese, una estudiante de grado 12, ha sido aceptada por una prestigiosa universidad en su Programa de Estudios Avanzados de Matemáticas. La universidad está organizando una competencia de matemáticas para que sus estudiantes entrantes ganen una beca de entrada de $ 5,000. El ganador será el concursante que responda correctamente a la mayoría de las preguntas dentro del tiempo asignado. Su entrenador le lee esto desigualdad resolver. & ldquoSi un tercio de Melvin & rsquos de seis años a partir de ahora es mayor de 14, ¿cuál tendrá que ser su edad? & rdquo Therese necesita encontrar una solución para la edad de Melvin & rsquos? ¿Qué desigualdad debe resolver para responder a la pregunta?

En este concepto, aprenderá a resolver desigualdades mediante la multiplicación.

Multiplicando desigualdades

Una desigualdad es un enunciado matemático que se puede identificar por la presencia de un símbolo de desigualdad. Estos símbolos son & gt, & ge, & lt y & le. Además de usar las propiedades de suma y resta de la desigualdad, la propiedad de multiplicación de la desigualdad también se puede utilizar para resolver desigualdades. El Propiedad de multiplicación de la desigualdad establece que si cada lado de una desigualdad se multiplica por el mismo número positivo, el sentido (símbolo de desigualdad) de la desigualdad permanece sin cambios. Las siguientes reglas de la propiedad de multiplicación se pueden usar para resolver una desigualdad:

  • Si entonces a & gtb y c & gt0, entonces a & timesc & gtb & timesc
  • Si entonces a & geb y c & gt0, entonces a & timesc & geb & timesc
  • Si entonces a & ltb y c & gt0, entonces a & timesc & ltb & timesc
  • Si entonces a & leb y c & gt0, entonces a & timesc & leb & timesc

Sin embargo, si ambos lados de la desigualdad se multiplican por el mismo número negativo, entonces el sentido (símbolo de desigualdad) de la desigualdad cambia y el símbolo debe invertirse. Las siguientes reglas de la propiedad de la multiplicación se pueden usar para resolver una desigualdad.

  • Si entonces a & gtb y c & lt0, entonces a & timesc & ltb & timesc
  • Si entonces a & geb y c & lt0, entonces a & timesc & leb & timesc
  • Si entonces a & ltb y c & lt0, entonces a & timesc & gtb & timesc
  • Si entonces a & leb y c & lt0, entonces a & timesc & geb & timesc

Ambos lados de una desigualdad se multiplican por el mismo número cuando la cantidad se expresa como una fracción y se debe aplicar la operación inversa para la división para resolver la variable.

Dejemos que & rsquos aplique la propiedad de multiplicación de la desigualdad para resolver una desigualdad.

Resuelve la siguiente desigualdad para el conjunto de números reales.

Primero, aísle la variable sumando 4/5 a ambos lados de la desigualdad.

Luego, simplifica ambos lados de la desigualdad.

Luego, multiplica ambos lados de la desigualdad por 5 para resolver la variable & lsquox. & Rsquo Aquí es donde se aplica la propiedad de multiplicación de la igualdad para resolver la desigualdad.

Ejemplos de

Anteriormente, le dieron un problema sobre Therese y la beca de entrada de $ 5,000. Necesita resolver una desigualdad para encontrar un conjunto de soluciones para la edad de Melvin & rsquos.

Primero, escribe un modelo verbal para representar la información dada.

Modelo verbal: un tercio de Melvin & rsquos de seis años a partir de ahora será mayor de 14.

A continuación, asigne un nombre a la variable Sea & lsquoa & rsquo representa la edad de Melvin & rsquos.

Luego, traduzca el modelo verbal a una desigualdad.

A continuación, aplique la propiedad distributiva para borrar el paréntesis.

Luego, aísla la variable restando 2 de ambos lados de la desigualdad.

Luego, simplifica ambos lados de la desigualdad.

Luego, multiplica ambos lados de la desigualdad por 3 para encontrar & lsquoa. & Rsquo

La edad de Melvin & rsquos debe ser superior a 36 y pertenecer al conjunto de números naturales.

Resuelve la siguiente desigualdad para el conjunto de números enteros.

Primero, multiplica ambos lados de la desigualdad por 4.

Luego, simplifica ambos lados de la desigualdad.

Luego, aísla la variable sumando 9 a ambos lados de la desigualdad.

Luego, simplifica ambos lados de la desigualdad.

Inserte el signo de desigualdad correcto en cada uno de los siguientes mediante el uso de las reglas de la propiedad de multiplicación de la desigualdad.

Parte i): Ambos lados de la desigualdad se multiplican por un número positivo. Por lo tanto, el sentido de desigualdad permanece sin cambios.

Parte ii): Ambos lados de la desigualdad se multiplican por un número negativo. Por tanto, el sentido de desigualdad cambia. El símbolo de desigualdad debe invertirse de & ge a & le.

Parte iii): Ambos lados de la desigualdad se multiplican por un número negativo. Por tanto, el sentido de desigualdad cambia. El símbolo de desigualdad debe invertirse de & ltto & gt.

Resuelve la siguiente desigualdad para el conjunto de números reales.

Primero, aísle la variable sumando 3 a ambos lados de la desigualdad.

Luego, simplifica ambos lados de la desigualdad.

Luego, multiplica ambos lados de la desigualdad por 2 para resolver la variable & lsquox. & Rsquo

Luego simplifica ambos lados de la desigualdad.

Revisar

Resuelve cada desigualdad aplicando la propiedad de multiplicación de la desigualdad.

  1. a / 3 & lt10
  2. x / 2 y gt20
  3. b / 4 y lt25
  4. x / 5 y gt100
  5. c / 2 y le20
  6. x / 7 y gt6
  7. y / 9 y le2
  8. y / 11 y ge5
  9. x / 2 y lt3
  10. y / 8 y ge y menos7
  11. x / 3 & lt & minus2
  12. y / 4 & le & minus3
  13. x / 2 & ge & minus11
  14. a / 13 & ge & minus3
  15. x / 22 y ge y menos5

Revisión (respuestas)

Para ver las respuestas de Revisión, abra este archivo PDF y busque la sección 3.14.

Vocabulario

Término Definición
desigualdad Una desigualdad es un enunciado matemático que relaciona expresiones que no son necesariamente iguales mediante el uso de un símbolo de desigualdad. Los símbolos de desigualdad son & lt, & gt, & le, & ge y & ne.
Propiedad de multiplicación de la desigualdad La propiedad de multiplicación de la desigualdad establece que cuando una desigualdad se multiplica por un número negativo, el sentido de la desigualdad cambia y el signo se invierte.

Recursos adicionales

Ocupaciones: Desigualdades con preguntas de discusión sobre multiplicación y división


Recursos abiertos para álgebra de colegios comunitarios

Objetivos: Guía de resultados y contenidos del curso PCC

Uno de los propósitos de aprender matemáticas es poder modelar situaciones de la vida real y luego usar el modelo para hacer y responder preguntas sobre la situación. En esta lección, examinaremos los conceptos básicos del modelado para establecer una ecuación (o desigualdad).

Figura 1.8.1. Lección en video alternativa

Subsección 1.8.1 Configuración de ecuaciones para modelos de tasas

Para configurar una ecuación que modele un escenario del mundo real, lo primero que debemos hacer es identificar qué variable usaremos. La variable que usemos estará determinada por lo que se desconozca en nuestro enunciado del problema. Una vez que hayamos identificado y definido nuestra variable, usaremos la información numérica proporcionada para configurar nuestra ecuación.

Ejemplo 1.8.2.

Una cuenta de ahorros comienza con ( $ 500 text <.> ) Cada mes, se realiza un depósito automático de ( $ 150 ). Escribe una ecuación que represente la cantidad de meses que tardará el saldo en llegar a ( $ 1 <,> 700 text <.> )

Para establecer una ecuación, podríamos comenzar haciendo una tabla para identificar un patrón general para el monto total en la cuenta después de (m ) meses. En la Figura 1.8.3, encontramos que el patrón es que después de (m ) meses, la cantidad total ahorrada es (500 + 150m text <.> )

Usando este patrón, determinamos que una ecuación que representa cuando el ahorro total es igual a ( $ 1700 ) es:

Meses desde
Se inició el guardado
Importe total ahorrado
(en dolares)
(0) (500)
(1) (500+150=650)
(2) (500+150(2)=800)
(3) (500+150(3)=950)
(4) (500+150(4)=1100)
( vdots ) ( vdots )
(metro) (500 + 150m )
Figura 1.8.3. Monto en cuenta de ahorros

En este momento no estamos interesados ​​en resolver esta ecuación y encontrar la cantidad de meses (m ) hasta que los ahorros hayan alcanzado ( $ 1700 text <.> ) La habilidad de preparando esa ecuación es lo suficientemente desafiante y esta sección solo se enfoca en esa configuración.

Ejemplo 1.8.4.

Una bañera contiene 2,5 pies 3 de agua. Se vierte más agua a una velocidad de 1,75 pies 3 por minuto. Escribe una ecuación que represente cuándo la cantidad de agua en la bañera alcanzará los 6.25 pies 3.

Dado que este problema se refiere a Cuándo la cantidad de agua alcanzará una cierta cantidad, inmediatamente sabemos que la cantidad desconocida es el tiempo. Como el volumen de agua en la tina se mide en pies 3 por minuto, sabemos que el tiempo debe medirse en minutos. Definiremos (t ) como la cantidad de minutos que se vierte agua en la tina. Para determinar esta ecuación, comenzaremos haciendo una tabla de valores:

Minutos de agua
Se ha vertido
Cantidad total
de agua (en pies 3)
(0) (2.5)
(1) (2.5+1.75=4.25)
(2) (2.5+1.75(2)=6)
(3) (2.5+1.75(3)=7.75)
( vdots ) ( vdots )
(t ) (2,5 + 1,75 t )
Figura 1.8.5. Cantidad de agua en la bañera

Usando este patrón, determinamos que la ecuación que representa cuándo la cantidad será 6.25 pies 3 es:

Subsección 1.8.2 Configuración de ecuaciones para problemas de porcentaje

La sección A.4 revisa algunos conceptos básicos para trabajar con porcentajes e incluso resuelve algunas ecuaciones de un paso que se configuran usando porcentajes. Aquí vemos algunos escenarios donde hay una ecuación para configurar basada en porcentajes, pero las cosas son un poco más complicadas que con una ecuación de un paso. Un hecho importante es que cuando hacemos matemáticas con porcentajes, siempre comenzamos reescribiendo el porcentaje como decimal. Por ejemplo, (18 \% ) debe escribirse como (0.18 ) si lo vas a usar para hacer álgebra o aritmética.

Ejemplo 1.8.6.

El salario anual de Jakobi como enfermero en Portland, Oregon, es ( $ 73 <,> 290 text <.> ) Su salario aumentó en (4 \% ) con respecto al año pasado. Escribe una ecuación lineal que modele este escenario, donde el valor desconocido es el salario de Jakobi el año pasado.

Queremos trabajar con el salario de Jakobi el año pasado. Así que presentaremos (s text <,> ) definido como el salario de Jakobi el año pasado (en dólares). Para establecer la ecuación, debemos pensar en cómo llegó al salario de este año. Para llegar al salario de este año, su empleador tomó el salario del año pasado y le agregó (4 \% ). Conceptualmente, esto significa que tenemos:

Representaremos (4 \% ) del salario del año pasado con (0.04s ) ya que (0.04 ) es la representación decimal de (4 \% text <.> ) Esto significa que la ecuación que configuramos es:

Punto de control 1.8.7.
Ejemplo 1.8.8.

El precio de un refrigerador después de un (15 \% ) descuento es ( $ 612 text <.> ) Escribe una ecuación lineal que modele este escenario, donde el precio original del refrigerador (antes de que se aplicara el descuento) es la cantidad desconocida.

Dejaremos que (c ) sea el precio original del refrigerador. Para obtener el precio con descuento, tomamos el precio original y restamos (15 \% ) de esa cantidad. Conceptualmente, esto se ve así:

Dado que el monto del descuento es (15 \% ) del precio original, lo representaremos con (0.15c text <.> ) La ecuación que configuramos es entonces:

Punto de control 1.8.9.

Subsección 1.8.3 Definición de desigualdades para modelos

En general, modelaremos usando desigualdades cuando queramos determinar un valor máximo o mínimo. Para identificar que se necesita una desigualdad en lugar de una igualdad, buscaremos frases como al menos, como máximo, como mínimo o como máximo.

Ejemplo 1.8.10.

La compañía de autos compartidos car2go tiene una tarifa de registro única de ( $ 5 ) y cobra ( $ 14.99 ) por hora por el uso de sus vehículos. Hana quiere usar car2go y tiene un presupuesto máximo de ( $ 300 text <.> ) Escribe una desigualdad lineal que represente este escenario, donde la cantidad desconocida es la cantidad de horas que usa sus vehículos.

Dejemos que (h ) sea la cantidad de horas que Hana usa car2go. Necesitamos que el costo inicial y el costo del cargo por hora sea menor o igual a ( $ 300 text <,> ) que configuramos como:

Ejemplo 1.8.11.

Cuando se da de baja un tanque de aceite, se drena el aceite restante y luego se vuelve a llenar con un material inerte, como arena. Un tanque de aceite cilíndrico tiene un volumen de 275 gal y se llena con arena a una velocidad de 700 gal por hora. Escribe una desigualdad lineal que represente este escenario, donde el tiempo que tarda el tanque en desbordarse de arena es la cantidad desconocida.

La incógnita en este escenario es el tiempo, por lo que definiremos (t ) como la cantidad de horas que se vierte arena en el tanque. (Tenga en cuenta que elegimos las horas en función de la velocidad a la que se vierte la arena). Representaremos la cantidad de arena que se vierte como (700t ) ya que cada hora se agregan 700 gal adicionales. Dado que queremos saber cuándo esta cantidad excede los 275 gal, establecemos esta ecuación como:

Subsección 1.8.4 Traducción de frases en expresiones algebraicas y ecuaciones / desigualdades

Sin contexto, hay ciertas frases y expresiones cortas en inglés que tienen un significado matemático y pueden aparecer en un escenario de modelado. La siguiente tabla muestra cómo traducir algunas de estas frases comunes en expresiones algebraicas.

Frases en ingles Expresiones matemáticas
la suma de (2 ) y un número (x + 2 ) o (2 + x )
(2 ) más que un número (x + 2 ) o (2 + x )
un número aumentado en (2 ) (x + 2 ) o (2 + x )
un número y (2 ) juntos (x + 2 ) o (2 + x )
la diferencia entre un número y (2 ) (x-2 )
la diferencia de (2 ) y un número (2-x )
(2 ) menos que un número (x-2 ) (no (2-x ))
un número disminuido en (2 ) (x-2 )
(2 ) disminuido en un número (2-x )
(2 ) restado de un número (x-2 )
un número restado de (2 ) (2-x )
el producto de (2 ) y un número (2x )
dos veces un número (2x )
un número por 2 (x cdot 2 ) o (2x )
dos tercios de un número ( frac <2> <3> x )
(25 \% ) de un número (0,25x )
el cociente de un número y (2 ) ( sfrac<2>)
el cociente de (2 ) y un número ( sfrac <2>)
la razón de un número y (2 ) ( sfrac<2>)
la razón de (2 ) y un número ( sfrac <2>)
Tabla 1.8.12. Traducir frases en inglés a expresiones matemáticas

Podemos extender esto para establecer ecuaciones y desigualdades. Veamos algunos ejemplos. La clave es dividir una frase u oración complicada en partes más pequeñas, identificando vocabulario clave como "es", "de", "mayor que", "como máximo", etc.

Frases en ingles Ecuaciones matemáticas
y desigualdades
La suma de (2 ) y un número es (6 text <.> ) (x + 2 = 6 )
(2 ) menor que un número es al menos (6 text <.> ) (x-2 ge6 )
Dos veces un número es como máximo (6 text <.> ) (2x le6 )
(6 ) es el cociente de un número y (2 text <.> ) (6 = frac<2>)
(4 ) menos del doble de un número es mayor que (10 ​​ text <.> ) (2x-4 gt10 )
El doble de diferencia entre (4 ) y un número es (10 ​​ text <.> ) (2 (4-x) = 10 )
El producto de (2 ) y la suma de (3 ) y un número es menor que (10 ​​ text <.> ) (2 (x + 3) lt10 )
El producto de (2 ) y un número, restado de (5 text <,> ) da como resultado (8 text <.> ) (5-2x = 8 )
Dos tercios de un número restado de (10 ​​) es (2 text <.> ) (10- frac <2> <3> x = 2 )
(25 \% ) de la suma de 7 y un número es (2 text <.> ) (0,25 (x + 7) = 2 )
Tabla 1.8.13. Traducir oraciones en inglés a ecuaciones matemáticas

Una cierta cantidad de práctica en la traducción de estas frases y oraciones en inglés en expresiones matemáticas, ecuaciones y desigualdades puede ser útil para los problemas de palabras que tienen contexto. En los ejercicios de esta sección, encontrará estos ejercicios de práctica.

Preguntas de lectura 1.8.5 Preguntas de lectura

Es común encontrarse con un problema verbal en el que existe algún tipo de tasa. En un problema como ese, puede ayudarte a comprender el patrón si haces un.

Es común encontrar un problema verbal en el que un porcentaje se suma o se resta de un valor original desconocido. Con el enfoque descrito en esta sección para establecer una ecuación, ¿cuántas veces usará la variable en dicha ecuación?

¿Hay alguna diferencia entre estas tres frases o todas significan lo mismo?

Ejercicios 1.8.6 Ejercicios

Revisión y calentamiento

Identifica una variable que puedas usar para representar cada cantidad. E identifique qué unidades serían las más apropiadas.

Sea el área de una casa, medida en.

Sea la edad de un perro, medida en.

Sea la cantidad de tiempo transcurrido desde que un conductor salió de Seattle, Washington, con destino a Portland, Oregon, medido en.

Identifica una variable que podrías usar para representar cada cantidad. E identifique qué unidades serían las más apropiadas.

Sea la edad de una persona, medida en.

Sea la distancia recorrida por un conductor que salió de Portland, Oregon, con destino a Boise, Idaho, medida en.

Sea el área de la superficie de las paredes de una habitación, medida en.

Modelado con ecuaciones lineales

El salario anual de Sherial como técnica de radiografía es (< $ 38 <,> 494.00> text <.> ) Su salario aumentó en (1.3 \% ) con respecto al año pasado. ¿Cuál fue su salario el año pasado?

Suponga que su salario el año pasado fue de (s ) dólares. Escribe una ecuación para modelar este escenario. No es necesario resolverlo.

El salario anual de Ken como técnico de radiografía es (< $ 42 <,> 066.00> text <.> ) Su salario aumentó en (2.6 \% ) con respecto al año pasado. ¿Cuál fue su salario el año pasado?

Suponga que su salario el año pasado fue de (s ) dólares. Escribe una ecuación para modelar este escenario. No es necesario resolverlo.

Una bicicleta en venta cuesta (< $ 180.71> text <,> ) que incluye (6.3 \% ) impuesto sobre las ventas. ¿Cuál fue el costo antes del impuesto a las ventas?

Suponga que el precio de la bicicleta antes del impuesto sobre las ventas es (p ) dólares. Escribe una ecuación para modelar este escenario. No es necesario resolverlo.

Una bicicleta en venta cuesta (< $ 210.60> text <,> ) que incluye (5.3 \% ) impuesto sobre las ventas. ¿Cuál fue el costo antes del impuesto a las ventas?

Suponga que el precio de la bicicleta antes del impuesto sobre las ventas es (p ) dólares. Escribe una ecuación para modelar este escenario. No es necesario resolverlo.

El precio de una lavadora después del (25 \% ) descuento es (< $ 172.50> text <.> ) ¿Cuál era el precio original de la lavadora (antes de que se aplicara el descuento)?

Suponga que el precio de la lavadora antes del descuento es (p ) dólares. Escribe una ecuación para modelar este escenario. No es necesario resolverlo.

El precio de una lavadora después del (15 \% ) descuento es (< $ 221.00> text <.> ) ¿Cuál era el precio original de la lavadora (antes de que se aplicara el descuento)?

Suponga que el precio de la lavadora antes del descuento es (p ) dólares. Escribe una ecuación para modelar este escenario. No es necesario resolverlo.

El precio de la factura de un restaurante, incluido un (10 ​​\% ) cargo de propina, era (< $ 110,00> text <.> ) ¿Cuál era el precio de la factura antes de agregar la propina?

Suponga que la cuenta sin propina es de (b ) dólares. Escribe una ecuación para modelar este escenario. No es necesario resolverlo.

El precio de la factura de un restaurante, incluido un (17 \% ) cargo de propina, era (< $ 11.70> text <.> ) ¿Cuál era el precio de la factura antes de agregar la propina?

Suponga que la cuenta sin propina es de (b ) dólares. Escribe una ecuación para modelar este escenario. No es necesario resolverlo.

En mayo de 2016, se informó que el precio medio de alquiler de un apartamento de una habitación en una ciudad era de (< $ 904,50> ) por mes. Se informó que esto era un aumento de (0.5 \% ) con respecto al mes anterior. Según este informe, ¿cuál fue el precio medio de un apartamento de una habitación en abril de 2016?

Suponga que el precio medio de un apartamento de una habitación en abril de 2016 era (p ) dólares. Escribe una ecuación para modelar este escenario. No es necesario resolverlo.

En mayo de 2016, se informó que el precio medio de alquiler de un apartamento de una habitación en una ciudad era (< $ 1 <,> 002.00> ) por mes. Se informó que esto era un aumento de (0.2 \% ) con respecto al mes anterior. Según este informe, ¿cuál fue el precio medio de un apartamento de una habitación en abril de 2016?

Suponga que el precio medio de un apartamento de una habitación en abril de 2016 era (p ) dólares. Escribe una ecuación para modelar este escenario. No es necesario resolverlo.

Briana conduce un promedio de (41 ) millas por hora y está a (123 ) millas de su casa. ¿Después de cuántas horas llegará a su casa?

Supongamos que Briana llegará a casa después de (h ) horas. Escribe una ecuación para modelar este escenario. No es necesario resolverlo.

Ryan conduce un promedio de (44 ) millas por hora y está a (83.6 ) millas de su casa. ¿Después de cuántas horas llegará a su casa?

Suponga que Ryan llegará a casa después de (h ) horas. Escribe una ecuación para modelar este escenario. No es necesario resolverlo.

Uhaul cobra una tarifa inicial de (< $ 31,90> ) y luego (<. 89> ) por milla para alquilar un (15 ) - camión de pie por un día. Si la factura total es (< $ 182.31> text <,> ), ¿cuántas millas recorrieron?

Suponga que recorrió (m ) millas. Escribe una ecuación para modelar este escenario. No es necesario resolverlo.

Uhaul cobra una tarifa inicial de (< $ 34,10> ) y luego (<. 75> ) por milla para alquilar un (15 ) - camión de pie por un día. Si la factura total es (< $ 94.85> text <,> ), ¿cuántas millas recorrieron?

Suponga que recorrió (m ) millas. Escribe una ecuación para modelar este escenario. No es necesario resolverlo.

Una caja de arena para gatos tiene una base rectangular que mide (24 ) pulgadas por (12 ) pulgadas. ¿Cuál será la altura de la arena para gatos si se vierten (3 ) pies cúbicos de arena para gatos? (Pista: (1 text ^ 3 = 1728 text ^ 3 ))

Suponga que (h ) pulgadas será la altura de la arena para gatos si se vierten (3 ) pies cúbicos de arena para gatos. Escribe una ecuación para modelar este escenario. No es necesario resolverlo.

Una caja de arena para gatos tiene una base rectangular que mide (24 ) pulgadas por (24 ) pulgadas. ¿Cuál será la altura de la arena para gatos si se vierten (4 ) pies cúbicos de arena para gatos? (Pista: (1 text ^ 3 = 1728 text ^ 3 ))

Suponga que (h ) pulgadas será la altura de la arena para gatos si se vierten (4 ) pies cúbicos de arena para gatos. Escribe una ecuación para modelar este escenario. No es necesario resolverlo.

El ibuprofeno para bebés viene en forma líquida y contiene (30 ) miligramos de ibuprofeno por cada (0,75 ) mililitros de líquido. Si un niño va a recibir una dosis de (50 ) miligramos de ibuprofeno, ¿cuántos mililitros de líquido deben administrarse?

Suponga que se deben dar (l ) mililitros de líquido. Escribe una ecuación para modelar este escenario. No es necesario resolverlo.

El ibuprofeno para bebés viene en forma líquida y contiene (35 ) miligramos de ibuprofeno por cada (0,875 ) mililitros de líquido. Si un niño va a recibir una dosis de (60 ) miligramos de ibuprofeno, ¿cuántos mililitros de líquido deben administrarse?

Suponga que se deben dar (l ) mililitros de líquido. Escribe una ecuación para modelar este escenario. No es necesario resolverlo.

Los impuestos a la propiedad sobre una casa de (2400 ) - pies cuadrados son (< $ 2 <,> 832.00> ) por año. Suponiendo que estos impuestos son proporcionales, ¿cuáles son los impuestos a la propiedad sobre una casa de (1600 ) - pies cuadrados?

Suponga que los impuestos a la propiedad sobre una casa de (1600 ) - pies cuadrados son (t ) dólares. Escribe una ecuación para modelar este escenario. No es necesario resolverlo.

Los impuestos a la propiedad sobre una casa de (1900 ) - pies cuadrados son (< $ 2 <,> 489.00> ) por año. Suponiendo que estos impuestos son proporcionales, ¿cuáles son los impuestos a la propiedad sobre una casa de (1500 ) pies cuadrados?

Suponga que los impuestos a la propiedad sobre una casa de (1500 ) - pies cuadrados son (t ) dólares. Escribe una ecuación para modelar este escenario. No es necesario resolverlo.

Modelado con desigualdades lineales

Un camión que transporta agua es capaz de transportar un máximo de (1800 ) lb. El agua pesa (8.3454 frac < text> < texto> text <,> ) y el tanque de plástico del camión que contiene agua pesa (74 ) lb. Suponga que el camión puede transportar un máximo de (g ) galones de agua. Escribe un desigualdad para modelar este escenario. No es necesario resolverlo.

Un camión que transporta agua es capaz de transportar un máximo de (2800 ) lb. El agua pesa (8.3454 frac < text> < texto> text <,> ) y el tanque de plástico del camión que contiene agua pesa (80 ) lb. Suponga que el camión puede transportar un máximo de (g ) galones de agua. Escribe un desigualdad para modelar este escenario. No es necesario resolverlo.

La capacidad pulmonar máxima de Lindsay es (6,8 ) litros. Si sus pulmones están llenos y exhala a una velocidad de (0.8 ) litros por segundo, escriba una desigualdad que modela cuándo todavía le quedarán al menos (<0.56> ) litros de aire en sus pulmones. No es necesario resolverlo.

La capacidad pulmonar máxima de Lily es (7,3 ) litros. Si sus pulmones están llenos y exhala a una velocidad de (0.8 ) litros por segundo, escriba una desigualdad que modela cuándo todavía le quedarán al menos (<3.94> ) litros de aire en sus pulmones. No es necesario resolverlo.

Una piscina se llena con agua de una manguera de jardín a una velocidad de (9 ) galones por minuto. Si la piscina ya contiene (100 ) galones de agua y puede contener hasta (334 ) galones, instale un desigualdad modelando cuánto tiempo puede pasar sin que la piscina se desborde. No es necesario resolverlo.

Una piscina se llena con agua de una manguera de jardín a una velocidad de (7 ) galones por minuto. Si la piscina ya contiene (10 ​​) galones de agua y puede contener hasta (108 ) galones, instale un desigualdad modelando cuánto tiempo puede pasar sin que la piscina se desborde. No es necesario resolverlo.

Un ingeniero está diseñando un molde desmontable cilíndrico (el tipo de molde en el que se hornea un pastel de queso). La sartén debe poder contener un volumen de al menos (33 ) pulgadas cúbicas y tener un diámetro de (6 ) pulgadas. Escribe un desigualdad modelado de la posible altura del plato. No es necesario resolverlo.

Un ingeniero está diseñando un molde desmontable cilíndrico (el tipo de molde en el que se hornea un pastel de queso). La sartén debe poder contener un volumen de al menos (96 ) pulgadas cúbicas y tener un diámetro de (7 ) pulgadas. Escribe un desigualdad modelado de la posible altura del plato. No es necesario resolverlo.

Traducir frases en inglés a expresiones y ecuaciones matemáticas

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

la suma de un número y ocho

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

la diferencia entre un número y cuatro

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

la diferencia entre uno y un número

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

la diferencia entre siete y un número

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

cuatro restados de un número

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

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siete disminuido por un número

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

tres aumentaron en un número

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

un número disminuido en diez

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

un número aumentado en seis

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

cuatro veces un número, reducido en cinco

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

diez veces un número, reducido en nueve

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

seis menos que cuatro veces un número

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

dos menos de ocho veces un número

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

nueve menos que el cociente de tres y un número

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

cinco más que el cociente de seis y un número

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

Tres veces un número es veinticuatro.

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

Nueve veces un número es treinta y seis.

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

La suma de cuarenta y un número es cincuenta y seis.

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

La suma de dieciocho y un número es veintitrés.

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

El cociente de un número y tres es trece tercios.

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

El cociente de un número y treinta y uno es uno treinta y uno.

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

El cociente de tres y un número es un octavo.

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

El cociente de veinte y un número es cinco tercios.

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

La suma de cuatro veces un número y diez es 194.

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

La suma de dos veces un número y veintidós es ochenta y ocho.

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

Dos menos que seis veces un número es sesenta y cuatro.

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

Dos menos de cuatro veces un número es 118.

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

El producto de ocho por un número, sumado a ocho, es 344.

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

El producto de seis por un número, aumentado por cuatro, es 178.

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

El producto de tres por un número sumado a siete es sesenta y nueve.

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

El producto de ocho y un número aumentado por tres es 424.

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

veintisiete cuarenta segundos de un número

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

diecisiete cuarenta y cuatro de un número

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

un número disminuido en dos doceavos de sí mismo

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

un número aumentado en ocho trigésimos de sí mismo

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

Un número reducido en dos tercios es tres undécimos de ese número.

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

Un número aumentado en un sexto es tres undécimos de ese número.

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

Uno menos que el producto de tres undécimos y un número da dos novenos de ese número.

Traduzca la siguiente frase u oración en una expresión o ecuación matemática (lo que sea apropiado).

Tres más que el producto de dos tercios y un número da un tercio de ese número.

Desafío

El año pasado, Joan recibió un aumento de (<1 \%> ). Este año, recibió un aumento de (<2 \%> ). Su salario actual es (< $ 11.07> ) la hora. ¿Cuál era su salario antes de los dos aumentos?


Introducción al nuevo material

En la Introducción al material nuevo, se presenta a los estudiantes los conceptos de círculos abiertos y cerrados en la recta numérica.

Cuando a los estudiantes se les dan rectas numéricas que no tienen números enteros ya etiquetados, les enseño a etiquetar 3 números enteros:

  • El número entero en el enunciado de desigualdad
  • Un número mayor que el entero en la desigualdad
  • Un número menor que el entero en la desigualdad

Encuentro que este proceso les da a los estudiantes una forma de verificar que están 'sombreando' la recta numérica en la dirección correcta: Los estudiantes pueden usar los números enteros etiquetados para razonar sobre el conjunto de soluciones.

En el problema final de la nueva sección de material, juntos creamos una desigualdad para representar el escenario del mundo real y luego graficamos el conjunto de soluciones en la recta numérica.


Contenido

Las desigualdades se rigen por las siguientes propiedades. Todas estas propiedades también son válidas si todas las desigualdades no estrictas (≤ y ≥) se reemplazan por sus correspondientes desigualdades estrictas (& lt y & gt) y, en el caso de aplicar una función, las funciones monótonas se limitan a estrictamente funciones monotónicas.

Converse Editar

Las relaciones ≤ y ≥ son recíprocas, lo que significa que para cualquier número real a y B:

aB y Ba son equivalentes.

Transitividad editar

La propiedad transitiva de la desigualdad establece que para cualquier número real a, B, C: [6]

Si aB y BC, luego aC.

Si cualquiera de las premisas es una desigualdad estricta, entonces la conclusión es una desigualdad estricta:

Si aB y B & lt C, luego a & lt C. Si a & lt B y BC, luego a & lt C.

Suma y resta Editar

Una constante común C se puede sumar o restar de ambos lados de una desigualdad. [3] Entonces, para cualquier número real a, B, C:

Si aB, luego a + CB + C y aCBC.

En otras palabras, la relación de desigualdad se conserva bajo suma (o resta) y los números reales son un grupo ordenado bajo suma.

Multiplicación y división Editar

Las propiedades que tratan con la multiplicación y la división establecen que para cualquier número real, a, B y distinto de cero C:

Si aB y C & gt 0, luego C.Aantes de Cristo y a/CB/C. Si aB y C & lt 0, entonces C.Aantes de Cristo y a/CB/C.

En otras palabras, la relación de desigualdad se conserva en la multiplicación y división con constante positiva, pero se invierte cuando se trata de una constante negativa. De manera más general, esto se aplica a un campo ordenado. Para más información, ver § Campos ordenados.

Edición inversa aditiva

La propiedad del inverso aditivo establece que para cualquier número real a y B:

Si aB, entonces -a ≥ −B.

Edición inversa multiplicativa

Si ambos números son positivos, entonces la relación de desigualdad entre los inversos multiplicativos es opuesta a la que existe entre los números originales. Más específicamente, para cualquier número real distinto de cero a y B que son ambos positivos (o ambos negativos):

Todos los casos de signos de a y B también se puede escribir en notación encadenada, de la siguiente manera:

Aplicar una función a ambos lados Editar

Cualquier función que aumenta monótonamente, por su definición, [7] puede aplicarse a ambos lados de una desigualdad sin romper la relación de desigualdad (siempre que ambas expresiones estén en el dominio de esa función). Sin embargo, aplicar una función decreciente monótona a ambos lados de una desigualdad significa que la relación de desigualdad se revertiría. Las reglas para el inverso aditivo y el inverso multiplicativo para los números positivos son ejemplos de aplicación de una función decreciente monótona.

Si la desigualdad es estricta (a & lt B, a & gt B) y la función es estrictamente monótona, entonces la desigualdad sigue siendo estricta. Si solo una de estas condiciones es estricta, la desigualdad resultante no es estricta. De hecho, las reglas para las inversas aditivas y multiplicativas son ejemplos de la aplicación de una estrictamente función monótona decreciente.

Algunos ejemplos de esta regla son:

  • Elevando ambos lados de una desigualdad a una potencia norte & gt 0 (equiv., -norte & lt 0), cuando a y B son números reales positivos:
  • Tomando el logaritmo natural en ambos lados de una desigualdad, cuando a y B son números reales positivos:

A (no estricto) Orden parcial es una relación binaria ≤ sobre un conjunto PAG que es reflexiva, antisimétrica y transitiva. [8] Es decir, para todos a, B, y C en PAG, debe cumplir las tres cláusulas siguientes:

  1. aa (reflexividad)
  2. Si aB y Ba, luego a = B (antisimetría)
  3. Si aB y BC, luego aC (transitividad)

Un conjunto con un orden parcial se llama conjunto parcialmente ordenado. [9] Esos son los axiomas muy básicos que todo tipo de orden debe satisfacer. Otros axiomas que existen para otras definiciones de órdenes en un conjunto PAG incluir:

  1. Para cada a y B en PAG, aB o Ba (orden total).
  2. Para todos a y B en PAG para cual a & lt B, hay un C en PAG tal que a & lt C & lt B (orden denso).
  3. Cada subconjunto no vacío de PAG con un límite superior tiene un menos límite superior (supremum) en PAG (propiedad de límite superior mínimo).

Campos ordenados Editar

Si (F, +, ×) es un campo y ≤ es un pedido total en F, luego (F, +, ×, ≤) se llama campo ordenado si y solo si:

  • aB implica a + CB + C
  • 0 ≤ a y 0 ≤ B implica 0 ≤ a × B.

Ambas cosas (Q, +, ×, ≤) y (R, +, ×, ≤) son campos ordenados, pero ≤ no se puede definir para hacer (C, +, ×, ≤) un campo ordenado, [10] porque −1 es el cuadrado de I y por tanto sería positivo.

Además de ser un campo ordenado, R también tiene la propiedad de límite mínimo superior. De hecho, R se puede definir como el único campo ordenado con esa calidad. [11]

La notación a & lt B & lt C representa "a & lt B y B & lt C", de lo cual, por la propiedad de transitividad anterior, también se sigue que a & lt C. Según las leyes anteriores, se puede sumar o restar el mismo número a los tres términos, o multiplicar o dividir los tres términos por el mismo número distinto de cero e invertir todas las desigualdades si ese número es negativo. Por tanto, por ejemplo, a & lt B + mi & lt C es equivalente a ami & lt B & lt Cmi.

Esta notación se puede generalizar a cualquier número de términos: por ejemplo, a1a2 ≤ . ≤ anorte significa que aIaI+1 por I = 1, 2, . norte - 1. Por transitividad, esta condición es equivalente a aIaj para cualquier 1 ≤ Ijnorte.

Al resolver desigualdades utilizando notación encadenada, es posible y, a veces, necesario evaluar los términos de forma independiente. Por ejemplo, para resolver la desigualdad 4X & lt 2X + 1 ≤ 3X + 2, no es posible aislar X en cualquier parte de la desigualdad mediante suma o resta. En cambio, las desigualdades deben resolverse de forma independiente, dando como resultado X & lt 1/2 y X ≥ −1 respectivamente, que se pueden combinar en la solución final −1 ≤ X & lt 1/2.

Ocasionalmente, la notación encadenada se usa con desigualdades en diferentes direcciones, en cuyo caso el significado es la conjunción lógica de las desigualdades entre términos adyacentes. Por ejemplo, la condición definitoria de un poset en zigzag se escribe como a1 & lt a2 & gt a3 & lt a4 & gt a5 & lt a6 & gt. . La notación encadenada mixta se usa más a menudo con relaciones compatibles, como & lt, =, ≤. Por ejemplo, a & lt B = CD significa que a & lt B, B = C, y CD. Esta notación existe en algunos lenguajes de programación como Python. Por el contrario, en los lenguajes de programación que proporcionan un orden sobre el tipo de resultados de comparación, como C, incluso las cadenas homogéneas pueden tener un significado completamente diferente. [12]

Se dice que una desigualdad es afilado, si no puede ser relajado y seguir siendo válido en general. Formalmente, una desigualdad cuantificada universalmente φ se llama agudo si, para cada desigualdad válida cuantificada universalmente ψ, Si ψφ aguanta, entonces ψφ también sostiene. Por ejemplo, la desigualdad ∀a ∈ ℝ. a 2 ≥ 0 es agudo, mientras que la desigualdad ∀a ∈ ℝ. a 2 ≥ −1 no es nítido. [ cita necesaria ]

Hay muchas desigualdades entre medias. Por ejemplo, para cualquier número positivo a1, a2, …, anorte tenemos HGRAMOAQ, donde

H = norte 1 una 1 + 1 una 2 + ⋯ + 1 una norte < Displaystyle H = < frac <>> + < frac <1>>> + cdots + < frac <1><>>>>>> (Significado armonico),
G = una 1 ⋅ una 2 ⋯ una norte norte < Displaystyle G = < sqrt [] cdot a_ <2> cdots a_>>> (significado geometrico),
A = una 1 + una 2 + ⋯ + una norte norte < Displaystyle A = < frac + a_ <2> + cdots + a_>>> (significado aritmetico),
Q = una 1 2 + una 2 2 + ⋯ + una norte 2 norte < Displaystyle Q = < sqrt < frac ^ <2> + a_ <2> ^ <2> + cdots + a_^<2>>>>> (media cuadrática).

La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para todos los vectores tu y v de un espacio de producto interior es cierto que

donde ⟨⋅, ⋅⟩ < displaystyle langle cdot, cdot rangle> es el producto interno. Ejemplos de productos internos incluyen el producto escalar real y complejo en el espacio euclidiano R norte con el producto interno estándar, la desigualdad de Cauchy-Schwarz es

A "desigualdad de poder"es una desigualdad que contiene términos de la forma a B , donde a y B son números reales positivos o expresiones variables. A menudo aparecen en ejercicios de olimpiadas matemáticas.

Ejemplos Editar

  • Por cualquier real X,
  • Si X & gt 0 y pag & gt 0, luego
  • Si X & gt 0, luego
  • Si X & gt 0, luego
  • Si X, y, z & gt 0, luego
  • Para cualquier número real distinto a y B,
  • Si X, y & gt 0 y 0 & lt pag & lt 1, entonces
  • Si X, y, z & gt 0, luego
  • Si a, B & gt 0, luego [13]
  • Si a, B & gt 0, luego [14]
  • Si a, B, C & gt 0, luego
  • Si a, B & gt 0, luego

Los matemáticos a menudo usan desigualdades para acotar cantidades para las que las fórmulas exactas no se pueden calcular fácilmente. Algunas desigualdades se utilizan con tanta frecuencia que tienen nombres:

El conjunto de números complejos ℂ con sus operaciones de suma y multiplicación es un campo, pero es imposible definir ninguna relación ≤ para que (ℂ, +, ×, ≤) se convierta en un campo ordenado.Para hacer (ℂ, +, ×, ≤) un campo ordenado, tendría que satisfacer las siguientes dos propiedades:

  • Si aB , luego a + CB + C
  • si 0 ≤ a y 0 ≤ B , luego 0 ≤ ab .

Porque ≤ es un pedido total, para cualquier número a, ya sea 0 ≤ a o a ≤ 0 (en cuyo caso la primera propiedad anterior implica que 0 ≤ -a ). En cualquier caso 0 ≤ a 2 esto significa que I 2 & gt 0 y 1 2 & gt 0 entonces −1 & gt 0 y 1 & gt 0, lo que significa (−1 + 1) & gt 0 contradicción.

Sin embargo, una operación ≤ puede definirse para satisfacer solo la primera propiedad (es decir, "si aB , luego a + CB + C "). A veces se utiliza la definición de orden lexicográfico:

  • aB , Si
    • Re(a) & lt Re (B) , o
    • Re(a) = Re (B) y yo soy(a) ≤ Im (B)

    Se puede demostrar fácilmente que para esta definición aB implica a + CB + C .

    La propiedad de la tricotomía (como se indicó anteriormente) no es válida para las relaciones de vectores. Por ejemplo, cuando x = (2, 5) T < displaystyle x = (2,5) ^ < mathsf >> y y = (3, 4) T < displaystyle y = (3,4) ^ < mathsf >>, no existe una relación de desigualdad válida entre estos dos vectores. Además, sería necesario definir un inverso multiplicativo en un vector antes de poder considerar esta propiedad. Sin embargo, para el resto de las propiedades mencionadas, existe una propiedad paralela para las desigualdades vectoriales.

    La descomposición algebraica cilíndrica es un algoritmo que permite probar si un sistema de ecuaciones polinomiales y desigualdades tiene soluciones y, si existen soluciones, describirlas. La complejidad de este algoritmo es doblemente exponencial en el número de variables. Es un dominio de investigación activo para diseñar algoritmos que sean más eficientes en casos específicos.


    6.3.5: Modelado con desigualdades - Matemáticas

    Necesito ayuda con la evaluación de matemáticas lección 7

    No podemos ayudar a menos que indique el problema específico.

    Saltar al contenido de la lección
    Matemáticas 6 A
    1. Concéntrese en el éxito en matemáticas 6
    Se salta la lección. 1. Mirando hacia el futuro Reflexión de práctica
    Se omite la lección. 2. Preparación para la reflexión Rápida
    2. Números enteros y decimales
    Se omite la lección. 1. Identificar el valor de los números enteros Práctica Discusión
    Se omite la lección. 2. Comprobación rápida de la estimación de números enteros
    Se omite la lección. 3. Práctica de cálculo con números enteros Comprobación rápida
    Se salta la lección. 4. Práctica de las propiedades de la suma y la multiplicación Comprobación rápida
    Se salta la lección. 5. Práctica del orden de las operaciones en expresiones numéricas Comprobación rápida
    Se omite la lección. 6. Revisión de mitad de unidad de operaciones y números enteros ReflexiónQuiz
    Se salta la lección. 7. Identificación del valor de los decimales Comprobación rápida
    Se salta la lección. 8. Comprobación rápida de comparar y ordenar decimales
    Se omite la lección. 9. Práctica de suma y resta de decimales Verificación rápida
    Se omite la lección. 10. Práctica de multiplicación de decimales Comprobación rápida
    Se salta la lección. 11. Multiplicar y dividir decimales por potencias de diez Verificación rápida
    Se salta la lección. 12. Práctica de división decimal
    Se omite la lección. 13. Resolución de problemas: revisión rápida del plan de cuatro pasos
    Se omite la lección. 14. Práctica de repaso de números enteros y decimales Reflexión
    Se omite la lección. 15. Prueba unitaria de números enteros y decimales
    3. Datos y gráficos
    La lección está completa. 1. Práctica de valores atípicos y promedios Comprobación rápida
    La lección está completa. 2. Discusión de la práctica de la mediana y la moda
    La lección está completa. 3. Comprobación rápida de tablas y gráficos
    La lección está completa. 4. Comprobación rápida de gráficos de barras y gráficos de líneas
    La lección está completa. 5. Comprobación rápida de histogramas
    La lección está completa. 6. Forma y variabilidad de los datos PracticeReflectionQuiz
    La lección no está completa. 7. Comprobación rápida de diagramas de tallo y hojas
    La lección no está completa. 8. Comprobación rápida de estadísticas y gráficos engañosos
    La lección no está completa. 9. Preguntas estadísticas PracticeQuiz
    La lección está completa. 10. Revisión de datos y gráficos Reflexión de elementos de la cartera
    La lección no está completa. 11. Prueba unitaria de datos y gráficos
    4. Patrones y variables
    La lección no está completa. 1. Discusión sobre patrones, reglas y expresiones numéricas
    La lección no está completa. 2. ¿Qué es un exponente? PrácticaComprobación rápida
    La lección no está completa. 3. Práctica de notación científica Comprobación rápida
    La lección no está completa. 4. Revisión rápida de expresiones algebraicas
    La lección no está completa. 5. De las palabras a las expresiones algebraicas Reflexión de elementos de la carpeta de trabajos
    La lección no está completa. 6. ¿Qué son las ecuaciones? PrácticaComprobación rápida
    La lección no está completa. 7. Ecuaciones con práctica de adición Verificación rápida
    La lección no está completa. 8. Ecuaciones con práctica de resta Verificación rápida
    La lección no está completa. 9. Práctica de ecuaciones con multiplicación y división
    La lección no está completa. 10. Comprobación rápida de la propiedad distributiva
    La lección no está completa. 11.Resolución de problemas y práctica de ecuaciones Verificación rápida
    La lección no está completa. 12.Repaso de práctica de repaso de patrones y variables Reflexión
    La lección no está completa. 13. Prueba unitaria de patrones y variables
    5. Teoría de números y fracciones
    La lección no está completa. 1. Práctica de divisibilidad y matemática mental Revisión rápida
    La lección no está completa. 2. Comprobación rápida de práctica en horario de máxima audiencia
    La lección no está completa. 3. Práctica de los principales factores comunes Comprobación rápida
    La lección no está completa. 4. Escribir expresiones que son equivalentes PracticeReflectionQuiz
    La lección no está completa. 5. Comprobación rápida de fracciones equivalentes
    La lección no está completa. 6. Fracciones superiores a 1 comprobación rápida
    La lección no está completa. 7. Verificación rápida de múltiplos
    La lección no está completa. 8. Cuestionario de comparación y ordenación de fracciones
    La lección no está completa. 9. Práctica de fracciones y decimales Verificación rápida
    La lección no está completa. 10. Práctica de repaso de teoría de números y fracciones Discusión Reflexión
    La lección no está completa. 11. Prueba unitaria de teoría de números y fracciones
    6. Sumar y restar fracciones
    La lección no está completa. 1. Práctica de estimación de fracciones / números mixtos Verificación rápida
    La lección no está completa. 2. Comprobación rápida de sumar y restar fracciones con denominadores similares
    La lección no está completa. 3. Suma de fracciones con denominadores diferentes. Comprobación rápida
    La lección no está completa. 4. Resta de fracciones con denominadores diferentes. Comprobación rápida
    La lección no está completa. 5. Suma y resta de fracciones Repaso de mitad de unidad PrácticaReflexiónQuiz
    La lección no está completa. 6. Práctica de suma con números mixtos Comprobación rápida
    La lección no está completa. 7. Resta con números mixtos Artículo de la carpeta de práctica
    La lección no está completa. 8. Práctica de resolución de ecuaciones con fracciones
    La lección no está completa. 9. Comprobación rápida del tiempo transcurrido
    La lección no está completa. 10. Práctica de repaso de suma y resta de fracciones Discusión Reflexión
    La lección no está completa. 11. Prueba unitaria de suma y resta de fracciones Prueba
    7. Multiplicar y dividir fracciones
    La lección no está completa. 1. Práctica de multiplicación de un número entero y una fracción Verificación rápida
    La lección no está completa. 2. Verificación rápida de multiplicar dos o más fracciones
    La lección no está completa. 3. Verificación rápida de multiplicación con números mixtos
    La lección no está completa. 4. Multiplicación de fracciones Repaso ReflectionQuiz
    La lección no está completa. 5. Verificación rápida de división con fracciones
    La lección no está completa. 6. Práctica de la división con números mixtos
    La lección no está completa. 7. Resolver ecuaciones con fracciones PracticeQuiz
    La lección no está completa. 8. ¿Qué es el sistema consuetudinario? Comprobación rápida
    La lección no está completa. 9. Cambio de unidades en el sistema habitual PracticeQuick Check
    La lección no está completa. 10. Práctica de repaso de multiplicación y división de fracciones Reflexión
    La lección no está completa. 11. Prueba de multiplicación y división de fracciones
    Contenido de la lección principal.
    Lección 7: Gráficas de tallo y hojas CE 2015
    Matemáticas 6 A Unidad 3: Datos y gráficos

    Lección 7: Gráficas de tallo y hojas CE 2015
    Matemáticas 6 A Unidad 3: Datos y gráficos

    Lección 11: Prueba unitaria de teoría de números y fracciones CE 2015
    Matemáticas 6 A Unidad 5: Teoría de números y fracciones
    CONEXIONES ACCADEMY

    ¿No tiene razón Donnie? Necesito un 100%

    sí, lo soy, tomé el cuestionario y obtuve el 100%

    Lección 15: Prueba unitaria de números enteros y decimales CE 2015
    Matemáticas esenciales 6 A Unidad 2: Números enteros y decimales

    Tmtdonnie isn & # 039t correcto por cierto mal lección

    Lección 12: Prueba unitaria de exponentes, factores y fracciones

    Lección 12: Exponentes, factores y fracciones Prueba unitaria HELP PLEASEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

    Lección 7: Cuerpos en órbita y comprobación rápida de propiedades n. ° 039
    Ciencia 6 A Unidad 3: Sistema solar

    Lección 1: Exponentes y orden de operaciones CE 2015
    Matemáticas 7 A Unidad 3: Exponentes, factores y fracciones
    Evaluación

    acabo de recibir un 20 tmt está mal
    ahhhhhhhhhhhhhhhhhh

    Lección 5: Comparar y ordenar fracciones CE 2015
    Matemáticas 7 A S3 Unidad 3: Exponentes, factores y fracciones
    POR FAVOR AYUDAME

    Las respuestas reales son C.D.A.B.C ASÍ QUE TMNT LO HIZO BIEN SOLO DECIRLO YALL 100%

    aquí están las respuestas para
    Lección 10: Notación científica CE 2015
    Matemáticas 7 A Unidad 3: Exponentes, factores y fracciones
    N1: 60,000 N2: 2,300 N3: 9.68 x 10 ^ 5 N4: 8.6 x 10 ^ 3 N5: El número de lugares para mover el punto decimal hacia la derecha.
    Espero que tengas el 100%: D

    ¿Qué pasa con las respuestas para la parte 1 de la octava pregunta de la lección cuatro, unidad cinco?

    Lección 1: Divisibilidad y matemática mental CE 2015
    Matemáticas 6 A Unidad 5: Teoría de números y fracciones
    Evaluación
    ayuda por favor preguntas 1-4

    para la Lección 1: Divisibilidad y matemática mental CE 2015Matemáticas 6 A Unidad 5: Teoría de números y evaluación de fracciones solo connexus
    D
    C
    C
    D
    B

    cualquiera tiene las respuestas a la unidad 7 del cuestionario de 10 preguntas

    Matemáticas 6 A
    1. Concéntrese en el éxito en matemáticas 6
    La lección está completa. 1. Mirando hacia el futuro Reflexión de práctica
    La lección está completa. 2. Preparación para la reflexión Rápida
    2. Números enteros y decimales
    La lección está completa. 1. Identificar el valor de los números enteros Práctica Discusión
    La lección está completa. 2. Comprobación rápida de la estimación de números enteros
    La lección está completa. 3. Práctica de cálculo con números enteros Comprobación rápida
    La lección está completa. 4. Práctica de las propiedades de la suma y la multiplicación Comprobación rápida
    La lección está completa. 5. Práctica del orden de las operaciones en expresiones numéricas Comprobación rápida
    La lección está completa. 6. Repaso a mitad de unidad de operaciones y números enteros ReflectionQuizQuiz
    La lección está completa. 7. Identificación del valor de los decimales Comprobación rápida
    La lección está completa. 8. Comprobación rápida de comparar y ordenar decimales
    La lección está completa. 9. Práctica de suma y resta de decimales Verificación rápida
    La lección está completa. 10. Práctica de multiplicación de decimales Comprobación rápida
    La lección está completa. 11. Multiplicar y dividir decimales por potencias de diez Verificación rápida
    La lección está completa. 12. Práctica de división decimal
    La lección está completa. 13. Resolución de problemas: revisión rápida del plan de cuatro pasos
    La lección está completa. 14. Práctica de repaso de números enteros y decimales Reflexión
    La lección está completa. 15. Prueba unitaria de números enteros y decimales PruebaTest
    3. Datos y gráficos
    La lección está completa. 1. Práctica de valores atípicos y promedios Comprobación rápida
    La lección está completa. 2. Comprobación rápida de la práctica de la mediana y la moda
    La lección está completa. 3. Comprobación rápida de tablas y gráficos
    La lección está completa. 4. Comprobación rápida de gráficos de barras y gráficos de líneas
    La lección está completa. 5. Comprobación rápida de histogramas
    La lección está completa. 6. Forma y variabilidad de los datos PracticeReflectionQuizQuiz
    La lección está completa. 7. Comprobación rápida de diagramas de tallo y hojas
    La lección está completa. 8. Comprobación rápida de estadísticas y gráficos engañosos
    La lección está completa. 9. Preguntas estadísticas PracticeQuiz
    La lección está completa. 10. Revisión de datos y gráficos Reflexión de elementos de la cartera
    La lección está completa. 11. Prueba unitaria de datos y gráficos Prueba de prueba
    4. Patrones y variables
    La lección está completa. 1. Comprobación rápida de patrones, reglas y expresiones numéricas
    La lección está completa. 2. ¿Qué es un exponente? PrácticaComprobación rápida
    La lección está completa. 3. Práctica de notación científica Comprobación rápida
    La lección está completa. 4. Revisión rápida de expresiones algebraicas
    La lección está completa. 5. De las palabras a las expresiones algebraicas Elemento de la carpeta de trabajos Reflexión Notas de modificación
    La lección está completa. 6. ¿Qué son las ecuaciones? PrácticaComprobación rápida
    La lección está completa. 7. Ecuaciones con práctica de adición Verificación rápida
    La lección está completa. 8. Ecuaciones con práctica de resta Verificación rápida
    La lección está completa. 9. Práctica de ecuaciones con multiplicación y división
    La lección está completa. 10. Comprobación rápida de la propiedad distributiva
    La lección está completa. 11.Resolución de problemas y práctica de ecuaciones Verificación rápida
    La lección está completa. 12. Práctica de repaso de patrones y variables Reflexión
    La lección está completa. 13. Patrones y variables Prueba unitaria Prueba Prueba
    5. Teoría de números y fracciones
    La lección está completa. 1. Práctica de divisibilidad y matemática mental Revisión rápida
    La lección está completa. 2. Comprobación rápida de práctica en horario de máxima audiencia
    La lección está completa. 3. Práctica de los principales factores comunes Comprobación rápida
    La lección está completa. 4. Escribir expresiones que son equivalentes PracticeReflectionQuizQuiz
    La lección está completa. 5. Comprobación rápida de fracciones equivalentes
    La lección está completa. 6. Fracciones superiores a 1 comprobación rápida
    La lección está completa pendiente de aprobación. 7. Verificación rápida de múltiplos
    La lección está completa pendiente de aprobación. 8. Comparación y ordenación de fracciones QuizQuiz
    La lección está completa pendiente de aprobación. 9. Práctica de fracciones y decimales Verificación rápida
    La lección está completa pendiente de aprobación. 10. Práctica de repaso de teoría de números y fracciones Discusión Reflexión
    La lección está completa pendiente de aprobación. 11. Prueba de unidad de prueba de teoría de números y fracciones Prueba de prueba
    6. Sumar y restar fracciones
    La lección está completa pendiente de aprobación. 1. Práctica de estimación de fracciones / números mixtos Verificación rápida
    La lección está completa pendiente de aprobación. 2. Comprobación rápida de sumar y restar fracciones con denominadores similares
    La lección no está completa. 3. Suma de fracciones con denominadores diferentes. Comprobación rápida
    La lección no está completa. 4. Resta de fracciones con denominadores diferentes. Comprobación rápida
    La lección no está completa. 5. Suma y resta de fracciones Repaso de mitad de unidad PracticeReflectionQuizQuiz
    La lección no está completa. 6. Práctica de suma con números mixtos Comprobación rápida
    La lección no está completa. 7. Resta con números mixtos Artículo de la carpeta de práctica
    La lección no está completa. 8. Práctica de resolución de ecuaciones con fracciones
    La lección no está completa. 9. Comprobación rápida del tiempo transcurrido
    La lección no está completa. 10. Repaso de la práctica de sumar y restar fracciones Reflexión
    La lección no está completa. 11. Suma y resta de fracciones Prueba unitaria Prueba Prueba
    7. Multiplicar y dividir fracciones
    La lección no está completa. 1. Práctica de multiplicación de un número entero y una fracción Verificación rápida
    La lección no está completa. 2. Verificación rápida de multiplicar dos o más fracciones
    La lección no está completa. 3. Verificación rápida de multiplicación con números mixtos
    La lección no está completa. 4. Multiplicación de fracciones Repaso ReflectionQuizQuiz
    La lección no está completa. 5. Verificación rápida de división con fracciones
    La lección no está completa. 6. Práctica de la división con números mixtos
    La lección no está completa. 7. Resolver ecuaciones con fracciones PracticeQuizQuiz
    La lección no está completa. 8. ¿Qué es el sistema consuetudinario? Comprobación rápida
    La lección no está completa. 9. Cambio de unidades en el sistema habitual PracticeQuick Check
    La lección no está completa. 10. Práctica de repaso de multiplicación y división de fracciones Reflexión
    La lección no está completa. 11. Prueba de multiplicación y división de fracciones Prueba de prueba

    Matemáticas 6 A
    1. Concéntrese en el éxito en matemáticas 6
    La lección está completa. 1. Mirando hacia el futuro Reflexión de práctica
    La lección está completa. 2. Preparación para la reflexión Rápida
    2. Números enteros y decimales
    La lección está completa. 1. Identificar el valor de los números enteros Práctica Discusión
    La lección está completa. 2. Comprobación rápida de la estimación de números enteros
    La lección está completa. 3. Práctica de cálculo con números enteros Comprobación rápida
    La lección está completa. 4. Práctica de las propiedades de la suma y la multiplicación Comprobación rápida
    La lección está completa. 5. Práctica del orden de las operaciones en expresiones numéricas Comprobación rápida
    La lección está completa. 6. Revisión a mitad de unidad de operaciones y números enteros ReflectionQuizQuiz
    La lección está completa. 7. Identificación del valor de los decimales Comprobación rápida
    La lección está completa. 8. Comprobación rápida de comparar y ordenar decimales
    La lección está completa. 9. Práctica de suma y resta de decimales Verificación rápida
    La lección está completa. 10. Práctica de multiplicación de decimales Comprobación rápida
    La lección está completa. 11. Multiplicar y dividir decimales por potencias de diez Verificación rápida
    La lección está completa. 12. Práctica de división decimal
    La lección está completa. 13. Resolución de problemas: revisión rápida del plan de cuatro pasos
    La lección está completa. 14. Práctica de repaso de números enteros y decimales Reflexión
    La lección está completa. 15. Prueba unitaria de números enteros y decimales PruebaTest
    3. Datos y gráficos
    La lección está completa. 1. Práctica de valores atípicos y promedios Comprobación rápida
    La lección está completa. 2. Comprobación rápida de la práctica de la mediana y la moda
    La lección está completa. 3. Comprobación rápida de tablas y gráficos
    La lección está completa. 4. Comprobación rápida de gráficos de barras y gráficos de líneas
    La lección está completa. 5. Comprobación rápida de histogramas
    La lección está completa. 6. Forma y variabilidad de los datos PracticeReflectionQuizQuiz
    La lección está completa. 7. Comprobación rápida de diagramas de tallo y hojas
    La lección está completa. 8. Comprobación rápida de estadísticas y gráficos engañosos
    La lección está completa. 9. Preguntas estadísticas PracticeQuiz
    La lección está completa. 10. Revisión de datos y gráficos Reflexión de elementos de la cartera
    La lección está completa. 11. Prueba unitaria de datos y gráficos Prueba de prueba
    4. Patrones y variables
    La lección está completa. 1. Comprobación rápida de patrones, reglas y expresiones numéricas
    La lección está completa. 2. ¿Qué es un exponente? PrácticaComprobación rápida
    La lección está completa. 3. Práctica de notación científica Comprobación rápida
    La lección está completa. 4. Revisión rápida de expresiones algebraicas
    La lección está completa. 5. De las palabras a las expresiones algebraicas Elemento de la carpeta de trabajos Reflexión Notas de modificación
    La lección está completa. 6. ¿Qué son las ecuaciones? PrácticaComprobación rápida
    La lección está completa. 7. Ecuaciones con práctica de adición Verificación rápida
    La lección está completa. 8. Ecuaciones con práctica de resta Verificación rápida
    La lección está completa. 9. Práctica de ecuaciones con multiplicación y división
    La lección está completa. 10. Comprobación rápida de la propiedad distributiva
    La lección está completa. 11.Resolución de problemas y práctica de ecuaciones Verificación rápida
    La lección está completa. 12.Repaso de práctica de repaso de patrones y variables Reflexión
    La lección está completa. 13. Patrones y variables Prueba unitaria Prueba Prueba
    5. Teoría de números y fracciones
    La lección está completa. 1. Práctica de divisibilidad y matemática mental Verificación rápida
    La lección está completa. 2. Prueba rápida de práctica en horario de máxima audiencia
    La lección está completa. 3.Práctica de los mejores factores comunes
    La lección está completa. 4. Escribir expresiones que son equivalentes PracticeReflectionQuizQuiz
    La lección está completa. 5. Comprobación rápida de fracciones equivalentes
    La lección está completa. 6. Fracciones superiores a 1 comprobación rápida
    La lección está completa pendiente de aprobación. 7. Verificación rápida de múltiplos
    La lección está completa pendiente de aprobación. 8. Comparación y ordenación de fracciones QuizQuiz
    La lección está completa pendiente de aprobación. 9. Práctica de fracciones y decimales Verificación rápida
    La lección está completa pendiente de aprobación. 10. Práctica de repaso de teoría de números y fracciones Discusión Reflexión
    La lección está completa pendiente de aprobación. 11. Prueba unitaria de prueba de teoría de números y fracciones Prueba
    6. Sumar y restar fracciones
    La lección está completa pendiente de aprobación. 1. Práctica de estimación de fracciones / números mixtos Verificación rápida
    La lección está completa pendiente de aprobación. 2. Comprobación rápida de sumar y restar fracciones con denominadores similares
    La lección está completa pendiente de aprobación. 3. Suma de fracciones con denominadores diferentes. Comprobación rápida
    La lección no está completa. 4. Resta de fracciones con denominadores diferentes. Comprobación rápida
    La lección no está completa. 5. Suma y resta de fracciones Repaso de mitad de unidad PracticeReflectionQuizQuiz
    La lección no está completa. 6. Práctica de suma con números mixtos Comprobación rápida
    La lección no está completa. 7. Resta con números mixtos Artículo de la carpeta de prácticas
    La lección no está completa. 8. Práctica de resolución de ecuaciones con fracciones
    La lección no está completa. 9. Comprobación rápida del tiempo transcurrido
    La lección no está completa. 10. Repaso de la práctica de sumar y restar fracciones Reflexión
    La lección no está completa. 11. Suma y resta de fracciones Prueba unitaria Prueba Prueba
    7. Multiplicar y dividir fracciones
    La lección no está completa. 1. Práctica de multiplicación de un número entero y una fracción Verificación rápida
    La lección no está completa. 2. Verificación rápida de multiplicar dos o más fracciones
    La lección no está completa. 3. Verificación rápida de multiplicación con números mixtos
    La lección no está completa. 4. Multiplicación de fracciones Repaso ReflectionQuizQuiz
    La lección no está completa. 5. Verificación rápida de división con fracciones
    La lección no está completa. 6. Práctica de la división con números mixtos
    La lección no está completa. 7. Resolver ecuaciones con fracciones PracticeQuizQuiz
    La lección no está completa. 8. ¿Qué es el sistema consuetudinario? Comprobación rápida
    La lección no está completa. 9. Cambio de unidades en el sistema habitual PracticeQuick Check
    La lección no está completa. 10. Práctica de repaso de multiplicación y división de fracciones Reflexión
    La lección no está completa. 11. Prueba de multiplicación y división de fracciones Prueba de prueba


    Resumen de la lección 17

    Podemos representar y resolver muchos problemas del mundo real con desigualdades. Siempre que escribimos una desigualdad, es importante decidir qué cantidad representamos con una variable. Después de tomar esa decisión, podemos conectar las cantidades en la situación para escribir una expresión y, finalmente, toda la desigualdad.

    Mientras resolvemos la desigualdad o ecuación para responder una pregunta, es importante tener en cuenta el significado de cada cantidad. Esto nos ayuda a decidir si la respuesta final tiene sentido en el contexto de la situación.

    Por ejemplo: Han tiene 50 centímetros de alambre y quiere hacer un marco de imagen cuadrado con un lazo para colgarlo que usa 3 centímetros para el lazo. Esta situación se puede representar por 3 + 4s = 50, donde s es la longitud de cada lado (si queremos usar todo el cable). También podemos usar 3 + 4s leq50 si queremos permitir soluciones que no usen todo el cable. En este caso, cualquier número positivo que sea menor o igual a 11,75 cm es una solución a la desigualdad. Cada solución representa una posible longitud lateral para el marco de la imagen, ya que Han puede doblar el cable en cualquier punto. En otras situaciones, la variable puede representar una cantidad que aumenta en números enteros, como con el número de revistas, cargas de ropa o estudiantes. En esos casos, solo las soluciones de números enteros tienen sentido.


    MODELAR DESIGUALDADES EN DOS PASOS

    Utilice fichas de álgebra para modelar 3x - 4 & # xa0 & # xa0 ≥ & # xa0 5.

    ¿Cómo podemos modelar el lado izquierdo de la desigualdad?

    Encontramos 3x - 4 en el lado izquierdo de la desigualdad. Entonces podemos usar tres mosaicos de variables positivas y cuatro mosaicos -1 para modelar el lado izquierdo de la desigualdad.

    ¿Cómo podemos modelar el lado derecho de la desigualdad?

    Encontramos 5 positivo en el lado derecho de la desigualdad. Entonces podemos usar cinco mosaicos +1 para modelar el lado derecho de la desigualdad.

    Ahora usa las fichas de álgebra mencionadas anteriormente o dibujalas para modelar la desigualdad 3 x - 4 & # xa0 & # xa0 ≥ & # xa0 5 & # xa0 en el tapete.

    Utilice fichas de álgebra para modelar 2x + 1 & # xa0 & lt & # xa0 3.

    ¿Cómo podemos modelar el lado izquierdo de la desigualdad?

    Encontramos 2x + 1 en el lado izquierdo de la desigualdad. Entonces podemos usar dos mosaicos de variables positivas y un mosaico + 1 para modelar el lado izquierdo de la desigualdad.

    ¿Cómo podemos modelar el lado derecho de la desigualdad?

    Encontramos 3 positivo en el lado derecho de la desigualdad. Entonces podemos usar tres mosaicos +1 para modelar el lado derecho de la desigualdad.

    Ahora use las fichas de álgebra mencionadas anteriormente o dibujelas para modelar la desigualdad & # xa0 2x + 1 & # xa0 & lt & # xa0 3 & # xa0 en el tapete.

    Usa fichas de álgebra para modelar 4 - 3x & gt 5.

    ¿Cómo podemos modelar el lado izquierdo de la desigualdad?

    Encontramos 4 - 3x en el lado izquierdo de la desigualdad. Entonces podemos usar & # xa0 cuatro mosaicos + 1 y tres mosaicos de variables negativas & # xa0 & # xa0 para modelar el lado izquierdo de la desigualdad.

    ¿Cómo podemos modelar el lado derecho de la desigualdad?

    Encontramos 5 positivo en el lado derecho de la desigualdad & # xa0. Entonces podemos usar cinco mosaicos +1 para modelar el lado derecho de la desigualdad & # xa0.

    Ahora use las fichas de álgebra mencionadas anteriormente o dibujelas para modelar la desigualdad & # xa0 & # xa04 & # xa0- 3x & gt 5 & # xa0 en el tapete.

    Aparte de las cosas dadas anteriormente, si necesita alguna otra cosa en matemáticas, utilice nuestra búsqueda personalizada de Google aquí.

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    Siempre agradecemos sus comentarios. & # Xa0

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    Datos importantes sobre cómo resolver y graficar desigualdades para el sexto grado

    Teniendo en cuenta que la gráfica de una desigualdad lineal en una variable es una recta numérica, sus hijos disfrutarán resolviendo nuestros ejercicios de desigualdad con estrategias concisas y hermosas que se utilizan para expresar inteligentemente las relaciones entre dos o más funciones.

    Símbolos y significados de la desigualdad

    Es importante que los estudiantes comprendan que los símbolos se usan mejor para expresar relaciones de cantidades en matemáticas y situaciones de la vida real. En este sentido, la siguiente tabla les ayudará a dominar símbolos y significados de desigualdad.

    La mejor forma de mejorar las habilidades de pensamiento crítico en los niños

    Nuestra calificar desigualdades lineales con hojas de trabajo de respuestas han sido diseñados de una manera simple y directa para que los niños resuelvan y reemplacen fácilmente la variable en una expresión con su verdadero valor numérico. Esta solución produce un enunciado verdadero cuando se sustituye en la desigualdad.

    En consonancia con esto, uno de los la mejor manera de mejorar las habilidades de pensamiento crítico en los niños es involucrarlos en estos admirables resolviendo y graficando desigualdades hojas de trabajo pdf para 6 to calificación.

    Esto se debe a que, cuando resuelven una variable desconocida, se les pide que usen sus habilidades de razonamiento y pensamiento crítico para determinar cuál de los valores es & lt, & gt, & le, & ge, & ne o = para el otro.

    Sin embargo, en la vida real, los niños utilizarán adecuadamente sus habilidades de pensamiento crítico para determinar la mejor solución a un problema. Por ejemplo, comparar precios de cereales en una tienda para elegir el más barato.


    Ver el vídeo: Cómo modelar situación del mundo real con sistema de desigualdades. Ejemplo (Octubre 2021).