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4.5: Revisión de SU (2) y vista previa de la cuantificación - Matemáticas


Nuestra introducción del concepto de espinor al comienzo de la Sección 4.1 se puede racionalizar sobre la base de las siguientes pautas. Primero, necesitamos una cierta economía y deseamos evitar tener que lidiar con parámetros redundantes al especificar una tríada rotatoria, tal como previamente hemos resuelto el problema análogo para el operador de rotación.

En segundo lugar, deseamos tener un formalismo eficiente para representar el problema rotacional.

Hemos visto que las matrices de ( mathcal {SU} (2) ) satisfacen todos estos requisitos, pero nos encontramos cargados con dos valores de la representación: (| xi rangle ) y ( | xi rangle ) corresponden a la misma configuración de tríada. Esto no es un problema serio, ya que nuestras relaciones clave 4.1.36 y 4.1.37 son cuadráticas en (| xi rangle ).

Así, la dosvaluación aparece aquí sólo como una ayuda computacional que desaparece en el resultado final.

La situación es diferente si miramos las fórmulas 4.1.42–4.1.66 de la misma sección (Sección 4.1). Estas ecuaciones son lineales, tienen un carácter mecánico cuántico y sabemos que de hecho son aplicables en el contexto adecuado. Es un hecho pragmático que la doble valoración no es solo una molestia necesaria, sino que tiene un significado físico. Pero comprender este significado es un desafío que solo podemos enfrentar en pasos cuidadosamente elegidos.

Deseamos dar una interpretación más física a la tríada, pero evitando el impasse del cuerpo rígido. Primero asociamos el espacio abstracto de Poincaré con el sistema físico del oscilador degenerado bidimensional. La rotación en el espacio de Poincaré se asocia a un desplazamiento de fase entre estados conjugados, que se traduce en una rotación de la esfera de Poincaré, interpretada a su vez como una cambio de orientación, o cambio de forma de los patrones vibratorios en el espacio ordinario.

Es sólo una leve exageración decir que nuestra transición de la tríada en el espacio euclidiano a la del espacio de Poincaré es algo así como una `` cuantización '', en el sentido en que la ecuación de onda de Schro ̈dinger asocia una onda con una partícula. (¡La h de Planck va a entrar en breve!)

En esta teoría tenemos un buen uso para los espinores conjugados (| xi rangle ) y (| bar { xi} rangle ) que representan polarizaciones opuestas, pero debemos identificar (| bar { barra { xi}} rangle = - | xi rangle ) con (| xi rangle ).

Lo anterior no es más que un modelo cinemático perfectamente definido. El siguiente paso es diferente. Como una "segunda cuantificación" introducimos la h de Planck para definir fotones individuales. Una división de haz representada por un operador de proyección se puede expresar en términos probabilísticos.

Formalmente, todo esto es fácil e inmediatamente tendríamos gran parte del formalismo mecánico cuántico que implica la teoría de la medición.

A continuación, podríamos tomarnos en serio la dosvaluación del espinor y obtener el formalismo del isospín y del neutrino, digamos como en la Sección 17, Estados del fermión, en [Kae65].

Finalmente, en lugar de vibraciones doblemente degeneradas, podríamos considerar el vibrador triplemente degenerado y manejarlo mediante ( mathcal {SU} (3) ) [Lip02]. Sin embargo, no consideraremos estas generalizaciones en este punto. Antes de seguir expandiendo el formalismo, debemos esperar comprender mejor lo que ya tenemos.

Primero, un comentario formal. Nuestros resultados hasta ahora desarrollados están determinados únicamente por el formalismo de espinor de la Sección 4.1 y por el programa de considerar la esfera de Poincaré como el espacio de configuración básica que se describirá mediante las coordenadas esféricas convencionales ( alpha, beta ) o ( phi, theta ).

Es de destacar que este modesto equipamiento conceptual nos lleva hasta aquí. Hemos obtenido espinores, matrices de densidad y hemos discutido al menos fugazmente la coherencia, la incoherencia, la teoría cuántica de la medición y la teoría de la transformación.

Lo que no obtenemos de la teoría es una interpretación específica del proceso vibratorio subyacente, ya que el formalismo es hasta ahora completamente independiente de él. Este hecho nos da cierta comprensión del alcance y el límite de la mecánica cuántica. Podemos aplicar el formalismo a fenómenos que entendemos muy poco. Sin embargo, dado que el mismo formalismo ( mathcal {SU} (2) ) se aplica a la luz polarizada, el espín, el isospín, la extrañeza y otros fenómenos, aprendemos poco sobre sus aspectos distintivos.

Para superar esta limitación, necesitamos una comprensión más profunda de lo que es un momento angular cuantificado en el marco de un problema dinámico.

El próximo capítulo está dedicado a una discusión fenomenológica de los conceptos de partícula y onda. Intentaremos obtener pistas suficientes para desarrollar una teoría dinámica en forma de geometría de espacio de fase en el capítulo VI.

Figura 4.3: Representación de la polarización en la esfera de Poincaré. Conexión entre los esquemas: esquema (a) ( hat {k} ( phi, theta) ) y esquema (b) ( hat {s} ( alpha, beta) ).

Figura 4.4: Representación de la polarización en la esfera de Poincaré. Conexión entre los esquemas (c) y (d).


Cuantización geométrica

En física matemática, cuantificación geométrica es un enfoque matemático para definir una teoría cuántica correspondiente a una teoría clásica dada. Intenta realizar la cuantificación, para la que en general no existe una receta exacta, de tal manera que quedan manifiestas ciertas analogías entre la teoría clásica y la teoría cuántica. Por ejemplo, se debe incorporar la similitud entre la ecuación de Heisenberg en la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica y la ecuación de Hamilton en la física clásica.


Cuerpos brillantes

Dirigido a Foundation Stage y Key Stage One, este recurso contiene lecciones sobre cómo nombrar diferentes partes del cuerpo, reconocer similitudes y diferencias entre los cuerpos humanos y la importancia del ejercicio para los humanos. Vinculado al tema de los animales, incluidos los humanos, las lecciones son introducidas por el personaje Fizzy, que quiere aprender más sobre el cuerpo humano y explicar esto a su perro Dizzy. El recurso contiene tres planes de lecciones detallados que incluyen presentaciones, actividades y juegos, una hoja de tareas y una tarjeta de recompensa. Las lecciones son: [b] ¡Dizzy no lo entiende! [/ B] - Conoce a Fizzy y entiende que quiere que los niños descubran más sobre sus cuerpos. Nombra diferentes partes del cuerpo. [b] Todos iguales y todos diferentes [/ b] - Comenzar a reconocer las similitudes y diferencias entre nuestros cuerpos. [b] Los brillantes equilibradores de Fizzy [/ b]: comienza a explorar diferentes formas de equilibrar. Mejore sus habilidades de equilibrio con la práctica. Producido por Wellcome Trust, In The Zone es una importante iniciativa del Reino Unido inspirada en los Juegos Olímpicos y Paralímpicos de 2012. Ha sido galardonado con la Inspire Mark de Londres 2012 y es parte de Get Set +, el programa educativo oficial de Londres 2012.


El nuevo universo cuántico

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También hay algunos ejemplos de innovaciones tecnológicas derivados de la física cuántica (como el semiconductor, pero también aplicaciones más futuristas como la computación cuántica). Todo está respaldado por ilustraciones agradables, explicativas y relevantes.
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Mi calificación de 4 estrellas es un promedio entre mi disfrute personal de este libro (3 a 3,5 estrellas; en realidad, era demasiado básico para mis necesidades) y su valor intrínseco como libro introductorio a la física cuántica (5 estrellas completas). . más

Si está buscando un conocimiento general sobre la mecánica cuántica de una manera interesante, este libro es su elección. Intenta hacer que los conceptos sean lo más claros y simples posible, en esta etapa.
Tiene algunos capítulos que hablan de ingeniería mecánica cuántica + algunas aplicaciones interesantes.

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Fundamentos de la mecánica cuántica y sus aplicaciones.

Cuando compré este libro, pensé que estaba dedicado a los aspectos teóricos de la mecánica cuántica, pero en realidad se centra principalmente en sus aplicaciones en tecnología. Los autores discuten los conceptos básicos de la física cuántica brevemente su historia e incompatibilidad con la física clásica y luego discuten varias aplicaciones.

La mecánica cuántica nos enseña cómo se comportan los átomos y las partículas subatómicas y explica el proceso fundamental que involucra los fundamentos de la mecánica cuántica y sus aplicaciones.

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La mecánica cuántica nos enseña cómo se comportan los átomos y las partículas subatómicas y explica el proceso fundamental involucrado en la formación de elementos y estrellas. La física clásica explica la realidad física de formas más grandes de materia que incluye moléculas, formas de vida, planetas, estrellas y galaxias. Pero a diferencia de la física clásica, la realidad física del mundo cuántico no se comprende fácilmente. La dualidad onda-partícula de la materia produce extrañeza de la física cuántica que incluye el principio de incertidumbre de Heisenberg, estados cuantificados de la materia, entrelazamiento cuántico, tunelización cuántica, saltos cuánticos, etc.

Los autores han evitado las cuestiones matemáticas y filosóficas detrás de la teoría y se han centrado en su aplicación que allanó el camino para las oportunidades y el avance de la tecnología. La manipulación de la materia a nivel cuántico ha dado lugar a la nanotecnología y la computación cuántica. Esto ha dado lugar a muchas posibilidades interesantes en la ingeniería informática y el procesamiento de la información. En lugar de bits de información almacenados en "1" o "0" en las computadoras clásicas de hoy en día, la teletransportación cuántica permite que los algoritmos utilicen bits cuánticos llamados qubits que contienen simultáneamente "1" y "0" por entrelazamiento cuántico. La teletransportación cuántica es un proceso en el que la información cuántica se destruye para que pueda transferirse simultáneamente a otra ubicación. Esto se ha propuesto como una forma de crear redes de comunicación cuántica y protocolos de computación cuántica. La información cuántica no se puede copiar, pero la criptografía cuántica tiene un alto grado de seguridad.

La construcción de túneles cuánticos ha ofrecido enormes oportunidades en la fibra óptica, la invención del microscopio electrónico de barrido y las reacciones de fisión nuclear y las armas atómicas. Los semiconductores y superconductividades de algunos de los elementos a bajas temperaturas han llevado al descubrimiento de superconductores y extrañas propiedades de la materia que se utilizan en tecnología. Si está interesado en saber qué puede hacer la mecánica cuántica para dar forma a la tecnología del futuro, este libro es muy útil.
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¿Fórmula de Verlinde en la cuantificación geométrica?

Creo que tengo un buen conocimiento de $ rm(2) $ Fórmula de Verlinde desde la perspectiva de la geometría algebraica. Espero comprender mejor cómo se relaciona exactamente esto con la cuantificación geométrica de una variedad simpléctica.

En geometría algebraica, consideramos $ N_ = N_(2, L) $ para ser el espacio de módulos de los paquetes de vectores de rango 2 sobre una curva. Se puede demostrar que $ c_ <1>: rm(NORTE_) a H ^ <2> (N_, mathbb) $ es un isomorfismo, por lo que existe un generador positivo del grupo Picard $ mathcal$, y el famoso $ rm(2) La fórmula de $ Verlinde calcula el número entero $ h ^ <0> (N_, mathcal^) $, utilizando Riemann-Roch, Kodaira Vanishing, etc.

Sin embargo, en la cuantificación geométrica, tomamos una variedad simpléctica $ X $, un paquete de líneas precuánticas $ mathcal'$ en $ X $ cuya curvatura coincide precisamente con la estructura simpléctica subyacente $ [ omega] in H ^ <2> (X, mathbbPS Entonces podemos esperar calcular la dimensión del espacio de Hilbert, el álgebra de operadores, etc., después de la cuantificación.

Resulta que $ N_$ es una variedad simpléctica. Entonces, si arreglamos su estructura simpléctica, ¿podemos considerar ese paquete de líneas generadoras especiales $ mathcal$ para ser un paquete de líneas pre-cuánticas? Si es así, ¿podemos elegir de alguna manera la curvatura para que coincida con la estructura simpléctica? En cuanto a la fórmula de Verlinde en este otro contexto, ¿estoy en lo correcto al decirlo? exactamente calcula la dimensión del espacio de Hilbert (suponiendo compacto)? Supongo que a menudo escuchas que la dimensión del espacio de Hilbert es aproximadamente el volumen del espacio simpléctico. Pero supongo que Verlinde calcula la dimensión del espacio de Hilbert exactamente, y algún límite de la fórmula da el volumen del espacio de fase.


Contenido

El modelo estándar es una teoría cuántica de campos, lo que significa que sus objetos fundamentales son campos cuánticos que se definen en todos los puntos del espacio-tiempo. Estos campos son

  • los campos de fermiones, ψ, que dan cuenta de las "partículas de materia"
  • los campos de bosones electrodébiles W 1, W 2, W 3 < displaystyle W_ <1>, W_ <2>, W_ <3>> y B
  • el campo de gluones, Ga y
  • el campo de Higgs, φ.

Que estos son cuántico en vez de clásico Los campos tienen la consecuencia matemática de que están valorados por operadores. En particular, los valores de los campos generalmente no se conmutan. Como operadores, actúan sobre el estado cuántico (vector ket).

La dinámica del estado cuántico y los campos fundamentales están determinados por la densidad lagrangiana L < displaystyle < mathcal >> (generalmente para abreviar, simplemente llamado lagrangiano). Esto juega un papel similar al de la ecuación de Schrödinger en la mecánica cuántica no relativista, pero un lagrangiano no es una ecuación de movimiento, sino que es una función polinomial de los campos y sus derivadas, y se usa con el principio de mínima acción. . Si bien sería posible derivar un sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernen los campos del Lagrangiano, es más común usar otras técnicas para calcular con teorías cuánticas de campos.

El modelo estándar es además una teoría de gauge, lo que significa que hay grados de libertad en el formalismo matemático que no corresponden a cambios en el estado físico. El grupo de calibres del modelo estándar es SU (3) × SU (2) × U (1), [2] donde U (1) actúa sobre B y φ, SU (2) actúa sobre W y φ, y SU ( 3) actúa sobre G. El campo de fermiones ψ también se transforma bajo estas simetrías, aunque todas dejan algunas partes sin cambios.

El papel de los campos cuánticos Editar

En la mecánica clásica, el estado de un sistema generalmente puede ser capturado por un pequeño conjunto de variables y, por lo tanto, la dinámica del sistema está determinada por la evolución temporal de estas variables. En la teoría de campo clásica, el campo es parte del estado del sistema, por lo que para describirlo completamente uno introduce efectivamente variables separadas para cada punto en el espacio-tiempo (aunque existen muchas restricciones sobre cómo los valores del campo "variables" pueden variar de un punto a otro, por ejemplo, en forma de ecuaciones de campo que implican derivadas parciales de los campos).

En la mecánica cuántica, las variables clásicas se convierten en operadores, pero estos no capturan el estado del sistema, que en cambio se codifica en una función de onda ψ o un vector Ket más abstracto. Si ψ es un autoestado con respecto a un operador P, entonces = λψ para el valor propio correspondiente λ, y por lo tanto, dejar que un operador P actúe sobre ψ es análogo a multiplicar ψ por el valor de la variable clásica a la que P corresponde. Por extensión, una fórmula clásica donde todas las variables han sido reemplazadas por los operadores correspondientes se comportará como un operador que, cuando actúa sobre el estado del sistema, lo multiplica por el análogo de la cantidad que calcularía la fórmula clásica. Sin embargo, la fórmula como tal no contiene ninguna información sobre el estado del sistema que evaluaría al mismo operador, independientemente del estado en el que se encuentre el sistema.

Los campos cuánticos se relacionan con la mecánica cuántica como lo hacen los campos clásicos con la mecánica clásica, es decir, hay un operador separado para cada punto en el espacio-tiempo, y estos operadores no llevan ninguna información sobre el estado del sistema, simplemente se utilizan para exhibir algún aspecto de el estado, en el punto al que pertenecen. En particular, los campos cuánticos son no funciones de onda, aunque las ecuaciones que gobiernan su evolución en el tiempo pueden ser engañosamente similares a las de la función de onda correspondiente en una formulación semiclásica. No hay variación en la fuerza de los campos entre diferentes puntos en el espacio-tiempo, la variación que ocurre es más bien uno de factores de fase.

Vectores, escalares y espinores Editar

Matemáticamente, puede parecer que todos los campos tienen valores vectoriales (además de valores de operador), ya que todos tienen varios componentes, pueden multiplicarse por matrices, etc., pero los físicos asignan un significado físico más específico a la palabra: a vector es algo que se transforma como un vector de cuatro bajo las transformaciones de Lorentz, y un escalar es algo que es invariante bajo las transformaciones de Lorentz. La B, Wj , y Ga todos los campos son vectores en este sentido, por lo que se dice que las partículas correspondientes son bosones vectoriales. El campo de Higgs φ es un campo escalar.

El campo de fermiones ψ se transforma bajo las transformaciones de Lorentz, pero no como un vector en caso de que las rotaciones solo lo giren a la mitad del ángulo que debería hacerlo un vector adecuado. Por lo tanto, estos constituyen un tercer tipo de cantidad, que se conoce como espinor.

Es común hacer uso de la notación de índice abstracto para los campos vectoriales, en cuyo caso todos los campos vectoriales vienen con un índice de Lorentzian μ, así: B μ, W j μ < displaystyle B ^ < mu>, W_^ < mu >> y G a μ < displaystyle G _ ^ < mu >>. Si también se usa la notación de índice abstracto para los espinores, estos llevarán un índice espinorial y la gamma de Dirac llevará un índice de Lorentziano y dos índices espinorianos, pero es más común considerar los espinores como matrices de columna y la gamma de Dirac γ.μ como una matriz que, además, lleva un índice de Lorentz. La notación de barra inclinada de Feynman se puede usar para convertir un campo vectorial en un operador lineal en espinores, así: ⧸ B = γ μ B μ < displaystyle < not> B = gamma ^ < mu> B _ < mu> > esto puede implicar subir y bajar índices.

Como es común en la teoría cuántica, hay más de una forma de ver las cosas. Al principio, es posible que los campos básicos dados anteriormente no parezcan corresponder bien con las "partículas fundamentales" en el cuadro anterior, pero hay varias presentaciones alternativas que, en contextos particulares, pueden ser más apropiadas que las que se dan arriba.

Fermiones Editar

En lugar de tener un campo de fermiones ψ, se puede dividir en componentes separados para cada tipo de partícula. Esto refleja la evolución histórica de la teoría cuántica de campos, ya que el componente electrónico ψmi (que describe el electrón y su antipartícula el positrón) es entonces el campo original original de la electrodinámica cuántica, que más tarde fue acompañado por ψμ y ψτ campos para el muon y tauon respectivamente (y sus antipartículas). Teoría electrodébil agregada ψ ν e, ψ ν μ < displaystyle psi _ < nu _ < mathrm >>, psi _ < nu _ < mu >>> y ψ ν τ < displaystyle psi _ < nu _ < tau >>> para los neutrinos correspondientes, y los quarks añaden aún más componentes. Para que sean cuatro espinores como el electrón y otros componentes del leptón, debe haber un componente de quark para cada combinación de sabor y color, lo que lleva el total a 24 (3 para leptones cargados, 3 para neutrinos y 2 · 3 · 3 = 18 para quarks). Cada uno de estos es un bispinor de cuatro componentes, para un total de 96 componentes de valor complejo para el campo de fermiones.

Una teoría quiral Editar

Una descomposición independiente de ψ es aquella en componentes de quiralidad:

donde γ 5 < displaystyle gamma _ <5>> es la quinta matriz gamma. Esto es muy importante en el modelo estándar porque Los componentes de quiralidad izquierdo y derecho se tratan de manera diferente por las interacciones de calibre.

En particular, bajo transformaciones débiles de isospín SU (2), las partículas de la izquierda son dobletes de isospín débil, mientras que las de la mano derecha son singletes, es decir, el isospín débil de ψR es cero. Dicho de manera más simple, la interacción débil podría rotar, p. un electrón zurdo en un neutrino zurdo (con emisión de una W -), pero no podría hacerlo con las mismas partículas diestras. Además, el neutrino derecho no existía originalmente en el modelo estándar, pero el descubrimiento de la oscilación de neutrinos implica que los neutrinos deben tener masa, y dado que la quiralidad puede cambiar durante la propagación de una partícula masiva, deben existir neutrinos diestros. en realidad. Sin embargo, esto no cambia la naturaleza quiral (probada experimentalmente) de la interacción débil.

Eigenstates de interacción y masa Editar

Por tanto, se puede hacer una distinción entre, por ejemplo, los estados propios de masa e interacción del neutrino. El primero es el estado que se propaga en el espacio libre, mientras que el segundo es el diferente Estado que participa en interacciones. ¿Cuál es la partícula "fundamental"? Para el neutrino, es convencional definir el "sabor" (
ν
mi ,
ν
μ , o
ν
τ ) por la interacción eigenstate, mientras que para los quarks definimos el sabor (up, down, etc.) por el estado de masa. Podemos cambiar entre estos estados usando la matriz CKM para los quarks, o la matriz PMNS para los neutrinos (los leptones cargados, por otro lado, son estados propios de masa y sabor).

Además, si existe un término de fase complejo dentro de cualquiera de estas matrices, dará lugar a una violación directa de la CP, lo que podría explicar el predominio de la materia sobre la antimateria en nuestro universo actual. Esto ha sido probado para la matriz CKM y se espera para la matriz PMNS.

Energías positivas y negativas Editar

Finalmente, los campos cuánticos a veces se descomponen en partes de energía "positiva" y "negativa": ψ = ψ + + ψ -. Esto no es tan común cuando se ha establecido una teoría cuántica de campos, pero a menudo ocupa un lugar destacado en el proceso de cuantificación de una teoría de campos.

Bosones Editar

El bosón neutro sin masa:

El campo A es el fotón, que corresponde clásicamente al conocido cuatro potencial electromagnético, es decir, los campos eléctrico y magnético. El campo Z en realidad contribuye en todos los procesos que hace el fotón, pero debido a su gran masa, la contribución suele ser insignificante.

En la imagen más común de Schrödinger, incluso los estados de las partículas libres cambian con el tiempo: típicamente, la fase cambia a una velocidad que depende de su energía. En la imagen alternativa de Heisenberg, los vectores de estado se mantienen constantes, al precio de que los operadores (en particular los observables) sean dependientes del tiempo. La imagen de interacción constituye un intermedio entre los dos, donde se coloca cierta dependencia temporal en los operadores (los campos cuánticos) y parte en el vector de estado. En QFT, la primera se denomina parte de campo libre del modelo y la última se denomina parte de interacción. El modelo de campo libre se puede resolver exactamente, y luego las soluciones del modelo completo se pueden expresar como perturbaciones de las soluciones de campo libre, por ejemplo, utilizando la serie Dyson.

Debe observarse que la descomposición en campos libres e interacciones es en principio arbitraria. Por ejemplo, la renormalización en QED modifica la masa del electrón de campo libre para que coincida con la de un electrón físico (con un campo electromagnético) y, al hacerlo, agregará un término al Lagrangiano de campo libre que debe ser cancelado por un contratermino en el interacción lagrangiana, que luego se muestra como un vértice de dos líneas en los diagramas de Feynman. Así es también como se cree que el campo de Higgs da masa a las partículas: la parte del término de interacción que corresponde al valor de expectativa de vacío (distinto de cero) del campo de Higgs se mueve de la interacción al campo libre Lagrangiano, donde se ve exactamente como un término masivo que no tiene nada que ver con Higgs.

Campos libres Editar

Bajo la habitual descomposición libre / de interacción, que es adecuada para bajas energías, los campos libres obedecen a las siguientes ecuaciones:

  • El campo de fermiones ψ satisface la ecuación de Dirac (i ℏ γ μ ∂ μ - m f c) ψ f = 0 < displaystyle (i hbar gamma ^ < mu> partial _ < mu> -m _ < rm > c) psi _ < rm > = 0> para cada tipo f < displaystyle f> de fermión.
  • El campo de fotones A satisface la ecuación de onda ∂ μ ∂ μ A ν = 0 < displaystyle partial _ < mu> partial ^ < mu> A ^ < nu> = 0>.
  • El campo de Higgs φ satisface la ecuación de Klein-Gordon.
  • Los campos de interacción débiles Z, W ± satisface la ecuación de Proca.

Estas ecuaciones se pueden resolver con exactitud. Por lo general, lo hace considerando las primeras soluciones que son periódicas con algún período L a lo largo de cada eje espacial y luego tomando el límite: L → ∞ eliminará esta restricción de periodicidad.

En el caso periódico, la solución para un campo F (cualquiera de los anteriores) se puede expresar como una serie de Fourier de la forma

  • β es un factor de normalización para el campo de fermiones ψ f < displaystyle psi _ < rm >> es m f c 2 / V < displaystyle < sqrt > c ^ <2> / V >>>, donde V = L 3 < displaystyle V = L ^ <3>> es el volumen de la celda fundamental considerada para el campo de fotones A μ es ℏ c / 2 V < Displaystyle hbar c / < sqrt <2V> >>.
  • La suma terminada pag es sobre todos los momentos consistente con el período L, es decir, sobre todos los vectores 2 π ℏ L (n 1, n 2, n 3) < displaystyle < frac <2 pi hbar>> (n_ <1>, n_ <2>, n_ <3>)> donde n 1, n 2, n 3 < Displaystyle n_ <1>, n_ <2>, n_ <3>> son números enteros.
  • La suma sobre r cubre otros grados de libertad específicos para el campo, como la polarización o el giro, generalmente sale como una suma de 1 a 2 o de 1 a 3.
  • mipag es la energía relativista para un impulso pag cuanto del campo, = m 2 c 4 + c 2 p 2 < displaystyle = < sqrt c ^ <4> + c ^ <2> mathbf

    ^ <2> >>> cuando la masa en reposo es m.

  • ar(pag) y b r † (p) < displaystyle b_^ < daga> ( mathbf

    )> son operadores de aniquilación y creación respectivamente para "partículas a" y "partículas b" respectivamente de momento pag Las "partículas b" son las antipartículas de las "partículas a". Los diferentes campos tienen diferentes "partículas a" y "partículas b". Para algunos campos, ayb son iguales.

  • tur(pag) y vr(pag) son no operadores que portan los aspectos vectoriales o espino del campo (cuando sea relevante).
  • p = (Mi p / c, p) < Displaystyle p = (Mi _ < mathbf

    > / c, mathbf

    )> es el cuatro-momento para un cuanto con momento pag . p x = p μ x μ < displaystyle px = p _ < mu> x ^ < mu >> denota un producto interno de cuatro vectores.

En el limite L → ∞, la suma se convertiría en una integral con la ayuda de la V oculta dentro de β. El valor numérico de β también depende de la normalización elegida para u r (p) < displaystyle u_( mathbf

)> y v r (p) < displaystyle v_( mathbf

)> .

Técnicamente, a r † (p) < displaystyle a_^ < daga> ( mathbf

)> es el adjunto hermitiano del operador ar(pag) en el espacio interior del producto de los vectores ket. La identificación de a r † (p) < displaystyle a_^ < daga> ( mathbf

)> y ar(pag) como operadores de creación y aniquilación proviene de comparar cantidades conservadas para un estado antes y después de que uno de estos haya actuado sobre él. a r † (p) < Displaystyle a_^ < daga> ( mathbf

)> se puede ver, por ejemplo, que agrega una partícula, porque agregará 1 al valor propio del operador de número de partícula a, y el momento de esa partícula debería ser pag ya que el valor propio del operador de impulso con valores vectoriales aumenta en esa cantidad. Para estas derivaciones, se comienza con expresiones para los operadores en términos de campos cuánticos. Que los operadores con † < displaystyle dagger> sean operadores de creación y el que no tenga operadores de aniquilación es una convención, impuesta por el signo de las relaciones de conmutación postuladas para ellos.

Un paso importante en la preparación para el cálculo en la teoría cuántica de campos perturbativos es separar los factores "operadores" ayb anteriores de sus correspondientes factores vectoriales o de espinor u y v. Los vértices de los gráficos de Feynman provienen de la forma en que uyv de diferentes factores en la interacción lagrangiana encajan, mientras que los bordes provienen de la forma en que as y bs deben moverse para poner los términos de la serie de Dyson en valores normales. formulario.

Términos de interacción y el enfoque integral del camino Editar

El lagrangiano también se puede derivar sin utilizar operadores de creación y aniquilación (el formalismo "canónico"), utilizando un enfoque de "ruta integral", iniciado por Feynman sobre la base del trabajo anterior de Dirac. Ver p. Ej. Formulación integral de ruta o QFT de A. Zee en pocas palabras. Ésta es una forma posible de derivar con relativa facilidad los diagramas de Feynman, que son representaciones pictóricas de términos de interacción. De hecho, se presenta una derivación rápida en el artículo sobre diagramas de Feynman.

Ahora podemos dar más detalles sobre los términos libres y de interacción antes mencionados que aparecen en el modelo estándar de densidad lagrangiana. Cualquiera de estos términos debe ser invariante tanto en el marco de referencia como en el calibre, de lo contrario las leyes de la física dependerían de una elección arbitraria o del marco de un observador. Por lo tanto, debe aplicarse la simetría global de Poincaré, que consiste en la simetría traslacional, la simetría rotacional y la invariancia del sistema de referencia inercial, fundamental para la teoría de la relatividad especial. La simetría de calibre local SU (3) × SU (2) × U (1) es la simetría interna. Los tres factores de la simetría de gauge juntos dan lugar a las tres interacciones fundamentales, después de que se hayan definido algunas relaciones apropiadas, como veremos.

Se puede encontrar una formulación completa del modelo estándar lagrangiano con todos los términos escritos juntos, p. aquí.

Términos cinéticos Editar

Una partícula libre se puede representar mediante un término de masa y una cinético término que se refiere al "movimiento" de los campos.

Campos de fermiones Editar

El término cinético para un fermión de Dirac es

donde las notaciones se llevan desde antes en el artículo. ψ puede representar cualquiera o todos los fermiones de Dirac en el modelo estándar. Generalmente, como se muestra a continuación, este término se incluye dentro de los acoplamientos (creando un término "dinámico" general).

Campos de calibre Editar

Para los campos de espín-1, primero defina el tensor de intensidad de campo

para un campo de calibre dado (aquí usamos A), con una constante de acoplamiento de calibre g. La cantidad f abc es la constante de estructura del grupo de calibre particular, definido por el conmutador

donde TI son los generadores del grupo. En un grupo abeliano (conmutativo) (como el U (1) que usamos aquí), ya que los generadores ta todos se desplazan entre sí, las constantes de la estructura se desvanecen. Por supuesto, este no es el caso en general: el modelo estándar incluye los grupos SU (2) y SU (3) no abelianos (estos grupos conducen a lo que se llama una teoría de calibre de Yang-Mills).

Necesitamos introducir tres campos de calibre correspondientes a cada uno de los subgrupos SU (3) × SU (2) × U (1).

  • El tensor de campo de gluones se denotará por G μ ν a < displaystyle G _ < mu nu> ^>, donde el índice a etiqueta elementos del 8 representación del color SU (3). La constante de acoplamiento fuerte se etiqueta convencionalmente gs (o simplemente g donde no hay ambigüedad). Las observaciones que llevaron al descubrimiento de esta parte del Modelo Estándar se discuten en el artículo sobre cromodinámica cuántica.
  • La notación W μ ν a < displaystyle W _ < mu nu> ^> se usará para el tensor de campo de calibre de SU (2) donde a pasa por los 3 generadores de este grupo. El acoplamiento se puede denotar gw o simplemente g. El campo de calibre se indicará con W μ a < displaystyle W _ < mu> ^>.
  • El tensor de campo de calibre para U (1) de hipercarga débil se indicará con Bμν , el acoplamiento por g ′, y el campo de calibre por Bμ .

El término cinético ahora se puede escribir simplemente como

donde las trazas están sobre los índices SU (2) y SU (3) ocultos en W y G respectivamente. Los objetos de dos índices son las intensidades de campo derivadas de W y G los campos vectoriales. También hay dos parámetros ocultos adicionales: los ángulos theta para SU (2) y SU (3).

Términos de acoplamiento Editar

El siguiente paso es "acoplar" los campos de calibre a los fermiones, permitiendo interacciones.

Sector electrodébil Editar

El sector electrodébil interactúa con el grupo de simetría U (1) × SU (2)L , donde el subíndice L indica acoplamiento solo a fermiones zurdos.

Donde Bμ es el campo de calibre U (1) YW es la hipercarga débil (el generador del grupo U (1)) Wμ es el campo de calibre SU (2) de tres componentes y los componentes de τ son las matrices de Pauli (generadores infinitesimales del grupo SU (2)) cuyos valores propios dan el isospín débil. Tenga en cuenta que tenemos que redefinir una nueva simetría U (1) de hipercarga débil, diferente de QED, para lograr la unificación con la fuerza débil. La carga eléctrica Q, tercer componente de isospin débil T3 (también llamado Tz, I3 o yoz ) e hipercarga débil YW están relacionados por

(o por el convención alternativa Q = T3 + YW ). La primera convención, utilizada en este artículo, es equivalente a la fórmula anterior de Gell-Mann-Nishijima. Hace que la hipercarga sea el doble de la carga promedio de un isomultiplet dado.

Entonces se puede definir la corriente conservada para isospin débil como

y para hipercarga débil como

donde j μ mi m < Displaystyle j _ < mu> ^ < rm >> es la corriente eléctrica y j μ 3 < displaystyle j _ < mu> ^ <3>> la tercera corriente isospin débil. Como se explicó anteriormente, estas corrientes se mezclan para crear los bosones observados físicamente, lo que también conduce a relaciones comprobables entre las constantes de acoplamiento.

Para explicar esto de una manera más simple, podemos ver el efecto de la interacción electrodébil seleccionando términos del lagrangiano. Vemos que la simetría SU (2) actúa sobre cada doblete de fermión (zurdo) contenido en ψ, por ejemplo

donde se entiende que las partículas son zurdas, y donde

Se trata de una interacción que corresponde a una "rotación en un espacio isospin débil" o, en otras palabras, una transformación entre eL y νeL a través de la emisión de un W - bosón. La simetría U (1), por otro lado, es similar al electromagnetismo, pero actúa sobre todos "débil hipercargado"fermiones (tanto para zurdos como para diestros) a través del neutro Z 0, así como el cargado fermiones a través del fotón.

Sector de la cromodinámica cuántica Editar

El sector de la cromodinámica cuántica (QCD) define las interacciones entre quarks y gluones, con simetría SU (3), generada por Ta . Dado que los leptones no interactúan con los gluones, no se ven afectados por este sector. El Lagrangiano de Dirac de los quarks acoplados a los campos de gluones viene dado por

donde U y D son los espinores de Dirac asociados con quarks de tipo up y down, y otras notaciones continúan de la sección anterior.

Términos masivos y el mecanismo de Higgs Editar

Términos masivos Editar

El mecanismo de Higgs Editar

La solución a ambos problemas proviene del mecanismo de Higgs, que involucra campos escalares (cuyo número depende de la forma exacta del mecanismo de Higgs) que (para dar la descripción más breve posible) son "absorbidos" por los bosones masivos como grados de libertad, y que se acoplan a los fermiones a través del acoplamiento Yukawa para crear lo que parecen términos de masa.

En el modelo estándar, el campo de Higgs es un escalar complejo del grupo SU (2)L :

donde los superíndices + y 0 indican la carga eléctrica (Q) de los componentes. La hipercarga débil ( YW ) de ambos componentes es 1.

La parte de Higgs del Lagrangiano es

La masa del bosón de Higgs en sí está dada por M H = 2 μ 2 ≡ 2 λ v 2. < Displaystyle M _ < rm > = < sqrt <2 mu ^ <2> >> equiv < sqrt <2 lambda v ^ <2> >>.>

donde GRAMOu, d son matrices de 3 × 3 de acoplamientos Yukawa, con el término ij dando el acoplamiento de las generaciones i y j.

Masas de neutrinos Editar

Como se mencionó anteriormente, la evidencia muestra que los neutrinos deben tener masa. Pero dentro del modelo estándar, el neutrino de la mano derecha no existe, por lo que incluso con un acoplamiento de Yukawa, los neutrinos permanecen sin masa. Una solución obvia [4] es simplemente agregar un neutrino diestro νR resultando en un Misa de Dirac término como de costumbre. Sin embargo, este campo debe ser un neutrino estéril, ya que al ser diestro pertenece experimentalmente a un singlete isospin ( T3 = 0) y también tiene carga Q = 0, lo que implica YW = 0 (ver arriba), es decir, ni siquiera participa en la interacción débil. Actualmente, la evidencia experimental de neutrinos estériles no es concluyente. [5]

Otra posibilidad a considerar es que el neutrino satisface el Ecuación de Majorana, que a primera vista parece posible debido a su nula carga eléctrica. En este caso, el término de masa es

donde C denota una carga conjugada (es decir, anti-) partícula, y los términos son consistentemente toda quiralidad izquierda (o derecha) (tenga en cuenta que una proyección de quiralidad izquierda de una antipartícula es un campo de la mano derecha) se debe tener cuidado aquí debido a a veces se utilizan notaciones diferentes). Aquí estamos esencialmente cambiando entre neutrinos zurdos y antineutrinos diestros (además es posible, pero no necesario que los neutrinos sean su propia antipartícula, por lo que estas partículas son las mismas). Sin embargo, para los neutrinos de quiralidad izquierda, este término cambia la hipercarga débil en 2 unidades - no es posible con la interacción estándar de Higgs, lo que requiere que el campo de Higgs se extienda para incluir un triplete adicional con hipercarga débil = 2 [4] - mientras que para la derecha- neutrinos de quiralidad, no se necesitan extensiones de Higgs. Para los casos de quiralidad izquierda y derecha, los términos de Majorana violan el número de leptones, pero posiblemente a un nivel más allá de la sensibilidad actual de los experimentos para detectar tales violaciones.

Es posible incluir ambas cosas Términos de masa de Dirac y Majorana en la misma teoría, que (en contraste con el enfoque de solo masa de Dirac) puede proporcionar una explicación "natural" para la pequeñez de las masas de neutrinos observadas, al vincular los neutrinos de la mano derecha con aún desconocidos física alrededor de la escala GUT [6] (ver mecanismo de balancín).

Dado que en cualquier caso se deben postular nuevos campos para explicar los resultados experimentales, los neutrinos son una puerta obvia para buscar la física más allá del Modelo Estándar.

Esta sección proporciona más detalles sobre algunos aspectos y material de referencia. Aquí también se proporcionan términos lagrangianos explícitos.

Contenido del campo en detalle Editar

El modelo estándar tiene los siguientes campos. Estos describen uno Generacion de leptones y quarks, y hay tres generaciones, por lo que hay tres copias de cada campo fermiónico. Por simetría CPT, hay un conjunto de fermiones y antifermiones con paridad y cargas opuestas. Si un fermión zurdo abarca alguna representación, su antipartícula (antifermión diestro) abarca la representación dual [7] (tenga en cuenta que 2 ¯ = 2 < displaystyle < bar < mathbf <2> >> = < mathbf < 2 >>> para SU (2), porque es pseudo-real). La columna "representación"indica bajo qué representaciones de los grupos de indicadores que cada campo transforma, en el orden (SU (3), SU (2), U (1)) y para el grupo U (1), se enumera el valor de la hipercarga débil Hay dos veces más componentes de campo de leptones para zurdos que componentes de campo de leptones para diestros en cada generación, pero un número igual de componentes de campo de quark para zurdos y para quark para diestros.

Contenido de campo del modelo estándar
Giro 1: los campos del indicador
Símbolo Cargo asociado Grupo Acoplamiento Representación [8]
B Hipercarga débil U (1)Y g ′ < displaystyle g '> o g 1 < displaystyle g_ <1>> (1, 1, 0) < Displaystyle ( mathbf <1>, mathbf <1>, 0)>
W Isospin débil SU (2)L g w < Displaystyle g_> o g 2 < displaystyle g_ <2>> (1, 3, 0) < displaystyle ( mathbf <1>, mathbf <3>, 0)>
GRAMO color SU (3)C g s < Displaystyle g_> o g 3 < displaystyle g_ <3>> (8, 1, 0) < Displaystyle ( mathbf <8>, mathbf <1>, 0)>
Spin 1 ⁄ 2 - los fermiones
Símbolo Nombre Número bariónico Número de Lepton Representación
q L < estilo de visualización q _ < rm >> Quark zurdo 1 3 < Displaystyle textstyle < frac <1> <3> >> 0 (3, 2, 1 3) < displaystyle ( mathbf <3>, mathbf <2>, textstyle < frac <1> <3>>)>
u R < Displaystyle u _ < rm >> Quark diestro (arriba) 1 3 < Displaystyle textstyle < frac <1> <3> >> 0 (3, 1, 4 3) < displaystyle (< mathbf <3>>, mathbf <1>, textstyle < frac <4> <3>>)>
d R < Displaystyle d _ < rm >> Quark diestro (abajo) 1 3 < Displaystyle textstyle < frac <1> <3> >> 0 (3, 1, - 2 3) < displaystyle (< mathbf <3>>, mathbf <1>, - textstyle < frac <2> <3>>)>
ℓ L < estilo de visualización ell _ < rm >> Lepton zurdo 0 1 (1, 2, - 1) < displaystyle ( mathbf <1>, mathbf <2>, -1)>
ℓ R < estilo de visualización ell _ < rm >> Lepton diestro 0 1 (1, 1, - 2) < displaystyle ( mathbf <1>, mathbf <1>, -2)>
Spin 0 - el bosón escalar
Símbolo Nombre Representación
H bosón de Higgs (1, 2, 1) < Displaystyle ( mathbf <1>, mathbf <2>, 1)>

Contenido de fermiones Editar

Esta tabla se basa en parte en datos recopilados por Particle Data Group. [9]

  1. ^ aBC Estos no son cargos abelianos ordinarios, que se pueden sumar, sino que son etiquetas de representaciones grupales de grupos de Lie.
  2. ^ aBC Mass es realmente un acoplamiento entre un fermión zurdo y un fermión diestro. Por ejemplo, la masa de un electrón es en realidad un acoplamiento entre un electrón zurdo y un electrón diestro, que es la antipartícula de un positrón zurdo. Además, los neutrinos muestran grandes mezclas en su acoplamiento de masa, por lo que no es exacto hablar de masas de neutrinos en la base del sabor o sugerir un antineutrino de electrones zurdos.
  3. ^ aBCDmiF El modelo estándar asume que los neutrinos no tienen masa. Sin embargo, varios experimentos contemporáneos demuestran que los neutrinos oscilan entre sus estados de sabor, lo que no podría suceder si todos no tuvieran masa. Es sencillo extender el modelo para que se ajuste a estos datos, pero hay muchas posibilidades, por lo que los estados propios de la masa aún están abiertos. Ver masa de neutrinos.
  4. ^ aBCDmiF W.-M. Yao et al. (Grupo de datos de partículas) (2006). "Revisión de la física de partículas: masa de neutrinos, mezcla y cambio de sabor" (PDF). Revista de física G. 33: 1. arXiv: astro-ph / 0601168. Código Bibliográfico: 2006JPhG. 33. 1Y. doi: 10.1088 / 0954-3899 / 33/1/001.
  5. ^ aBCD Las masas de bariones y hadrones y varias secciones transversales son las cantidades medidas experimentalmente. Dado que los quarks no se pueden aislar debido al confinamiento de QCD, se supone que la cantidad aquí es la masa del quark en la escala de renormalización de la escala de QCD.

Parámetros libres Editar

Al escribir el lagrangiano más general con neutrinos sin masa, se encuentra que la dinámica depende de 19 parámetros, cuyos valores numéricos se establecen experimentalmente. Las extensiones sencillas del modelo estándar con neutrinos masivos necesitan 7 parámetros más, 3 masas y 4 parámetros de matriz de PMNS, para un total de 26 parámetros. [10] Los valores de los parámetros de neutrinos aún son inciertos. Los 19 parámetros determinados se resumen aquí.

El valor de la energía de vacío (o más precisamente la escala de renormalización utilizada para calcular esta energía) también puede tratarse como un parámetro libre adicional. La escala de renormalización puede identificarse con la escala de Planck o ajustarse para que coincida con la constante cosmológica observada, sin embargo, ambas opciones son problemáticas. [11]

Simetrías adicionales del modelo estándar Editar

Desde el punto de vista teórico, el Modelo Estándar exhibe cuatro simetrías globales adicionales, no postuladas al comienzo de su construcción, denominadas colectivamente simetrías accidentales, que son simetrías globales continuas U (1). Las transformaciones que dejan el invariante lagrangiano son:

La primera regla de transformación es abreviada, lo que significa que todos los campos de quarks de todas las generaciones deben rotarse simultáneamente en una fase idéntica. Los campos METROL, TL y (μ R) c, (τ R) c < Displaystyle ( mu _ < rm >)^, ( tau _ < rm >)^> son los análogos de segunda (muon) y tercera (tau) generación de miL y (e R) c < displaystyle (e _ < rm >)^> campos.

De manera similar, a cada electrón y su neutrino asociado se le asigna un número de electrones de +1, mientras que el antielectrón y el antineutrino asociado tienen un número de electrones -1. De manera similar, a los muones y sus neutrinos se les asigna un número de muones de +1 y a los leptones tau se les asigna un número de leptones tau de +1. El modelo estándar predice que cada uno de estos tres números debe conservarse por separado de una manera similar a la forma en que se conserva el número bariónico. Estos números se conocen colectivamente como números de familia de leptones (LF). (Este resultado depende de la suposición hecha en el Modelo Estándar de que los neutrinos no tienen masa. Experimentalmente, las oscilaciones de neutrinos demuestran que los números individuales de electrones, muones y tau no se conservan). [13] [14]

Además de las simetrías accidentales (pero exactas) descritas anteriormente, el Modelo Estándar exhibe varias simetrías aproximadas. Estos son la "simetría de custodia SU (2)" y la "simetría de sabor de quark SU (2) o SU (3)".

Simetrías del Modelo Estándar y leyes de conservación asociadas
Simetría Grupo de mentiras Tipo de simetría Ley de conservación
Poincaré Traducciones⋊SO (3,1) Simetría global Energía, impulso, impulso angular
Calibre SU (3) × SU (2) × U (1) Simetría local Carga de color, Isospin débil, Carga eléctrica, Hipercarga débil
Fase bariónica U (1) Simetría global accidental Número bariónico
Fase de electrones U (1) Simetría global accidental Número de electrones
Fase de muones U (1) Simetría global accidental Número de muones
Fase tau U (1) Simetría global accidental Número tau

La simetría U (1) Editar

Para los leptones, el grupo de calibre se puede escribir SU (2)l × U (1)L × U (1)R . Los dos factores U (1) se pueden combinar en U (1)Y × U (1)l donde l es el número de leptones. La medición del número de leptones se descarta experimentalmente, dejando solo el posible grupo de medición SU (2)L × U (1)Y . Un argumento similar en el sector de los quarks también da el mismo resultado para la teoría electrodébil.

Los acoplamientos de corriente cargada y neutra y la teoría de Fermi Editar

Estas corrientes cargadas son precisamente las que entraron en la teoría de Fermi de la desintegración beta. La acción contiene la pieza actual de carga.

Para una energía mucho menor que la masa del bosón W, la teoría efectiva se convierte en la interacción de contacto corriente-corriente de la teoría de Fermi, 2 2 GFJ μ + J μ - < displaystyle 2 < sqrt <2>> G _ < rm >


4.5: Revisión de SU (2) y vista previa de la cuantificación - Matemáticas

Intereses de investigación

Mi investigación es en física matemática e involucra grupos de Lie, análisis funcional, probabilidad y geometría. Específicamente, estudio las generalizaciones de la transformada de Segal-Bargmann. La idea es la siguiente. En la mecánica clásica, uno tiene típicamente un "espacio de configuración", que es una variedad METRO. Entonces uno tiene el `` espacio de fase '' asociado, que es el paquete cotangente de METRO. El paquete cotangente surge porque las ecuaciones de Newton son de segundo orden en el tiempo: una ecuación de segundo orden en METRO se convierte en una ecuación de primer orden en el paquete cotangente de METRO. En el sistema cuántico correspondiente, se intenta construir un espacio de Hilbert asociado al sistema clásico. El espacio más simple de este tipo es el & quot; espacio de Hilbert de posición & quot; que es un espacio de funciones cuadradas integrables sobre METRO con respecto a alguna medida. Alternativamente, uno puede buscar alguna estructura compleja agradable en el paquete cotangente de METRO y luego construir un espacio de función holomórfica integrable al cuadrado en el paquete cotangente, nuevamente con respecto a alguna medida (con suerte natural). Dicho espacio se denomina espacio de Segal-Bargmann (generalizado). Un mapa unitario natural entre la posición del espacio de Hilbert y el espacio de Segal-Bargmann se denomina transformada de Segal-Bargmann. Asociado a tal transformada de Segal-Bargmann hay una colección de estados cuánticos especiales llamados `` estados coherentes ''.

Segal y Bargmann mismos trabajaron en el caso en el que el espacio de configuración METRO es R ^ n y el espacio de fase (paquete cotangente de METRO) se identifica con C ^ n. En mi Ph.D. tesis, presenté una generalización de esta en la que el espacio de configuración METRO es un grupo de Lie compacto K y el espacio de fase es la & quotcomplejificación & quot de K. (Por ejemplo, puede tomar K = SU (norte), en cuyo caso la complexificación es el grupo complejo SL (norte,C). La complejidad de K también se puede identificar con el paquete cotangente de K.) Este trabajo fue ampliado por Stenzel al caso en el que METRO es un espacio simétrico compacto arbitrario, por ejemplo, METRO podría ser una esfera de dimensión arbitraria. Consulte el artículo de la encuesta, Publicación 11 en mi página de publicaciones, para obtener una descripción general de estos y otros resultados relacionados.

Debo señalar que hay muchos otros tipos de generalizaciones, en diferentes direcciones, del trabajo de Segal y Bargmann, en particular (1) la noción de Perelomov de estados coherentes generalizados y (2) el trabajo, comenzando con Berezin y Rawnsley, sobre la cuantificación de variedades de Kahler. (El programa de cuantificación geométrica se cruza directamente con lo que estoy trabajando, ver más abajo). Por ejemplo, una búsqueda en MathSciNet con & quot; estado coherente & quot en la línea de título da (a noviembre de 2003) 1086 resultados.

Conexiones con el análisis estocástico

La motivación de mi trabajo de tesis fue el trabajo de Leonard Gross en análisis estocástico. Gross demostró un resultado que ahora se conoce como el teorema de la ergodicidad de Gross (ver, por ejemplo, la Publicación 17 en mi página de publicaciones). Como consecuencia de su demostración, Gross estableció un análogo en un grupo de Lie compacto de la descomposición de Fock (tensor simétrico). Esto lo llevó a sugerirme que buscara una versión de la transformada de Segal-Bargmann en un grupo de Lie compacto. Aunque estaba motivado por el trabajo de Gross en el análisis estocástico, mi tesis en sí era puramente "de dimensión finita" y no tenía ningún análisis estocástico.
Más tarde, Gross y Paul Malliavin encontraron una conexión directa entre el teorema de la ergodicidad de Gross y la transformada de Segal-Bargmann generalizada para un grupo compacto. Ambar Sengupta y yo ampliamos esta conexión; consulte las Publicaciones 5 y 8.

Conexiones con la teoría cuantificada de Yang-Mills

Mientras tanto, Ken Wren, entonces estudiante de Klaas Landsman en la Universidad de Cambridge, estaba considerando el problema de la cuantificación canónica de la teoría de Yang-Mills en un cilindro del espacio-tiempo. Este problema se ha estudiado muchas veces de muchas formas diferentes a lo largo de los años, pero Wren utilizó el enfoque de "inducción de Rieffel" propuesto por Landsman. En este problema, uno tiene un espacio de configuración de dimensión infinita de "conexiones" sobre el círculo espacial. Uno luego "reduce" por el grupo de transformaciones de calibre (basadas). Una característica notable de este sistema es que el sistema reducido, que consiste en conexiones, transformaciones de módulo de calibre, es de dimensión finita. Específicamente, el espacio de conexiones transformaciones modulo gauge se puede identificar con una sola copia del grupo de estructura compacta. K.

Al considerar la teoría cuántica, Wren usa estados coherentes para el espacio de conexiones y luego intenta `` proyectarlos '' en el subespacio (inexistente) `` invariante de calibre ''. Se supone que esta `` proyección '' se logra mediante la integración con respecto al (también inexistente) & quot; Medida de haar & quot; en el grupo de dimensiones infinitas de transformaciones de calibre. Aunque esto parece muy mal definido, Wren fue capaz de combinar un factor & quot gaussiano & quot en las integrales relevantes con la medida de Haar ficticia para obtener una integral bien definida que involucra la medida de Wiener en el grupo de transformaciones de calibre y así obtener una medida & quot proyectada & quot familia de estados coherentes. Sorprendentemente, estos estados coherentes proyectados obtenidos por Wren resultan coincidir con los estados coherentes en K procedente de mi transformada de Segal-Bargmann generalizada. Así, los estados coherentes que introduje desde un punto de vista puramente de dimensión finita resultan ser interpretables como estados coherentes para la teoría de Yang-Mills sobre un cilindro de espacio-tiempo. Consulte mi revisión del artículo de Wren en Mathematical Reviews [99g: 58019] para obtener más información.

Bruce Driver y yo elaboramos las ideas de Wren, utilizando una "proyección" algo diferente para obtener no sólo los estados coherentes en sí mismos, sino también la transformada de Segal-Bargmann asociada a partir del método de proyección. Vea las Publicaciones 6 y 12 en mi página de publicaciones.

Más sobre estados coherentes y conexiones con la gravedad cuántica y la física de partículas

En otra dirección, ha habido varios intentos de aplicar la transformada de Segal-Bargmann generalizada en física. Esto comenzó en un artículo de A. Ashtekar, J. Lewandowski, D. Marolf, J. Mour & atildeo y T. Thiemann [J. Funct. Anal. 135 (1996), 519-551], en el que los autores unen la transformada de Segal-Bargmann generalizada para copias múltiples de SU (2) con el fin de proporcionar una transformada de tipo Segal-Bargmann para el enfoque Ashtekar de la gravedad cuántica. Esto fue diseñado para hacer frente a ciertas "condiciones de la realidad" en el enfoque Ashtekar.

En un desarrollo relacionado, T. Thiemann ha desarrollado un enfoque de variables reales puras para la gravedad cuántica, llamado "dinámica de espín cuántico" descrito en una serie de artículos en Classical and Quantum Gravity. Desde entonces, Thiemann y sus coautores han estado tratando de establecer si esa teoría se reduce a la relatividad general ordinaria en el límite clásico. Para hacer esto, han estado tratando de construir estados coherentes que se aproximen a un estado de relatividad general clásica juntando "mis" estados coherentes para varias copias de SU (2) asociadas a gráficos espaciales. Esto ha implicado, entre otras cosas, investigar las propiedades semiclásicas de mis estados coherentes en el caso SU (2). [Véanse los artículos de Thiemann y sus coautores sobre los estados coherentes de la teoría del campo de calibre.]

En el camino, Thiemann desarrolló una nueva forma de pensar acerca de estos estados coherentes generalizados, que él llama el método del & quotcomplexificador & quot.Este método tiene el potencial de producir muchos otros ejemplos de estados coherentes generalizados (aunque esta posibilidad aún no se ha explorado con gran detalle) e incluso en los casos en los que ya se conocen los estados coherentes, ofrece un punto de vista alternativo interesante. Desde otra dirección, los físicos polacos Kowalski y Rembielinski descubrieron independientemente los estados coherentes de tipo Hall-Stenzel para el caso de una 2-esfera, utilizando un método de "descomposición polar". [Ver J. Phys. A 33 (2000), 6035--6048 y J. Math. Phys. 42 (2001), 4138-4147.] Jeff Mitchell y yo nos propusimos comprender mejor tanto el método complejante como el método de descomposición polar. Consideramos esto para el caso de una n-esfera y mostramos cómo los enfoques de Thiemann y Kowalski y Rembieli_ski encajan juntos en este caso. También proporcionamos pruebas elementales autónomas de todos los resultados relevantes en este caso e investigamos el límite de radio grande de los estados coherentes. Vea las publicaciones 14, 16 y 30 en mi página de publicaciones. Ha habido bastantes otros artículos en la línea del trabajo de Thiemann, que hacen uso de los estados coherentes del núcleo de calor en SU ​​(2), en la literatura sobre gravedad cuántica.

Conexiones con cuantificación geométrica

La cuantificación geométrica [por ejemplo, el libro de N. M. J. Woodhouse] proporciona un método para construir espacios cuánticos de Hilbert a partir de sistemas clásicos. Un ejemplo estándar ahora es la cuantificación geométrica es la construcción del espacio Segal-Bargmann para C ^ n usando cuantificación geométrica con una & quotpolarización compleja & quot. También se puede construir la transformada Segal-Bargmann ordinaria por medio del & quot; mapa de apareamiento & quot de cuantificación geométrica. A primera vista, el método que utilizo para construir la transformada de Segal-Bargmann generalizada para un grupo de Lie compacto parece no tener ninguna relación con la cuantificación geométrica. Utilizo métodos de núcleo de calor y la cuantificación geométrica aparentemente no sabe nada sobre los núcleos de calor.

Sin embargo, tiene sentido aplicar la cuantificación geométrica en el entorno de un grupo de Lie compacto y ver cómo se comparan los resultados con mi enfoque de núcleo de calor. Realicé este cálculo en la Publicación 15 y, sorprendentemente, los dos enfoques dan exactamente los mismos resultados. Este misterioso resultado se ha entendido mejor gracias al trabajo de Florentino, Matias, Mourao y Nunes [J. Funct. Anal., 2005 y 2006] y el trabajo reciente de Kirwin, Mourao y Nunes [arXiv: 1203.4767 mathDG].

Este resultado, junto con los resultados descritos anteriormente en relación con la cuantificación de la teoría bidimensional de Yang-Mills, también plantea preguntas interesantes sobre la relación entre la cuantificación y la reducción. Consulte las publicaciones 11 y 12 para obtener más información sobre este punto.

Espacios holomorfos de Sobolev

En un artículo reciente, Wicharn Lewkeeratiyutkul y yo hemos considerado cómo la suavidad de una función f en un grupo de Lie compacto K afecta el comportamiento de la transformada de Segal-Bargmann de f. Hemos encontrado que cada derivada que posee f da una cantidad específica de mejora en el comportamiento en el infinito de la transformada. Esto conduce a una condición puntual necesaria y suficiente que caracteriza la imagen bajo la transformada de Segal-Bargmann del espacio de funciones suaves en K. Las demostraciones implican una noción de espacios de Sobolev quotholomorphic sobre la complexificación de K, junto con una versión holomórfica del teorema de incrustación de Sobolev. Consulte la Publicación 19.

El caso no compacto

Más recientemente, he estado trabajando con Jeff Mitchell para construir algo como una transformada de Segal-Bargmann para espacios simétricos no compactos. En el trabajo de Stenzel sobre Segal-Bargmann para espacios simétricos compactos, cada fibra en el haz cotangente de un espacio simétrico compacto se identifica con el espacio simétrico "dual" no compacto. Por ejemplo, en la transformada para la n-esfera, cada fibra en el haz cotangente se identifica con el espacio hiperbólico n-dimensional. Por lo tanto, es muy natural intentar invertir los roles de los espacios simétricos compactos y no compactos para obtener una transformación que comience con una función en un espacio simétrico no compacto como el espacio hiperbólico.

Desafortunadamente, esta buena idea se mete en problemas casi de inmediato: se obtienen todo tipo de singularidades en el caso no compacto que no surgen en el caso compacto. Si uno pudiera simplemente cerrar los ojos y pretender que estas singularidades no existen, entonces podría argumentar formalmente precisamente como en el caso compacto. Lo que sale mal no es tanto que las pruebas del caso compacto no se cumplan, sino que las afirmaciones del caso compacto no tienen sentido, debido a estas singularidades. He estado buscando durante años formas de conseguir que estas singularidades se cancelen o desaparezcan. Jeff Mitchell y yo finalmente hicimos algunos avances en este problema, como se describe en las Publicaciones 21, 23, 24 y 35. B. Kr & oumltz, G. & Oacutelafsson y R. Stanton adoptaron un enfoque complementario a este problema. Transformada de núcleo de calor en espacios simétricos de Riemann de tipo no compacto. En t. Matemáticas. Res. No. 2005, no. 22, 1307 y ndash1329].

Estructuras complejas

Una parte clave de la construcción de un espacio de Hilbert de tipo holomórfico es la construcción de la estructura compleja apropiada en el espacio de fase clásico. En el caso del paquete cotangente de una variedad riemanniana, una hermosa construcción de estructuras tan complejas es la & quot; estructura compleja adaptada a la cuota & quot; introducida independientemente por Guillemin y Stenzel y por Lempert y Szoke. Will Kirwin y yo hemos dado una nueva forma de pensar sobre estas estructuras, utilizando el & quot; flujo geodésico de tiempo imaginario & quot. (Consulte la Publicación 28.) Luego, hemos utilizado la idea de flujos de tiempo imaginario para generalizar la noción de estructura compleja adaptada a los flujos que incorporan un campo magnético en la variedad base. (Vea la Publicación 31.)

El grande-norte límite

Es natural intentar tomar el límite de la transformada de Segal-Bargmann en algún grupo de Lie compacto ya que la dimensión tiende al infinito. Podemos considerar, por ejemplo, la familia anidada de grupos unitarios U (N) y tratar de que N tienda al infinito. El trabajo de Maria Gordina [Potential Analysis y J. Functional Analysis, 2000] muestra que el enfoque más obvio de este límite no funciona. Sin embargo, el trabajo de Ph. Biane [J. Funct. Analysis 1997] sugiere una forma en la que se puede obtener algo interesante en el límite, reescalando la métrica en U (N) como una función de N de una manera apropiada. El trabajo reciente con B. Driver y T. Kemp muestra cómo funciona esto en detalle. Consulte las publicaciones 32 y 34.

La ecuación de Makeenko-Migdal

En el trabajo con Bruce Driver, Franck Gabriel y Todd Kemp, he explorado la ecuación de Makeenko-Migdal para la teoría de Yang-Mills sobre el plano (Publicación 36) y sobre una superficie compacta arbitraria (Publicación 37). En el caso del avión, damos pruebas nuevas y breves de la ecuación de Makeenko-Migdal, basándose en las ideas de la demostración original de Thierry Levy. En la Publicación 37, proporcionamos la primera prueba rigurosa de la ecuación de Makeenko-Migdal para superficies generales.


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El Anales de Matemáticas, una de las revistas de matemáticas más importantes del mundo, se alojará en la plataforma Project Euclid a partir del año de publicación 2022. Los Anales son publicados por el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Princeton con la cooperación del Instituto de Estudios Avanzados. Se distribuirá en asociación con Duke University Press.

Project Euclid y SPIE anuncian una asociación de tecnología editorial

Project Euclid y SPIE, la sociedad internacional de óptica y fotónica, anunciaron hoy una asociación de tecnología editorial para lanzar una nueva plataforma Project Euclid a fines de 2020. Project Euclid, administrado conjuntamente por Cornell University Library y Duke University Press, es un host y agregador en línea de más de 100 revistas académicas, series de libros y actas de congresos en matemáticas y estadística. SPIE desarrollará y potenciará la nueva plataforma de Project Euclid & rsquos en un modelo tecnológico innovador que reúne a organizaciones sin fines de lucro para el desarrollo compartido de una importante infraestructura editorial.

Durante el próximo año, Project Euclid se comunicará estrechamente con bibliotecarios, investigadores, editores y servicios de descubrimiento para garantizar una migración de plataforma sin problemas.


¿Qué son las matemáticas? : Un enfoque elemental de ideas y métodos

Escrito para principiantes y académicos, para estudiantes y profesores, para filósofos e ingenieros, ¿Qué son las matemáticas ?, la segunda edición es una brillante colección de gemas matemáticas que ofrece un retrato entretenido y accesible del mundo matemático. Cubriendo todo, desde los números naturales y el sistema numérico hasta las construcciones geométricas y la geometría proyectiva, desde la topología y el cálculo hasta cuestiones de principios y la hipótesis del continuo, esta fascinante encuesta permite a los lectores profundizar en las matemáticas como un todo orgánico en lugar de un ejercicio vacío en la resolución de problemas. . Con capítulos en gran parte independientes entre sí y secciones que van de las discusiones básicas a las más avanzadas, los lectores pueden elegir fácilmente áreas de interés particular sin afectar su comprensión de las partes posteriores.

Actualizada con un nuevo capítulo de Ian Stewart, ¿Qué son las matemáticas ?, la segunda edición ofrece nuevos conocimientos sobre los desarrollos matemáticos recientes y describe las pruebas del teorema de los cuatro colores y el último teorema de Fermat, problemas que aún estaban abiertos cuando Courant y Robbins escribieron esta obra maestra, pero las que desde entonces se han resuelto.

Las matemáticas formales son como la ortografía y la gramática: se trata de la aplicación correcta de las reglas locales. Las matemáticas significativas son como el periodismo: cuentan una historia interesante. Pero a diferencia de algunos periodistas, la historia tiene que ser cierta. Las mejores matemáticas son como la literatura: le da vida a una historia ante sus ojos y lo involucra en ella, intelectual y emocionalmente. What is Mathematics es como una excelente obra literaria: abre una ventana al mundo de las matemáticas para cualquier persona interesada en verla.


Artículos de David Vogan (. Y sus amigos)

El grupo de trabajo de AIM "Representaciones y geometría no conmutativa", vea este enlace, tiene una presentación Zoom semanal de media hora llamada "Lo que hago". Se supone que cada presentador expondrá sobre este tema, con miras a dilucidar intereses comunes. Decidí que lo que hago es restringir las representaciones de grupos reductivos reales a subgrupos compactos máximos. Las diapositivas fueron tomadas de diapositivas que he usado en (muchas) ocasiones anteriores, y dejé muchas diapositivas antiguas en el paquete sin intención de presentarlas. Entregado (a través de Zoom) el 15 de marzo de 2021.

Representaciones del grupo Weyl y células Harish-Chandra

Revisión del trabajo de Joseph sobre ideales primitivos, variedades asociadas y celdas izquierdas para módulos de mayor peso. Descripción detallada de Lusztig de celdas izquierdas y algunos indicios de extensiones a los módulos Harish-Chandra. Entregado (a través de Zoom) en el Instituto Weizmann el 10 de marzo de 2021.

Grupos de mentiras y representaciones

Una introducción muy rápida y amplia a lo que tratan los grupos de Lie y la teoría de la representación, y qué tipo de preguntas pueden responder. Entregado (a través de Zoom) en la Universidad de Soochow el 20 de octubre de 2020.

Representaciones unitarias y tipos K de la capa inferior

De una conferencia que presenta el "método de la capa inferior" para clasificar representaciones unitarias. Las diapositivas están muy incompletas, espero poder agregarlas más adelante. Impartido en el "Mini-taller de Rutgers sobre el Problema Dual Unitario" el 29 de enero de 2020 organizado por Steve Miller.

Versión del 31 de enero de 2020
bottomHO.pdf

Conjetura local de Langlands para grupos finitos de tipo Lie

Ideas para una clasificación de Langlands de representaciones de un grupo finito de Chevalley y conexiones con Langlands locales p-ádicos.

Índice de Dirac y ciclos asociados para módulos Harish-Chandra Junto con Salah Mehdi, Pavle Pandzic y Roger Zierau

Demuestra la relación entre el índice del operador de Dirac (para representaciones de grupos reductivos reales) y las multiplicidades de ciertas órbitas en el ciclo asociado de la representación, conjeturado en el artículo con Mehdi y Pandzic a continuación.

Aparecer en Avances en Matemáticas

Versión del 11 de octubre de 2019, 30 páginas.
mpvzREV3.pdf

Variedades asociadas para grupos de mentiras reductivas reales Junto con Jeffrey Adams

Proporcionamos un algoritmo para calcular la variedad asociada de cualquier módulo Harish-Chandra simple para un grupo reductor lineal. Adams ha implementado el algoritmo en el software atlas.

Aparecer en Matemáticas puras y aplicadas trimestralmente.

Versión del 9 de febrero de 2019, 76 páginas.
AdamsVoganPAMQ.pdf
Versión del 29 de marzo de 2021, 77 páginas con muchos errores tipográficos corregidos, gracias a los cuidadosos árbitros.
AdamsVoganPAMQarx2.pdf

Firmas para representaciones de dimensión finita de grupos de Lie reductivos reales Junto con Daniil Kalinov y Christopher Xu

Muchas representaciones de dimensión finita de un grupo de Lie reductivo real llevan formas hermitianas invariantes. Damos una fórmula simple para la firma, análoga a la fórmula de dimensión de Weyl.

Versión del 10 de septiembre de 2018, 36 páginas.
finitesig.pdf

Firmas para representaciones de dimensión finita

Diapositivas para una charla basada en el documento anterior presentado para el Día de la Teoría de la Mentira en el departamento de matemáticas de la Universidad Nacional de Singapur, el 22 de marzo de 2019.

Cuantificación, método de la órbita y representaciones unitarias

Laplacianos en esferas Junto con Henrik Schlichtkrull y Peter Trapa

Para cada forma de escribir una esfera como un espacio homogéneo G / H para grupos compactos, recuerda la descomposición G de L ^ 2 (G / H) y luego examina las consecuencias para otras formas reales de G / H.

Sao Paulo J. Math. Sci. 12 (2018), no. 2, 295-358

Versión del 3 de marzo de 2018, 49 páginas.
esferas.pdf

El tamaño de las representaciones de dimensión infinita.

Basado en las conferencias de Takagi a continuación.

Jpn. J. Math. 12 (2017), no. 2, 175-210.

Versión del 2 de agosto de 2017 (pequeñas correcciones), 35 páginas.
takagiB.pdf

El tamaño de las representaciones de dimensión infinita.

Diapositivas para dos charlas en las 18 ° Conferencias Takagi en la Universidad de Tokio del 5 al 6 de noviembre de 2016. El tema fue definir y calcular la dimensión Gelfand-Kirillov para representaciones, especialmente de grupos reductivos de Lie.

Versión del 7 de noviembre de 2016.
sizeI.pdf
sizeII.pdf
Versión entregada en la conferencia CIRM "Cuantización geométrica y aplicaciones". 12 de octubre de 2018.
sizeCIRMHO.pdf

Principio de traducción para el índice de Dirac Conjunto con Salah Mehdi y Pavle Pandzic

Formula una relación conjetural entre el índice del operador de Dirac (para representaciones de grupos reductivos reales) y las multiplicidades de ciertas órbitas en el ciclo asociado de la representación.

Amer. J. Math. 139 (2017), no. 6, 1465-1491.

Parámetros de Langlands y representaciones de dimensión finita

Diapositivas para la charla en el taller "Nuevos desarrollos en la teoría de la representación", IMS, Singapur. El tema es el uso de las ideas de Langlands para describir representaciones de dimensiones finitas de grupos compactos: subgrupos compactos máximos de grupos sobre campos locales y grupos finitos de tipo Lie.

Versión del 20 de marzo de 2016.
finiteLanglandsHO.pdf
Versión de la conferencia TORA X del 7 de abril de 2019, corrigiendo algunos errores moderadamente graves en las formulaciones de las principales conjeturas.
finiteLanglandsTORAHO.pdf

Clases conjugadas y representaciones grupales

Diapositivas para hablar en las Reuniones Conjuntas de Matemáticas en Seattle, 7 de enero de 2016. El tema es la relación entre las dos cosas en el título, con énfasis en el "método de órbitas coadjuntas" de Kirillov-Kostant (pero con una discusión del caso de grupos).

El "retiro" en el nombre del archivo se refiere a la oficina del ex presidente de AMS.

Versión del 7 de enero de 2016.
retiringHO.pdf
Versión dirigida a estudiantes universitarios, 26 de febrero de 2016.
jubilacionENCHO.pdf

Parámetros para representaciones retorcidas Junto con Jeff Adams

Escribe muy concretamente los datos necesarios para especificar una representación de un grupo reductor desconectado, en la forma necesaria para el algoritmo de unitaridad del artículo de Adams-van Leeuwen-Trapa-Vogan a continuación.

51-116 pulg. Representaciones de grupos reductivos, Monica Nevins y Peter Trapa, eds. Birkh "auser (Springer) 2015.

Versión del 15 de agosto de 2015, 65 páginas.
twistedparams.pdf

Erratas para "Parámetros para representaciones retorcidas" Junto con Jeff Adams

Algunas de las fórmulas más complicadas del artículo anterior resultaron contener errores de signos: cuando se implementaron en el software del atlas, condujeron a cálculos incorrectos de representaciones unitarias. Estas notas se escribieron mientras se depuraba el software. Ahora (desde febrero de 2017) estamos muy seguros de que el software calcula correctamente las representaciones unitarias, lo que es cuestionable es si anoté todos los errores de signos que encontramos.

Versión del 14 de enero de 2017, 15 páginas.
errata.pdf

Ramificación a subgrupos compactos máximos

Diapositivas para hablar en la Conferencia del 70º aniversario de Roger Howe en Yale, del 1 al 5 de junio de 2015. El tema es un algoritmo para calcular la variedad asociada de un módulo irreducible de Harish-Chandra.

Charla relacionada Gavillas coherentes sobre conos nilpotentes 22 de junio de 2015 y 4 de enero de 2016, 20 páginas.
lusztig70HO.pdf

Representaciones contrarias y caracterización de la correspondencia local de Langlands Junto con Jeff Adams

Aborda una pregunta planteada por Kevin Buzzard: ¿cómo se ve la operación de tomar un contragrediente en el nivel de los parámetros de Langlands? Para responder a esta pregunta, damos una caracterización bastante concreta y elemental de la clasificación de Langlands. Muchos de los resultados tienen sentido para cualquier campo local, pero las pruebas están completas solo en el caso de Arquímedes.

Amer. J. Math. 138 (2016), no. 3, 657-682.

Versión del 26 de marzo de 2015, 32 páginas.
contragredient.pdf

Matrices casi de orden dos

Diapositivas para la (primera) charla en la Conferencia Teoría de la Representación del Medio Oeste del 40 aniversario, en honor al 65 cumpleaños de Becky Herb y en memoria de Paul Sally, del 5 al 7 de septiembre de 2014. El tema es la correspondencia local de Langlands sobre los números reales, reafirmación de las ideas en el libro de Adams / Barbasch / Vogan.

Versión del 5 de septiembre de 2014.
casi dosCHIC.pdf
Versión del 19 de septiembre de 2014: más exposición, menos detalles técnicos.
casi dosOTT.pdf
Versión del 24 de septiembre de 2014: más detalle técnico.
casi dosMITHO.pdf

Álgebras de Hecke quasisplit y espacios simétricos Junto con George Lusztig

Calcula la acción de un automorfismo externo sobre los espacios de cohomología perversa que aparecen en la teoría de Kazhdan-Lusztig para grupos reductivos reales. Esta información se utiliza en el algoritmo de unitaridad del artículo de Adams-van Leeuwen-Trapa-Vogan a continuación. debajo.

Duke Math. J. 163 (2014), no. 9, 983-1034.

Versión del 15 de febrero de 2014, 47 páginas.
LV12arxH.pdf

Representaciones unitarias

Diapositivas para las tres primeras charlas en el Taller sobre Teoría de la Representación Unitaria, 1-5 de julio de 2013.

Entendiendo la restricción a K

Diapositivas para una charla en la Conferencia de Teoría de la Representación en honor a Wilfried Schmid con motivo de su 70 cumpleaños. 20-23 de mayo de 2013. El tema es la restricción a un subgrupo compacto máximo de representaciones irreductibles de un grupo reductivo real.

Versión del 20 de mayo de 2013.
schmidHO.pdf
Agregue un ejemplo de la Sesión de problemas, corrija errores tipográficos menores.
schmidHOrevB.pdf

Grupos extendidos y teoría de la representación

Diapositivas para una charla en el Seminario de Teoría de la Representación de CUNY, 19 de abril de 2013. El tema es la descripción de Adams-du Cloux de las formas reales y sus representaciones para grupos reductivos complejos.

Versión del 19 de abril de 2013.
extendidoHO.pdf
Página agregada de ejemplos de datos de raíz, ediciones menores.
extendedHOrev.pdf

Representaciones unitarias de grupos reduccionistas reales Junto con Jeff Adams, Marc van Leeuwen y Peter Trapa

Presenta un algoritmo para calcular la firma de cualquier forma hermitiana invariante en cualquier representación irreductible de un grupo de Lie reductivo lineal real, y (en consecuencia) calcular el dual unitario. El punto principal (como en el trabajo de Wai Ling Yee para la categoría O) es usar los resultados de Beilinson-Bernstein sobre la filtración de Jantzen para relacionar firmas con polinomios de Kazhdan-Lusztig. En el caso de que la involución de Cartan no sea interna, también necesitamos calcular la acción de la involución de Cartan en los espacios de cohomología de intersección calculados por polinomios KL. Esto se hizo en un documento de Duke con Lusztig, disponible en arxiv o superior.

Versión del 20 de enero de 2013, 201 páginas.
hermitianForms.pdf
Versión del 10 de marzo de 2015, 168 páginas.
Se corrigieron muchos pequeños errores, incluidos algunos errores de signo en los principales teoremas de recursividad. Ejemplo agregado de SL (2, C).
hermitianFormsSMF.pdf
Se corrigieron algunos errores tipográficos (¡gracias, Chaoping Dong!)
hermitianFormsSMFcorr2.pdf
Se agregaron algunos signos faltantes (errores de transcripción al aplicar lemas) en los teoremas principales de las páginas 147-152.
hermitianFormsSMFcorr6.pdf
Versión del 1 de noviembre de 2019: revisiones solicitadas por los árbitros. ¡Hasta 155 páginas!
hermitianFormsSMFrefC.pdf

Realización de representaciones fluidas

Representaciones unitarias de grupos reduccionistas

Diapositivas para diez conferencias en la conferencia "CBMS 2012: Representaciones unitarias de grupos reductivos" en UMass Boston en julio de 2012. Las diapositivas cerca del final (sobre el algoritmo para computar firmas) están más o menos copiadas de "Polinomios de Kazhdan-Lusztig para firmas "a continuación. En realidad, no se entregaron en la reunión del SSC y la anotación no se ha hecho coherente con el resto de las diapositivas.

Conferencias 1-5, versión del 21 de julio de 2012 (pequeñas correcciones del 20/7)
cbms1.pdf
Conferencias 6-10, versión del 21 de julio de 2012
cbms2.pdf

Representaciones del grupo de Weyl, órbitas nilpotentes y el método de la órbita

Versión del 10 de enero de 2012.
wolfHO.pdf

Polinomios de Kazhdan-Lusztig para grupos desconectados

Revisado el 22 de enero de 2012 a la versión imprimible.
twistedHO.pdf

Poliedros regulares y grupos Coxeter finitos

Diapositivas para un coloquio en Texas Tech el 10 de noviembre de 2011, que describen la conexión de Coxeter entre la clasificación de poliedros regulares y grupos finitos de Coxeter. Las mejores partes se roban de las hermosas notas de Bill Casselman. Corregí y limpié las diapositivas para una charla en la Universidad de Shandong en Jinan el 11 de junio de 2012, la versión anterior permanece como "regpolyOLD.pdf". Otras ediciones leves de diciembre de 2014 La versión de Shandong está presente como "regpolyMIDDLEAGED.pdf". La versión para un coloquio en Tufts el 25 de enero de 2019 incluye una discusión de las 120 celdas y las 600 celdas en cuatro dimensiones. Sigurdur Helgason notó algunos errores de signo en el cálculo de la matriz en la página 16, y los corrigió en lo que ahora está aquí.

Versión del 26 de enero de 2019.
regpolyTUFTSHO2.pdf
Versión del 11 de diciembre de 2014.
regpoly.pdf
Versión imprimible (faltan algunas imágenes de banderas).
regpolyHO.pdf

Toros máximos finitos Conjunto con Gang Han

Este es un borrador de un artículo que intenta extender la teoría de los sistemas de raíces para grupos compactos reemplazando el toro máximo con un subgrupo abeliano máximo finito (si existe). Todavía no existe una teoría realmente satisfactoria, pero hay muchos ejemplos hermosos. Enviaremos este documento alrededor de agosto de 2011, especialmente antes de esa fecha, agradecería comentarios o críticas al borrador.

Simetría: teoría de la representación y sus aplicaciones, 269-303, Progr. Matemáticas. 257, Birkhauser / Springer, Nueva York, 2014.

Versión del 12 de julio de 2011, 36 páginas.
finitetori.pdf
Versión de abril de 2013, 26 páginas. Resumen, cambios de formato menores.
finitetoriAMS4.13.pdf
Tres errores tipográficos corregidos el 14/10 (en particular, cambie de 5 a 6 en la Figura 3, página 23).
finitetoriAMS10.14.pdf

El tamaño de las representaciones de dimensión infinita.

Diapositivas para una conferencia dada para la Conferencia Internacional y Escuela de Verano de Nankai 2010 sobre Teoría de Representación y Análisis Armónico, Universidad de Nankai, Tianjin, China. Introducción a la noción de "dimensión Gelfand-Kirillov" para representaciones de dimensión infinita. Las representaciones interesantes de un grupo de Lie G a menudo surgen como espacios de funciones en una variedad M. Dichos espacios de funciones suelen ser de dimensión infinita. Un problema fundamental es comenzar con una representación abstracta de G y realizarlo como funciones en alguna variedad M. Un primer paso natural es averiguar cuál debería ser la dimensión de M. Otra forma de decir esto es que nos gustaría determinar la dimensión de una variedad mirando un espacio vectorial de funciones en ella. Hay un problema inmediato. Debido a que todos los espacios de Hilbert separables son topológicamente isomórficos, el espacio de las funciones cuadradas integrables solo puede decirnos si M es finito o infinito. Uno podría esperar que un espacio más sutil como las funciones suaves pudiera funcionar mejor, pero nuevamente estamos decepcionados: los espacios de funciones suaves en variedades compactas infinitas son todos isomorfos como espacios vectoriales topológicos.

El principio de traducción

Diapositivas para tres conferencias impartidas para la 30ª Escuela de Invierno de Geometría y Física, Srni, República Checa. Breve introducción al "principio de traducción" de Zuckerman, que dice que las representaciones irreductibles de grupos reductivos reales deben aparecer en familias indexadas por pesos dominantes.

Representaciones de dimensión infinita de grupos reductivos reales.

Notas para varias conferencias en un taller de la atlas proyecto. El objetivo es introducir precisamente los objetos en el título, con énfasis en preguntas (como "formas reales fuertes") que son particularmente importantes para ese proyecto.

Versión del 27 de junio de 2017, 62 páginas.
voganWorkshopJ.pdf

Matemáticas inflables

Diapositivas para una conferencia dada para Sophus Lie Days en Cornell, 27 de abril de 2009. Discusión dirigida a estudiantes universitarios de las ideas subyacentes en el cálculo de Schubert, seguida de un relato del cálculo E8 con esas ideas.

cornellUND.pdf
cornellUNDHO.pdf versión imprimible
metzC.pdf versión en francés (¡gracias a Salah Mehdi y Monica Nevins!)
metzCHO.pdf versión francesa imprimible
Versión UMAHO.pdf entregada a la Asociación de Matemáticas de Pregrado del MIT 20/11/20

Polinomios de Kazhdan-Lusztig para firmas Junto con Jeffrey Adams, Marc van Leeuwen, Peter Trapa y Wai Ling Yee

Diapositivas para una conferencia dada en la sesión especial "Métodos computacionales en la teoría de Lie" en NCSU del 4 al 5 de abril de 2009. Un resumen muy breve de un algoritmo conjetural para determinar el dual unitario de un grupo de Lie reductivo real.

El segundo archivo, de la conferencia Atlas en Utah 7/09, incluye una declaración más precisa del algoritmo. (Ligeramente editado el 28/7/09 para corregir los errores encontrados por la audiencia).

El tercer archivo, de la Zuckerman 60th Birthday Conference en Yale 10/09, incluye una exposición de cómo esto está conectado con el principio de traducción de Zuckerman.

El cuarto archivo, del VII Taller de Teoría y Aplicaciones de la Mentira en Córdoba, incluye una pequeña introducción sobre por qué es bueno conocer todas las representaciones unitarias.

El quinto archivo, de la reunión de la CMS en Windsor, Ontario, en diciembre de 2009, incluye material expositivo adicional sobre SL (2) y sobre la filtración Jantzen.

Sexto archivo, de cuatro conferencias impartidas del 8 al 11 de junio de 2010 en la escuela de verano para graduados, Conferencia Internacional y Escuela de Verano de Nankai sobre Teoría de la Representación y Análisis Armónico de 2010, Universidad de Nankai, Tianjin, China. Corregido, revisado y ampliado el 6/11/10.

El método de la órbita para grupos reductores

Estas son diapositivas para una exposición del método de la órbita, dada en la conferencia Teoría y geometría de Lie: el legado matemático de Bertram Kostant, en la Universidad de British Columbia en mayo de 2008. Son descendientes de las diapositivas de la conferencia Ritt, pero contienen algunas material adicional.

Geometría y representaciones de grupos reductivos.

Estas son diapositivas para una exposición del método de la órbita, dadas como conferencias de Ritt en Columbia el 13 y 14 de diciembre de 2007. (Todavía en construcción).

La tabla de caracteres para E8

Esta es una exposición del cálculo de la tabla de caracteres para la forma real dividida de E8 por el grupo de investigación “Atlas de grupos y representaciones de mentiras”. Hay breves explicaciones de las palabras en la oración anterior, dirigidas a matemáticos que no trabajan en el campo. También hay una descripción muy breve de la base matemática del cálculo.

Avisos Amer. Matemáticas. Soc. 54 (2007), no. 9, 1122-1134.

Versión del 21 de noviembre de 2007, 15 páginas. (Esto incorpora correcciones de algunos errores históricos en la versión publicada).
articleHIST.pdf

Ramificando a un subgrupo compacto máximo

Este artículo describe algoritmos primero para parametrizar las representaciones irreductibles de un subgrupo compacto máximo K (en un grupo reductor real lineal G), y luego para calcular la restricción a K de una representación estándar (dimensión infinita) de G. (Probablemente sepa que Cartan y Weyl ya resolvieron el primer problema. Este es uno de esos artículos en los que al final saldrás sabiendo bastante menos que cuando empezaste.) La implementación informática de estos algoritmos es un objetivo del proyecto atlas.

321-401 en Análisis armónico, representaciones de grupos, formas automórficas y teoría invariante, Lect. Notas Ser. Inst. Matemáticas. Sci. Natl. Univ. Singap. 12. World Sci. Publ., Hackensack, Nueva Jersey, 2007.

Ramificación a subgrupos compactos máximos

Estas son diapositivas para una breve conferencia en la conferencia del 80º aniversario de Helgason en Reykjavik (el 15 de agosto de 2007). La idea es hacer un camino desde el teorema de Helgason en el que las representaciones de dimensión finita son esféricas, pasando por el teorema de Zuckerman sobre la restricción a K de una representación de dimensión finita, hasta el teorema del artículo anterior.

Versión del 9 de agosto de 2007, 110 páginas. (Muchas páginas son superposiciones, hay 17 páginas completas).
helgason.pdf

La tabla de caracteres para E8

Estas son diapositivas para una conferencia pública en el MIT (el 19 de marzo de 2007) sobre el cálculo de la tabla de caracteres para la forma real dividida de E8 por el grupo de investigación "Atlas de grupos y representaciones de mentiras". La audiencia destinataria son los estudiantes universitarios del MIT, no necesariamente en matemáticas.

El espacio de coautores aquí debería tener una gran cantidad de nombres, comenzando con los diecinueve miembros del grupo del atlas. (Se enumeran cerca del comienzo de las diapositivas). Hay muchas imágenes bonitas en las diapositivas, casi todas gracias al esfuerzo de otras personas: John Stembridge, Scott Crofts y Wai Ling Yee me vienen a la mente de inmediato.

Versión del 19 de marzo de 2007, 224 páginas. Editado el 17 de abril de 2013. (Muchas páginas son superposiciones que un humano podría contar 32 páginas distintas).
E8TALKedit.pdf
e8wpiHOedit.pdf versión imprimible (faltan muchos gráficos) también editada el 17/4/13.
archivo de audio

Errata del libro Inducción cohomológica y representaciones unitarias Junto con Anthony Knapp

Estas correcciones fueron preparadas por Tony Knapp (¡gracias, Tony!). Traté de aprovechar la oportunidad para publicar aquí la introducción del libro, pero desafortunadamente AMSTeX ha evolucionado lo suficiente en los últimos diez años que ya no puedo hacer que los archivos de estilos del libro funcionen. Para el disfrute de los expertos, incluiré aquí un breve extracto del archivo TeX para la introducción:

Mientras tanto, Princeton University Press permite que amazon.com haga que las imágenes de libros completos sean accesibles y se puedan buscar. Puede usar esta función para ubicar las 327 páginas que contienen la palabra "deberá", por ejemplo.

Versión del 20 de septiembre de 2019, 3 páginas.
kv-corrections5.pdf

Correspondencia unitaria de Shimura para grupos reales divididos Junto con Jeffrey Adams, Dan Barbasch, Annegret Paul y Peter Trapa

Este artículo encuentra una relación entre las representaciones de series complementarias para coberturas no lineales de grupos simples divididos y series complementarias esféricas para (diferentes) grupos lineales. La técnica principal es el método de Barbasch de calcular algunos operadores entrelazados puramente en términos del grupo de Weyl.

J. Amer. Matemáticas. Soc.. 20 (2007), no. 3, 701-751.

Representaciones unitarias y análisis complejo

Estas son notas basadas en cinco conferencias en la escuela de verano del CIME "Teoría de la representación y análisis complejo" en Venecia en junio de 2004. El objetivo (no completamente logrado) era escribir ciertas estructuras preunitarias en representaciones grupales en espacios de cohomología Dolbeault. Las notas describen la maquinaria necesaria para formular estas preguntas. Estaré muy agradecido de escuchar acerca de errores, oscuridades, etc. Ya estoy agradecido a varios participantes en la escuela de verano por tal ayuda (¡y a muchos más por el placer de su compañía!).

Teoría de la representación y análisis complejo (CIME 2004), Andrea D'Agnolo, editor. Springer, 2008.

Versión del 2 de enero de 2008, 86 páginas. Las revisiones menores del 16/9/04 incluyen algunas aclaraciones, una referencia adicional para la Conjetura 10.3 (gracias a Tim Bratten) y un par de pequeñas correcciones tipográficas. El manuscrito fue reiniciado en LaTeX por Andrea D'Agnolo.
veniceCORR.pdf
veniceCORR.ps (archivo postscript)
veniceCORR.dvi

Subgrupos tridimensionales y representaciones unitarias

Esta es la versión escrita de una conferencia en la conferencia "Matemáticas y física teórica" ​​celebrada del 13 al 17 de marzo de 2000 en Singapur. Hay dos temas: la clasificación de Dynkin de los homomorfismos de SU (2) en un grupo de Lie compacto, y el problema aún sin resolver de clasificar las representaciones unitarias esféricas de grupos divididos en campos locales. La conjetura de Arthur conecta estos problemas, y el objetivo es ver qué luz pueden arrojar los métodos de Dynkin sobre el no resuelto.

Desafíos para el siglo XXI (Singapur, 2000), 213-250, World Sci. Publ., River Edge, Nueva Jersey, 2001.

Versión del 27 de julio de 2000.
sing.pdf
sing.dvi
sing.ps (archivo postscript)

Representaciones unitarias aisladas

Esto se escribió en 1992 como apéndice de un artículo de tres autores que nunca se escribió. (Dejaré a los expertos la tarea de deducir los nombres de los tres autores y dividir la culpa equitativamente entre ellos. Como una pista, los autores representan cuatro continentes por nacimiento y residencia). El teorema principal dice que "A_q (lambda ) "Las representaciones están aisladas en el dual unitario, con algunas excepciones obvias.

Formas automórficas y sus aplicaciones (2002), IAS / Serie de matemáticas de Park City 12, 379-398. Sociedad Americana de Matemáticas, Providence, RI (2007).

Versión del 6 de abril de 2005.
iso3.pdf
iso3.dvi
iso3.ps (archivo postscript)

Representaciones unitarias de grupos reductivos de mentiras

Estas son las transparencias de una conferencia en la conferencia "Matemáticas hacia el tercer milenio", celebrada del 27 al 29 de mayo de 1999 en la Accademia Nazionale dei Lincei de Roma. Esencialmente son un resumen telegráfico del artículo "El método de las órbitas coadjuntas" más abajo. La introducción al artículo (correspondiente a tres de las transparencias) esboza una respuesta a la pregunta "¿qué es la teoría de la representación?" que está destinado a ser accesible para la mayoría de los matemáticos.

Versión del 25 de mayo de 1999.
roma.pdf
rome.dvi
rome.ps (archivo postscript)

Aquí está el manuscrito del artículo, publicado en

Desgarrar. Estera. Acc. Lincei, 9 (2000), 147-167.

El método de las órbitas coadjuntas para grupos reductivos reales.

Estas son notas para conferencias en la Escuela de Verano para Graduados en Teoría de la Representación en Park City en julio de 1998. Además de las tonterías generales sobre el tema del título, hay una breve descripción de algunas ideas nuevas sobre la cuantificación para órbitas nilpotentes.

Teoría de la representación de los grupos de mentiras, IAS / Serie de matemáticas de Park City 8 (1999), 179-238.

La versión del 30 de septiembre de 1998 corrige muchos errores tipográficos en todo momento y varias obscuridades en las dos últimas conferencias. (¡Gracias Monica!)
PCorb.pdf
PCorb.dvi
PCorb.ps (archivo postscript)

Una clasificación de Langlands para representaciones unitarias

Este es un relato expositivo de las ideas del siguiente artículo con Salamanca-Riba.

Análisis de espacios homogéneos y teoría de la representación de grupos de Lie, Okayama-Kyoto (1997), 299-324, Adv. Semental. Matemática pura., 26, Matemáticas. Soc. Japón, Tokio, 2000.

Sobre la clasificación de representaciones unitarias de grupos reductivos de Lie Conjunto con Susana Salamanca-Riba

El objetivo es comprender la parte fácil del papel de la inducción cohomológica en la clasificación de representaciones unitarias.

Anales de Matemáticas 148 (1998), 1067-1133.

Funciones en la órbita del modelo en E8 Junto con Jeffrey Adams y Jing-Song Huang

Hacemos un cálculo sobre representaciones de grupos algebraicos que tiene algún significado conjetural para la teoría de la representación de dimensión infinita.

Teoría de la representación 2 (1998), 224-263.

Versión del 17 de abril de 1998.
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Cohomología y representaciones grupales

Este es un artículo expositivo sobre cohomología continua para representaciones unitarias de grupos reductivos reales.

Teoría de la representación y formas automórficas (Conferencia de instrucción, Centro Internacional de Ciencias Matemáticas, Edimburgo, marzo de 1996), T. Bailey y A. Knapp, editores. Actas de simposios en matemáticas puras 61. Sociedad Americana de Matemáticas, Providence, RI (1997).

Cuantización geométrica para órbitas coadjuntas nilpotentes Junto con William Graham

Analizamos el problema de adjuntar una representación a una órbita coadjunta nilpotente de un grupo de Lie reductivo real. La estrategia de Kirillov-Kostant de encontrar una foliación lagrangiana invariante de la órbita a menudo no puede tener éxito en este caso. En cambio, seguimos una idea de Guillemin-Sternberg y Ginsburg, trabajando con una familia invariante más grande de subvariedades lagrangianas.

Teoría de la geometría y la representación de grupos reales y p-ádicos. Birkhauser, Boston-Basel-Berlín, 1998.

Versión del 22 de abril de 1996
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quant.ps (archivo postscript)

El método de la órbita y las representaciones unitarias para los grupos reductivos de Lie

Este es un artículo expositivo.

Métodos algebraicos y analíticos en la teoría de la representación (Sonderborg, 1994). Perspectivas en matemáticas 17. Prensa académica, San Diego 1997.

Versión del 22 de diciembre de 1994
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dmkrev.ps (archivo postscript)

La conjetura local de Langlands

Este es un borrador de una exposición de los aspectos formales de la formulación de conjeturas de Kazhdan-Lusztig y las conjeturas de Arthur para grupos reductivos p-ádicos. La versión final se puede encontrar en

Teoría de la representación de grupos y álgebras (J. Adams et al., eds. Matemáticas contemporáneas 145. Sociedad Americana de Matemáticas, 1993.

La clasificación de Langlands y los personajes irreductibles (introducción). Junto con Jeffrey Adams y Dan Barbasch

Esta es la introducción a un libro que explica cómo formular y probar las conjeturas de Kazhdan-Lusztig y las conjeturas de Arthur para grupos algebraicos reductivos reales. (Bueno, todas las conjeturas de Arthur excepto las partes interesantes, que dicen que ciertas representaciones son unitarias). Si todavía estás despierto al final, el texto completo está en

La clasificación de Langlands y caracteres irreductibles para grupos reductivos reales (J. Adams, D. Barbasch y D. Vogan). Progreso en matemáticas 104. Birkhauser, Boston-Basilea-Berlín, 1992.

Paquetes Arthur y representaciones unitarias

Este es un video en tiempo real de una conferencia de una hora en la conferencia del 60 aniversario de Arthur en Toronto. La conferencia está destinada a ser una motivación para el libro. La clasificación de Langlands y los personajes irreductibles. Desafortunadamente, el video termina aproximadamente un minuto antes de la conferencia, por lo que nunca sabemos si los Mounties pudieron detener al villano. (Lo estaban.) Lo que hay aquí sigue siendo una introducción razonable a la introducción anterior.

Variedades asociadas y representaciones unipotentes

El objetivo de este artículo es analizar la relación entre una representación irreductible y su variedad asociada, particularmente con miras a comprender mejor el método de la órbita. El papel aparece en

Análisis armónico de grupos reductores (W. Barker y P. Sally, eds). Progreso en matemáticas 101. Birkhauser, 1991.

Perdí el archivo TeX original y me cansé de no tener acceso electrónico al papel, así que lo escaneé. Disculpas por el gran tamaño de archivo resultante.

Escaneado el 9 de mayo de 2013
assocvarunip.pdf (3 megabytes)

Álgebras, hojas y representaciones de Dixmier

Este artículo examina la relación entre la inducción (siguiendo a Dixmier) de ideales primitivos y la inducción (siguiendo a Lusztig-Spaltenstein) de órbitas nilpotentes. El papel aparece en

Álgebras de operador, representaciones unitarias, álgebras envolventes y teoría invariante (A. Connes, M. Duflo, A. Joseph y R. Rentschler, eds). Progreso en matemáticas 92. Birkhauser, 1990.

Escribí este documento en un procesador de texto Commodore 64 llamado PaperClip (luego robado, creo, por Microsoft) pero no tengo el archivo ni el software ni el hardware para imprimirlo, así que se escanea. (Ann Kostant lo hizo teXed para Birkhauser, y ella puede tener un archivo TeX.) Disculpas por el gran tamaño del archivo.

Escaneado el 24 de enero de 2017
DixmierAlgebras.pdf (2,3 megabytes)

El método de la órbita y los ideales primitivos para las álgebras de Lie semisimple

Este artículo examina lo que las ideas de Kostant tienen que decir sobre los ideales primitivos. Un problema es cómo el comportamiento malo / interesante de las órbitas da lugar al comportamiento malo / interesante de los ideales primitivos. El papel aparece en

Álgebras de mentira y temas relacionados, AMS / CMS 1986.

Al igual que el anterior, este papel se escribió en PaperClip pero no tengo el archivo ni el software ni el hardware para imprimirlo, por lo que se escanea. Disculpas por el gran tamaño del archivo. Yo mismo hice los mapas de bits para los personajes góticos por esto también me disculpo.

Escaneado el 28 de enero de 2019
vogan86CMS.pdf (26,6 megabytes)

Representaciones de grupos de mentiras reductivos reales (Introducción y Capítulo 1).

El tema de este libro es la construcción y clasificación de todas las representaciones irreductibles de grupos reductivos de Lie reales, utilizando ideas introducidas por Zuckerman a fines de la década de 1970. El tema del Capítulo 1 es el caso especial de SL (2, R). Gracias a Wai Ling Yee por preparar el escaneo. (El libro ya no está impreso, pero se está trabajando en una segunda edición).

Representaciones de grupos reductores reales. Progreso en matemáticas 15. Birkhauser, Boston-Basilea-Berlín, 1981.

Cohomología del álgebra de Lie y las representaciones de grupos de Lie semisimples

Esta es mi tesis, escrita bajo la dirección de Bert Kostant. El contenido matemático se hace en su mayoría mejor y, de manera más general, en el libro anterior, la disertación incluye muchos cálculos caso por caso, y también una discusión de grupos no lineales.


Hojas de trabajo de división para los grados 3, 4 y 5

Estas son hojas de trabajo de división gratuitas e imprimibles, generadas al azar, para los grados 3-5. Los temas incluyen operaciones de división, división mental, división larga, división con residuos, orden de operaciones, ecuaciones y factorización.

Puede imprimirlos directamente desde la ventana de su navegador, pero primero compruebe cómo se ve en & quot; Vista previa de impresión & quot. Si la hoja de trabajo no se ajusta a la página en la Vista previa de impresión, ajuste sus márgenes, encabezado y pie de página en la configuración de Configuración de página del navegador. O ajuste la & quotscale & quot al 90% o menos en la Vista previa de impresión. Algunos navegadores pueden tener la opción "Imprimir para ajustar", que escalará automáticamente la hoja de trabajo para que sea tan pequeña que se ajuste al área imprimible.

Todas las hojas de trabajo vienen con una clave de respuestas; sin embargo, debe hacer clic en la página de claves de respuestas. inmediatamente después de generar una hoja de trabajo, porque la clave de respuestas también se genera 'sobre la marcha' y no existirá más adelante, en caso de que la busque más tarde.


Ver el vídeo: Destreza Lógico-Matemáticas Nociones basicas de Medida (Octubre 2021).