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4.5: Secciones cónicas - Matemáticas


Las secciones cónicas se han estudiado desde la época de los antiguos griegos y se consideraban un concepto matemático importante. Desde entonces, han surgido importantes aplicaciones de las secciones cónicas (por ejemplo, en astronomía), y las propiedades de las secciones cónicas se utilizan en radiotelescopios, receptores de antena parabólica e incluso en arquitectura. En esta sección discutimos las tres secciones cónicas básicas, algunas de sus propiedades y sus ecuaciones.

Las secciones cónicas reciben su nombre porque se pueden generar al cruzar un plano con un cono. Un cono tiene dos partes de forma idéntica llamadas siestas. Una siesta es lo que la mayoría de la gente entiende por "cono", que tiene la forma de un sombrero de fiesta. Se puede generar un cono circular recto girando una línea que pasa por el origen alrededor de la y-eje como se muestra en la Figura ( PageIndex {1} ).

Las secciones cónicas se generan por la intersección de un plano con un cono (Figura ( PageIndex {2} )). Si el plano es paralelo al eje de revolución (el y-eje), luego el sección cónica es una hipérbola. Si el plano es paralelo a la línea generadora, la sección cónica es una parábola. Si el plano es perpendicular al eje de revolución, la sección cónica es un círculo. Si el plano se cruza con una napa en un ángulo con el eje (que no sea 90°), entonces la sección cónica es una elipse.

Parábolas

Se genera una parábola cuando un plano se cruza con un cono paralelo a la línea generadora. En este caso, el avión cruza solo una de las siestas. Una parábola también se puede definir en términos de distancias.

Definiciones: el foco, directriz y vértice

Una parábola es el conjunto de todos los puntos cuya distancia desde un punto fijo, llamado atención, es igual a la distancia desde una línea fija, llamada directora. El punto a medio camino entre el foco y la directriz se llama vértice de la parábola.

En la Figura ( PageIndex {3} ) aparece una gráfica de una parábola típica. Usando este diagrama junto con la fórmula de la distancia, podemos derivar una ecuación para una parábola. Recuerde la fórmula de la distancia: Dado el punto P con coordenadas ((x_1, y_1) ) y el punto Q con coordenadas ((x_2, y_2), ) la distancia entre ellos viene dada por la fórmula

[d (P, Q) = sqrt {(x_2 − x_1) ^ 2 + (y_2 − y_1) ^ 2}. ]

Luego, de la definición de una parábola y la Figura ( PageIndex {3} ), obtenemos

[d (F, P) = d (P, Q) ]

[ sqrt {(0 − x) ^ 2 + (p − y) ^ 2} = sqrt {(x − x) ^ 2 + (- p − y) ^ 2}. ]

Cuadrar ambos lados y simplificar los rendimientos

[ begin {align} x ^ 2 + (p − y) ^ 2 & = 0 ^ 2 + (- p − y) ^ 2 x ^ 2 + p ^ 2−2py + y ^ 2 & = p ^ 2 + 2py + y ^ 2 x ^ 2−2py & = 2py x ^ 2 & = 4py. end {align} ]

Ahora suponga que queremos reubicar el vértice. Usamos las variables ((h, k) ) para denotar las coordenadas del vértice. Entonces, si el foco está directamente encima del vértice, tiene coordenadas ((h, k + p) ) y la directriz tiene la ecuación (y = k − p ). Pasar por la misma derivación produce la fórmula ((x − h) ^ 2 = 4p (y − k) ). Resolver esta ecuación para (y ) conduce al siguiente teorema.

Ecuaciones para parábolas: forma estándar

Dada una parábola que se abre hacia arriba con el vértice ubicado en ((h, k) ) y el foco ubicado en ((h, k + p) ), donde (p ) es una constante, la ecuación de la parábola es dada por

[y = dfrac {1} {4p} (x − h) ^ 2 + k. ]

Este es el forma estándar de una parábola.

También podemos estudiar los casos en que la parábola se abre hacia abajo o hacia la izquierda o hacia la derecha. La ecuación para cada uno de estos casos también se puede escribir en forma estándar como se muestra en los siguientes gráficos.

Además, la ecuación de una parábola se puede escribir en el forma general, aunque en esta forma los valores de (h ), (k ) y (p ) no son inmediatamente reconocibles. La forma general de una parábola se escribe como

[ax ^ 2 + bx + cy + d = 0 label {para1} ]

o

[ay ^ 2 + bx + cy + d = 0. label {para2} ]

La ecuación ref {para1} representa una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo. La ecuación ref {para2} representa una parábola que se abre hacia la izquierda o hacia la derecha. Para poner la ecuación en forma estándar, use el método de completar el cuadrado.

Ejemplo ( PageIndex {1} ): Conversión de la ecuación de una parábola de forma general a estándar

Pon la ecuación

[x ^ 2−4x − 8y + 12 = 0 ]

en forma estándar y graficar la parábola resultante.

Solución

Como y no está al cuadrado en esta ecuación, sabemos que la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Por lo tanto, necesitamos resolver esta ecuación para y, lo que pondrá la ecuación en forma estándar. Para hacer eso, primero agregue (8y ) a ambos lados de la ecuación:

[8y = x ^ 2−4x + 12. ]

El siguiente paso es completar el cuadrado del lado derecho. Comience agrupando los dos primeros términos en el lado derecho usando paréntesis:

[8y = (x ^ 2−4x) +12. ]

A continuación, determine la constante que, cuando se agrega entre paréntesis, hace que la cantidad entre paréntesis sea un trinomio cuadrado perfecto. Para hacer esto, toma la mitad del coeficiente de x y eleva al cuadrado. Esto da (( dfrac {−4} {2}) ^ 2 = 4. ) Suma 4 dentro del paréntesis y resta 4 fuera del paréntesis, para que el valor de la ecuación no cambie:

[8y = (x ^ 2−4x + 4) + 12−4. ]

Ahora combine términos semejantes y factorice la cantidad entre paréntesis:

[8y = (x − 2) ^ 2 + 8. ]

Finalmente, divide por 8:

[y = dfrac {1} {8} (x − 2) ^ 2 + 1. ]

Esta ecuación está ahora en forma estándar. Comparando esto con la ecuación se obtiene (h = 2, k = 1 ) y (p = 2 ). La parábola se abre, con el vértice en ((2,1) ), el foco en ((2,3) ) y la directriz (y = −1 ). El gráfico de esta parábola aparece como sigue.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Pon la ecuación (2y ^ 2 − x + 12y + 16 = 0 ) en forma estándar y grafica la parábola resultante.

Pista

Solución para x). Compruebe en qué dirección se abre la parábola.

Respuesta

[x = 2 (y + 3) ^ 2−2 ]

El eje de simetría de una parábola vertical (que se abre hacia arriba o hacia abajo) es una línea vertical que pasa por el vértice. La parábola tiene una propiedad reflectante interesante. Supongamos que tenemos una antena parabólica con una sección transversal parabólica. Si un haz de ondas electromagnéticas, como la luz o las ondas de radio, entra en el plato en línea recta desde un satélite (paralelo al eje de simetría), las ondas se reflejan en el plato y se acumulan en el foco de la parábola como mostrado.

Considere un plato parabólico diseñado para recolectar señales de un satélite en el espacio. El plato está dirigido directamente al satélite y un receptor está ubicado en el foco de la parábola. Las ondas de radio provenientes del satélite se reflejan en la superficie de la parábola hacia el receptor, que recopila y decodifica las señales digitales. Esto permite que un pequeño receptor recopile señales desde un ángulo amplio del cielo. Las linternas y los faros de un automóvil funcionan según el mismo principio, pero a la inversa: la fuente de la luz (es decir, la bombilla) se encuentra en el foco y la superficie reflectante del espejo parabólico enfoca el rayo hacia adelante. Esto permite que una pequeña bombilla ilumine un amplio ángulo de espacio frente a la linterna o el automóvil.

Elipses

Una elipse también se puede definir en términos de distancias. En el caso de una elipse, hay dos focos (plural de foco) y dos directrices (plural de directriz). Examinamos las directrices con más detalle más adelante en esta sección.

Definición: Elipse

Una elipse es el conjunto de todos los puntos para los que la suma de sus distancias desde dos puntos fijos (los focos) es constante.

En la Figura ( PageIndex {6} ) se muestra una gráfica de una elipse típica. En esta figura, los focos están etiquetados como (F ) y (F ′ ). Ambos están a la misma distancia fija desde el origen, y esta distancia está representada por la variable c. Por lo tanto, las coordenadas de (F ) son ((c, 0) ) y las coordenadas de (F ′ ) son ((- c, 0). ) Los puntos (P ) y (P ′ ) se encuentran en los extremos de la eje mayor de la elipse, y tienen coordenadas ((a, 0) ) y ((- a, 0) ), respectivamente. El eje mayor es siempre la distancia más larga a través de la elipse y puede ser horizontal o vertical. Por tanto, la longitud del eje mayor en esta elipse es 2a. Además, (P ) y (P ′ ) se denominan vértices de la elipse. Los puntos (Q ) y (Q ′ ) están ubicados en los extremos de la eje menor de la elipse, y tienen coordenadas ((0, b) ) y ((0, −b), ) respectivamente. El eje menor es la distancia más corta a través de la elipse. El eje menor es perpendicular al eje mayor.

Según la definición de elipse, podemos elegir cualquier punto de la elipse y la suma de las distancias desde este punto a los dos focos es constante. Supongamos que elegimos el punto P. Dado que las coordenadas del punto PAG son ((a, 0), ) la suma de las distancias es

[d (P, F) + d (P, F ′) = (a − c) + (a + c) = 2a. ]

Por lo tanto, la suma de las distancias desde un punto arbitrario A con coordenadas ((x, y) ) también es igual a (2a ). Usando la fórmula de la distancia, obtenemos

[d (A, F) + d (A, F ′) = 2a. ]

[ sqrt {(x − c) ^ 2 + y ^ 2} + sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = 2a ]

Resta el segundo radical de ambos lados y eleva ambos lados al cuadrado:

[ sqrt {(x − c) ^ 2 + y ^ 2} = 2a− sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} ]

[(x − c) ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2−4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + (x + c) ^ 2 + y ^ 2 ]

[x ^ 2−2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2−4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 ]

[- 2cx = 4a ^ 2−4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + 2cx. ]

Ahora aísle el radical del lado derecho y vuelva a cuadrarlo:

[- 2cx = 4a ^ 2−4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + 2cx ]

[4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = 4a ^ 2 + 4cx ]

[ sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = a + dfrac {cx} {a} ]

[(x + c) ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + 2cx + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} ]

[x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + 2cx + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} ]

[x ^ 2 + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2}. ]

Aísle las variables del lado izquierdo de la ecuación y las constantes del lado derecho:

[x ^ 2− dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} + y ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2 ]

[ dfrac {(a ^ 2 − c ^ 2) x ^ 2} {a ^ 2} + y ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2. ]

Divide ambos lados entre (a ^ 2 − c ^ 2 ). Esto da la ecuación

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2 − c ^ 2} = 1. ]

Si nos remitimos a la Figura ( PageIndex {6} ), entonces la longitud de cada uno de los dos segmentos de línea verde es igual a (a ). Esto es cierto porque la suma de las distancias desde el punto Q a los focos (F ) y (F ′ ) es igual a (2a ), y las longitudes de estos dos segmentos de recta son iguales. Este segmento de recta forma un triángulo rectángulo con la longitud de la hipotenusa ay las longitudes de los catetos by c. Del teorema de Pitágoras, (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ) y (b ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2 ). Por lo tanto, la ecuación de la elipse se convierte en

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1. ]

Finalmente, si el centro de la elipse se mueve desde el origen a un punto ((h, k) ), tenemos la siguiente forma estándar de una elipse.

Ecuación de una elipse en forma estándar

Considere la elipse con centro ((h, k) ), un eje mayor horizontal con longitud (2a ) y un eje menor vertical con longitud (2b ). Entonces la ecuación de esta elipse en forma estándar es

[ dfrac {(x − h) ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {(y − k) ^ 2} {b ^ 2} = 1 ]

y los focos están ubicados en ((h ± c, k) ), donde (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). Las ecuaciones de las directrices son (x = h ± dfrac {a ^ 2} {c} ).

Si el eje mayor es vertical, entonces la ecuación de la elipse se convierte en

[ dfrac {(x − h) ^ 2} {b ^ 2} + dfrac {(y − k) ^ 2} {a ^ 2} = 1 ]

y los focos están ubicados en ((h, k ± c) ), donde (c ^ 2 = a ^ 2 − b ^ 2 ). Las ecuaciones de las directrices en este caso son (y = k ± dfrac {a ^ 2} {c} ).

Si el eje mayor es horizontal, entonces la elipse se llama horizontal, y si el eje mayor es vertical, entonces la elipse se llama vertical. La ecuación de una elipse está en forma general si tiene la forma

[(Ax ^ 2 + By ^ 2 + Cx + Dy + E = 0, ]

donde A y B son ambos positivos o ambos negativos. Para convertir la ecuación de forma general a estándar, utilice el método de completando el cuadrado.

Ejemplo ( PageIndex {2} ): encontrar la forma estándar de una elipse

Pon la ecuación

[9x ^ 2 + 4y ^ 2−36x + 24y + 36 = 0 ]

en forma estándar y graficar la elipse resultante.

Solución

Primero reste 36 de ambos lados de la ecuación:

[9x ^ 2 + 4y ^ 2−36x + 24y = −36. ]

Luego agrupe los términos (x ) y los términos (y ) juntos, y factorice el factor común:

[(9x ^ 2−36x) + (4y ^ 2 + 24y) = - 36 ]

[9 (x ^ 2−4x) +4 (y ^ 2 + 6y) = - 36. ]

Necesitamos determinar la constante que, cuando se agrega dentro de cada paréntesis, da como resultado un cuadrado perfecto. En el primer conjunto de paréntesis, tome la mitad del coeficiente de X y cuadrarlo. Esto da (( dfrac {−4} {2}) ^ 2 = 4. ) En el segundo conjunto de paréntesis, tome la mitad del coeficiente de y y cuadrarlo. Esto da (( dfrac {6} {2}) ^ 2 = 9. ) Súmale estos dentro de cada par de paréntesis. Dado que el primer par de paréntesis tiene un 9 al frente, en realidad estamos agregando 36 al lado izquierdo. De manera similar, también estamos agregando 36 al segundo conjunto. Por lo tanto, la ecuación se convierte en

[9 (x ^ 2−4x + 4) +4 (y ^ 2 + 6y + 9) = - 36 + 36 + 36 ]

[9 (x ^ 2−4x + 4) +4 (y ^ 2 + 6y + 9) = 36. ]

Ahora factorice ambos conjuntos de paréntesis y divídalos por 36:

[9 (x − 2) ^ 2 + 4 (y + 3) ^ 2 = 36 ]

[ dfrac {9 (x − 2) ^ 2} {36} + dfrac {4 (y + 3) ^ 2} {36} = 1 ]

[ dfrac {(x − 2) ^ 2} {4} + dfrac {(y + 3) ^ 2} {9} = 1. ]

La ecuación está ahora en forma estándar. Comparando esto con la Ecuación se obtiene (h = 2, k = −3, a = 3, ) y (b = 2 ). Esta es una elipse vertical con centro en ((2, −3) ), eje mayor 6 y eje menor 4. La gráfica de esta elipse aparece como sigue.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Pon la ecuación

[9x ^ 2 + 16y ^ 2 + 18x − 64y − 71 = 0 ]

en forma estándar y graficar la elipse resultante.

Pista

Mueve la constante y completa el cuadrado.

Respuesta

[ dfrac {(x + 1) ^ 2} {16} + dfrac {(y − 2) ^ 2} {9} = 1 ]

Según la primera ley de movimiento planetario de Kepler, la órbita de un planeta alrededor del Sol es una elipse con el Sol en uno de los focos, como se muestra en la Figura ( PageIndex {8A} ). Debido a que la órbita de la Tierra es una elipse, la distancia al Sol varía a lo largo del año. Un error común es que la Tierra está más cerca del Sol en el verano. De hecho, en verano para el hemisferio norte, la Tierra está más lejos del Sol que durante el invierno. La diferencia de estación se debe a la inclinación del eje de la Tierra en el plano orbital. Los cometas que orbitan alrededor del Sol, como el cometa Halley, también tienen órbitas elípticas, al igual que las lunas que orbitan los planetas y los satélites que orbitan la Tierra.

Las elipses también tienen propiedades reflectantes interesantes: un rayo de luz que emana de un foco pasa a través del otro foco después de reflejarse en un espejo en la elipse. Lo mismo ocurre con una onda de sonido. El National Statuary Hall en el Capitolio de los EE. UU. En Washington, DC, es una sala famosa en forma elíptica, como se muestra en la Figura ( PageIndex {8B} ). Este salón sirvió como lugar de reunión de la Cámara de Representantes de Estados Unidos durante casi cincuenta años. La ubicación de los dos focos de esta sala semielíptica está claramente identificada por marcas en el piso, e incluso si la sala está llena de visitantes, cuando dos personas se paran en estos lugares y se hablan, pueden escucharse mucho. más claramente de lo que pueden oír a alguien cerca. Cuenta la leyenda que John Quincy Adams tenía su escritorio ubicado en uno de los focos y pudo escuchar a todos los demás en la Casa sin necesidad de pararse. Aunque esto es una buena historia, es poco probable que sea cierto, porque el techo original produjo tantos ecos que hubo que colgar toda la habitación con alfombras para amortiguar el ruido. El techo fue reconstruido en 1902 y solo entonces surgió el ahora famoso efecto de susurro. Otra famosa galería de susurros, el sitio de muchas propuestas de matrimonio, se encuentra en Grand Central Station en la ciudad de Nueva York.

Hipérbolas

Una hipérbola también se puede definir en términos de distancias. En el caso de una hipérbola, hay dos focos y dos directrices. Las hipérbolas también tienen dos asíntotas.

Definición: hipérbola

Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos donde la diferencia entre sus distancias desde dos puntos fijos (los focos) es constante.

A continuación se muestra un gráfico de una hipérbola típica.

La derivación de la ecuación de una hipérbola en forma estándar es virtualmente idéntica a la de una elipse. Un pequeño problema radica en la definición: la diferencia entre dos números es siempre positiva. Sea P un punto de la hipérbola con coordenadas ((x, y) ). Entonces, la definición de la hipérbola da (| d (P, F_1) −d (P, F_2) | = constante ). Para simplificar la derivación, suponga que P está en la rama derecha de la hipérbola, por lo que las barras de valor absoluto caen. Si está en la rama izquierda, entonces la resta se invierte. El vértice de la rama derecha tiene coordenadas ((a, 0), ) entonces

[d (P, F_1) −d (P, F_2) = (c + a) - (c − a) = 2a. ]

Por tanto, esta ecuación es cierta para cualquier punto de la hipérbola. Volviendo a las coordenadas ((x, y) ) para PAG:

[d (P, F_1) −d (P, F_2) = 2a ]

[ sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} - sqrt {(x − c) ^ 2 + y ^ 2} = 2a. ]

Suma el segundo radical de ambos lados y eleva ambos lados al cuadrado:

[ sqrt {(x − c) ^ 2 + y ^ 2} = 2a + sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} ]

[(x − c) ^ 2 + y2 = 4a ^ 2 + 4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + (x + c) ^ 2 + y ^ 2 ]

[x ^ 2−2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = 4a ^ 2 + 4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 ]

[- 2cx = 4a ^ 2 + 4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + 2cx. ]

Ahora aísle el radical del lado derecho y vuelva a cuadrarlo:

(- 2cx = 4a ^ 2 + 4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} + 2cx )

(4a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} = - 4a ^ 2−4cx )

((x + c) ^ 2 + y ^ 2 = −a− dfrac {cx} {a} )

((x + c) ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + 2cx + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} )

(x ^ 2 + 2cx + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + 2cx + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} )

(x ^ 2 + c ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 + dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} ).

Aísle las variables del lado izquierdo de la ecuación y las constantes del lado derecho:

[x ^ 2− dfrac {c ^ 2x ^ 2} {a ^ 2} + y ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2 ]

[ dfrac {(a ^ 2 − c ^ 2) x ^ 2} {a ^ 2} + y ^ 2 = a ^ 2 − c ^ 2. ]

Finalmente, divide ambos lados por (a ^ 2 − c ^ 2 ). Esto da la ecuación

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {y ^ 2} {a ^ 2 − c ^ 2} = 1. ]

Ahora definimos B de modo que (b ^ 2 = c ^ 2 − a ^ 2 ). Esto es posible porque (c> a ). Por lo tanto, la ecuación de la elipse se convierte en

[ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1. ]

Finalmente, si el centro de la hipérbola se mueve desde el origen al punto ((h, k), ) tenemos la siguiente forma estándar de hipérbola.

Ecuación de una hipérbola en forma estándar

Considere la hipérbola con centro ((h, k) ), un eje mayor horizontal y un eje menor vertical. Entonces la ecuación de esta elipse es

[ dfrac {(x − h) ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {(y − k) ^ 2} {b ^ 2} = 1 ]

y los focos están ubicados en ((h ± c, k), ) donde (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ). Las ecuaciones de las asíntotas están dadas por (y = k ± dfrac {b} {a} (x − h). ) Las ecuaciones de las directrices son

[x = k ± dfrac {a ^ 2} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} = h ± dfrac {a ^ 2} {c} ]

Si el eje mayor es vertical, entonces la ecuación de la hipérbola se convierte en

[ dfrac {(y − k) ^ 2} {a ^ 2} - dfrac {(x − h) ^ 2} {b ^ 2} = 1 ]

y los focos están ubicados en ((h, k ± c), ) donde (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ). Las ecuaciones de las asíntotas están dadas por (y = k ± dfrac {a} {b} (x − h) ). Las ecuaciones de las directrices son

[y = k ± dfrac {a ^ 2} { sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}} = k ± dfrac {a ^ 2} {c}. ]

Si el eje mayor (eje transversal) es horizontal, entonces la hipérbola se llama horizontal, y si el eje mayor es vertical, entonces la hipérbola se llama vertical. La ecuación de una hipérbola está en forma general si tiene la forma

[Ax ^ 2 + Por ^ 2 + Cx + Dy + E = 0, ]

donde A y B tienen signos opuestos. Para convertir la ecuación de forma general a estándar, use el método de completar el cuadrado.

Ejemplo ( PageIndex {3} ): encontrar la forma estándar de una hipérbola

Pon la ecuación (9x ^ 2−16y ^ 2 + 36x + 32y − 124 = 0 ) en forma estándar y grafica la hipérbola resultante. ¿Cuáles son las ecuaciones de las asíntotas?

Solución

Primero suma 124 a ambos lados de la ecuación:

(9x ^ 2−16y ^ 2 + 36x + 32y = 124. )

Siguiente grupo el X términos juntos y el y términos juntos, luego factorizar los factores comunes:

((9x ^ 2 + 36x) - (16y ^ 2−32y) = 124 )

(9 (x ^ 2 + 4x) −16 (y ^ 2−2y) = 124 ).

Necesitamos determinar la constante que, cuando se agrega dentro de cada paréntesis, da como resultado un cuadrado perfecto. En el primer conjunto de paréntesis, toma la mitad del coeficiente de x y eleva al cuadrado. Esto da (( dfrac {4} {2}) ^ 2 = 4 ). En el segundo conjunto de paréntesis, toma la mitad del coeficiente de y y eleva al cuadrado. Esto da como resultado (( dfrac {−2} {2}) ^ 2 = 1. ) Suma estos dentro de cada par de paréntesis. De manera similar, restamos 16 del segundo par de paréntesis. Por lo tanto, la ecuación se convierte en

(9 (x ^ 2 + 4x + 4) −16 (y ^ 2−2y + 1) = 124 + 36−16 )

(9 (x ^ 2 + 4x + 4) −16 (y ^ 2−2y + 1) = 144. )

Luego factorice ambos conjuntos de paréntesis y divídalos por 144:

(9 (x + 2) ^ 2−16 (y − 1) ^ 2 = 144 )

( dfrac {9 (x + 2) ^ 2} {144} - dfrac {16 (y − 1) ^ 2} {144} = 1 )

( dfrac {(x + 2) ^ 2} {16} - dfrac {(y − 1) ^ 2} {9} = 1. )

La ecuación está ahora en forma estándar. Comparando esto con la Ecuación se obtiene (h = −2, k = 1, a = 4, ) y (b = 3 ). Ésta es una hipérbola horizontal con centro en ((- 2,1) ) y asíntotas dadas por las ecuaciones (y = 1 ± dfrac {3} {4} (x + 2) ). El gráfico de esta hipérbola aparece en la Figura ( PageIndex {10} ).

Ejercicio ( PageIndex {3} )

Pon la ecuación (4y ^ 2−9x ^ 2 + 16y + 18x − 29 = 0 ) en forma estándar y grafica la hipérbola resultante. ¿Cuáles son las ecuaciones de las asíntotas?

Pista

Mueve la constante y completa el cuadrado. Compruebe en qué dirección se abre la hipérbola

Respuesta

( dfrac {(y + 2) ^ 2} {9} - dfrac {(x − 1) ^ 2} {4} = 1. ) Esta es una hipérbola vertical. Asíntotas (y = −2 ± dfrac {3} {2} (x − 1). )

Las hipérbolas también tienen interesantes propiedades reflectantes. Un rayo dirigido hacia un foco de una hipérbola es reflejado por un espejo hiperbólico hacia el otro foco. Este concepto se ilustra en la Figura ( PageIndex {11} ).

Esta propiedad de la hipérbola tiene importantes aplicaciones. Se utiliza en radiogoniometría (ya que la diferencia de señales de dos torres es constante a lo largo de hipérbolas) y en la construcción de espejos dentro de telescopios (para reflejar la luz procedente del espejo parabólico al ocular). Otro hecho interesante sobre las hipérbolas es que para un cometa que ingresa al sistema solar, si la velocidad es lo suficientemente grande como para escapar de la atracción gravitacional del Sol, entonces el camino que toma el cometa al pasar a través del sistema solar es hiperbólico.

Excentricidad y directriz

Una forma alternativa de describir una sección cónica implica las directrices, los focos y una nueva propiedad llamada excentricidad. Veremos que el valor de la excentricidad de una sección cónica puede definir de manera única esa cónica.

Definición: Excentricidad y Directrices

El excentricidad (e ) de una sección cónica se define como la distancia desde cualquier punto de la sección cónica hasta su foco, dividida por la distancia perpendicular desde ese punto a la directriz más cercana. Este valor es constante para cualquier sección cónica y también puede definir la sección cónica:

  1. Si (e = 1 ), la cónica es una parábola.
  2. Si (e <1 ), es una elipse.
  3. Si (e> 1, ) es una hipérbola.

La excentricidad de un círculo es cero. El directora de una sección cónica es la línea que, junto con el punto conocido como foco, sirve para definir una sección cónica. Las hipérbolas y elipses no circulares tienen dos focos y dos directrices asociadas. Las parábolas tienen un enfoque y una directriz.

Las tres secciones cónicas con sus directrices aparecen en la Figura ( PageIndex {12} ).

Recuerde de la definición de una parábola que la distancia desde cualquier punto de la parábola al foco es igual a la distancia desde ese mismo punto a la directriz. Por lo tanto, por definición, la excentricidad de una parábola debe ser 1. Las ecuaciones de las directrices de una elipse horizontal son (x = ± dfrac {a ^ 2} {c} ). El vértice derecho de la elipse está ubicado en ((a, 0) ) y el foco derecho es ((c, 0) ). Por lo tanto, la distancia del vértice al foco es (a − c ) y la distancia del vértice a la directriz derecha es ( dfrac {a ^ 2} {c} −c. ) Esto da la excentricidad como

[e = dfrac {a − c} { dfrac {a ^ 2} {c} −a} = dfrac {c (a − c)} {a ^ 2 − ac} = dfrac {c (a −c)} {a (a − c)} = dfrac {c} {a}. ]

Dado que (c a ), por lo que la excentricidad de una hipérbola es mayor que 1.

Ejemplo ( PageIndex {4} ): Determinación de la excentricidad de una sección cónica

Determine la excentricidad de la elipse descrita por la ecuación

( dfrac {(x − 3) ^ 2} {16} + dfrac {(y + 2) ^ 2} {25} = 1. )

Solución

De la ecuación vemos que (a = 5 ) y (b = 4 ). El valor de C se puede calcular usando la ecuación (a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 ) para una elipse. Sustituyendo los valores de a y B y resolviendo para C da (c = 3 ). Por lo tanto, la excentricidad de la elipse es (e = dfrac {c} {a} = dfrac {3} {5} = 0.6. )

Ejercicio ( PageIndex {4} )

Determine la excentricidad de la hipérbola descrita por la ecuación

( dfrac {(y − 3) ^ 2} {49} - dfrac {(x + 2) ^ 2} {25} = 1. )

Pista

Primero encuentra los valores de ayb, luego determina c usando la ecuación (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ).

Respuesta

(e = dfrac {c} {a} = dfrac { sqrt {74}} {7} ≈1.229 )

Ecuaciones polares de secciones cónicas

A veces es útil escribir o identificar la ecuación de una sección cónica en forma polar. Para hacer esto, necesitamos el concepto de parámetro focal. El parámetro focal de una sección cónica pag se define como la distancia desde un foco a la directriz más cercana. La siguiente tabla muestra los parámetros focales para los diferentes tipos de cónicas, donde a es la longitud del semieje mayor (es decir, la mitad de la longitud del eje mayor), C es la distancia desde el origen hasta el foco, y mi es la excentricidad. En el caso de una parábola, a representa la distancia desde el vértice hasta el foco.

Tabla ( PageIndex {1} ): Excentricidades y parámetros focales de las secciones cónicas
Cónico(mi)(pag)
Elipse (0 ( dfrac {a ^ 2 − c ^ 2} {c} = dfrac {a (1 − e ^ 2)} {c} )
Parábola (e = 1 ) (2a )
Hipérbola (e> 1 ) ( dfrac {c ^ 2 − a ^ 2} {c} = dfrac {a (e ^ 2−1)} {e} )

Usando las definiciones del parámetro focal y la excentricidad de la sección cónica, podemos derivar una ecuación para cualquier sección cónica en coordenadas polares. En particular, asumimos que uno de los focos de una sección cónica determinada se encuentra en el polo. Luego, utilizando la definición de las diversas secciones cónicas en términos de distancias, es posible demostrar el siguiente teorema.

Ecuación polar de secciones cónicas

La ecuación polar de una sección cónica con parámetro focal pag es dado por

(r = dfrac {ep} {1 ± e cos θ} ) o (r = dfrac {ep} {1 ± e sin θ}. )

En la ecuación de la izquierda, el eje mayor de la sección cónica es horizontal, y en la ecuación de la derecha, el eje mayor es vertical. Para trabajar con una sección cónica escrita en forma polar, primero haz que el término constante en el denominador sea igual a 1. Esto se puede hacer dividiendo tanto el numerador como el denominador de la fracción por la constante que aparece delante del más o menos. en el denominador. Entonces, el coeficiente del seno o coseno en el denominador es la excentricidad. Este valor identifica la cónica. Si el coseno aparece en el denominador, entonces la cónica es horizontal. Si aparece seno, entonces la cónica es vertical. Si aparecen ambos, los ejes se rotan. El centro de la cónica no está necesariamente en el origen. El centro está en el origen solo si la cónica es un círculo (es decir, (e = 0 )).

Ejemplo ( PageIndex {5} ): Graficar una sección cónica en coordenadas polares

Identificar y crear una gráfica de la sección cónica descrita por la ecuación.

(r = dfrac {3} {1 + 2 cos θ} ).

Solución

El término constante en el denominador es 1, por lo que la excentricidad de la cónica es 2. Esta es una hipérbola. El parámetro focal p se puede calcular usando la ecuación (ep = 3. ) Dado que (e = 2 ), esto da (p = dfrac {3} {2} ). La función coseno aparece en el denominador, por lo que la hipérbola es horizontal. Elija algunos valores para (θ ) y cree una tabla de valores. Luego podemos graficar la hipérbola (Figura ( PageIndex {13} )).

(θ ) (r ) (θ ) (r )
01 (π )−3
( dfrac {π} {4} ) ( dfrac {3} {1+ sqrt {2}} ≈1.2426 ) ( dfrac {5π} {4} ) ( dfrac {3} {1− sqrt {2}} ≈ − 7.2426 )
( dfrac {π} {2} )3 ( dfrac {3π} {2} )3
( dfrac {3π} {4} ) ( dfrac {3} {1− sqrt {2}} ≈ − 7.2426 ) ( dfrac {7π} {4} ) ( dfrac {3} {1+ sqrt {2}} ≈1.2426 )

Ejercicio ( PageIndex {5} )

Identificar y crear una gráfica de la sección cónica descrita por la ecuación.

(r = dfrac {4} {1−0,8 sin θ} ).

Pista

Primero encuentra los valores de mi y pagy luego cree una tabla de valores.

Respuesta

Aquí (e = 0.8 ) y (p = 5 ). Esta sección cónica es una elipse.

Ecuaciones generales de grado dos

Una ecuación general de grado dos se puede escribir en la forma

[Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0. ]

La gráfica de una ecuación de esta forma es una sección cónica. Si (B ≠ 0 ) entonces se rotan los ejes de coordenadas. Para identificar la sección cónica, usamos el discriminante de la sección cónica (4AC − B ^ 2. )

Identificación de la sección cónica

Uno de los siguientes casos debe ser cierto:

  1. (4AC − B ^ 2> 0 ). Si es así, el gráfico es una elipse.
  2. (4AC − B ^ 2 = 0 ). Si es así, la gráfica es una parábola.
  3. (4AC − B ^ 2 <0 ). Si es así, el gráfico es una hipérbola.

El ejemplo más simple de una ecuación de segundo grado que involucra un término cruzado es (xy = 1 ). Esta ecuación se puede resolver para (y ) para obtener (y = dfrac {1} {x} ). La gráfica de esta función se llama hipérbola rectangular como se muestra.

Las asíntotas de esta hipérbola son los ejes de coordenadas (x ) y (y ). Para determinar el ángulo θ de rotación de la sección cónica, usamos la fórmula ( cot 2θ = frac {A − C} {B} ). En este caso (A = C = 0 ) y (B = 1 ), entonces ( cot 2θ = (0−0) / 1 = 0 ) y (θ = 45 ° ). El método para graficar una sección cónica con ejes rotados implica determinar los coeficientes de la cónica en el sistema de coordenadas rotado. Los nuevos coeficientes están etiquetados como (A ′, B ′, C ′, D ′, E ′, ) y (F ′, ) y están dados por las fórmulas

[ begin {align} A ′ & = A cos ^ 2θ + B cos θ sin θ + C sin ^ 2 θ B ′ & = 0 C ′ & = A sin ^ 2 θ −B sin θ cos θ + C cos ^ 2θ D ′ & = D cos θ + E sin θ E ′ & = - D sin θ + E cosθ F ′ & = F. end {align} ]

Procedimiento: graficar una cónica rotada

El procedimiento para graficar una cónica rotada es el siguiente:

  1. Identifica la sección cónica usando el discriminante (4AC − B ^ 2 ).
  2. Determine (θ ) usando la fórmula [ cot2θ = dfrac {A − C} {B} label {rot}. ]
  3. Calcula (A ′, B ′, C ′, D ′, E ′ ) y (F ′ ).
  4. Reescribe la ecuación original usando (A ′, B ′, C ′, D ′, E ′ ) y (F ′ ).
  5. Dibuja una gráfica usando la ecuación rotada.

Ejemplo ( PageIndex {6} ): identificación de una cónica rotada

Identificar la cónica y calcular el ángulo de rotación de los ejes para la curva descrita por la ecuación

[13x ^ 2−6 sqrt {3} xy + 7y ^ 2−256 = 0. ]

Solución

En esta ecuación, (A = 13, B = −6 sqrt {3}, C = 7, D = 0, E = 0, ) y (F = −256 ). El discriminante de esta ecuación es

[4AC − B ^ 2 = 4 (13) (7) - (- 6 sqrt {3}) ^ 2 = 364−108 = 256. ]

Por tanto, esta cónica es una elipse.

Para calcular el ángulo de rotación de los ejes, use la Ecuación ref {rot}

[ cot 2θ = dfrac {A − C} {B}. ]

Esto da

( cot 2θ = dfrac {A − C} {B} = dfrac {13−7} {- 6 sqrt {3}} = - dfrac { sqrt {3}} {3} ).

Por lo tanto (2θ = 120 ^ o ) y (θ = 60 ^ o ), que es el ángulo de rotación de los ejes.

Para determinar los coeficientes rotados, use las fórmulas dadas arriba:

(A ′ = A cos ^ 2θ + B cos θ sinθ + C sin ^ 2θ )

(= 13 cos ^ 260 + (- 6 sqrt {3}) cos 60 sin 60 + 7 sin ^ 260 )

(= 13 ( dfrac {1} {2}) ^ 2−6 sqrt {3} ( dfrac {1} {2}) ( dfrac { sqrt {3}} {2}) + 7 ( dfrac { sqrt {3}} {2}) ^ 2 )

(=4,)

(B ′ = 0 )

(C ′ = A sin ^ 2θ − B sin θ cos θ + C cos ^ 2θ )

(= 13 sin ^ 260 + (- 6 sqrt {3}) sin 60 cos 60 = 7 cos ^ 260 )

(= ( dfrac { sqrt {3}} {2}) ^ 2 + 6 sqrt {3} ( dfrac { sqrt {3}} {2}) ( dfrac {1} {2}) +7 ( dfrac {1} {2}) ^ 2 )

(=16,)

(D ′ = Dcosθ + Esinθ )

(= (0) cos60 + (0) sin60 )

(=0,)

(E ′ = - Dsinθ + Ecosθ )

(= - (0) sen60 + (0) cos60 )

(=0)

(F ′ = F )

(=−256.)

La ecuación de la cónica en el sistema de coordenadas rotadas se convierte en

(4 (x ′) ^ 2 + 16 (y ′) ^ 2 = 256 )

( dfrac {(x ′) ^ 2} {64} + dfrac {(y ′) ^ 2} {16} = 1 ).

Un gráfico de esta sección cónica aparece como sigue.

Ejercicio ( PageIndex {6} )

Identificar la cónica y calcular el ángulo de rotación de los ejes para la curva descrita por la ecuación

[3x ^ 2 + 5xy − 2y ^ 2−125 = 0. ]

Pista

Siga los pasos 1 y 2 del método de cinco pasos descrito anteriormente.

Respuesta

La cónica es una hipérbola y el ángulo de rotación de los ejes es (θ = 22.5 °. )

Conceptos clave

  • La ecuación de una parábola vertical en forma estándar con foco y directriz dados es (y = dfrac {1} {4p} (x − h) ^ 2 + k ) donde (p ) es la distancia desde el vértice al foco y ((h, k) ) son las coordenadas del vértice.
  • La ecuación de una elipse horizontal en forma estándar es ( dfrac {(x − h) ^ 2} {a ^ 2} + dfrac {(y − k) ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) donde the center has coordinates ((h,k)), the major axis has length 2a, the minor axis has length 2b, and the coordinates of the foci are ((h±c,k)), where (c^2=a^2−b^2).
  • The equation of a horizontal hyperbola in standard form is (dfrac{(x−h)^2}{a^2}−dfrac{(y−k)^2}{b^2}=1) where the center has coordinates ((h,k)), the vertices are located at ((h±a,k)), and the coordinates of the foci are ((h±c,k),) where (c^2=a^2+b^2).
  • The eccentricity of an ellipse is less than 1, the eccentricity of a parabola is equal to 1, and the eccentricity of a hyperbola is greater than 1. The eccentricity of a circle is 0.
  • The polar equation of a conic section with eccentricity mi is (r=dfrac{ep}{1±ecosθ}) or (r=dfrac{ep}{1±esinθ}), where pag represents the focal parameter.
  • To identify a conic generated by the equation (Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0),first calculate the discriminant (D=4AC−B^2). If (D>0) then the conic is an ellipse, if (D=0) then the conic is a parabola, and if (D<0) then the conic is a hyperbola.

Glosario

conic section
a conic section is any curve formed by the intersection of a plane with a cone of two nappes
directora
a directrix (plural: directrices) is a line used to construct and define a conic section; a parabola has one directrix; ellipses and hyperbolas have two
discriminante
the value (4AC−B^2), which is used to identify a conic when the equation contains a term involving (xy), is called a discriminant
atención
a focus (plural: foci) is a point used to construct and define a conic section; a parabola has one focus; an ellipse and a hyperbola have two
eccentricity
the eccentricity is defined as the distance from any point on the conic section to its focus divided by the perpendicular distance from that point to the nearest directrix
focal parameter
the focal parameter is the distance from a focus of a conic section to the nearest directrix
forma general
an equation of a conic section written as a general second-degree equation
major axis
the major axis of a conic section passes through the vertex in the case of a parabola or through the two vertices in the case of an ellipse or hyperbola; it is also an axis of symmetry of the conic; also called the transverse axis
minor axis
the minor axis is perpendicular to the major axis and intersects the major axis at the center of the conic, or at the vertex in the case of the parabola; also called the conjugate axis
nappe
a nappe is one half of a double cone
forma estándar
an equation of a conic section showing its properties, such as location of the vertex or lengths of major and minor axes
vértice
a vertex is an extreme point on a conic section; a parabola has one vertex at its turning point. An ellipse has two vertices, one at each end of the major axis; a hyperbola has two vertices, one at the turning point of each branch

Conic Sectons (Circle) - Part (5)

Write down the coordinates of the centre and the radius of each of thefollowing circles.

Find the equation of a circle with diameter PQ, where the coordinates of $P$ and $Q$ are $(𕒶, 1)$ and $(4, 3)$ respectively. Hence graph the circle.

Let the centre of the circle br $O$.

Therefore, $O$ is the midpoint of circle.

$egin herefore ext < center >&=left(displaystylefrac<-2+4><2>, displaystylefrac<1+3><2> ight) &=left(displaystylefrac<2><2>, displaystylefrac<4><2> ight) &=(1,2) ext < radius >&=O Q &=sqrt<(4-1)^<2>+(3-2)^<2>> &=sqrt <10>end$

$ herefore$ The equation of circle is $(x-1)^<2>+(y-2)^<2>=10$.

Find the equation of a circle which touches the $x$-axis and whose centre is $O(𕒷, 5)$.

Since the circle touches $x$-axis, the point $(𕒷, 0)$ lies on the circumference of the circle.

$ herefore$ The equation of circle is

Find the centre and the radius of the circle $x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0$


Conic Sections (Parabola) - Part 1

Find the equation of the parabola with focus at (0, 4) and directrix the line y=-4.

Since the focus is on the positive y-axis at (0, 4) and the directrix is a horizontal line y=-4, the vertex of the parabola is (0,0).

The equation of the parabola is of the form $x^2=4py$ where $p=4$.

$ herefore x^2=4(4)y ext y=displaystylefrac<16>$

Example (2)
Find the focus and directrix of the parabola $y^2= 10x$.

$egin 4p=10 p=displaystylefrac<10><4>=displaystylefrac<5><2> herefore ext= (p,0)= displaystyle left( <2>,0> ight) ext: x=-p Rightarrow x= -displaystylefrac<5> <2>end$

Find the equation of a parabola whose vertex is at (0, 0). If the axis of symmetry of the parabola is the $x$-axis and the point $displaystyle left( <-frac<1><2>,2> ight)$ lies on the graph. Find its focus and directrix, and graph the equation.

$ herefore$ The parabola opens to the left and its equation is of the form $y^2=-4px$

Since $ left( <-displaystylefrac<1><2>,2> ight)$ lies on parabola,

$ herefore$ The equation of parabola : $y^2=-4(2)xRightarrow y^2=-8x$

Hence the parabola passes through the points $(-2,4)$, $displaystyle left( <-frac<1><2>,2> ight)$, $(0,0)$ and $(-2,-4)$.


Conic Section

Length of major axis = 2a = 2 * $sqrt <10>$ = 2$sqrt <10>$.

Length of minor axis = 2b = 2 $sqrt 5 $.

Here, the major axis is along y &ndash axis.

The coordinates of the vertices = (0,±a) = (0,±4)

Length of major axis = 2a = 2 * 4 = 8.

Length of minor axis = 2b = 2 * 3 = 6.

Here, the major axis is along y &ndash axis.

The coordinates of the vertices = (0,±a) = (0,±5).

Length of major axis = 2a = 2 * 5 = 10.

Length of minor axis = 2b = 2 * 2 = 4.

Here, the major axis is along y &ndash axis.

The coordinates of the vertices = (±a,0) = (±2$sqrt 3 $,0).

The coordinates of the foci = (±ae,0) = (±2$sqrt 3 $ * $frac<1><2>$, 0) = (±$sqrt 3 $,0).

Length of major axis = 2a = 2 * 2$sqrt 3 $ = 4$sqrt 3 $.

Length of minor axis = 2b = 2 *3 = 6.

b 2 = a 2 (1 &ndash e 2 ) = 25 $left( <1 - frac<4><<25>>> ight)$ = 21.

The equation of the ellipse is:

Or, b 2 = a 2 (1 &ndash e 2 ) = 25 $left( <1 - frac<4><9>> ight)$ = $frac<<125>><9>$.

Soln:
Major axis is along the y &ndash axis.

Or, b 2 = a 2 (1 &ndash e 2 ) = 225$left( <1 - frac<1><9>> ight)$ = 200.

The equation of the ellipse is:

Major axis along the y &ndashaxis.

The equation of the ellipse is:

Major axis is along the y &ndash axis.

Since it passes through $left( <3,frac<<32>><5>> ight)< m<: >>$, so.

The equation of the ellipse is $frac<<<< m>^2>>><<25>>$ + $frac<<<< m>^2>>><<64>>$ = 1 [from(i)]

It passes through (1,4) and (-3,2),so.

Solving there two equations,

Comparing h = - 2,k = 5, a 2 = 16, b 2 = 9.

The coordinates of the vertices = (h ± a,k)

So, the coordinates of the centre = $left( ><2>,frac<<5 + 5>><2>> ight)$ = (-2,5).

The coordinate of the foci = (h ± ae,k) = (- 2 ± 4 * $frac<><4>$,5)

The major axis is along the y &ndash axis.

y = - 6, k = 0, a 2 = 36, b 2 = 4.

The coordinates of the vertices = (h,k ± a) = (-6,0 ± 6) = (-6,±6).

The coordinates of the centre = $left( ><2>,frac<<6 - 6>><2>> ight)$.

The coordinates of the foci = (h,k ± ae).

Major axis is along the y &ndash axis.

Here, a 2 = 12, b 2 = 8, h = 0, k = 2.

The coordinates of the vertices = (h,k ± a) = (0,2 ± 2$sqrt 3 $) = (0,2).

The coordinates of the foci = (h,k ± ae) = $left( <0,2 pm sqrt 3 .frac<1><>> ight)$.

Given ellipse, is 9x 2 + 5(y 2 &ndash 6y) = 0

The given ellipse is, x 2 + 4y 2 &ndash 4x + 24y + 24 = 0.

Or, (x &ndash 2) 2 + 4(y + 3) 2 = 4 + 36 &ndash 24 = 16

So, a 2 = 16, b 2 = 4 and centre (h,k) = (2,-3).

The equation of the ellipse is:

The equation of the ellipse is:

So, distance between foci, 2ae = 8.

So, ae = 4 and semi &ndash latus rectum $frac<<<< m>^2>>><< m>>$ = 6.


Eccentricity of Conics

To each conic section (ellipse, parabola, hyperbola) there is a number called the eccentricity that uniquely characterizes the shape of the curve. A circle has eccentricity 0, an ellipse between 0 and 1, a parabola 1, and hyperbolae have eccentricity greater than 1.

Although you might think that y=2x 2 and y=x 2 have different “shapes” because the former is skinnier, they really have the same “shape” (and thus same eccentricity) because the first curve is just the second curve viewed twice as far away (i.e., x and y are both increased by a factor of 2).

One way to define a conic section is to specify a line in the plane, called the directora, and a point in the plane off of the line, called the atención. The conic section is then the set of all points whose distance to the focus is a constant times the distance to the directrix. This constant is the eccentricity.

It is easy to see that as the eccentricity of an ellipse grows, the ellipse becomes skinnier. The formula for the ellipse also shows that every ellipse can be obtained by taking a circle in a plane, lifting it up and out, tilting it, and projecting it back into the plane.

Surprise: the eccentricity is equal to the sine of the angle of this tilt!

Presentation Suggestions:
If students are puzzled why the circle has eccentricity zero, you might explain that its directrix is the line “at infinity” in the projective plane.

The Math Behind the Fact:
Conic sections take their name from the fact that one can also obtain them by slicing a cone by a plane at various angles. Yet another way to obtain a conic section is by starting with a circle and performing a geometric transformation called reciprocation. The focus, directrix and eccentricity fall out as obvious parameters of this reciprocation operation. This approach to conic sections comes from the field of projective geometry.


Worked Examples

Find the vertex, focus, and directrix of the parabola given by $(x - 3)^2 = 8(y + 1)$. Hence graph the parabola.

Comparing with $(x - h)^2 = 4p(y - k)$, whe have

$h=3, k=-1$ and $4p = 8Rightarrow p=2$

$ herefore ext = (h, k) = (3, -1)$.

Find the vertex, focus, and directrix of the parabola given by $y^2 + 2y + 12x - 23 = 0$. Hence graph the parabola.

Find the vertex and equation of parabola with its focus at $(3,2)$ and the directrix is $x=-1$. Hence sketch the graph. Solución

Since the directrix is a vertical line it is horizontal parabola which opens to the right.

For a horizontal parabola, focus = $(h+p, k)$

$ herefore (h+p, k)=(3, 2)Rightarrow h + p = 3 ext k=2$

For a horizontal parabola the equation of directrix is $x = h - p$.

Solving the equations $h + p = 3$ and $h - p=-1$, we get $h=1$ and $p=2$.


2 respuestas 2

This is a quadratic equation in $t$ , which you can easily solve to get the $t$ values at the intersections (if any). Then you substitute these $t$ values back into the line equation to get the points of intersection.

Projective geometry textbooks from the 19th and early 20th centuries are the best place to find recipes for constructions like this.

The basic idea is to construct an involution on the line, the fixed points of which are the points of intersection of the line and conic.

One such construction is given in Cremona, Projective Geometry, Art. 212 (pg 211). You'll notice it's more work than finding more points on the conic, but it'll expand your toolkit of constructions.

The excerpted diagram below shows the five points $O,O',A,B,C$ that define the conic, along with the line $s$ . The points $M,N$ are the points of intersection of the line and conic, and are constructed via a reverse and forward stereographic projection to and from a circle. How cool is that?


Conic Section

Here, axis is parallel to y &ndash axis. So, the equation of the parabola is:

Since, the axis is parallel to x &ndash axis, so,

a = distance between (-5 ,3) and (- 1, - 3).

The equation of the parabola is:

Or, (y + 3) 2 = 4 * 4(x + 5) à (y + 3) 2 = 16(x + 5).

(y &ndash k) 2 = 4a(x &ndash h) &hellip. (1) where (h,k) is the vertex.

The parabola (1) passes through (3,7) and (3,-1),so,

From (2) and (3), we have, (7 &ndash k) 2 = (- 1 &ndash k) 2

Or, 49 &ndash 14k + k 2 = 1+ 2k + k 2 .

Thus, from (1), (y &ndash 3) 2 = 16(x &ndash 2).

Vertex(h,k) = (-1,2), a = - 1 &ndash 4 = - 5.

So, required parabola is, (y &ndash 2) 2 = 4a(x + 1).

Here, axis is parallel to y &ndash axis.

The equation of the parabola is:

Let P(x,y) be the point on the locus.

So, the required parabola is,

Or, 5(x 2 + 6x + 9 + y 2 &ndash 8y + 16) = 4x 2 + y 2 + 25 &ndash 4xy &ndash 10y + 20x.

So, x 2 + 4y 2 + 4xy + 10x &ndash 30y + 100 = 0.

Focus of the parabola = (a,0) = (4,0)

Vertex of the parabola = (h,k) = (0,0)

Eq. of the directrix is x = - a.

Focus of the parabola = (0,a) = (0,3).

Vertex of the parabola = (h,k) = (0,0).

Equation of the directrix is:

Length if the latus rectum = 4a = 12.

So, vertex(h,k) = (- 2,0) and a = - 1.

So, focus (h + a,k) = ( - 2 &ndash 1, 0) = (-3,0)

Directrix, x = h &ndash a = - 2 &ndash (- 1) = - 1.

Or, y 2 &ndash 6y + 9 = - 12x + 45 + 9.

Comparing, h = $frac<9><2>$, k = 3, 4a = - 12.

Focus of the parabola = (h + a,k) = $left( <2>- 3,3> ight)$ = $left( <2>,3> ight)$.

Vertex of the parabola = (h,k) = $left( <2>,3> ight)$.

Equation of the directrix is:

Length of the latus rectum = 12

Comparing, h = - 1, k = 2, 4a = - 8. So, a = -2.

Focus of the parabola = (h,k + a) = (- 1, 2 &ndash 2) = (-1 , 0).

Vertex of the parabola = (h,k) = (-1,2)

Equation of the directrix is:

So, length of the latus rectum = 4a = 8.

Vertex of the parabola = (0,0)

Double ordinate of parabola = PP&rsquo = 4a

i.e. the y &ndash coordinates of P and P&rsquo are 2a and &ndash 2a.

Let the abscissa of P (or P&rsquo) be x&rsquo. Then the coordinates of P (of P&rsquo) will satisfy y 2 = 2ax.

So, the coordinates of P and P&rsquo are (2a,2a) and (2a,-2a) respectively,

Vertex of the parabola = O(0,0)

Let OA be any chord through the vertex O.

Where, m is the slope of line (ii),

Let P(h,k) be the middle point of OA.

Putting the value of m in (iii),

So, the required locus to the middle point P(h,k) is

Which is a parabola and its latus rectum = 2a.

Focus of the parabola = S(a,0)

Let AB be any chord passing through the focus S. Let its equation be

Where, m is the slope of the chord (ii).

Let P(h,k) be the mid- point of the chord AB.

Eliminating x between (i) and (ii),

This is quadratic in y. It has two roots, Let y1 and y2 be two roots, Then y1 + y2 = $ - left( >><< m>>> ight)$.

So, the locus of the middle point P(h,k) of any chord AB is:

The coordinates of the ends P and Q of the latus rectum are (a,2a) and (a,-2a) respectively.

The equation of the directrix is x = - a and the equation of the axis of y = 0.

So, the coordinates of the point of intersection of the axis and the directrix are (-a,0).


Mathematics MCQs | Conic Sections – Parabola

(a) 2a 2

2. If two normals at P and Q of a parabola y 2 = 4ax intersect at a third point R on the curve, then the product of ordinates of P and Q is

3. The length of the subnormal to the parabola y 2 = 4ax at any point is equal to

(a) a

(b) 2a

(C)

4. The number of tangents to the parabola y 2 = 8x through (2, 1) is

5. If the line x – 1 = 0 is the directrix of the parabola y 2 – kx + 8 = 0, then one of the values of k is

(a)

(d)

6. If the point P (4, – 2) is one end of the focal chord PQ of the parabola y 2 = x, then the slope of the tangent at Q is

(a) –

(b)

7. The equation of the parabola whose vertex and focus lie on the x– axis at distances a and a1 from the origin respectively, is

8. If (2, 0) is the vertex and y– axis the directrix of the parabola, then the focus is

9. If the normals at t1 and t2 meets on the parabola then

(a) t2 = – t1

10. The graph represented by the equations x = sin 2 t, y = 2 cost is

11. The point of intersection of the tangents of the parabola y 2 = 4x at the points, where the parameter t has the value 1 and 2 are

12. If the line y = x + k is a normal to the parabola y 2 = 4x then k can have the value

13 The tangents from the origin to the parabola y 2 + 4 = 4x inclined of

14. Normal at point to the parabola y 2 = 4ax where abscissa is equal to ordinate, will meet the parabola again at a point

15. If the focus of the parabola is (–2, 1) and the directrix has the equation x + y = 3 then the vertex is

16. The locus of the point from which tangents to a parabola are at right angles is a

17. Given the two ends of the latus rectum, the maximum number of parabolas that can be drawn is

18. The Cartesian equation of the curve whose parametric equations are x = t 2 + 2t + 3 and y = t + 1 is

19. If line y = 2x + is tangent to y 2 = 4ax, then a is equal to

20. The shortest distance between the parabola y 2 = 4x and the circle x 2 + y 2 + 6x – 12y + 20 = 0 is

(a) 4

(c) 3 +5


8.5 Conic Sections in Polar Coordinates

Most of us are familiar with orbital motion, such as the motion of a planet around the sun or an electron around an atomic nucleus. Within the planetary system, orbits of planets, asteroids, and comets around a larger celestial body are often elliptical. Comets, however, may take on a parabolic or hyperbolic orbit instead. And, in reality, the characteristics of the planets’ orbits may vary over time. Each orbit is tied to the location of the celestial body being orbited and the distance and direction of the planet or other object from that body. As a result, we tend to use polar coordinates to represent these orbits.

In an elliptical orbit, the periapsis is the point at which the two objects are closest, and the apoapsis is the point at which they are farthest apart. Generally, the velocity of the orbiting body tends to increase as it approaches the periapsis and decrease as it approaches the apoapsis. Some objects reach an escape velocity, which results in an infinite orbit. These bodies exhibit either a parabolic or a hyperbolic orbit about a body the orbiting body breaks free of the celestial body’s gravitational pull and fires off into space. Each of these orbits can be modeled by a conic section in the polar coordinate system.

Identifying a Conic in Polar Form

Any conic may be determined by three characteristics: a single focus , a fixed line called the directrix , and the ratio of the distances of each to a point on the graph. Consider the parabola x = 2 + y 2 x = 2 + y 2 shown in Figure 2.

In The Parabola, we learned how a parabola is defined by the focus (a fixed point) and the directrix (a fixed line). In this section, we will learn how to define any conic in the polar coordinate system in terms of a fixed point, the focus P ( r , θ ) P ( r , θ ) at the pole, and a line, the directrix, which is perpendicular to the polar axis.


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