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4.6: Funciones lineales - Cálculos - Matemáticas


Cuando suba a un taxi en Las Vegas, el taxímetro leerá inmediatamente $ 3.50; este es el cargo de “gota” que se hace cuando se activa el taxímetro. Este capítulo es parte de Precálculo: una investigación de funciones © Lippman & Rasmussen 2017. Usando variables descriptivas, elegimos (m ) para millas y (C ) para Costo en dólares en función de millas: (C (m) ).

Sabemos con certeza que (C (0) = 3.50 ), ya que el cargo por envío de $ 3.50 se calcula independientemente de cuántas millas se conduzcan. Como se agrega $ 2.67 por cada milla recorrida, entonces

[C (1) = 3.50 + 2.67 = 6.17 nonumber ]

Si luego recorrimos una segunda milla, se agregarían otros $ 2.67 al costo:

[C (2) = 3.50 + 2.67 + 2.67 = 3.50 + 2.67 (2) = 8.84 nonumber ]

Si recorrimos un tercio de milla, se agregarían otros $ 2.67 al costo:

[C (3) = 3.50 + 2.67 + 2.67 + 2.67 = 3.50 + 2.67 (3) = 11.51 nonumber ]

A partir de esto, podemos observar el patrón y concluir que si se recorren (m ) millas,

(C (m) = 3.50 + 2.67m ) porque comenzamos con una tarifa de caída de $ 3.50 y luego por cada aumento de milla agregamos $ 2.67.

Es bueno verificar que las unidades tengan sentido en esta ecuación. El cargo por envío de $ 3.50 se mide en dólares; el cargo de $ 2.67 se mide en dólares por milla.

[C (m) = 3.50 text {dólares} + left (2.67 dfrac { text {dólares}} { text {milla}} right) left (m ; text {millas} right )sin número ]

Cuando los dólares por milla se multiplican por un número de millas, el resultado es un número de dólares, haciendo coincidir las unidades en el 3.50 y haciendo coincidir las unidades deseadas para el C función.

Observe que esta ecuación (C (m) = 3.50 + 2.67m ) constaba de dos cantidades. El primero es el cargo fijo de $ 3.50 que no cambia según el valor de la entrada. El segundo es el valor de $ 2.67 dólares por milla, que es un tasa de cambio. En la ecuación, esta tasa de cambio se multiplica por el valor de entrada.

Al observar este mismo problema en formato de tabla, también podemos ver los cambios de costo en $ 2.67 por cada aumento de 1 milla.

(metro)0123
(Cm))3.506.178.8411.51

Es importante notar aquí que en esta ecuación, el la tasa de cambio es constante; en cualquier intervalo, la tasa de cambio es la misma.

Graficando esta ecuación, (C (m) = 3.50 + 2.67m ) vemos que la forma es una línea, que es como estas funciones obtienen su nombre: funciones lineales.

Cuando el número de millas es cero, el costo es $ 3.50, lo que da el punto (0, 3.50) en la gráfica. Esta es la intersección vertical o (C (m) ). La gráfica aumenta en línea recta de izquierda a derecha porque por cada milla el costo aumenta $ 2.67; esta tasa se mantiene constante.

En este ejemplo, ha visto el costo del taxi modelado en palabras, una ecuación, una tabla y en forma gráfica. Siempre que sea posible, asegúrese de poder vincular estas cuatro representaciones para desarrollar continuamente sus habilidades. Es importante tener en cuenta que no siempre podrá encontrar las 4 representaciones de un problema, por lo que es muy importante poder trabajar con las 4 formas.

Definición: función lineal

A función lineal es una función cuya gráfica produce una línea. Las funciones lineales siempre se pueden escribir en la forma

(f (x) = b + mx ) o (f (x) = mx + b ); son equivalentes

donde

  • (b ) es el valor inicial o inicial de la función (cuando se ingresa, x = 0), y
  • (m ) es la tasa de cambio constante de la función

A muchas personas les gusta escribir funciones lineales en la forma (f (x) = b + mx ) porque corresponde a la forma en que tendemos a hablar: “La salida comienza en (b ) y aumenta a una tasa de (metro)."

Solo por esta razón usaremos la forma (f (x) = b + mx ) para muchos de los ejemplos, pero recuerde que son equivalentes y se pueden escribir correctamente en ambos sentidos.

Definición: pendiente y creciente / decreciente

(m ) es la tasa de cambio constante de la función (también llamada Pendiente). Pendiente La pendiente determina si la función es una función creciente o una función decreciente.

(f (x) = b + mx ) es una creciente función si (m> 0 )

(f (x) = b + mx ) es una decreciente función si (m <0 )

Si (m = 0 ), la tasa de cambio es cero y la función (f (x) = b + 0x = b ) es solo una línea horizontal que pasa por el punto (0, (b )) , ni aumentando ni disminuyendo.

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Marcus actualmente posee 200 canciones en su colección de iTunes. Cada mes, agrega 15 canciones nuevas. Escribe una fórmula para el número de canciones, (N ), en su colección de iTunes en función del número de meses, (m ). ¿Cuántas canciones tendrá en un año?

Solución

El valor inicial para esta función es 200, ya que actualmente posee 200 canciones, entonces (N (0) = 200 ). El número de canciones aumenta en 15 canciones por mes, por lo que la tasa de cambio es de 15 canciones por mes. Con esta información, podemos escribir la fórmula:

[N (m) = 200 + 15m nonumber ]

(N (m) ) es una función lineal creciente. Con esta fórmula podemos predecir cuántas canciones tendrá en 1 año (12 meses):

[N (12) = 200 + 15 (12) = 200 + 180 = 380 nonumber ] Marcus tendrá 380 canciones en 12 meses.

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Si gana $ 30,000 por año y gasta $ 29,000 por año, escriba una ecuación para la cantidad de dinero que ahorrará después y años, si empiezas sin nada.

“¡Lo más importante, gasta menos de lo que ganas! (http://www.thesimpledollar.com/2009/...than-you-earn/)

Respuesta

(S (y) = 30,000y - 29,000y = 1000y ) Se ahorran $ 1000 cada año.

Definición: cálculo de la tasa de cambio

Dados dos valores para la entrada, (x_ {1} { rm ; y ;} x_ {2} ), y dos valores correspondientes para la salida, (y_ {1} { rm ; y ;} y_ {2} ), o un conjunto de puntos, ((x_ {1} { rm, ; ;} y_ {1}) ) y ((x_ {2} { rm, ; ;} y_ {2}) ), si deseamos encontrar una función lineal que contenga ambos puntos podemos calcular la tasa de cambio, metro:

[m = dfrac { rm change ; en; salida} { rm change ; en; entrada} = dfrac { Delta y} { Delta x} = dfrac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} ]

La tasa de cambio de una función lineal también se llama Pendiente de la línea.

Observe en la notación de funciones, (y_ {1} = f (x_ {1}) ) y (y_ {2} = f (x_ {2}) ), por lo que podríamos escribir de manera equivalente

[m = dfrac {f left (x_ {2} right) -f left (x_ {1} right)} {x_ {2} -x_ {1}} ]

Ejemplo ( PageIndex {2} )

La población de una ciudad aumentó de 23,400 a 27,800 entre 2002 y 2006. Calcula la tasa de cambio de la población durante este período de tiempo.

Solución

La tasa de cambio relacionará el cambio en la población con el cambio en el tiempo. La población aumentó en (27800-23400 = 4400 ) personas durante el intervalo de tiempo de 4 años. Para encontrar la tasa de cambio, el número de personas por año que la población cambió por:

[ dfrac {4400 text {personas}} {4 text {años}} = 1100 dfrac { text {personas}} { text {año}} = 1100 text {personas por año} nonumber ]

Observe que sabíamos que la población estaba aumentando, por lo que esperaríamos que nuestro valor para (m ) fuera positivo. Esta es una forma rápida de verificar si su valor es razonable.

Ejemplo ( PageIndex {3} )

La presión, (P ), en libras por pulgada cuadrada (PSI) en un buzo depende de su profundidad debajo de la superficie del agua, (d ), en pies, siguiendo la ecuación (P (d) = 14.696 + 0,434d ). Interprete los componentes de esta función.

Solución

La tasa de cambio, o pendiente, 0.434 tendría unidades ( dfrac { text {salida}} { text {entrada}} = dfrac { text {presión}} { text {profundidad}} = dfrac { text {PSI}} { text {ft}} ). Esto nos dice que la presión sobre el buceador aumenta en 0.434 PSI por cada pie que aumenta su profundidad.

El valor inicial, 14,696, tendrá las mismas unidades que la salida, por lo que nos dice que a una profundidad de 0 pies, la presión sobre el buceador será de 14,696 PSI.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Si (f (x) ) es una función lineal, (f (3) = - 2 ) y (f (8) = 1 ), encuentre la tasa de cambio.

Solución

(f (3) = - 2 ) nos dice que la entrada 3 corresponde con la salida -2, y (f (8) = 1 ) nos dice que la entrada 8 corresponde con la salida 1. Para encontrar la tasa de cambio, dividimos el cambio en la producción por el cambio en la entrada:

[m = dfrac { text {cambio en la salida}} { text {cambio en la entrada}} = dfrac {1 - (- 2)} {8-3} = dfrac {3} {5} nonumber ] Si lo desea, también podríamos escribir esto como (m = 0.6 )

Tenga en cuenta que no es importante qué par de valores aparece primero en las restas siempre que el primer valor de salida utilizado corresponda con el primer valor de entrada utilizado.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Dados los dos puntos (2, 3) y (0, 4), encuentre la tasa de cambio. ¿Esta función aumenta o disminuye?

Respuesta

(m = dfrac {4-3} {0-2} = dfrac {1} {- 2} = - dfrac {1} {2} ); Decreciente porque (m <0 )

Ahora podemos encontrar la tasa de cambio dados dos pares de entrada-salida, y podemos escribir una ecuación para una función lineal una vez que tenemos la tasa de cambio y el valor inicial. Si tenemos dos pares de entrada-salida y no incluyen el valor inicial de la función, entonces tendremos que resolverlo.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Escribe una ecuación para la función lineal graficada a la derecha.

Solución

Mirando la gráfica, podemos notar que pasa por los puntos (0, 7) y (4, 4). A partir del primer valor, sabemos que el valor inicial de la función es (b = 7 ), por lo que en este caso solo necesitaremos calcular la tasa de cambio:

[m = dfrac {4-7} {4-0} = dfrac {-3} {4} nonumber ]

Esto nos permite escribir la ecuación:

[f (x) = 7- dfrac {3} {4} x nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {6} )

Si (f (x) ) es una función lineal, (f (3) = - 2 ) y (f (8) = 1 ), encuentra una ecuación para la función.

Solución

En el ejemplo 3, calculamos que la tasa de cambio es (m = dfrac {3} {5} ). En este caso, no conocemos el valor inicial (f (0) ), por lo que tendremos que resolverlo. Usando la tasa de cambio, sabemos que la ecuación tendrá la forma (f (x) = b + dfrac {3} {5} x ). Como conocemos el valor de la función cuando (x = 3 ), podemos evaluar la función en 3.

[f (3) = b + dfrac {3} {5} (3) nonumber ] Como sabemos que (f (3) = - 2 ), podemos sustituir en el lado izquierdo

[- 2 = b + dfrac {3} {5} (3) nonumber ] Esto nos deja con una ecuación que podemos resolver para el valor inicial

[b = -2- dfrac {9} {5} = dfrac {-19} {5} nonumber ]

Combinando esto con el valor de la tasa de cambio, ahora podemos escribir una fórmula para esta función:

[f (x) = dfrac {-19} {5} + dfrac {3} {5} x nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {7} )

Trabajando como vendedor de seguros, Ilya gana un salario base y una comisión por cada nueva póliza, por lo que los ingresos semanales de Ilya, (I ), dependen de la cantidad de nuevas pólizas, (n ), que vende durante la semana. La semana pasada vendió 3 pólizas nuevas y ganó $ 760 por semana. La semana anterior, vendió 5 pólizas nuevas y ganó $ 920. Encuentre una ecuación para (I (n) ) e interprete el significado de los componentes de la ecuación.

Solución

La información dada nos da dos pares de entrada-salida: (3.760) y (5.920). Empezamos por encontrar la tasa de cambio.

[m = dfrac {920-760} {5-3} = dfrac {160} {2} = 80 nonumber ]

Hacer un seguimiento de las unidades puede ayudarnos a interpretar esta cantidad. Los ingresos aumentaron $ 160 cuando el número de pólizas aumentó en 2, por lo que la tasa de cambio es de $ 80 por póliza; Ilya gana una comisión de $ 80 por cada póliza vendida durante la semana.

Entonces podemos resolver el valor inicial

[I (n) = b + 80n nonumber ] entonces cuando (n = 3 ), (I (3) = 760 ), dando

[760 = b + 80 (3) nonumber ] esto nos permite resolver para (b )

[b = 760-80 (3) = 520 nonumber ]

Este valor es el valor inicial de la función. Estos son los ingresos de Ilya cuando (n = 0 ), lo que significa que no se venden pólizas nuevas. Podemos interpretar esto como el salario base de Ilya para la semana, que no depende del número de pólizas vendidas.

Escribiendo la ecuación final:

[I (n) = 520 + 80n nonumber ]

Nuestra interpretación final es: el salario base de Ilya es de $ 520 por semana y gana una comisión adicional de $ 80 por cada póliza vendida cada semana.

escena retrospectiva

Mirando el Ejemplo 7:

Determine las variables independientes y dependientes.

¿Qué es un dominio y rango razonables?

¿Esta función es uno a uno?

Respuesta

(n ) (número de pólizas vendidas) es la variable independiente

(I (n) ) (ingreso semanal en función de las pólizas vendidas) es la variable dependiente.

Un dominio razonable es (0, 15) ({} ^ {*} )

Un rango razonable es ($ 540, $ 1740) ({} ^ {*} )

({} ^ {*} ) las respuestas pueden variar según se indique el razonamiento; 15 es un límite superior arbitrario basado en la venta de 3 pólizas por día en una semana laboral de 5 días y $ 1740 corresponde al dominio.

Sí, esta función es uno a uno

Ejercicio ( PageIndex {3} )

El saldo en su cuenta de pago universitario, (C ), es una función del número de trimestres, (q ), al que asiste. Interprete la función (C (a) = 20000 - 4000q ) en palabras. ¿Cuántos trimestres de la universidad puedes pagar hasta que esta cuenta esté vacía?

Respuesta

Su cuenta universitaria comienza con $ 20 000 y usted retira $ 4 000 cada trimestre (o su cuenta contiene $ 20 000 y disminuye en $ 4000 cada trimestre). Resolver (C (a) = 0 ) da (a = 5 ). Puede pagar 5 monedas de veinticinco centavos antes de que se agote el dinero de esta cuenta.

Ejemplo ( PageIndex {8} )

Dada la tabla a continuación, escriba una ecuación lineal que represente los valores de la tabla

(w ), número de semanas0246
(P (w) ), número de ratas1000108011601240

Solución

Podemos ver en la tabla que el valor inicial de las ratas es 1000, por lo que en el formato lineal

[P (w) = b + mw, : b = 1000 nonumber ]

En lugar de resolver (m ), podemos observar en la tabla que la población aumenta en 80 por cada 2 semanas que pasan. Esta tasa es constante desde la semana 0 hasta las semanas 2, 4 y 6. La tasa de cambio es de 80 ratas por 2 semanas. Esto se puede simplificar a 40 ratas por semana y podemos escribir

[P (w) = b + mw text {as} P (w) = 1000 + 40w nonumber ]

Si no notó esto en la tabla, aún podría resolver la pendiente usando dos puntos cualesquiera de la tabla. Por ejemplo, usando (2, 1080) y (6, 1240),

[m = dfrac {1240-1080} {6-2} = dfrac {160} {4} = 40 text {ratas por semana} nonumber ]

Temas importantes de esta sección

  • Definición de modelado
  • Definición de una función lineal
  • Estructura de una función lineal
  • Funciones crecientes y decrecientes
  • Encontrar la intersección vertical (0, B)
  • Encontrar la pendiente / tasa de cambio, metro
  • Interpretación de funciones lineales


Ver el vídeo: Common Core Algebra # # with Linear Functions by eMathInstruction (Octubre 2021).