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3.2: Desigualdades lineales - Matemáticas


En el capítulo de sistemas de ecuaciones, analizamos una empresa que produce una versión básica y premium de su producto, y determinamos cuántos de cada artículo deberían producir para utilizar completamente todas las horas de personal. Para eso, necesitamos desigualdades lineales

Una ecuación lineal en dos variables es una ecuación como (f (x) = 2 x + 1 ), que a veces se escribe sin notación de función como (y = 2 x + 1. ) Recuerde que la gráfica de esta ecuación es una recta, formada por todos los puntos ((x, y) ) que satisfacen la ecuación. Una desigualdad lineal en dos variables es similar, pero implica una desigualdad. Algunos ejemplos:

[y <2 x + 1 quad y> 4 x-1 quad y leq frac {2} {3} x + 4 quad y geq 5-2 x nonumber ]

Las desigualdades lineales también se pueden escribir con ambas variables en el mismo lado de la ecuación, como (2 x-3 y <4 )

La solución establecida para una desigualdad lineal serán todos los puntos ((x, y) ) que satisfacen la desigualdad. Observe que la línea (y = 2 x + 1 ) divide el plano de coordenadas en dos mitades:
en una mitad (y <2 x + 1 ), y en la otra (y> 2 x + 1. ) El conjunto de solución para una desigualdad lineal será un semiplano, y para mostrar el conjunto de solución sombreamos la parte del plano de coordenadas donde se encuentran los puntos en el conjunto solución.

Graficar la solución de una desigualdad lineal

1. Si es necesario, reescribe la desigualdad lineal en una forma conveniente para graficar, como la forma pendiente-intersección
2. Grafica la ecuación lineal correspondiente.
un. Para una desigualdad estricta ( )), dibuja una línea discontinua para mostrar que los puntos en la línea no son parte de la solución
B. Para una desigualdad que incluye el signo igual (( leq ) o ( geq) ), dibuja una línea sólida para mostrar que los puntos de la línea son parte de la solución.
3. Elija un punto de prueba, no en la línea.
un. Sustituye el punto de prueba en la desigualdad.
B. Si la desigualdad es verdadera en el punto de prueba, sombree el semiplano del lado que incluye el punto de prueba
C. Si la desigualdad no es cierta en el punto de prueba, sombree el semiplano del lado que no incluye el punto de prueba

Ejemplo ( PageIndex {1} )

Grafica la solución a (y <2 x + 1 )

Solución

Dado que esta es una desigualdad estricta, graficaremos (y = 2x + 1 nonumber ) como una línea discontinua.

Ahora elegimos un punto de prueba que no está en la línea. Por lo general, elegir un punto donde una coordenada es cero facilitará las cosas. Usemos ((3,0) ).

Sustituyendo (3,0) en la desigualdad, obtenemos

[ begin {align *} 0 & <2 (3) + 1 0 & <7 end {align *} nonumber ]

Este es un enunciado verdadero, por lo que sombrearemos el lado del plano que incluye ((3,0) ).

Ejemplo ( PageIndex {2} )

Grafica la solución a (x geq 2 y + 4 )

Solución

Esto no está escrito en una forma que estamos acostumbrados a usar para graficar, por lo que podríamos resolverlo para (y ) primero.

(x geq 2 y + 4 quad )

Restar (2 v ) de ambos lados
(x-2 y geq 4 quad )

Resta (x ) de ambos lados

(- 2 y geq 4-x )

Dividir por (- 2 ), invirtiendo el orden de la desigualdad
(y leq-2 + frac {1} {2} x )
Dado que esta desigualdad incluye el signo igual, graficaremos (y = -2 + frac {1} {2} x ) como una línea sólida

Ahora elegimos un punto de prueba que no está en la línea. (0,0) es una opción conveniente. Sustituyendo (0,0) en la desigualdad, obtenemos

[ begin {align *} 0 & leq - 2 + frac {1} {2} (0) 0 & leq - 2 end {align *} nonumber ]

Esta es una declaración falsa, por lo que sombreamos la mitad del plano que no incluye ((0,0) ).

Ejercicio ( PageIndex {1} )

Grafica la solución a [y geq - frac {1} {2} x + 1 nonumber ]

Respuesta

Maximice (P = 14x + 9y ) sujeto a las restricciones:

[ begin {align *} x + y & leq 9 3x + y & leq 15 x geq 0, & ; y geq 0 end {align *} nonumber ]

Ejemplo ( PageIndex {3} )

Una tienda vende cacahuetes por ( $ 4 / ) libra y anacardos por ( $ 8 / ) libra, y planea vender una mezcla de nueces mixtas en un frasco. ¿Qué combinaciones de cacahuetes y anacardos son posibles, si quieren que la mezcla cueste ( $ 6 ) o menos?

Solución

Empezamos definiendo nuestras variables:
(p ): La cantidad de libras de maní en 1 libra de mezcla

(c ): La cantidad de libras de anacardos en 1 libra de mezcla
El costo de una libra de mezcla será (4 p + 8 c ), por lo que todas las mezclas que cuesten ( $ 6 ) o menos satisfarán la desigualdad (4 p + 8 c leq 6 )

Podemos graficar la ecuación (4 p + 8 c = 6 ) con bastante facilidad al encontrar las intersecciones:

Cuando (p = 0 )

[ begin {align *} 4 (0) +8 c & = 6 8 c & = 6 c & = frac {6} {8} = frac {3} {4}. end {alinear *} ]

Entonces, el punto ( left (0, frac {3} {4} right) ) en la línea.


Cuando (c = 0,4 p = 6 ), entonces (p = frac {6} {4} = frac {3} {2} ), dando el punto ( left ( frac { 3} {2}, 0 derecha) ).

Observe que el punto de prueba ((0,0) ) satisfará la desigualdad, por lo que sombrearemos el lado de la línea que incluye el origen. Debido al contexto, solo los valores del primer cuadrante son razonables. El gráfico muestra todas las combinaciones posibles que la tienda podría usar, incluyendo 1 libra de maní con (1/4 ) libra de anacardos, o (1/2 ) una libra de cada una.

Sistemas de desigualdades lineales

En el capítulo de sistemas de ecuaciones, buscamos soluciones para un sistema de ecuaciones lineales, un punto que satisfaría todas las ecuaciones del sistema. Asimismo, podemos considerar un sistema de desigualdades lineales. La solución a un sistema de desigualdades lineales es
el conjunto de puntos que satisfacen todas las desigualdades del sistema.

Con una única desigualdad lineal, podemos mostrar el conjunto de soluciones gráficamente. Asimismo, con un sistema de desigualdades lineales mostramos gráficamente el conjunto solución. Lo encontramos buscando dónde se superponen las regiones indicadas por las desigualdades lineales individuales.

Ejemplo ( PageIndex {4} )

Grafica la solución del sistema de desigualdades lineales

[ begin {align *} y & leq x + 2 y & geq 1 - x end {align *} nonumber ]

Solución

Si graficamos el conjunto de soluciones para cada desigualdad individualmente, obtenemos los dos conjuntos de soluciones que se muestran aquí.

Graficar estos conjuntos de soluciones en los mismos ejes revela la solución del sistema de desigualdades como la región donde los dos se superponen.

El conjunto de soluciones, donde las regiones se superponen.

El conjunto de soluciones, elaborado solo.

Ejercicio ( PageIndex {2} )

Grafica la solución del sistema de desigualdades lineales

[ begin {align *} y & leq 3 - 2x y & geq frac {1} {2} x + 1 end {align *} nonumber ]

Respuesta

La siguiente pregunta es similar a un problema que resolvimos usando sistemas en el capítulo de sistemas.

Ejemplo ( PageIndex {5} )

Una empresa produce una versión básica y premium de su producto. La versión básica requiere 20 minutos de montaje y 15 minutos de pintura. La versión premium requiere 30 minutos de montaje y 30 minutos de pintura. Si la empresa cuenta con personal para 3.900 minutos de montaje y 3.300 minutos de pintura cada semana. ¿Cuántos artículos pueden producir entonces dentro de los límites de su personal?

Solución

Observe que este problema es diferente a la pregunta que hicimos en la primera sección, ya que ya no nos preocupa la utilización completa de la dotación de personal, solo nos interesa lo que es posible. Como antes, definiremos

(b ): el número de productos básicos fabricados, (p ): el número de productos premium fabricados.

Así como creamos ecuaciones en la primera sección, ahora podemos crear desigualdades, ya que sabemos que las horas utilizadas en la producción deben ser menores o iguales a las horas disponibles. Esto conduce a dos desigualdades:

[ begin {matriz} {* {20} {c}} 20b + 30p leq 3900 15b + 30p leq 3300 end {matriz} nonumber ]

Graficar estas desigualdades nos da el conjunto de soluciones.

Dado que no es razonable considerar números negativos de elementos, podemos restringir aún más las soluciones al primer cuadrante. Esto también podría representarse sumando las desigualdades

[b geq 0, quad p geq 0. nonumber ]

En el conjunto de soluciones podemos ver la solución al sistema de ecuaciones que resolvimos en la sección anterior: 120 productos básicos y 50 productos premium. El conjunto de soluciones muestra que si la empresa está dispuesta a no utilizar completamente la dotación de personal, existen muchas otras combinaciones posibles de productos que podrían producir.

Las técnicas que usamos anteriormente son clave para una rama de las matemáticas llamada programación lineal, que se usa ampliamente en los negocios. Exploraremos la programación lineal más a fondo en la siguiente sección.

Temas importantes de esta sección

Graficar desigualdades lineales

Línea discontinua para desigualdades estrictas, sólida para ≤ o ≥

Graficar sistemas de desigualdades lineales


DESIGUALDADES LINEALES

Definición de desigualdad: “Dos números reales o dos expresiones algebraicas relacionadas por cualquiera de los siguientes símbolos:

para el hombre "DESIGUALDAD"

Tipos de desigualdades:

  1. Desigualdad numérica
  2. Desigualdad lineal de una variable
  3. Desigualdad lineal de dos variables
  4. Desigualdad literal
  5. Doble desigualdad
  6. Desigualdad cuadrática
  7. Desigualdad estricta
  8. Desigualdad holgada
  1. 20 & lt 100 o 30 & gt 400
  2. 30x & gt 300 o 4y & lt 8 o 2x & # 8211 3 & lt_ 9 o 5z + 2 & # 8211 _ & gt 12
  3. 3x + y & gt 30 o 4y & lt 2x & # 8211 8 o x + 7 & lt_ y o 5z + 2y _ & gt -9
  4. x & gt_ 7 o y & lt_ -4 o x & lt 5 o x & gt 8
  5. 3 & lt 5 & lt 7, 2 & lt y & lt_ 5
  6. 4x Cuadrado + 3x 6 & gt 0
  7. Desigualdades con el signo "& lt" o "& gt"
  8. Desigualdades con el signo ‘≤’ o ‘≥’

Resolver una desigualdad:

Es el proceso de obtener todas las posibles soluciones de una desigualdad. Todos los valores de la variable que satisfacen la desigualdad son las soluciones de la desigualdad.

Conjunto de soluciones :

El conjunto de todas las posibles soluciones de una desigualdad se denomina conjunto de soluciones.

Juego de reemplazo:

Un conjunto que se nos da a partir del cual los valores de la variable se reemplazan en la desigualdad en se llama conjunto de reemplazo.


¿Qué sistema de desigualdades lineales tiene el punto (3, –2) en su conjunto de soluciones?

Los puntos donde los sistemas son verdaderos en las áreas blancas, las áreas coloreadas son las excluidas.

Ahora tenemos que poner nuestro punto en ambos sistemas y ver si el punto es una solución o no,

En el primero, puede ver que y debe ser menor que -2, y dentro del punto y es igual a 2, entonces el punto (3,2) peralte es una solución del primer sistema.

veamos el segundo sistema:

valóralo en el punto (3,2)

Entonces el punto (3,2) no es una solución para ninguno de los sistemas, y lo puedes ver en los gráficos, en el primer gráfico el punto (3,2) está en el área negra, y en el segundo está en el zona roja.

y

¿Qué sistema de desigualdades lineales tiene el punto (3, -2) en su conjunto de soluciones?

Si un par ordenado es una solución del sistema de desigualdades, entonces el par ordenado debe satisfacer ambas desigualdades (hace verdaderas ambas desigualdades)

---- & gt desigualdad A

---- & gt desigualdad B

Sustituye el valor de xey del punto (3, -2) en ambas desigualdades y luego compara los resultados

---- & gt no es cierto

El par ordenado no es una solución del sistema A

---- & gt desigualdad A

---- & gt desigualdad B

Sustituye el valor de xey del punto (3, -2) en ambas desigualdades y luego compara los resultados

---- & gt es cierto

---- & gt es cierto

El par ordenado es una solución del sistema B

---- & gt desigualdad A

---- & gt desigualdad B

Sustituye el valor de xey del punto (3, -2) en ambas desigualdades y luego compara los resultados

---- & gt no es cierto

El par ordenado no es una solución del sistema C

---- & gt desigualdad B

Sustituye el valor de xey del punto (3, -2) en ambas desigualdades y luego compara los resultados

---- & gt no es cierto


Operaciones sobre desigualdades

Cuando multiplicamos o dividimos lo mismo numero positivo de ambos lados de una desigualdad, el signo de desigualdad permanece sin alterar .

Encuentre la nueva desigualdad cuando:
a) 3 & lt 5 se multiplican ambos lados por 2
b) 18 & gt 9 se divide ambos lados por 3

Cuando multiplicamos o dividimos lo mismo numero negativo de ambos lados de una desigualdad, el signo de desigualdad debe ser invertido . (cambie & lt por & gt y & gt por & lt).

Encuentre la nueva desigualdad cuando:
a) 4 & lt 11 se multiplica ambos lados por & ndash 2
b) 30 & gt & ndash9 se divide en ambos lados por & ndash3

a) 4 y lt 11
4 y veces (y ndash 2) y lt 11 y veces (y ndash 2)
& ndash8 & gt & ndash22 ( invertir el signo de desigualdad )
b) 30 & gt & ndash9
30 & divide (& ndash3) & gt (& ndash9) & divide (& ndash3)
& ndash10 & lt 3 ( invertir el signo de desigualdad )

Los siguientes videos muestran más ejemplos de cómo resolver desigualdades:

Pruebe la calculadora Mathway gratuita y el solucionador de problemas a continuación para practicar varios temas matemáticos. Pruebe los ejemplos dados o escriba su propio problema y verifique su respuesta con las explicaciones paso a paso.

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3.2: Desigualdades lineales - Matemáticas

Resolver desigualdades: una descripción general (página 1 de 3)

Resolver desigualdades lineales es muy similar a resolver ecuaciones lineales, excepto por un pequeño pero importante detalle: inviertes el signo de desigualdad cada vez que multiplicas o divides la desigualdad por un negativo. La forma más sencilla de mostrar esto es con algunos ejemplos:

Gráficamente, la solución es:

La única diferencia entre la ecuación lineal & quot X + 3 = 2 & quot y esta desigualdad lineal es que tengo un signo & quot menor que & quot, en lugar de un signo & quotequals & quot. El método de solución es exactamente el mismo: reste 3 de cada lado.

Tenga en cuenta que la solución a una desigualdad "menor que, pero no igual a" se representa gráficamente con un paréntesis (o un punto abierto) en el punto final, lo que indica que el punto final no está incluido en la solución.

Gráficamente, la solución es:

Tenga en cuenta que & quot X & quot en la solución no & quot tiene que & quot; estar a la izquierda. Sin embargo, a menudo es más fácil imaginar lo que significa la solución con la variable de la izquierda. No tenga miedo de reorganizar las cosas a su gusto.

Gráficamente, la solución es:

La única diferencia entre la ecuación lineal & quot 4 X + 6 = 3X & ndash 5 & quot y esta desigualdad es el signo & quot menor o igual que & quot en lugar de un signo simple & quotequals & quot. El método de solución es exactamente el mismo.

Tenga en cuenta que la solución a una desigualdad "menor o igual que" se representa gráficamente con un corchete (o un punto cerrado) en el punto final, lo que indica que el punto final está incluido dentro de la solución.

Gráficamente, la solución es:

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Gráficamente, la solución es:

La regla del ejemplo 5 anterior a menudo parece irrazonable para los estudiantes la primera vez que la ven. Pero piense en las desigualdades con números allí, en lugar de variables. Sabes que el número cuatro es más grande que el número dos: 4 & gt 2. Multiplicando esta desigualdad por & ndash1, obtenemos & ndash4 & lt & ndash2, que la recta numérica muestra que es verdadera:

Si no hubiéramos invertido la desigualdad, habríamos terminado con & quot & ndash4 & gt & ndash2 & quot, que claramente no es cierto.


4.7 Gráficas de desigualdades lineales

Hemos aprendido a resolver desigualdades en una variable. Ahora, veremos las desigualdades en dos variables. Las desigualdades en dos variables tienen muchas aplicaciones. Si dirigiera una empresa, por ejemplo, desearía que sus ingresos fueran mayores que sus costos, para que su empresa generara ganancias.

Desigualdad lineal

Una desigualdad lineal es una desigualdad que se puede escribir en una de las siguientes formas:

Solución de una desigualdad lineal

Ejemplo 4.69

Determina si cada par ordenado es una solución a la desigualdad y & gt x + 4 y & gt x + 4:

Solución

Determina si cada par ordenado es una solución a la desigualdad y & gt x - 3 y & gt x - 3:

Determina si cada par ordenado es una solución a la desigualdad y & lt x + 1 y & lt x + 1:

Reconocer la relación entre las soluciones de una desigualdad y su gráfica

Ahora, veremos cómo las soluciones de una desigualdad se relacionan con su gráfica.

Línea límite

Para una desigualdad en una variable, el punto final se muestra con un paréntesis o un corchete dependiendo de si se incluye una a en la solución:

De manera similar, para una desigualdad en dos variables, la línea límite se muestra con una línea continua o discontinua para indicar si la línea está incluida o no en la solución. Esto se resume en la Tabla 4.48.

Ahora, echemos un vistazo a lo que encontramos en el ejemplo 4.69. Comenzaremos graficando la línea y = x + 4 y = x + 4, y luego graficaremos los cinco puntos que probamos. Vea la Figura 4.32.

En el ejemplo 4.69 encontramos que algunos de los puntos eran soluciones de la desigualdad y & gt x + 4 y & gt x + 4 y otros no.

Tomemos otro punto en el lado izquierdo de la línea de límite y probemos si es una solución a la desigualdad y & gt x + 4 y & gt x + 4. El punto (0, 10) (0, 10) claramente parece estar a la izquierda de la línea de límite, ¿no es así? ¿Es una solución a la desigualdad?

Cualquier punto que elija en el lado izquierdo de la línea de límite es una solución a la desigualdad y & gt x + 4 y & gt x + 4. Todos los puntos de la izquierda son soluciones.

De manera similar, todos los puntos en el lado derecho de la línea límite, el lado con (0, 0) (0, 0) y (−5, −15) (−5, −15), no son soluciones de y & gt x + 4 y & gt x + 4. Vea la Figura 4.33.

Ejemplo 4.70

Solución

Dado que la línea de límite se representa gráficamente con una línea continua, la desigualdad incluye el signo igual.

La gráfica muestra la desigualdad y ≥ 2 x - 1 y ≥ 2 x - 1.

Escribe la desigualdad que se muestra en la gráfica con la línea de límite y = −2 x + 3 y = −2 x + 3.

Escribe la desigualdad que se muestra en la gráfica con la línea de límite y = 1 2 x - 4 y = 1 2 x - 4.

Ejemplo 4.71

Solución

(Es posible que desee elegir un punto en el otro lado de la línea de límite y comprobar que 2 x + 3 y & gt 6 2 x + 3 y & gt 6.)

Dado que la línea límite se representa gráficamente como una línea discontinua, la desigualdad no incluye un signo igual.

La gráfica muestra la solución de la desigualdad 2 x + 3 y & lt 6 2 x + 3 y & lt 6.

Escribe la desigualdad que se muestra en la región sombreada en la gráfica con la línea de límite x - 4 y = 8 x - 4 y = 8.

Escribe la desigualdad mostrada por la región sombreada en la gráfica con la línea de límite 3 x - y = 6 3 x - y = 6.

Graficar desigualdades lineales

Ahora, estamos listos para unir todo esto para graficar desigualdades lineales.

Ejemplo 4.72

Cómo graficar desigualdades lineales

Grafique la desigualdad lineal y ≥ 3 4 x - 2 y ≥ 3 4 x - 2.

Solución

Grafique la desigualdad lineal y ≥ 5 2 x - 4 y ≥ 5 2 x - 4.

Grafique la desigualdad lineal y ≤ 2 3 x - 5 y ≤ 2 3 x - 5.

Los pasos que damos para graficar una desigualdad lineal se resumen aquí.

Cómo

Grafica una desigualdad lineal.

Ejemplo 4.73

Representa gráficamente la desigualdad lineal x - 2 y & lt 5 x - 2 y & lt 5.

Solución

Grafique la desigualdad lineal 2 x - 3 y ≤ 6 2 x - 3 y ≤ 6.

Representa gráficamente la desigualdad lineal 2 x - y & gt 3 2 x - y & gt 3.

¿Qué pasa si la línea límite pasa por el origen? Entonces no podremos usar (0, 0) (0, 0) como punto de prueba. No hay problema, solo elegiremos otro punto que no esté en la línea límite.

Ejemplo 4.74

Grafique la desigualdad lineal y ≤ −4 x y ≤ −4 x.

Solución

Ahora, necesitamos un punto de prueba. Podemos ver que el punto (1, 0) (1, 0) no está en la línea de límite.

Grafica la desigualdad lineal y & gt −3 x y & gt −3 x.

Grafique la desigualdad lineal y ≥ −2 x y ≥ −2 x.

Algunas desigualdades lineales tienen solo una variable. Pueden tener un X pero no yo un y pero no X. En estos casos, la línea de límite será una línea vertical u horizontal. ¿Te acuerdas?

Ejemplo 4.75

Representa gráficamente la desigualdad lineal y & gt 3 y & gt 3.

Solución

Entonces sombreamos el lado que no incluye (0, 0).

Representa gráficamente la desigualdad lineal y & lt 5 y & lt 5.

Grafique la desigualdad lineal y ≤ −1 y ≤ −1.

Sección 4.7 Ejercicios

La práctica hace la perfección

Verificar soluciones a una desigualdad en dos variables

En los siguientes ejercicios, determina si cada par ordenado es una solución a la desigualdad dada.

Determina si cada par ordenado es una solución a la desigualdad y & gt x - 1 y & gt x - 1:

Determina si cada par ordenado es una solución a la desigualdad y & gt x - 3 y & gt x - 3:

Determina si cada par ordenado es una solución a la desigualdad y & lt x + 2 y & lt x + 2:

Determina si cada par ordenado es una solución a la desigualdad y & lt x + 5 y & lt x + 5:

Determina si cada par ordenado es una solución a la desigualdad x + y & gt 4 x + y & gt 4:

Determina si cada par ordenado es una solución a la desigualdad x + y & gt 2 x + y & gt 2:

Reconocer la relación entre las soluciones de una desigualdad y su gráfica

En los siguientes ejercicios, escribe la desigualdad que muestra la región sombreada.

Escribe la desigualdad que se muestra en la gráfica con la línea de límite y = 3 x - 4. y = 3 x - 4.

Escribe la desigualdad que se muestra en la gráfica con la línea de límite y = 2 x - 4. y = 2 x - 4.

Escribe la desigualdad que se muestra en la gráfica con la línea de límite y = 1 2 x + 1. y = 1 2 x + 1.

Escribe la desigualdad que se muestra en la gráfica con la línea de límite y = - 1 3 x - 2. y = - 1 3 x - 2.

Escribe la desigualdad mostrada por la región sombreada en el gráfico con la línea de límite x + y = 5. x + y = 5.

Escribe la desigualdad mostrada por la región sombreada en el gráfico con la línea de límite x + y = 3. x + y = 3.

Escribe la desigualdad que se muestra en la región sombreada en la gráfica con la línea de límite 2 x + y = −4. 2 x + y = −4.

Escribe la desigualdad mostrada por la región sombreada en la gráfica con la línea de límite x + 2 y = −2. x + 2 y = −2.

Escribe la desigualdad mostrada por la región sombreada en la gráfica con la línea de límite 3 x - y = 6. 3 x - y = 6.

Escribe la desigualdad mostrada por la región sombreada en la gráfica con la línea de límite 2 x - y = 4. 2 x - y = 4.

Escribe la desigualdad mostrada por la región sombreada en la gráfica con la línea de límite 2 x - 5 y = 10. 2 x - 5 y = 10.

Escribe la desigualdad mostrada por la región sombreada en la gráfica con la línea de límite 4 x - 3 y = 12. 4 x - 3 y = 12.

Graficar desigualdades lineales

En los siguientes ejercicios, grafica cada desigualdad lineal.

Representa gráficamente la desigualdad lineal y & gt 2 3 x - 1 y & gt 2 3 x - 1.

Representa gráficamente la desigualdad lineal y & lt 3 5 x + 2 y & lt 3 5 x + 2.

Grafique la desigualdad lineal y ≤ - 1 2 x + 4 y ≤ - 1 2 x + 4.

Grafique la desigualdad lineal y ≥ - 1 3 x - 2 y ≥ - 1 3 x - 2.

Grafique la desigualdad lineal x - y ≤ 3 x - y ≤ 3.

Grafica la desigualdad lineal x - y ≥ −2 x - y ≥ −2.

Representa gráficamente la desigualdad lineal 4 x + y & gt −4 4 x + y & gt −4.

Representa gráficamente la desigualdad lineal x + 5 y & lt −5 x + 5 y & lt −5.

Grafique la desigualdad lineal 3 x + 2 y ≥ −6 3 x + 2 y ≥ −6.

Grafique la desigualdad lineal 4 x + 2 y ≥ −8 4 x + 2 y ≥ −8.

Representa gráficamente la desigualdad lineal y & gt 4 x y & gt 4 x.

Representa gráficamente la desigualdad lineal y & gt x y & gt x.

Grafique la desigualdad lineal y ≤ - x y ≤ - x.

Grafique la desigualdad lineal y ≤ −3 x y ≤ −3 x.

Grafique la desigualdad lineal y ≥ −2 y ≥ −2.

Representa gráficamente la desigualdad lineal y & lt −1 y & lt −1.

Representa gráficamente la desigualdad lineal y & lt 4 y & lt 4.

Grafique la desigualdad lineal y ≥ 2 y ≥ 2.

Grafique la desigualdad lineal x ≤ 5 x ≤ 5.

Representa gráficamente la desigualdad lineal x & gt −2 x & gt −2.

Representa gráficamente la desigualdad lineal x & gt −3 x & gt −3.

Grafique la desigualdad lineal x ≤ 4 x ≤ 4.

Representa gráficamente la desigualdad lineal x - y & lt 4 x - y & lt 4.

Grafica la desigualdad lineal x - y & lt −3 x - y & lt −3.

Grafique la desigualdad lineal y ≥ 3 2 x y ≥ 3 2 x.

Grafique la desigualdad lineal y ≤ 5 4 x y ≤ 5 4 x.

Grafica la desigualdad lineal y & gt −2 x + 1 y & gt −2 x + 1.

Grafique la desigualdad lineal y & lt −3 x - 4 y & lt −3 x - 4.

Grafica la desigualdad lineal x ≤ −1 x ≤ −1.

Grafique la desigualdad lineal x ≥ 0 x ≥ 0.

Matemáticas cotidianas

Dinero. Gerry quiere tener un máximo de $ 100 en efectivo en la taquilla cuando abra el carnaval de su iglesia. Tendrá billetes de $ 1 y billetes de $ 5. Si X es el número de billetes de $ 1 y y es el número de billetes de $ 5, la desigualdad x + 5 y ≤ 100 x + 5 y ≤ 100 modela la situación.

Compras. Tula tiene $ 20 para gastar en la venta de libros usados. Los libros de tapa dura cuestan $ 2 cada uno y los libros de bolsillo cuestan .50 cada uno. Si X es la cantidad de libros de tapa dura que Tula puede comprar y y es el número de libros de bolsillo que puede comprar, la desigualdad 2 x + 1 2 y ≤ 20 2 x + 1 2 y ≤ 20 modela la situación.

Ejercicios de escritura

Lester piensa que la solución de cualquier desigualdad con un signo & gt es la región por encima de la línea y la solución de cualquier desigualdad con un signo & lt es la región por debajo de la línea. ¿Lester tiene razón? Explica por qué o por qué no.

Explica por qué en algunas gráficas de desigualdades lineales la línea de límite es sólida pero en otras gráficas está discontinua.

Autocomprobación

Ⓐ Después de completar los ejercicios, use esta lista de verificación para evaluar su dominio de los objetivos de esta sección.

Ⓑ ¿Qué le dice esta lista de verificación sobre su dominio de esta sección? ¿Qué pasos tomará para mejorar?

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    • Autores: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
    • Editor / sitio web: OpenStax
    • Título del libro: Álgebra elemental 2e
    • Fecha de publicación: 22 de abril de 2020
    • Ubicación: Houston, Texas
    • URL del libro: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-introduction
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    Resolver una desigualdad lineal de tres partes: concepto

    Carl enseñó matemáticas de nivel superior en varias escuelas y actualmente dirige su propia empresa de tutoría. ¡Apuesta a que nadie puede vencer su amor por las actividades intensivas al aire libre!

    En matemáticas, puede ser útil limitar la solución o incluso tener múltiples soluciones para una desigualdad. Para esto usamos un desigualdad compuesta, desigualdades con múltiples signos de desigualdad. Al resolver desigualdades compuestas, utilizamos algunos de los mismos métodos que se utilizan para resolver desigualdades de varios pasos. Las soluciones de las desigualdades compuestas se pueden representar gráficamente en una recta numérica y se pueden expresar como intervalos.

    Resolver una desigualdad de tres partes, básicamente es lo mismo que resolver una desigualdad de dos partes, pero en lugar de tratar ahora solo con un lado, también estamos tratando con el otro lado. Entonces, el primer paso es siempre obtener nuestras x por sí mismas, restar una sobre nosotros estamos tratando de resolver esta x, así que solo resta 1 y en lugar de hacerlo de ambos lados ahora tenemos que hacerlo de las tres. Así que 11 menos 1, 10 menos que 3x y, por último, es igual a 6, está bien. Resolviendo para x, necesitamos dividir entre menos 3, recuerde que cuando estamos en una forma de desigualdad, si dividimos por un negativo, tenemos que darle la vuelta a ese signo. Entonces, 10 dividido por un 3 negativo, no podemos simplificar eso, por lo que nos quedamos con 10 tercios negativos, nuestro signo cambia x este signo tiene que cambiar y 6 dividido por 3 negativo es negativo 2, está bien.
    Entonces, lo que realmente tenemos es que x tiene que estar entre 10 tercios negativos y -2, por lo que esta respuesta en este momento está bien en forma de desigualdad. Queremos lanzarlo en otra forma, podríamos hacer nuestros corchetes y recordar que esto se llama & quot; noción de intervalo & quot; no incluimos diez tercios negativos, por lo que tenemos un corchete suave aquí, incluimos -2, por lo que tenemos este corchete rígido aquí. También podríamos trazar esto en una recta numérica, vamos de diez tercios negativos a 2 negativos, incluido el 2 negativo, de modo que se complete sin incluir los diez tercios, por lo que no se completa un esquema bien. Vuelva a establecer la notación de billetes simplemente tomando exactamente lo mismo aquí con una x tal que el corchete, x tal que diez tercios negativos es menor que x es menor que igual a -2. Así que lo resolví y las cuatro formas diferentes de representar la misma respuesta exacta.


    3.2: Desigualdades lineales - Matemáticas

    Ejercicio 3.2.1. a) Considere los vectores y dónde y son números reales positivos arbitrarios. Utilice la desigualdad de Schwarz que implica y para derivar una relación entre la media aritmética y la media geométrica.

    b) Considere un vector desde el origen hasta el punto, un segundo vector de longitud desde el punto y el tercer vector desde el origen hasta. Usando la desigualdad del triángulo

    derivar la desigualdad de Schwarz. (Sugerencia: Cuadre ambos lados de la desigualdad y expanda la expresión).

    Respuesta: a) De la desigualdad de Schwarz tenemos

    De las definiciones de y, en el lado izquierdo de la desigualdad tenemos

    asumiendo que siempre elegimos la raíz cuadrada positiva.

    De las definiciones de y también tenemos

    de modo que el lado derecho de la desigualdad sea

    nuevamente asumiendo que elegimos la raíz cuadrada positiva. (Sabemos que es positivo ya que ambos y lo son).

    o (dividiendo ambos lados por 2)

    Por tanto, vemos que para cualquier número real positivo y la media geométrica es menor que la media aritmética.

    b) De la desigualdad del triángulo tenemos

    para los vectores y. Elevando al cuadrado el término del lado izquierdo de la desigualdad y usando las propiedades conmutativas y distributivas del producto interno obtenemos

    Cuadrando el término en el lado derecho de la desigualdad tenemos

    es por tanto equivalente a la desigualdad

    Restar y de ambos lados de la desigualdad nos da

    y dividir ambos lados de la desigualdad por 2 produce

    Tenga en cuenta que esta es casi, pero no del todo, la desigualdad de Schwarz: dado que la desigualdad de Schwarz implica el valor absoluto, también debemos demostrar que

    (Después de todo, el producto interno podría ser negativo, en cuyo caso la desigualdad sería trivialmente cierta, dado que se garantiza que el término en el lado derecho de la desigualdad es positivo).

    Tenemos . Dado que la desigualdad del triángulo se cumple para dos vectores cualesquiera, podemos reformularla en términos de y de la siguiente manera:

    Dado que elevar al cuadrado el término del lado derecho de la desigualdad produce

    como lo hizo anteriormente. Sin embargo, cuadrar el término en el lado izquierdo de la desigualdad produce

    La desigualdad del triángulo original

    Dado que tenemos ambos y por lo tanto tenemos

    que es la desigualdad de Schwarz.

    Entonces, la desigualdad del triángulo implica la desigualdad de Schwarz.

    NOTA: Esto continúa con una serie de publicaciones que contienen ejercicios resueltos del libro (agotado) Álgebra lineal y sus aplicaciones, tercera edición de Gilbert Strang.

    Si estas publicaciones te resultan útiles, te animo a que consultes también Álgebra lineal y sus aplicaciones, cuarta edición, libro de texto introductorio del Dr. Strang & # 8217, Introducción al álgebra lineal, cuarta edición y el curso en línea gratuito que lo acompaña, y Dr Strang & # 8217s. otros libros.


    Intervalos acotados

    dice "−1 uno es menor o igual que X y X es menos de tres ". Esta es una desigualdad compuesta porque se puede descomponer de la siguiente manera:

    El "y" lógico requiere que ambas condiciones sean verdaderas. Ambas desigualdades son satisfechas por todos los elementos de la intersección. El conjunto formado por los valores compartidos de los conjuntos de solución individuales que se indica mediante el uso lógico de la palabra “y”, denotado con el símbolo ∩. , denotado ∩, de los conjuntos de soluciones de cada uno.

    Ejemplo 5: Grafica y da la notación de intervalo equivalente: x & lt 3 yx ≥ - 1.

    Solución: Determine la intersección o superposición de los dos conjuntos de soluciones. Las soluciones de cada desigualdad se trazan encima de la recta numérica como un medio para determinar la intersección, que se representa gráficamente en la recta numérica de abajo.

    Aquí x = 3 no es una solución porque resuelve solo una de las desigualdades.

    Respuesta: Notación de intervalo: [- 1, 3)

    Alternativamente, podemos interpretar - 1 ≤ x & lt 3 como todos los valores posibles para X Entre o acotado por −1 y 3 en una recta numérica. Por ejemplo, una de esas soluciones es x = 1. Observe que 1 está entre -1 y 3 en una recta numérica, o que -1 & lt 1 & lt 3. De manera similar, podemos ver que otras posibles soluciones son -1, -0,99, 0, 0,0056, 1,8 y 2,99. Dado que hay infinitos números reales entre −1 y 3, debemos expresar la solución gráficamente y / o con notación de intervalo, en este caso [- 1, 3).

    Ejemplo 6: Grafica y da la notación de intervalo equivalente: - 3 2 & lt x & lt 2.

    Solución: Sombrea todos los números reales delimitados por, o estrictamente entre, - 3 2 = - 1 1 2 y 2.

    Respuesta: Notación de intervalo: (- 3 2, 2)

    Ejemplo 7: Grafica y da la notación de intervalo equivalente: - 5 & lt x ≤ 15.

    Solución: Sombree todos los números reales entre −5 y 15, e indique que el límite superior, 15, se incluye en el conjunto de soluciones mediante el uso de un punto cerrado.

    Respuesta: Notación de intervalo: (- 5, 15]

    En los dos ejemplos anteriores, no descomponemos las desigualdades, sino que elegimos pensar en todos los números reales entre los dos límites dados.


    3.2.4 Secuencias

    Contenido adicional de la base

    generar términos de una secuencia a partir de una regla de término a término o de una posición a término

    Notas: incluidos los de patrones y diagramas.

    Contenido adicional de la base

    reconocer y usar secuencias de números triangulares, cuadrados y cúbicos y progresiones aritméticas simples

    incluyendo secuencias de tipo Fibonacci, secuencias cuadráticas y progresiones geométricas simples donde es un número entero y es un número racional & gt 0)

    incluyendo otras secuencias

    incluyendo donde es un surd

    Notas: otras secuencias recursivas se definirán en la pregunta.


    Ver el vídeo: Desigualdades lineales en una variable (Octubre 2021).